山东省部分2023-2024学年高三年级下册2月大联考数学试题（含答案解析）

山东省部分名校2023-2024学年高三下学期2月大联考数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/={-1,0,1,e2},8={x|lnx<2},则/八(43)=()

2

A.{-1,0,1}B.{0,l,e}C.{1}D.{-1,0,e2}

cf2+i.

2.已知z=----7+1，则亍的虚部为（）

2-i

99.99.

A.——B.——iC.D.—i

5555

3.若卜的展开式中常数项的系数是15,则。=()

A.2B.1C.±1D.±2

4.已知在中，AB=2,AC=l,cos^=—,则8C=()

6

A.1B.叵C.—

23

22

5.椭圆G：x2+匕=l与双曲线C2：\-x2=l（a>0）的离心率分别为e1,e2，若eg=l,

3a

则双曲线G的渐近线方程为（）

B.y=±^-x

A.尸土丁C.y=±y[2xD.y=±V3x

-3

6.数列｛4｝的前〃项和S〃满足S〃=Q+2”,设甲：数列｛%｝为等比数列；乙：a+b=0f

则甲是乙的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

7.圆G：/+>2+8x—2〉+9=0和圆。2：,+V+6x—4y+11=0的公切线方程是()

A.y=-x+\B.尸—x+l或y=x+5

C.y=-x+5D.>=x+l或y=2x+5

2

8.^tan0=3tanof,sin(0+6Z)=—,贝！Jcos2(6-a)=()

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.已知一组样本数据％（i=1,2,3「、30）满足0＜占4/4退白-4退。，下列说法正确的

是（）

A.样本数据的第80百分位数为物

130

B.样本数据的方差$2=前］＞；-16,则这组样本数据的总和等于120

3Uj=i

C.若样本平均数恰是该组数据中的一个数，去掉这个数，则样本数据的方差不变

D.若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数

大于中位数

10.函数/（X）满足：对任意实数都有〃x+y）=〃X）+〃y）-2,且当x＞0时，

〃x）＞2,则（）

A./（O）=2B.关于（0,2）对称

C./（-2024）+/（2024）=4D./（尤）为减函数

II.如图，在棱长为1的正方体48co-4片GA中，M为平面/BCD所在平面内一动

点，贝!1（）

A.若M在线段A8上，则RM+MC的最小值为百二3

B.过M点在平面内一定可以作无数条直线与2M垂直

C.若平面a，则平面0截正方体的截面的形状可能是正六边形

D.若GM与所成的角为：，则点M的轨迹为双曲线

4

三、填空题

TT

12.已知函数〃x）=sin4x+acos4x的图象关于直线工=、对称，则实数

13.已知函数/(的=21■—x-121nx与>=3x+a(aeR)相切，贝|a=

试卷第2页，共4页

22

14.抛物线一=2加(〃>0)与椭圆土+匕=1(%>0)有相同的焦点，片,与分别是椭圆的

m4

上、下焦点，尸是椭圆上的任一点，/是△尸片鸟的内心，尸/交y轴于跖且百=2而，

点(尤N*)是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与X轴的交点为

(x”+“0),若X2=8,则工2024=•

四、解答题

15.某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民.联欢会临近结束时,

物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随

机变量X表示，且X〜N(45,225).

(1)请你估计现场年龄不低于60岁的人数(四舍五入取整数)；

(2)奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%,摸到二等奖的概

率为60%,每个人摸奖相互独立，设恰好有〃(OW〃W2O)个人摸到一等奖的概率为P("),

求当尸(")取得最大值时〃的值.

附：若X〜NJ,"),则=0.6827,P{|X-〃=0.9545.

16.如图，在圆锥SO中，若轴截面”8是正三角形，C为底面圆周上一点，下为线段04

上一点，。(不与S重合)为母线上一点，过。作垂直底面于E,连接

OE,EF,DF,CF,CD,且NCOF=ZEFO.

(1)求证：平面SCO//平面DE厂；

(2)若△EFO为正三角形，且尸为20的中点，求平面CDF与平面。跖夹角的余弦值.

1

17.已知/(%)=Inx+gx7-ax(aGR).

⑴若/■(无)△尤2在［1,+s)恒成立，求。的范围；

22x

(2)若〃x)有两个极值点s,K求/⑺+/(s)的取值范围.

