2024年江苏省苏州市高新区中考数学一模试卷(含答案)

2024年江苏省苏州市高新区中考数学一模试卷

一、选择题（本题满分24分，共8小题，每小题3分）

1.（3分）下列各数中，是无理数的是（）

A.2.5B.410C.1D.0

6

2.（3分）据统计，2022年我市城乡居民人均生活消费支出为41500元，将41500用科学记数法表示为（）

A.4.15X104B.0.415X104C.0.415X105D.4.15X105

3.（3分）下列计算正确的是（）

A.a+2a2=3/B.a^-r-cT'—a5C.a4*a2—a8D.（a3）2—a6

4.（3分）某小组在一次“在线测试”中做对的题数分别是10,8,6,9,8,7,8,对于这组数据，下列判断

中错误的是（）

A.众数是8B.中位数是8C.平均数是8D.方差是8

5.（3分）在RtZXABC中，ZC=90°,AC=3,以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，则该圆锥的侧面

积为（）

A.12nB.15TTC.20nD.24TT

6.（3分）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jia）生其中，出水一尺.引

葭赴岸（丈、尺是长度单位，I丈=10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，它

高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度是多少？

则水深为（）

A.10尺B.12尺C.13尺D.15尺

7.（3分）王同学用长方形纸片折纸飞机，前三步分别如图①、②、③.第一步：将长方形纸片沿对称轴对折

后展开，折出折痕跖，即翻折，AE-,第三步：将△GEM和△8EN分别沿EM,EN翻折，瓦/重合于折

痕上.已知4B=20c加，AD=则的长是（）

1

AD

E

BC

图①

图③

A.10cmB.5&c〃zC.20-10'\[2cmD.10V2-lQcm

8.（3分）如图，已知矩形ABC。的一边AB长为12,点尸为边AO上一动点，且满足NBPC=30°,则

的值可能是（）

A.6B.6.8C.573D.

二、填空题（本题满分24分，共8小题，每小题3分）

9.（3分）-64的立方根是.

10.（3分）使代数式有意义的无取值范围是.

11.（3分）若一组数据1、3、X、5、8的众数为8,则这组数据的中位数为.

12.（3分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小

针.

13.（3分）已知正六边形的内切圆半径为则它的周长为.

14.（3分）已知点P是半径为4的。。上一点，平面上一点。到点P的距离为2,则线段。。的长度。的范

围为•

15.（3分）如图，0、B两点是线段AC的三等分点，以为直径作O。，连接CE,交。。于点。，若点。

恰为线段CE中点，则tanZABD为.

2

E

16.（3分）如图，已知Rt^ABC的两条直角边AC=4,BC=3,得到△£）跖,若△£>£尸的锐角顶点。恰好落

在△ABC的斜边AB上，则CH=.

17.计算：（&-1）。+昼）之-唬.

18.解方程组，3x-2v=8.

[2x+y=3

19.先化简，再求值：心2」ZL）+（a-4>其中。满足2工=-2・

aa+2a

20.如图，某校食堂实行统一配餐，为方便学生取餐，分别记为①、②、③、④，学生可以从这4个窗口中任

意选取一个窗口取餐.

（1）若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在②号窗口取餐的概率

是;

（2）若小红和小丽一起去食堂用餐时4个窗口都没有人，求小红和小丽在相邻窗口取餐的概率.（请用画

树状图或列表等方法说明理由）

3

21.2023年苏州文博会于4月17日至4月28日在苏州国际博览中心举行，我校气象兴趣小组的同学们想估

计一下苏州今年4月份日平均气温情况.他们收集了苏州市近五年来4月份每天的日平均气温，从中随机

抽取了60天的日平均气温

（2）若日平均气温在18℃至21℃的范围内（包括18℃和2FC）为“舒适温度”，请估计苏州今年4月份

日平均气温为“舒适温度”的天数.

22.如图，点A、B、C、。在一条直线上，EA//FB,AB=CD.求证：EF//AD.

23.如图，从灯塔C处观测轮船A、8的位置，测得轮船A在灯塔C北偏西a的方向，且AC=2&海里百5

海里，已知cosa="23标，求A、2两艘轮船之间的距离.（结果保留根号）

24.如图，以尤轴上长为1的线段为宽作矩形A8CD,矩形长AO、8C交直线y=-x+3于点尺（*>0）

的图象正好经过点只E.

（1）线段EF长为_________________

4

(2)求左值.

