六年级数学教学案例与反思

“分数除以整数”教学案例与反思

教学片段简介如下：(案例)

探索分数除以整数的计算方法：

1.情境：出示一根不到1米的绳子，用米尺量一下，让学生观

察大约是多少，然后对折。

师：同学们，你们能根据老师刚才的操作提一个数学问题吗？

教师板书题目：把6/7米长的绳子平均分成2份，每份是多少？

师：那么，该怎样列式呢？学生口答，教师板书：6/7+2

师：这一题可以怎样计算呢？好，下面先请同学们独立思考，然

后四人小组合作探索计算方法。

要求：时间10分钟，最起码用两种以上方法来计算，想出3种

以上方法的小组长请写到黑板上来。

2.四人小组活动。几分钟后，有小组长上黑板写了好多算式，

大致有以下几种：

①因为3/7义2=6/7所以6/74-2=3/7,②6/74-2=6/7X1/2,③6/7：

2=(64-2)/7

④6/7—3/7=3/7,⑤6/7X2=3/7,⑥6/7+2=(6/7X7)+(2X7)=6+

14=3/7

3.师：同学们真会动脑筋，想出了这么多种方法，有的方法很有

创造性，那么你们能证明你们的结果正确吗？这些算式的列式理由又

是什么呢？

全班交流:

生1:老师结果是“3/7”是正确的，同学们看我量给你们看（学生

操作着）。

生2:我们组认为根据除法的意义第①种做法是正确的。

生3:我们组认为第⑥种做法是正确的它是根据商不变规律得出

的。

生4:我们组认为第⑤种做法不正确，而第④种做法是可以理解

的，不过很难想到。

这时下面好多学生举手，要求回答。

师：你们看黑板上写得最多的是第②③两种方法，谁能说说理

由？

生5:"6/7+2”就是把6/7米平均分成2份每一份是多少，也就是

求6/7米的1/2是多少，所以6/7+2=6/7xl/2o

生6:例题就是把6个1/7平均分成2份，每一份有3个1/7,

所以6/7+2=（6+2）/7

师：同学们讲得非常好，请同学计算以下的习题。

4.4/7+26/7+38/9+43/8+2做一做，并说说计算时

用的是上面的哪一种方法？（同学们都用了上面的第③种方法，并认

为这种方法比较简便）

这时有一位学生举手提出问题：中间一道3/8+2的分子3不能被

除数2整除，不能用上面的第③种方法计算。

请同学们评议。

5.师：3/8：2可以怎样计算呢？同桌讨论用哪一种方法计算合

适。师板书：3/8+2=3/8X1/2=3/16,然后比较两种方法的优缺点。

（反思）

对分数除以整数的计算方法的教学，不再是重结果，轻过程而是从组

教材，激发学生参与学习，有以下几个想法：

1.计算关注的不应仅仅是计算。

教学时围绕例题6/7+2重点展开探索，提供自主学习的机会，给学生

充分思考的空间和时间，允许并鼓励他们有不同算法，尊重他们的想

法，哪怕是不合理的，甚至是错误的，让他们在相互交流、碰撞、讨

论中，进一步明确算理。重点探究后，并不急于得出计算法则，而是

继续让学生做一做，仍允许他们选用自己认为合适的方法。并通过

“3/8+2”一题，分子不能被除数2整除，让学生在不断的尝试、探索

中感悟到：这时应采用“分数除以整数（零除外），等于分数乘以这个

整数的倒数”。虽然整节课都没有刻意追求得出所谓形式上的计算法

则，但学生所说的不就是算理算法的核心吗？这样的计算教学，学生获

得的将不仅仅是计算法则、计算方法。

2.提倡算法的多样化，促进学生个性发展。

算法多样化是《标准》中的一个重要思想，是指尊重学生的独立思考,

鼓励学生探索不同的方法，并不是让学生掌握多种方法。对同一个计

算问题，常常会出现不同的计算方法，这正是学生具有不同个性的体

现。教师鼓励学生用已有的经验思维、动手、操作、寻求解决问题的途

径，课堂气氛宽松活跃。

一、案例的背景与主题

《数学课程标准》对小学数学教材编写的一个重要建议是“应力求从

学生熟悉的生活情境与童话世界出发，选择学生身边的、感兴趣的事

物，提出有关的数学问题，以激发学生的兴趣与动机，使学生初步感

受数学与日常生活的密切联系。”

