2024届高三《数列与不等式1》补充作业21 试题含答案

2024届高三一轮复习补充作业21

(数列与不等式1)

1.证明：

1114

(1)----------1-----------------F.......H-------------<-

3+13x2+13・2”一+17

、，

1115一

(2)21H2-H——+........H7<

23*3

,11171、〜

⑶3252(2«-1)262(2«-1)

11-31-3-51-3-5.......(272-1)I-------

(5)----1-----------1---------------F+---------------------L，2〃+1-1

22-42-4-62-4-6.....・2〃

2x3'2x322x332x3"

----------------------1-------------------------1-------------------------1-.............-I------------------------

2.数列｛%｝满足q=1,%+]=q^(〃eN*)，证明：an>-.

〃+1'74

3.设数列｛4｝的前"项和为J,已知%=1,且满足2S“2=%(2S「1),(〃“)。

(1)求证：数列j7|是等差数列；

.«>

c17

(2)设b,一,数列也｝的前〃项和为北，求证：北<一。

n12

4.已知正项数列｛4｝的前项和为S“，满足S“=w(a“+')，

2an

(1)求数列的前〃项和S"；

(2)记/=彳+不+《+・一+不，证明：y/n+1-\<-^-<4n

»2»32

5.已知正项数列｛为｝的前〃项和为邑，且为=1,%=回+附二,〃£N*,且〃22.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)设数列<工~+1>前〃项积为《，证明：」2n+\<T<2n+l,neN*

6.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，25,,+an=1(〃eN*),

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若——+-------，5为数列｛%｝前〃项和，证明：〈〉2〃——

1+41-an+i3

7.已知正项数列｛%｝的首项4=1,其前〃项和为S“,且%%+i=2S".数列｛〃｝满足:

(1).求数列｛%｝的通项公式;

(2).记C“=eN*,证明：V2—,<Cj+c0+•••+cn)<2,

Y%+2+2

2

B

8.已知数列｛%｝的首项4=a,an+x=5„+(-l),neN*，且血+§(—1)"｝是等比数列.

(1)求。的值；

(2)求数列｛4｝的通项公式a“；

11113

(3).求证：--1----1---1------1----<-

%。2。2“-12

9.设等差数列｛4｝的前〃项和为邑，且S4=3S2+2,%〃=2%.

(1)求等差数列｛为｝的通项公式?；

2〃+131

(2)令3=,数列｛2｝的前〃项和为北,证明对任意“eN*，都有一v*<一.

("+1)2端164

10.已知数列S"｝的前〃项和为S“，首项。］=1,且对于任意〃eN*都有放"+1=25".

⑴求｛4｝的通项公式；

4〃S

⑵设bn=2片，且数列｛〃｝的前〃项之和为，，求证：［<己.

anan+24

11.已知S“为数列｛4｝的前〃项和，S,,-3〃(“一1)("eN*),且%=1L

(1)求为的值;

(2)求数列｛%｝的前〃项和S“；

(3)设数列｛“｝满足”=—，求证：A+与+仇+•,•+6”<—J3〃+2.

S"3

12.已知数列｛4｝的前〃项和又满足:2Sn=l-an.

(1)求数列｛%｝的通项公式;

(2)设数列次,｝满足------且数列也,｝前〃项和为7；,求证：Tn<~.

1+。〃I--3

13.已知数列满足4=g,an+ian-2an+1+l=O,neN*

(1)求证：数列||是等差数列；

1%TJ

(2)求证：£<色+竺+生+…+2<〃.

a

〃+1a2a3%n+\

14.已知数列｛4〃｝中，％=1,a.=ga〃2+%,〃£N*.

(I)求。2，。3的值；

71

(II)令人"=—，求证：A+&+&「---卜b<1；

2+4

(III)设S“是数列｛4｝的前"项和，求证：2szi+；〉2".

15.已知数列｛4｝的前〃项和为5„(〃eN*),且满足an+Sn=2/2+1.

(1)求证：数列｛。.-2｝是等比数列，并求数列｛4｝的通项公式；

1111

(2)求证:-----1-------1---1-------<一

n

2a1a22a2a32anan+i3

16.已知数列｛4｝的前项和S“,满足S〃=2a〃+(-!)-〃21,

(1)求数列｛aJ的通项公式;

1117

(2)证明：对任意的整数加〉4,都有一+—+…+—<-

«4%a,n8

17.已知数列｛aa｝满足=3,a〃+i=4%+3"T,〃eN*,

(1)求证:数列｛4+3"T｝是等比数列，并求4的通项公式;

。111、14

(2)记S"=一+—+...+—，求证：对于任意的〃eN*，—<S<—;

«1。2a“39

(,Y1'A(iA_____

(3)设〃=log2(a"+3"")+1,若不等式1+丁1+—•1+—N-」2n+3只对

I4人瓦)Ibj15

于任意的〃eN*恒成立，求正整数，"的最大值.