18.已知圆。］：/+/+20》-14=0,与x轴不重合的直线/过点C?(行,0),且与圆。

试卷第3页，共4页

交于C、D两点，过点c2作CG的平行线交线段QD于点M.

⑴判断+|MC2|与圆。的半径的大小关系,求点M的轨迹E的方程；

⑵已知点尸(0,1),。(0,-1),直线加过点尸(0,T),与曲线£交于两点N、R(点、N、

R位于直线尸。异侧)，求四边形尸RQV的面积的取值范围.

&a

19.在无穷数列｛%｝中，令若V"eN*,｛n｝则称｛氏｝对前“项之

积是封闭的.

(1)试判断：任意一个无穷等差数列｛0“｝对前〃项之积是否是封闭的？

(2)设｛。“｝是无穷等比数列，其首项％=2,公比为/若｛4｝对前"项之积是封闭的，

求出0的两个值；

(3)证明：对任意的无穷等比数列｛%｝,总存在两个无穷数列｛勾｝和｛的｝,使得

«„=”eN*),其中｛6“｝和｛c„｝对前n项之积都是封闭的.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.D

【分析】根据对数的单调性化简集合，即可由集合的交并补运算求解.

【详解】由题可得8={M0<x<e2},<5={尤|xVO或xWe?}

因此/c做5)={-l,0,e2}.

故选：D.

2.A

【分析】先化简复数，再求出共钝复数，最后求出虚部.

2+z.(2+i)(2+i)39.399

【详解】由2=-----+1=+i=—+—i所以彳=（一（i,即虚部为一;

2-z(2-i)(2+i)55

故选：A.

3.C

【分析】利用二项展开式的通项化简整理再赋值即可得到关于。的方程，解出即可.

【详解】二项展开式通项为

MA:=20tW^C^-a）2-15,.-.a=±l.

故选：C.

4.D

【分析】根据余弦定理运算求解.

【详解1由余弦定理得5C2=22+l2-2x2xlx|=1,

63

所以史.

3

故选：D.

5.C

【分析】根据给定条件，借助离心率的求法求出。，再求出渐近线方程即得.

【详解】依题意，d=24=宅方嫁=1,解得”也，

3a

所以双曲线C2的渐近线方程为y=±V2x.

故选：C

6.A

答案第1页，共14页

\S,,n=1

【分析】先根据%=1c、。得至时，。“=2"一6,ax=a+2b,可以推出充分性

[Sn-Sn_x,n>2

成立，再举例得到必要性不成立.

n

【详解】当〃22时，an=Sn-Sn_,=a+2b-(a+T-'b)=2"-'b,

当〃=1时，ax=Sx=a+2bf

因为数列｛%｝为等比数列，所以F=

BP—=——,解得b=Q+26且6w0,即。+6=0且6w0.

2ba+2b

因此充分性成立；

若a+6=0,当。=0且6=0时，4=0,甲不成立，故必要性不成立.

故选:A.

7.A

【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆

心连线与公切线的关系求解出公切线的方程.

【详解】解：G：(x+4)2+(y-l)2=8,圆心G(-4,1),半径“2近，

22

C2:(x+3)+(y-2)=2,圆心。2(-3,2),半径々=也，

因为|CG|=拒=6-弓，

所以两圆相内切，公共切线只有一条，

因为圆心连线与切线相互垂直，%2=1,

所以切线斜率为-1,

x2+y2+8x-2y+9=0x=-2

由方程组解得

x?+「+6x-4y+11=0y=3

故圆G与圆c2的切点坐标为(-2,3),

故公切线方程为>一3=-(x+2),即y=-x+l.

故选：A.

8.C

【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角差的正弦公式、二倍角的余弦公式进行求解

答案第2页，共14页

即可.

■、江左力.,八csin。3sin。。.人

［详角半J由tanH=3tana=>------=---------=>sin8cosa=3smacosk),

cos。cosa

2211

由sin(6+a)=—=sin0cosa+sinacos0=—=>sinacos。=—,sin6cosa=—

3362

127

/.sin(0-6z)=sin^coscr-sincrcos^=孑，cos2(6—a)=l-2sin(0-a)=-

故选：C

9.BD

【分析】根据题意，结合百分位数、数据方差，以及平均数与方差的性质，逐项判定，即可

求解.