二、案例描述：

（一）在情境中发现问题

1.师：同学们，在第29届奥运会上，谁给你留下深刻的印象？他（她）

为什么让你如此难忘？

生：拳击48公斤级金牌：邹市明

生：中国选手陈燮霞以抓举95公斤、挺举117公斤，总成绩212公

斤夺得金牌。这也是中国代表团在北京奥运会上获得的首枚金牌。同

时，陈燮霞还打破奥运会女子48公斤级挺举纪录。

生：志愿者，她们为奥运会默默无闻地工作着。

2.师：志愿者是奥运会的形象大使，所以“志愿者的微笑是北京最好

的名片”。

（课件出示：志愿者图片）我们每个人都可以尽自己的微薄之力表达

我们的拳拳奥运心，你知道怎样做才是一名称职的奥运小志愿者吗？

3.师：我们的好朋友淘气也为自己拍下这样一张志愿者的微笑照，我

们一同看看吧！（课件出示：淘气照片情境图）

4.观察哪几张照片与图A比较像？

生：图A、图B、图D比较像。

5.导入：为什么有的像？有的不像？我们一起来研究。

［设计意图：创设学生熟悉的第29届奥运会的生活情境，提出数学问

题，让学生明确学习内容，并产生探索新知欲望，体验生活与数学的

联系。］

（二）在探索中解决问题

活动一：

1.我们把照片放在方格上来看一看，这些长方形的长与宽之间有什么

关系？（出示方格图）

2.小组合作完成表一

长方形

长宽

长是宽的几倍

宽是长的几分之几

反思

在课标的引领下，我在上校级研讨课时，确定了《生活中的比》一课

作为研讨的内容，教学中采用“自主探究、合作学习”的学习方式，借

助“图形放大缩小速度与生活中配甘藤汁”等情境，设计各种问题止学

生在活动中思考，讨论、合作探究，使学生在丰富的学习背景中逐步

体会比的意义和价值，培养学生应用所学知识解决实际问题的能力，

体验生活中有数学，生活中数学的价值。

教学目的1、根据除法中的商不变性质，利用知识的迁移规律，

使学生理解比的基本性质。

2、通过学生的自主探讨，掌握化简比的方法并会化简比.

3、初步渗透事物是普遍联系和互相转化的辩证唯物主义观

点.教学重点：理解并掌握比的基本性质。

教学难点：应用比的基本性质把比化成最简单的整数比。

教学过程

一、复习引入1、复习比和分数、除法之间的关系，孕伏新知比

分数除法比分数除法5:7()()()7/8()()()84-1010：

15()()2、提问：比和除法，比和分数之间有那些联系？3、出示三

个分数：3/4、6/8、9/12.问：(1)这三个分数相等吗？为什么？

(2)可写成比的形式分别是什么？(3)这三个比相等吗？为什么？

(3：4=6：8=9：12(4)这三个比是怎样变化的？有什么规律？

(5)回忆：除法有什么性质？分数有什么性质？他们的内容是什么？

引导学生根据商不变的性质和分数的基本性质，猜想：比有什么性质？

小组交流。

二、推导比的性质指名回答小组交流的结果.引导学生用语言

表述：比的前项和后项同时乘上或者同时除以同一个数(0除外)，

比值不变.

三、学习化简比：

1、说明：利用商不变的规律可以进行除法的简算；根据分数的

基本性质，可以进行分数的约分、通分。同样，应用比的基本性质,

可以把比化成最简单的整数比。

2、讨论.你怎样理解“最简单的整数比”这个概念？学生充分

讨论后，指名回答，形成共识：最简单的整数比必须是一个比，它

的前项和后项必须是整数，而且前后项应该是互质数.