25.如图，在△ABC中，点。为8c边上的一个动点，过点C作CE〃AB,交。。于点R连接CE、EF

(1)求证：ZBAC=ZCEF；

(2)若AB=10,AC=6,CE=EF

26.如图1,抛物线L：y=-7+bx+c经过点A(0,1),对称轴为直线x=1与x轴的交于点8.

(2)点C在抛物线上，若△ABC的内心恰好在x轴上，求点C的坐标；

(3)如图2,将抛物线L向上平移左(左＞0)个单位长度得到抛物线力，抛物线h与y轴交于点M,过点

M作y轴的垂线交抛物线％于另一点N.尸为线段OM上一点.若△PMN与APOB相似，并且符合条件

的点P恰有2个，求左的值.

27.已知矩形ABCD中，E是BC的中点，。尸_LAE于点?

5

（1）如图1,若BE=H，求的值；

（2）如图2,连接AC交。/于点G,若旭=2,求cos/PCE的值；

CG3

（3）如图3,延长DF交A8于点G,若G点恰好为AB的中点，过A作AK//FC交FD于K,设△AOK

S,

的面积为Si,△CQF的面积为S2,则—L的值为____________________.

s2

参考答案与试题解析

一、选择题（本题满分24分，共8小题，每小题3分）

1.（3分）下列各数中，是无理数的是（）

A.2.5B.V7oC.」D.0

6

【解答】解：2.5,-A,。是有理数；

6

是无理数.

故选：B.

2.（3分）据统计，2022年我市城乡居民人均生活消费支出为41500元，将41500用科学记数法表示为（）

A.4.15X104B.0.415X104C.0.415X105D.4.15X105

【解答】解：41500=4.15X104.

故选：A.

3.（3分）下列计算正确的是（）

A.〃+2〃2=3〃2B.〃1°+〃2=Q5Q〃4.Q2=Q8D.（4Z3）2=a6

【解答】解：A、原式=。+3〃2,不符合题意；

B、原式=〃，不符合题意;

原式=5，不符合题意;

D、原式=小,符合题意；

6

故选：D.

4.(3分)某小组在一次“在线测试”中做对的题数分别是10,8,6,9,8,7,8,对于这组数据，下列判断

中错误的是()

A.众数是8B.中位数是8C.平均数是8D.方差是8

【解答】解：平均数=(10+8+6+2+8+7+2)+7=8,

按从小到大排列为：3,7,8,8,8,9,10,

中位数是8；

•••8出现了3次，次数最多，

；.众数是2；

方差(10-8)2+(7-8)2+(5-8)2+(5-8)2+(7-8)2+(4-8)2+(3-8)2]=5.25.

4

所以。错误.

故选：D.

5.(3分)在中，ZC=90°,AC=3,以AC所在直线为轴，把△ABC旋转1周，则该圆锥的侧面

积为()

A.12nB.15nC.207rD.24TT

【解答】解：在RtZiABC中，NC=90°,BC=4,

A3=VAC2+BC2=V32+42=5，

由已知得，母线长/=2,

/.圆锥的侧面积是S=Tt/r=5X4Xn=20Tt.

故选：C.

6.(3分)我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭(jia)生其中，出水一尺.引

葭赴岸(丈、尺是长度单位，1丈=10尺)其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，它

高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度是多少？

则水深为()

7

A.10尺B.12尺C.13尺D.15尺

【解答】解：设水深为/?尺，则芦苇长为(A+1)尺,

根据勾股定理，得"+1)3-必=(10+2)4,

解得h=l2,

水深为12尺，

故选：B.

7.(3分)王同学用长方形纸片折纸飞机，前三步分别如图①、②、③.第一步：将长方形纸片沿对称轴对折

后展开，折出折痕EF,EH翻折，AE；第三步：将△GEM和分别沿EM,EN翻折，EH重合于折

痕E尸上.己知AB=20aw,20&，则的长是(

AD

E

B

图①

图③

A.10cmB.5^2cmC.20-10V2cmD.10^2-10cm

【解答】解：：四边形ABC。为矩形，AB^20cm20V2cm,

：.ZA=90°,

由第一步折叠可得，AD//EF,

由第一步折叠可得，AE=ArE=10cm,

：.AE//AG,

・・・四边形AE4'G为平行四边形,

VAE=AZE,ZA=90°,

・・・平行四边形AEVG为正方形,

.\AG=AE=10cm,

8

：.GD=AD-AG^（20V2-10）cm.

在RtAAEG中，EG=VAG6+AE2=V142+122=1°加〈cm）,

根据第三步折叠可得，ZGEM=ZG'EM,

•：GD〃EF,

：.ZGME=ZG'EM,

；./GEM=NGME,

：.GE=GM=10如cm,

：.MD=GD-GM=20V2-10-10V2=（I0V3-10"

故选：D.