【详解】对于A中，由30x80%=24,可得第80百分位数为生二淮，所以A错误；

2

1301303030

对于B中，由52=m2>；一16=正£（再一可，则W>2480=£x；-30/,

所以了=4,故这组样本数据的总和等于30i=120，所以B正确；

对于C中，去掉等平均数的数据，〃变为〃-1,平方和不变，分母变小，

所以方差变大，所以C错误；

对于D中，数据的频率分布直方图为单峰不对称，向右边“拖尾”，大致如图所示，

由于“右拖”时最高峰偏左，中位数靠近高峰处，平均数靠近中点处，此时平均数大于中位数,

同理，向“左拖”时最高峰偏右，那么平均数小于中位数，所以D正确.

【分析】利用赋值法，结合函数单调性的定义、对称性的性质逐一判断即可.

【详解1由对于任意实数x,y,f(x+y)=f(x)+f(y)-2,

令x=y=0,则〃0)=/(0)+/(0)-2,即"0)=2,故A正确；

令歹=-X,则/(0)=/(x)+/(-x)-2*即〃x)+/(r)=4,故B正确；

令x=2024,y=-2024,贝|/(0)=/(2024)+/(-2024)-2,

答案第3页，共14页

gp/(2024)+/(-2024)=4,故C正确；

对于任意yeR,x>0,贝！］设2=苫+了>了，当x>0时，/(x)>2,

则f⑵-f(y)=/(x)-2>0,即f(z)>f(y),

所以/(x)单调递增，故D错误.

故选：ABC

11.ACD

【分析】对A,将平面43G2展开到与/BCD同一平面，由两点间线段最短得解；对B,

当M点在N处时，过M点只能作一条直线可判断；对C,当河与8重合时,

平面4G。，分别取用£，44,44/。,。。,£。的中点£,F,G,H,P,Q,可得到

正六边形符合题意；对D,建立空间直角坐标系，设出点可坐标，根据条件求出点W坐标

满足的方程，依此判断.

【详解】选项A：将平面N8G2展开到与/BCD同一平面如图所示，连接。。交43于M

此时QM+MC为最小值，计算可得£)m+MC="+2立，故A正确;

选项B：当M点在。处时，因为。⑷，平面/BCD,所以过M点可作无数条直线与2M垂

直，

当M点在/处时，过M点只能作一条直线AB1D\M，故B不正确；

选项C：当〃与3重合时，2M，平面4a0,分别取耳。”4耳，44/。,。。,。|。的中点£,

F,G,H,P,Q,

则六边形是正六边形，且此正六边形EFG//P。所在平面与平面平行，

所以当平面a为平面时满足题意，故C正确；

答案第4页，共14页

选项D：以。为原点，分别以Z)4DC,Z)A为X轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标系，则

。(0,0,0),G(0,1,1),A(l,0,0),B(l,1,0),M(x,y,0)QM=(x,y-1,1),AB=(0,1,0),

71QA/-ZB|

cos—=11f

4s]x2+(y-V)2+1

整理得3-1)2--=1为双曲线方程，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】思路点睛：A选项，沿48将平面/5G。展开到与/BCD同一平面，转化为平面

上问题求解；B选项，举反例，当M点在/处时，过M点只能作一条直线；C

选项，当M与3重合时，易证口河，平面分别取4G，4综44/D，OC，GC的中点

E,F,G,H,P,Q,则六边形是正六边形，即为所求的；D选项，以点。为坐

标原点建立空间直角坐标系，设出点M坐标，依据条件求出点M的轨迹方程，由此判断.

12.1

【分析】由于函数仆)的图象关于直线尤=三对称，由特殊值"0)=/住］,即可求值.

16<07

JT

【详解】由于函数/(x)=sin4x+acos4尤的图象关于直线x=3对称，

答案第5页，共14页

且n二1-=2，得：f(O)=f71

2~16

「兀、.兀兀1

其中/(O)=sin0+acos0=a—=sm—+acos—=l,

⑶22

得：a=l.

故答案为：I.

13.-6-l2ln6

【分析】根据导数的几何意义进行求解即可.