18.已知｛%｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.包｝是公比大于0的等比数列，

。=4也一。=48;⑴求｛%｝和也｝的通项公式;

(2)记g=b2n+J,〃eN*,

bn

eN*)

,15%+〃h.2a也

19.已知数列｛%｝,｛4｝满足%=6,a2=—,a„+1G，4+1一,7

2a„+bn

(1)证明：｛%“｝为常数数列，且氏〉知+［〉3

r1、4n

(2)设数列｛尸｝的前〃项和为S",证明S,„<—।—

un"99

2

2a,J+3a“+加/“*、

20.已知数列｛4｝满足递推关系：a；i=-.........:—(〃eN),又q=11

1+a“+l

(1)当加=1时，求数列｛4〃｝的通项公式;

(2)若数列｛4｝满足不等式an+l>a“恒成立，求m的取值范围：

111,1

(3)当—34加<1时'证明*…+-'1一9

21.设数列｛%｝的前/项和为S”,且S.,=2a〃—2"+i,〃eN*,

(1)求数列｛4｝的通项公式；

log

(2)设"=^2,数列@“｝的前〃项和为Bn,若存在正整数m,使得对任意

rn

n>2且〃eN*都有B3n-Bn>—,求加的最大值；

a1112

(3)设C“=——1,证明^+才+…+丁<h

22.已知各项均为正数的数列｛4｝满足：=%3+43+…+a；(neN*),其中sn为数列

｛4｝的前n项和.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

ZA.113〔31313

(2)(i)求证：----1<(一户+(1),+(一----F(—y<3；

++l%a2a3a2n+i

11115

(ii)求证：—+-]+—1+…+—^-<—

aa

ax。23n4

(.a9

23.数列｛aJ满足％=l，4+i•证明：an>——,n>2

l+a〃72+2

24.已知各项均为正数的数列｛%｝满足%=4外+口5”之工设数列｛4｝的前n

项和为s“，证明：对任意〃eN*,有」V—

n2

25.已知数列｛aj满足%=g,a“+i=a：+%+1,〃eN*,

证明：(1)an+1>3an；

(2)设数列二(前"项的和为邑，证明：5„<3

UJ

T

26.已知数列｛aj满足%>0,^=0,a2=,an<an+l，n=彳丁+

11

--------------1----1-------------------------,neN*,求证：Tn<3

(1+flj)(l+a2)(l+a1)(l+«2)d—(1+4)

27.已知数列｛4｝满足%=1,%+]=学-,〃eN*,证明：an>-

〃+14

28.已知数列｛%｝满足420,%=0,a3+4+1-1=a：,〃eN*,设数列｛4｝的前〃项和为

S",证明：(1)an<an+1

(2)Sn>n-2

29.已知数列｛%｝满足%=；,%+]=；端+：%,〃eN*,证明：<an

30.已知数列｛%｝满足q=4,an+l=不*养，〃eN*，设数列｛%｝前"项的和为Sn,

(1)求证：an>an+i;

(2)2<5„-2«<y

1

31.已知数列｛4｝满足为=1,an+l=,n^N*,

2%+1

(1)证明：数列<；，为单调递减数列；

(2)记5“为数列｛同+「｝前〃项的和，证明：<|

一轮复习补充作业21——数列与不等式1参考答案:

111111

1.证明：(1)----i---<-----T，••----1--------1----

327+13-2"T3+13x2+13x225+l-----3-2^;--+--1--

473x223x2n-1+l283x223x2n-1283^22T-x)283^222H-1J

11147484

<---F-x—〈————

28384847

2

⑵因为_L<,=q=2p_____q,所以£1<I+2仕」q<i+2=w

n2214H2-1(2"-l2H+1J(352n-l2n+l)33

n—

4

1

因为—―—=lp--二|，所以>1+星一」-)>1+早一，)

(3)(2w-l)2(2n-l)(2M+l)2(2”12n+\)M⑵T)232及+1232n-\

LLL…+3」(i+4+…+4%+」)

(4)416364H2422n24«

先运用分式放缩法证明出L3,5••…⑵一1)<1，再结合」_<向/_〃进行裂项,最后就可以;