3、请个别学生举一个最简单的整数比。

4、学习例1：把下面各比化成最简单的整数比。（强调化成最

简单的整数比一互质）（1）问：怎样把一个整数化成最简单的整

数比？14:2154:18（2）引导学生总结整数比的化简方法：用比

的前后项分别除以它们的最大公约数，使比的前后项是互质数。

5、学习例2：化简下列各比：（1）、问：这两题比的前项、

后项是什么样的数？怎么把分数比化成最简单的整数比呢？

1/6:2/93/5:5/8（2）、引导学生小结分数比的化简方法：比的

前项后项分别乘以它们分母的最小公倍数，就化简成最简整数比。

6、学习例3：化简下列各比（1）这两题比的前项、后项是什

么样的数？怎么把小数比化成最简单的整数比呢？1.25:22.7:18

（2）由学生小结小数比的化简方法：先将小数化成整数，再化简成

最简单的整数比。师生共同总结化简比的方法：先要利用比的基本性

质，把不是整数比的化成整数比，再把比的前项后项同时除以它们的

最大公约数，就得到最简单的整数比。

7、练习：化简比：60：245/8：7/245/4：0.75

（三、）练习：1、填空（1）、4：5的前项扩大2倍，要

使比值不变，比的后项应该。(2)、如果3：2的后项变成15,

要使比值不变，比的前项应该为。(3)、如果7：8的前项增加

14,要使比值不变，比的后项应该。2、判断：(1)、1/2：1/4化

简后是2o------------------------()(2)、比的前项和后

项同时乘以或除以相同的数，比值不变。---()(3)、两个数

的比值是1/3,这两个数同时扩大5倍，它们的比值是1/3。-----

()(4)、把“1小时:45分钟”化简后是“1:45”o

---------------------()3、鞋厂生产的皮鞋，十月份生产的双

数与九月份生产的双数的比是5：4o十月份生产了2000双，九

月份生产了多少双？4、提高题我国国旗法规定，国旗的长与宽的

比是3：2o现在有一张长是27厘米，宽是12厘米的长方形纸，

你能按规定制作一面最大的国旗吗？

(四)、小结：比的基本性质是什么？它是根据什么的来的？

利用比的基本性质可以干什么？化简比的方法是什么？

(五)、作业：练习十七的10、11、教学反思：比的基本性

质这一课，我充分利用学生的已有知识，从把握新旧知识的相互联系开

始，从分析它们的相似之处入手，通过让学生联想、猜测、观察、类

比、对比、类推、验证等方法探讨“比的基本性质”这一规

律。由于在推导比的基本性质时要用到比与除法、分数的联系，除法的

商不变性质，分数的基本性质等知识，因此教学新课时对这些知识做

了一些复习，引导学生回忆并运用这两条性质，为下一步的猜想和类

推做好了知识上的准备。事实也证明，成功的铺垫有利于新课的

开展。学生通过比与除法、分数的联系，通过类比，很快地类推出比

的基本性质。整节课无处不体现了学生是学习的主人，无时不渗透着

学生主动探索的过程，不论是学生对比的基本性质的语言描述，还是

对化简比的方法的总结，都留下了学生成功的脚印。同时采用讲练结

合、说议感悟、对比总结、质疑探索、概括归纳的方法，掌握知识、应

用知识、深化知识，形成清晰的知识体系，培养学生的创新能力和探索

精神。学生学的轻松，教师教的愉快！在学生大胆猜想得出比的

基本性质是比的前项和后项同时扩大或缩小相同的倍数0除外），

比值不变时，我给予学生充分的肯定，但没有在学生的验证时让学生

比较同时乘以或除以相同的数（0除外）和同时扩大或缩小相同的倍

数（0除外）的微小区别造成学生一定的概念上的混淆。注重练习题

的设计，使学生积极主动的学习。练习题的设计应强调数学教学中培

养学生学习数学的能力。在教学中我能抓住学生的心理特

点，设计一些学生容易进入陷阱的题目，在这些小陷阱中，让学

生愉快地掌握知识，突破重点和难点。例如：当学生得出“比的基本

性质”这一规律时，我马上出示：尝试：（1）、4：5的前项扩大

2倍，要使比值不变，比的后项应该（）（2）、如果3：2的后