【详解】显然该函数的定义域为全体正实数，

设切点为贝!]/（尤）=主-1一・，

由题知/'（工0）=3,解得％=6,%0=-2<0舍去,

所以切点为(6,12-121n6),

代入直线方程得12-121n6=3x6+anQ=-6-121n6.

故答案为：-6-121n6.

2019

14.I

Pl\PEPF

【分析】作出辅助线，由正弦定理得到小焉「=k\=\端\A=2,根据椭圆定义得到2-

从而求出焦点坐标为（。,±1）,得到抛物线方程,根据导数几何意义得到f=外在点（%,%）的

切线为：xnx^2y+2yn,求出入=/，结合％=8,得到卜“｝是首项16,公比1■的等比数

列，利用等比数列的通项公式求出答案.

【详解】/=2处（勿>0）焦点在V轴上，故椭圆工+匕=1（/>0）的焦点在〉轴上，

m4

故4〉m,

/是的内心，连接//,则巴/平分/4用尸，

在△尸修中,由正弦定理得\PI\$7

①,

sin/吵

在皿由正弦定理得1M/sm/M耳②,

答案第6页，共14页

其中+/和=兀，故sinNMZF；=sin/次，

XsinZPF2I=sinZMF2I,

PlpFPF

式子①与②相除得面=后,故优=2

.■』尸周+|尸局=2闺时+2|£叫,

由椭圆定义可知|尸耳|+|尸闻=2〃=4,|耳,+叵M|=2c,

2a=4c,:.c=1,即焦点坐标为（O,±l）,

所以抛物线方程为x?=4%

/=gx，故X?=4y在处的切线方程为=gx.（x-x,J,

即y-以=；x/-gx：,又”=；x；,故y=；x“x-y”，

所以Y=4y在点（%,然）的切线为：xnx=2y+2yn,

0X”“一Y

令吁0丫_2%_4_x“，又/=学=8,即西=16,

y-v,x----2

n+xX"X"2

所以｛尤“｝是首项16,公比；的等比数列，

故答案为:

【点睛】当已知切点坐标为（尤。,％）时，根据导函数的几何意义可得到切线的斜率，再利用

答案第7页，共14页

了一/(%)=/'(%)自一%)求出切线方程；

当不知道切点坐标时，要设出切点坐标，结合切点既在函数图象上，又在切线方程上，列出

等式，进行求解.

15.(1)159

(2)尸(〃)取得最大值时n的值为8

【分析】(1)利用正态分布的对称性可求尸(XN60),故可估算年龄不低于60岁的人数.

\P(n)>P(n+l),、

(2)利用不等式组";可求P〃取得最大值时〃的值.

【详解】⑴因为X〜N(45,225),所以。=15,

则尸(X>60)=尸(X2〃+㈤=1-。皆7=0]5865,

所以现场年龄不低于60岁的人数大约为1000x0.15865。159(人).

(2)依题意可得,尸(〃)=GoO.4"xO.62°f,

、人!尸(〃)2尸(〃+1)

^[P(n)>P(n-l)'

H2

fC200.4x0.6°-"2€：祟0.4"+'0.6回"

'[c，oO.4"xO.62°fZC^0.4"Tx0.62if'

20-n0.4

-----<1,

n+10.6

所以《

21-n0.4

、n0.6'

374?

所以半因〃为整数，所以〃=8,

所以当尸(〃)取得最大值时”的值为8.

16.(1)证明见解析

s、3用

)13

【分析】(1)根据面面平行的判定方法，证明面面平行.

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求二面角的余弦.

【详解】(1)因为NCOF=/EFO,所以好〃C。，

答案第8页，共14页

因为平面SC。，COu平面SCO,

所以EF〃平面SC。，

因为DE垂直底面于E,SO垂直底面于O,所以Z>E〃SO,

同理£)£〃平面SCO,

因为DEcEF=E,且环//平面SC。，〃平面SCO,所以平面SCO//平面DEF.