(5)2-4-6..InJ2〃+1-Jn+2

当〃》2时,--------<7-----厂-----r=7----虫~;~~r=—:-----------.所以当〃》2时,

(3"-川3"-3)(3"-1"1_3)3^-13"-1

『32x322x3",3门1W1

T-1--------y+...H--------7VH------z+---—；—+...+—：------------1=2-------<2

262—1)23―1)2(232-lJl32-l33-lJ(3〃T—13"-lJ3fl-l

3

且7；=—<2.故对“eN*,7；<2得证

2

a2

n+in11n-\n+\

-2-2

2.证明：fln/7+l1+Xnnn

n2

所以，当〃之3时，

11324n-2nn1

a>一•一•一•一•一.….---------=------->一

“22233n-\n-\4(w-l)4

又因为%=1>—,^2=1>~7

424

所以(对一切neN+成立

3.(1)证明：(1)•.•当“22时，2S；=4(2S0-1),：4=S”-S”_I，...2S,^=(S„-S„_,)(2S„-1),

11C/C、11,

整理得：5“一5“7=-25“51，.•.7-1=2(〃22),又当“=1时，-=-=l,

dn-l‘1a\

・••数列［是首项为1,公差为2的等差数列.

15117

(2)证明：由(1)知：不=1+2(〃—1)=2〃—1,则a=__当〃=1时，=l<—

3〃n〃(2〃一1)TbSl12;

1

1717]

当〃=2时，=b]+b2=1T———<—当心3时,b=

2126612fnn(2n-l)

1111

T„=h+济+3+…+b<14---1—-----1------F•+

123n622334

71(1H171173」.17

=7+33-=77—丁<77，练上：(<77

6212nJ122n1212

•■.S.|S"-S„,.—^―；,等式两边同乘2(s“-%),得

4.解：由题意得：；

3“3"1'

11\

2S：-2%SI=S：+S；_「2SJS“T+1,整理得S；-$3=1,由品=不1+一,得S；=l,即｛印｝是首项

[1a\J

为1,公差为1的等差数列，.•.s,：=〃，s,=G；

112222

Sn4n2>J~n'y/n+y/n+l2册Vn+J--l

,11112222

n

S|s2s3sn1+V2V2+V3V3+V4G+山币

=2^-l+V3-V2+V4-^+---+VM+T-V«)=2(VM+i-l),z.7；,>2(VH+T-1),

T11112222

T-1----1-------F…H<—|--------------1--------------------p..._|----------------------

"S]s2S3sn1V2+1V3+V2

=2^1+A/2-1+A/3-A/2d---1-yjn-VM-1)=2>/n,/.Tn<2>/n,综上可证：^Jn+l-1<^-<\fn.

5.解：（1）当“22时，见=s「s“T，•.•“”=£+67，.••s“一S“T=E+67,即

（疯+£7）（6'-师）=回+匹，•••数列｛。“｝各项为正，，疯+67>o,即回一67=i，

则数列｛向｝为£=苑=1首项，公差d=l的等差数列，，疯=〃，即S“=/,.•.当在2时，

an=Sn-Sn_x=2n-\,经检验几=1成立，，%=2〃-1.

112n2〃+l

(2)*/一+l=-----<-,--数--列前〃项积为北

an2n-l2n-l

2n+l.I12nj2〃+l

x--=---2-n--+l,•___F]=______>-

2n-lan2n-lJ2〃—I'

・乜=+4三1先+11、引=W一..Wy<2〃+l.

6.

2

令得

(l)2Sn+Qn=l(nGN*),n=1,

11111

ai=又•・•-----<—

3'3n+13n'3n+1-13n+i'

又两式相减，可得

2S“_i+an_j=1(n>2),

2Qn+Qn-Qn-i=0,

得旦=1ecr/11、/11\]

・•・>2n

.•./=(*;

1,11、

(II)证明：+印一诃)

11_3n

111

=2nH.......-——>2n——

3n+i33

3"+111

H-------------=2---------------1-------------=2

3n+1-13"+13n+1-1

Tn>2n——.

-(---------------)o

v3n+13n+1-1

7.解：(1)由anan+l=2S”得=2sls>2),两式相减得为+i-=2(〃22),由4=1,得〃2=2,数列

的偶数项和奇数项分别是公差为2的等差数列,当〃为奇数时，册=打,当〃为偶数时，册=几。

综上所述%=n.

b

(2)由4+%+,-^n=,by+b2++bn_x=^—^~,n>2,b]=：,

an+\〃+in2

两式相减得"六‘n"验证成立，故"—.