8.（3分）如图，已知矩形ABC。的一边AB长为12,点P为边上一动点，且满足NBPC=3O°,则BC

的值可能是（）

A.6B.6.8C.5^3D.

【解答】解：①如图1,当点尸与点A重合时，

图1

•..四边形ABC。是矩形，

.\ZB=90o,

\"AB=n,ZBPC=3O°,

：.BC=J^=^=4^3,

V3V2

此时BC是满足题意的最大值;

9

②如图3,当点尸是的中点时，此时BC最小,

图2

过点8作BE_LC尸于E,

设BE—a,AP=尤，

VZBPC=30°,

:.BP=2BE=2a,PE=y[^a,

T1

-z-*6x,12="z-*6a»a

.'・<NN,

227

tx+12=4a

解得：X=24+12A/3（舍）或2472日，

；.BC=2x=48-24\后，

综上，48-24a£即6.432W8CW6.928.

故选:B.

二、填空题（本题满分24分，共8小题，每小题3分）

9.（3分）-64的立方根是-4.

【解答】解：：（-4）3=-64,

-64的立方根是-2.

故选-4.

10.（3分）使代数式有意义的x取值范围是无为.

【解答】解：•••代数式后I有意义，

•\x-128,

解得：

故答案为：

n.（3分）若一组数据1、3、X、5、8的众数为8,则这组数据的中位数为

【解答】解：・・,数据1、3、％、5、8的众数为8,

10

••X=5，

则数据重新排列为1、3、5、8、8,

所以中位数为8,

故答案为：5.

12.（3分）如图，正方形A8C。内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针—三

【解答】解：设正方形的边长为2a,则正方形的内切圆的半径为a,

1IT2

T'K'a.Tr

所以针尖落在黑色区域内的概率--------=—.

4a78

故答案为三.

8

13.（3分）已知正六边形的内切圆半径为我，则它的周长为12.

【解答】解：如图，连接。4,0G-,

•.•六边形ABCDE尸是边长等于正六边形的半径，设正六边形的半径为a,

:.AOAB是等边三角形，

.\OA=AB=a,

OG=OA9sin60°=,解得a=2,

2

・••它的周长=6a=12.

14.（3分）已知点尸是半径为4的。。上一点，平面上一点。到点尸的距离为2,则线段0。的长度〃的范

围为24W6.

【解答】解：如图，当点。在圆外且。Q,线段。。的长度的最大；

当点。在圆内且0,Q,尸三点共线时，最小值为4-2=6,

所以，线段0。的长度〃的范围为2W〃W6.

11

故答案为：3WaW6.

15.（3分）如图，0、3两点是线段AC的三等分点，以48为直径作。。，连接CE,交。。于点。，若点D

恰为线段CE中点，则为_、八石_.

【解答】解：连接OE、AD,设。。的半径为，，

；0、B两点是线段AC的三等分点，

：.OB=CB,

:点D恰为线段CE中点，

.•.3。为△OCE的中位线，

.•.B£）=_10E=3r,

22

'：AB为直径，

AZADB=90°,

在。中，））

RtAABAD=VAB2_BD2=J（2r2.（32=V1^r,

VZb

V15

~9~r

tanZABD=包_=—1----=.

BDl

6r

故答案为：V15.

12

16.（3分）如图，已知Rt^ABC的两条直角边AC=4,BC=3,得到若AOE尸的锐角顶点。恰好落

由勾股定理得，AC=2f

•・•点G为AC的中点，

：.AG=CG,

・・,ADEF的锐角顶点。恰好落在△ABC的斜边AB上,

：.AG=DG,

：.ZA=ZADG,NGCD=NGDC,

13

ZADC=l.x180°=90°,

*/COsA=-^5-=AiL,

ACAB

•••-A-D=-4-,

75

：.AD=^-,

7

NAHD=ZDHG,/HDG=ZHAD,

.♦.△HOGs△HA。，

.DG_PHHG_2__4

••布KHF近而，

设G»=5x,则DH=5x,

•••--8-x--=-5-,

5x+28

解得X=型，

39

经检验，尤=独，

39

.•.A8=7x+2=-123,

39

CH=AC-AH=4-

3939

故答案为：28.