(2)不妨设圆锥的底面半径为2,

因为轴截面“8是正三角形，所以SO=2G，

如图，设平面SDEO与底面圆周交于G,

因为△EFO为正三角形，且尸为49的中点,

所以。尸=在=£。=1,所以£为OG的中点，

所以DE为ASOG的中位线，所以。£=」SO=6,

2

如图，在底面圆周上取一点77,使得OHLO2,以直线08,02,05为x,y,z轴建立空间

坐标系,

E^-,--,0,F(0,-l,0),

一(拒3

设所的中点为M,则平面户的法向量为既=<W=—,--,0

所以无=(6,0,0),丽=(孚,3,6

设平面CD尸的一个法向量为&=(x,y,z),

答案第9页，共14页

3

3V13

阮•瓦22

所以平面与平面夹角的余弦值为

CDFDEF同恒13

1、

17.(l)[-,+oo)

(2)(一端一3)

【分析】(1)根据题意转化为。Ng+工恒成立，4^(x)=—+-^,求得

X2xX2x

h\x)=,再令《X)=x-x历x-1,禾Ij用导数求得?(x)<*1)=0,得至I」〃(x)在口,+s)

X

单调递减，即可求解；

(2)根据题意，转化为sj是/。)=0的两不等正根，即sj是工2一办+1=0的两不等正根,

结合二次函数的性质，求得。>2,进而求得/⑺+/(s)的取值范围.

【详解】(1)解：由函数/@)=1门+彳/_6，因为“X)4土-人在口产)上恒成立，

222x

即。2也+士在U,+s)恒成立，

X2x

令〃(%)=也+上，可得〃(x)=x-xl；xT,

令«x)=x-xlnx-l,可得，'(x)=-lnx(0,

所以t(x)在［l,+a>)单调递减,所以?(x)<f(l)=0,

所以“(x)40恒成立，所以访@)在口,+◎单调递减，所以/心)2=%1)=3，

所以awg,所以实数”的取值范围为［；,+◎.

(2)解：因为/(x)有两个极值点sj,

可得SJ是广(x)=^+x-a=三二丝虫=0的两不等正根，

XX

答案第10页，共14页

△=/—4〉。

即s/是/—办+1=o的两不等正根，贝［］满足＜s+/=a＞0,解得。＞2,

st=1

贝1J/(/)+,/'('?)=In?+ln5~2,^~—a('+s)=ln(sf)+5O+S)'—ts—a(/+s)

=ln(s/)+—(Z+s)——ts—a(t+s)=——_1＜——x2"_1=_3,

所以/(0+〃s)的取值范围为(-8,-3).

【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围;

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分

离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就

要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

18.{X}\MC\+\MC^=\CxD\,］+9=1("0)

(2)早＜S＜20,且SH|

【分析】(1)根据平面几何可得|MCJ+|MC2|=|CQ|,故点〃的轨迹为椭圆，根据椭圆定义

即可求出轨迹E的方程；

(2)设直线RV：RN-y=kx-\,火(国,必)川(马,%),直线与曲线联立方程组，根据上的

范围得逑＜卜-刃＜2亚且卜-司片：，再根据四边形网”的面积为$=|再-即，代入

5J

即可求解.

【详解】(1)圆C］：(X+A/I)2+J?=16,.•(］(-/()),

//qc,.-.zccc=

­.•C2M{2ZMC2D,

­.•|C1C|=|C1Z)|,.-.ZC,CC2=ZQDC,

:.NC\DC=NMC?D,:.\DM\=\C2M\,

\MC^\+\MD\=MG|+附21=「D卜4＞'G卜2逝，

答案第11页，共14页

22

.•.点河的轨迹是以GC为焦点的椭圆，其方程为?+三=1（尸0）.

（2）设直线mv：_y=履一1,由题意知0＜无＜也且左wg,

■■S=^\PQ\\xl-x2\=\xi-x2\,

y=kx-\

2/22=

由Vx=(1+242)》2_4左一0,A=32左2+8>0,

----1-----=1

[42

4k-2

则再+/=1+2严'*“-1+2严

32r+8-816(1+2.2)

所以卜_引2=（再+%2『一4七%2二

(l+2/y(1+2/)2(1+2/y

-816

（1+2/）/币

1

令

1+2左2

.,Jx]-/I=8(-「+2%)=-8(，-Ip+8,

2

当f=1时,U-x2|=8；

「=8x2二

当E=|%1-X2|

2525

当，=|■时，］再一%『=号

9

6A/2,8

|<2^/2?且卜-引。],

<|再-x2

.•.还＜S＜2及，且54

53

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:

（1）设直线方程，设交点坐标为（国,%）,（%2，%）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x