则T1222(J〃+1-y/n)

Jn(n+1)(〃+2)'那么G=[nQi+1)(〃+2+yJn+2)[n(n+D(G+Jn+1)Jn(n+1)

=2(H，故-F<2(1一爰+%一专++=2(1-<2,

7n

222(J几+2—A/M+1)

同理与=

+1)(〃+2)(赤+y[n)J(〃+1)(M+2)(J〃+1++2)+1)(〃+2)

故c*2+.+G>2(《W+5W+看-焉)=2(、一焉)=邑高，得证.

8.解:(1)当心2时,a”%—(―I)..•.%+「%=S“—S"T+2(—1)"

2।2

a=M+n又

•・n+i2%+2(-1)〃,/.an+i+—(―1)=2a+—(―l)],X%=a,a2—Sx—1—a—\

2222

*.*a2+§x(-21)=2(。]——),a—1+——2(a——)]

(2)由(1)知｛氏+:(2-!)〃｝是2以2：1为首项，2为公比的等比数列

-i

212〃T+2(—1)〃

•.・%+§(—D〃=§・2〃一二..凡

3

2n22n12n221

(3)当〃22时，，+工=——+——3(2-+2-)3(2-+2"-)

,明出,2*2+2227-23+22/22〃-14

将〃由2至！J〃赋值并累加得---1------1-----1-----F...H——--F<18[(—)2+

%%a5“6a2n-l%〃4

3

3")]313

=18-^———=-(iL)<3

।124"-'2

1-4

9.解：（1）设等差数列｛4｝的首项为囚，公差为4,则由§4=3邑+2,。2“=24得

4。]+6d=3(2q+d)+2a.-2*

,解得<，所以册=2几，几eN

ax+(2n-l)d=2[q+(n-l)d]d=2

(2)因为%=2“7eN*,所以2=2〃：1,二——1

"(n+l)24n24n2(n+1)2

贝L+J——L+J——L+...+J-----1—]=1[1------?—].因为〃21,"eN*,所以a«T<▲.

"4L2222323242n2(n+I)2'4(n+1)216"4

10.解：（I）解法一：,由〃a〃+i=2S〃①可得当〃>2时，5—=2SR②,

由①-②可得,

一("I)%=2(S〃一S"_1)=2%,所以nan+l=(n+l)an，

%+1_〃+1,所以幺=』%_4。5_5aY!

即当7此2时,n——，将上面各式两边分别相乘

〃33'%4

anna22an-Xn-1

Xpaan〃口口"/T7

倚，——，即4〃——C・的Z(〃23),又。Z2=2S]=2%=2,所以=n（H>3）,此.结果也满足％,。2,

22

故=〃对任意nGN+都成立。

4〃4〃+411

(II)依题意可得a=，"+1,

/(〃+2)2i(〃+2)2

anan+2n

」」J___1_工」11="*5+11)25+12)

7

一1一铲十落L铲一二+'+落5+2）2,244

11.解：(1)由S2=q+%=2a,—3x2(2—1)和4=11可得q=5

(2)解法1：当〃22时，由q=-S72T得a八=一3〃(〃一1)—(〃-I)%——3(〃一1)(〃一2)

n(n-l)an-(n-V)an_x=6(n-1)nan-an_x-6(n>2,nGN*),数列｛%｝是首项4=5，公差为6

n12

的等差数列，；・%=q+6(〃—1)=6〃—1,**-Sn=^—2n+2n

b<

(3)证明：n-6-d3n+2-2d3n+2yj3n-l+^+2

二l_2日一乃

(V3n+2+V3n-l)(V3n+2-V3n-1)3

4

：.b,+伪+…+0<2[(6-0)+(血一石)+…+(j3〃+2—J3"一1)]