项变成15,要使比值不变，比的前项应该为（）这两题，如果学生

会完成了，这个基本性质也理解了。再如：我出示的四道例题，把

学生在化简过程中将会出现的错误全部呈现了出来，学生第一印象

的掌握，有助于今后的练习。俗话说：“兴趣是最好的老师。”小学生

对数学的迷恋往往是从兴趣开始的，由兴趣到探索，由探索到成功,

在成功的愉快中产生新的兴趣，推动数学学习不断取得成功。但是

数学的抽象性、严密性和应用的广泛性又常使学生难以理解，甚至

望而却步。因此本节课教师从激发学生的学习兴趣入手，引导学生

用一系列的猜想来提高兴趣，增强数学的趣味性，从而引发学生探

求新知的欲望。有了兴趣做支撑，后面的新课学习就积极主动。总

之，本课我着力体现“以学生发展为本”的教学理念，充分发挥学生

的主体作用，使学生成为学习的主人，力求使学生在创新精神、实

践能力及情感态度方面得到均衡发展，但课中也存在遗憾，在以后教

学中力求让学生在知识点和概念上表述更准确。

比的应用教学案例与反思

教学目标：

1、使学生理解按比例分配的意义。

2、掌握按比例分配应用题的特征及解题方法。

3、培养学生应用所学知识解决实际问题的能力。

二、教学重点：掌握按比例分配应用题的特征及解题方法。

三、教学难点：按比例分配应用题的实际应用。

四、教学过程：

一、复习有关知识，为学习新知作准备。我班有男生38人，女生

36人。你能根据这两条信息，用比的知识和分数的知识来说一句话吗？

如：男生人数和女生人数的比是38：36男生人数是全班人数的38/74

女生人数和男生人数的比是36:38女生人数是全班人数的36/74等等。

二、创设情境，提出课题。

（一）师：大家看，这是刘老师对我们家那栋楼2楼居民在

9月份用电情况的调查，统计如下：二楼的二户居民合用一个电表，

九月份应付电费36元。调查情况如下：住户张家李家分电表数30

30（千瓦时）应付电费（）（）师：现在请你们帮助算一

算，每户应分摊多少钱比较合理？谁愿意说说你的想法？师：其实，

在日常生活中，像这样平均分的事例还有很多，我们也经常遇到。

（二）师：再看刘老师对三楼住户的统计。三楼的二户居民合

用一个电表，九月份应付电费42元。调查情况如下：住户胡家王

家分电表数4525（千瓦时）应付电费（）（）师：现在再

请你帮帮忙，看一看每户居民应怎样分摊电费比较合理？同桌交流

一下？生汇报。（应按用电量的多少来分。）

（三）揭示按比例分配的意义。

三、探究新知。（一）学习例1o（1）这道题是一道分配问

题的应用题，想一想：分什么？按什么分？求的是什么？（2）看到

“3：2分别送给小红和小明两位同学”这句话，你想到了哪些倍数关

系？（3）探究解答方法。（4）交流。（可能会出现不同的解法）a、

用分数解答。3+2=520X3/5=12（本）20X2/5=8（本）b、归一

的方法解答。20+（3+2）=4（本）4X3=12（本）4X2=8（本）

（5）讨论：怎样检验解答结果是否正确。a、把小明和小红各得书的本

数相加，看是不是等于书的总数。b、把小明和小红各得

书的本数写成比的形式，看化简后是不是等于3：2。（二）练习：做一

做第一题。学生独立完成后，师问：这道题分配的是什么？按什么进行

分配？师生评议。（三）回到准备题。师：我们首先计算二楼用户

每家应付多少钱时是平均分，因为它们用电量相同，按1：1分配的,

所以它是按比例分配的应用题的一种特殊情况，现在

你们会计算三楼用户居民应付多少电费了吗？独立完成此题。三、

课堂总结。（1）今天这节课，你学到了什么知识？这种应用题有什

么特点？解答这种应用题的步骤是什么？（2）师：一般用分数的

方法，先求出总份数，再看各部分量占总数量的几分之几，接着可

以求出各部分量。当然可用归一的方法，先求出一份是多少，再求出

几份是多少。

四、延伸与拓展。一个长方形周长是84分米，长与宽的比是

5：2,这个长方形的面积是多少？

五、作业。第54页第1、2、6题。

“比的应用”教学反思：