39

三、解答题(本题满分0分)

17.计算：(&-1)°+4)-V27-

【解答】«：(V2-l)8+4)3-^27

o

=1+4-3

=7.

is.解方程组俨-2片斗

12x+y=3

【解答】解：俨-2了誓，

12x+y=3②

②X3+①得：7尤=14,

解得：x=2,

将x=3代入②得：＞=-1,

14

则原方程组的解为(x=2.

ly=-6

19.先化简，再求值：(①2上L)+(a-4＞其中。满足a上=-2-

aa+2a

【解答】解：原式=[(a-2)(a+2)_a(a-l)].上

a(a+2)a(a+2)a_4

=/•7

a(a+2)a-4

=a-4.1

a(a+3)a-4

二7

a2+2a'

••ci-5=-2〃,

.,.cr+Ta—2,

原式=L

3

20.如图，某校食堂实行统一配餐，为方便学生取餐，分别记为①、②、③、④，学生可以从这4个窗口中任

意选取一个窗口取餐.

(1)若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在②号窗口取餐的概率是1；

一4一

(2)若小红和小丽一起去食堂用餐时4个窗口都没有人，求小红和小丽在相邻窗口取餐的概率.(请用画

树状图或列表等方法说明理由)

【解答】解：(1)若小明去食堂用餐时4个窗口都没有人，则小明选择在②号窗口取餐的概率是2,

7

故答案为：1；

4

(2)画树状图如下：

开始

①②③④①②③④①②③④①②③④

共有16种等可能的结果，其中小红和小丽在相邻窗口取餐的结果有6种、②①、③②、④③,

15

•••小红和小丽在相邻窗口取餐的概率为且=旦.

167

21.2023年苏州文博会于4月17日至4月28日在苏州国际博览中心举行，我校气象兴趣小组的同学们想估

计一下苏州今年4月份日平均气温情况.他们收集了苏州市近五年来4月份每天的日平均气温，从中随机

抽取了60天的日平均气温

(2)若日平均气温在18℃至21℃的范围内(包括18℃和21℃)为“舒适温度”，请估计苏州今年4月份

日平均气温为“舒适温度”的天数.

【解答】解：⑴这60天的日平均气温的中位数为史段=19.5,

2

众数为19,

故答案为：19.2,19；

(2)12+13+9+6x30=20(天)，

60

二估计苏州今年7月份日平均气温为“舒适温度”的天数大约为20天.

22.如图，点A、B、C、。在一条直线上，EA//FB,AB=CD.求证：EF//AD.

:./A=NFBD,/ACE=/D,

16

\'AB=CD,

：.AB+BC=CD+BC,

即AC=BD,

在△AEC和△BfD中，

,ZA=ZFBD

<AC=BD，

ZACE=ZD

/.AAEC^ABFD（ASA）,

：.EC=FD,

,JEC//FD,

，四边形EFDC为平行四边形，

J.EF//CD,

：.EF//AD.

23.如图，从灯塔C处观测轮船A、8的位置，测得轮船A在灯塔C北偏西a的方向，且AC=2&海里百5

海里，已知cosa=&3几,求A、8两艘轮船之间的距离.（结果保留根号）

【解答】解：过点A、8分别作东西方向的垂线于点E、D,

：.AE//CH//BD,

：.ZCAE=ZACH=a./CBD=/BCH=B，

则四边形尸成归为矩形，

:.EF=BD,FB=ED,

在RtZkAEC中，ZCAE=a,

*.*cosa=^^-,

2

.•.a=45°,

：AC=5我海里，

:.AE=CE=1J^AC=2（海里），

6

在RtZXBCZ）中，/。8。=伊百3海里,

17

CD=sinP*BC=（海里），

10

由勾股定理得，BC2^BD2+CD3,即（V10）2=B£>2+52,

解得，BD=\,

J.AF^AE-EF^3（海里），BF=EC+CD=2+3=4（海里）,

则AB=JAM+BF2=422+5。=V26（海里），

答：A,8两艘轮船之间的距离为亚.

24.如图，以x轴上长为1的线段42为宽作矩形428,矩形长AZXBC交直线y=-x+3于点足Ey支（乂>0）

的图象正好经过点RE.

（1）线段EE长为_/2_；

【解答】解：(1):点RE在直线y=-x+3图象上，

•二设尸(m,-m+3),-(m+6)+3),-m+2)

e=

•EF=y1(m+3-m)+(-m+2+m-4y^•

故答案为：Vs；

(2),・,反比例函数y上(x>0)的图象正好经过点小E,

:・k=m(-m+3)=(m+2)(-m+2),

解得m=1,

18

:・k=m(-m+8)=1X2=4.