3

12.解：(I)当〃=1时，2al=1—q,所以当2时，a〃=S"-Sn_[,即24=-a“+a“_],

3%=%i，2=工，所以数列｛4｝是首项为1,公比也为1的等比数列，所以

""Ta.3*1133

71—1

11

3〃3〃+i_111

(II)证明：b"="------工

-+1由J,T—

1+41-4+1'一i-3"+13"-13"+13"3,1+1-1

1-]------1--------------

QWon+1

所以“=77FE(二尸所以(=4+4++20+&_小+

因为-f<0,所以----—T<—,即(,〈一•

3用33'"i33

11a

13.证明：(1)V-^----—=O,neN\；.—-------=-------gn±i=-»i_

a-1+=b

4+i-1n4+iT4,-1an+1-1an+l-1an+1-1

：.-----------13分；.数列｛」一｝是以」一=-2为首项，以1为公差的等差数列.5分

a-1

4+1Tn4-14T

证法2：由已知—%------L=O”N*即(4LI*一——=0,1+—-------—=0,

a-1a-a-1

a”+lTnn+l14-14+1-1n

即」-------L=—1（常数）3.•.数歹!]｛—1—｝是以」一=-2为首项，以1为公差的等差数列.5分

%+1-1an-1a“T%T

117

(2)由(1)得-----=-2+(〃—1)x(—1)=+,所以=----,­■方面，

1ZZI1

2

qz(z+2)z+2z.qa,an„.不

—!-=———之=不——；—<1,+^-++^-<M，另一万面，

@+1(i+1)i+27+1a?%4+i

...&=3J”=1__

22=+

q+i(z+1)i+2i+l«+i)2/(z+1)iz+1

=n-l-\-----

n+1n+1

rra%a„―—

故不等式----…—2-<”成乂

"+1a2q4+i

5

1913If3?321

14.解：(I)由题4=1,。〃+1=5。〃+。八，得〃2=]+1=5

。3=5日尸5=可

I.,_%(%+2),._L1__]1_1___1_

（II）证明：显然4>0,\-a=

n+i%+2aa

2""2«„+ia„4+2nn+l

11I11)(1

即=，；・瓦+%+…+年=----+—

°n"〃+1IJ^^2“3JVanan+\J^n+l

al321

(III)证明：•.•3=5。0+1>1,a>0,...｛a,｝是递增数列，由于g=7，«3=—>2,

ann228

2aa

~~=；4+1〉2(〃23),.•.当上上3时，ak>2al>~k-2>…>k-i>21a3=4

anZO

5,=1+y-+。，>1+3+2+*2+*22+...+汽2〃.

〃"2〃28888

1219o

・・.2S+->—X2n-2>4x2n-2=2n

44

,3

15.解：(1);an+Sn=2〃+l,令〃=1,得2q=3,ax=—.*.*an+Sn=2〃+l,

*1

的+S"2(…+1,(心2,i)两式相减'得2-=2,整理-1+1

2=g(4_i—2),(w>2).••数列｛%—2｝是首项为囚―2=—g,公比为g的等比数列

%-2=-(J"，，4=2-£•

,八..112"+111

1)•-------=-----------------=---------------=---------------

2"aa.心2K+1-12,,+2-1(2"+1-1)(2"+2-1)2,,+1-12"+2-1

+2----—

+2++(23)+(34)++(+1n+2

2a,a22a2a32''anan+l-2-1-2-l2-1-2-1'"2"-1-2-?

—-1--------1--------1

32"+2-13'

16.(1)由q=S[=2q—1得：4=1当〃》2且〃wN*时，有2=S”一S1=2(2一a,i)+2x(—1)”

/、j

.•.a“=2%+2x(—l)"T,则为+；=―2冷p+；，，数列丹+；是以一;为首项，_2

\/\\/),

为公比的等比数列，，7^1+52=一3](一2)'1,...a“=#2"-2+(—1)”[,经验证q也满足上式

6

••”=翡""+(-1尸

(2)证明：由通项公式得%=2,当且〃为奇数时,

n-ln-2

有工1332+232〃一1+2〃一2

+----二—_xv_x

―222n_3+2n-1-2,!"2-l2

册Q〃+i2

所以，当相＞4且加为偶数时,

111(1111)13111

1<+1+7

W—+一+…+一=一+一+-+---++——22i22+…H---2--2--2r

\am-lQm)

131137

=—+—X—X1-<一+一=

224288

11111117

当相>4且加为奇数时，一+—++—<—+—+--+—+——<—

%%am%%am金+18

.1117

所以对任意整数相＞4时，都有一+—+・・・+——＜—

。4。5am8

17.(1)由〃i=3,诙+户4斯+3〃-i,nGN*,可得凡+1+3〃=4凡+4・3”T=4(。〃+3"一)，

所以｛%+3〃T｝是以4为首项，4为公比的等比数列，所以q+3〃T=4〃，则%=4〃-3〃T,〃EN*;

n-\

111_1_

(2)当论2时，—-------=---------------<-----

-1一3

an4"-3"341+41—3向3-4"-'

所以s“」+L+—<-i+-+f-Y++W=-i-f-Y<-,又工>o,所以

q%«„3[4⑷⑷J9[UJJ9人4为3

14

综上,3~Sn<9；

nn1012n

(3)bn=log2(4-3-+3-)+1=log22+1=2n+1,则1+J=