“比的应用”一课是按比例分配应用题在实际生活中的应用。长期以

来，应用题教学在教材和课堂教学等方面，其应用性未能引起足够的重视,

使得教学流于简单的解题训练，这种现状必须改变。我在设计此课时，力

求改变以往的教学模式和方法，体现应用性。本节课有如下特点：一、

密切联系生活实际，创设学习情境。授课开始，我紧密联系学生的生活

实际，提出一个问题：我班男生38人，女生36人，你能根据这两条信

息，用比的知识和分数的知识说一句话吗？充分尊重学生的思维方式和

自主选择权，培养学生独立的个性和见解，

接着，我又创设了两个教学情境，要同学们帮居民算一算每户应付多少

钱比较合理。学生从情境一中很快能发现，由于两家用电量相同，因此

电费应平均分摊；学生从情境二中，想到了电费不能平均分摊，因为用

电量不同，谁用电量多，谁就应多出钱；有的用到了以前所学的归一法，

先求出一度电要多少钱，再分别求出每家应付多少钱。这样，从学生

熟悉的事情出发，激发了学生主动参与的积极性，让学生感受到数学就

在身边，数学知识来源于生活，又服务于生活，从

而对数学产生亲切感，提高了学习兴趣，培养了他们解决生活问题的能

力。二、创造性地使用了教材。根据本节课内容，我看了书中的例题，

例题中涉及的内容，我觉得脱离了学生的生活实际。因此,

我把例1改编成把20本故事书按3:2分给两位同学，求两位同学各分

得多少本？使学生真正感受到生活中到处有数学，并且培养了学生联

系生活实际、运用数学知识解决问题的意识和能力，充分

体现了数学的应用价值，从而激励他们更好地学好数学。三、注重算法

多样，发展了学生的求异思维。鼓励学生用多种方法解决问题，培养学

生思维的灵活性和多样性，发展了学生求异思维。本节课不足之处：

1）鼓励算法多样，不要忘记教给学生一般的优化的计算方法。在一个

班级体中，几十个学生的数学思维水平是参差不齐的。为了使大多数学

生通过学习达到义务教育所要求的标准，使大多数

学生掌握一般的较优的计算方法，由此，教师在鼓励用多种方法解题

时，应有侧重。2）这堂课上，我觉得给学生自主探索的时间和空间太

少，虽然老师在学法上对学生进行了有效的指导，但是要真正

让学生学得主动，学得快乐，还需要教师从观念上真正改变过来，少牵,

多引。3）本节课在改变传统的应用题教学方法上进行了大胆尝试，并在

情境和例题的选择与使用等方面取得了一定的突破，但还有许多的问题

需要进一步研究。如：“如何处理应用题的实践性、应用性，”在引

导探索的过程中，如何在落实知识技能目标的基础上拓展发展性领域的

目标等。

《百分数的认识》教学案例与反思

《百分数的认识》是一节概念课，概念课的教学是小学数学教

学中的重要部分。由于它的抽象性和小学生思维的形象性是一对矛盾，

使它在教学中成为一个焦点和难点。因此，如何引导学生学习数学概

念，将枯燥的数学概念生活化、生动化、情景化。使学生乐于接受、易

于接受，这便成为我们要探讨的课题。通过这段时间的思考和这节课

的体会，我认为主要体现在以下三个方面。

一、从学生感兴趣的事情入手，调动学生学习的兴趣。

组织学生讨论三位老师参加定点投篮比赛，要把最厉害的选手推

荐出去。在比一比谁投中的次数占投篮总次数最高的过程中引出了百分

数。此时，学生已在隐约中感悟到百分数是表示一个数是另一个数的百

分之几的数，初步感悟了百分数的含义。

二、密切联系生活，理解百分数的意义。

百分数是日常生产和生活中使用频率很高的知识，学生虽未正式

认识百分数，但对百分数却并非一无所知。所以课堂中搜集到生活中

常见的百分数，选取典型的例子，让学生说一说这个百分数所表示的

意思。有酒瓶上的百分数，考试分数统计表中的百分数，有生活中饮

料销售量的百分数。而这里百分数的搜集，老师注意到搜集比100%小

的，也有比100%大的百分数，这样就比较全面。也使学生体会到数学

就在我们身边，数学生活化的原理，又从生活中提炼出数学知识，得到

百分数的概念。

三、解决问题内化百分数的概念。