25.如图，在△ABC中，点。为3C边上的一个动点，过点。作。b〃A8,交。。于点?连接CE、EF

(1)求证：ZBAC=ZCEF；

(2)若A8=10,AC=6,CE=EF

【解答】(1)证明：:。/〃AB,

：.ZB=ZFCBf

•:/FCB=NDEF,

:・/B=NDEF,

又NA4C+N5=90°,

,「CD是圆。的直径，

：.ZCED=90°,

：.ZDEF+ZCEF=90°,

：.ZBAC=ZCEF；

(2)连接阳，并延长和A3相交于G,

・.•CE=EF,

•・,四边形。皮＞尸为圆内接四边形,

NADG=NECF,

又,；/CDE=/CFE,

：./ADG=NCDE,

•「CD为。。的直径，

AZDFC=90°,

19

■:FC//AB,

：.ZFGA=90°,

：.ZFGA=ZACDf

*：AD=AD,

：.AAGD^AACD(AAS),

：.DG=CD,AC=AG=6f

VZACB=90°,AB=10,

*',BC=VAB2-AC5=8，

在RtZXBOG中，设CD=x,

贝！］BD=BC-0)=8-尤，BG=AB-AG=10-4=4,

"：BG2+DG3^BD2,

45+X2=(8-x)二

.*.x=3,

即CD=3.

26.如图1,抛物线L：y=-r+bx+c经过点A(0,1),对称轴为直线x=1与x轴的交于点B.

(2)点C在抛物线上，若△ABC的内心恰好在x轴上，求点C的坐标；

(3)如图2,将抛物线L向上平移/(左＞0)个单位长度得到抛物线"，抛物线£1与y轴交于点过点

M作y轴的垂线交抛物线于另一点N.P为线段上一点.若与△POB相似，并且符合条件

的点P恰有2个，求上的值.

【解答】解：(1)由题意知：2X(-1)

C=1

20

解得:(晨，

，抛物线L的解析式为：y=-X2+2X+7；

(2)由题意得：x轴平分NABC,即/AB0=NC3。,

AABC的内心恰好在x轴上，

/.AABC的三个内角的角平分线交点在x轴上，

由此可知点C在y轴的左侧，

过点C作无轴于点。，如图所示：

图1

由题意知：OA=\,OB=1,

：.ZABO^ZDBC^45°,

：.DC=DB,

设C(a,-a2+2a+l),则有CO=/-2a-1,BD=6-a,

.9

a~2a~5=1-a,

解得：ai=-4,及=2(不符合题意，舍去)，

J点。(-6,-2)；

(3)如图2,

21

%

二、

rnv

图2

设抛物线Li的解析式为y=-/+2X+3+Z,

：.M(0,1+k),8+左)，0),

设尸(0,力,

当△PMNSZXBO尸时，F1里L,

MN0P

•-•-6-+-k---t-=—1,

2t

:H-(1+Z)什2=8①；

当△PMNs^POB时，里32,

MN0B

•---1-+-k---t-~—t,

24

•*,t](k+8)②；

(I)当方程①有两个相等实数根时，A=(1W2-3=0,

解得:k=W^-i(负值舍去)，

此时方程①有两个相等实数根：tl=t6=V2'

方程②有一个实数根：且，

3

•••k=2V2-l；

(II)当方程①有两个不相等的实数根时，

把②代入①，得：

1(k+l)2q(k+l)5+2=0,

D6

解得：k=6(负值舍去)，

此时，方程①有两个不相等的实数根：”=1、也=2,

方程②有一个实数根：t=l,

22

:・k=6,

综上，当与△P08相似，则k=K&-8或2.

27.已知矩形ABC。中，E是BC的中点，。尸_LAE于点?

(1)如图1,若BE=®求AE-AF的值；

(2)如图2,连接AC交。尸于点G,若柜=2,求cos/FCE的值；

CG3

(3)如图3,延长。尸交于点G,若G点恰好为A8的中点，过A作AK〃歹C交阳于K,设△ADK

的面积为Si,△(?£)尸的面积为S2,则包的值为3.

s2—8一

图1图2图3

【解答】解：(1)是8c的中点，

:.BC=2BE=2版,

•..四边形A8CO是矩形，

:.AD=BC=2NB=90°,

ZAEB=ZDAF,

'：DF1AE,

：.ZAFD=90°=ZB,

：.AABEsLDFA,

.AE=BE

"ADAF"

:.AE・AF=AD・BE=6如义近=6；

(2)延长。E交C2的延长线于X,连接。E,如图2所示:

•••四边形ABC。是矩形，

J.AD//BC,AD=BC