初步形成的概念，巩固程度较差，容易混淆概念。这说明一个事

实，概念的初步形成，并不等于牢固的掌握和真正的理解了，这是需

要适时的内化。

这时我通过多种形式的训练使学生对概念的掌握深入一层，先安排

了一个观察正方形中的阴影部分的面积和空白部分面积，说出由面积联

想到的分数和百分数，再安排几道判断题，通过让学生辨一辩，说一说

的环节，在辨析的过程中巩固了百分数的概念。

接着让学生选择合适的百分数填空，应用百分数表示本节课自己对

自己在课中的表现的满意度。使得学生感到学习概念的最终目的是为了

应用概念解决生活中的问题，学习才有意义，学习的兴趣才浓厚。

反思

概念的教学时，不存在一种适合所有概念的教学的固定模式或方

法。因此，老师应在课程中大胆实践，不断创新，丰富概念教学的方

法和策略。

《百分数的应用》教学案例与反思

【案例背景分析】

本节课的教学内实际还是求一个数是另一个数的百分之几的问

题，只是有一个条件题目没有直接给出，通过这类应用题的学习“［以

加深学生对百分数意义的理解，提高用百分数解决实际问题的能力，

教材通过创设一个“水结冰”的情境，让学生在活动中小组合作，交流、

探索，培养学生的创新意识和探索能力，同时自主归纳、完善自己的数学

知识架构。

【主题】让学生自主建构数学知识体系。

在六年级上学期，学生已经学习了分数应用题，百分数的意义和

百分数的简单应用，能较熟练地分析和解决分数乘除法应用题，能正

确地判断题里的单位“1”的量，所以对于解答本节课的内容，学生是

有充分的知识和能力上的储备了。所以这节课我不是照本宣科地上，而

是让学生在知识的横向对比和纵向对比中，理解''增加百分之几”或

“减少百分之几”的意义，加深对百分数意义的理解，建构自己的数学

知识体系。

【细节】

教学内容：

知识与能力目标：

加深理解百分数的意义，理解“增加百分之几”和“减少百分之几”

的意义，进一步拓宽“比较”的内涵，提高学生能够运用百分数的数学知

识解决实际问题的能力。

过程与方法目标:

深入理解“比较”的内涵，通过计算实际问题：增加百分之几和减

少百分之几，理解“增加百分之几”和“减少百分之几”的意义，培养学

生运用数学知识解决实际问题的能力。

情感与态度目标：

在具体情境中，紧密联系生活实际，使学生感受数学与生活实

际的联系，让学生体会到生活中有数学，数学中有生活。

教学重点和难点：

理解“增加百分之几”和“减少百分之几X的意义并，解决实际问题。

教具和学具准备：

小黑板，卡纸。

教学过程：

一、课刖谈话

师：让学生自我介绍，并说出自己的身高是多少厘米？

二、创设情境，导入新课

1.师：刚才同学们都作了自我介绍，问：甲同学高吗？乙同学矮吗?

（板书：高（矮））能这样说吗？（指出：高矮不能单独存在）那说明

高矮是要在“比较”中得出来的。那比较是几种事物进行比较？（板书：

甲、乙）介绍六年级12岁的同学，男生一般平均身高149厘米，女生

一般平均身高是151厘米。你比平均身高高多少厘米？矮多少厘米？那

除了比较高矮外，还能比较什么？归纳出：多（少）

2.师：我们再看比较的结果，它是具体量吗？要比较出结果是

具体量，应怎么比较？（大数一小数=相差数）

3.师：那比较的结果还有没有别的表示形式呢？我们先来做几

道练习：

①甲数是5,乙数是4,甲数是乙数的百分之几？

②甲数是5,乙数是4,乙数是甲数的百分之几？

4.师；从上面两题可以知道，它们也表示两种量进行比较，比

较的结果是不是具体量？（板书：表示两数量的倍数关系）直接根据

百分数的意义用除法来解决问题。

5.师：我们现在对比较的知识是不是有更多的了解了？还想不

想更进一步学习有关比较的知识？板书课题：百分数的应用（一）

三、创设情境，探索新知

（一）创设问题情境，在提问中回顾与反思。

1.师：同学们，在炎热的天气里人们常常用冰块来消暑降温。

你们制作过冰块吗？水结成冰之后体积发生了什么变化？（水结成

冰，体积会增加）

2.出示：盒子中有45厘米的水，结成冰后，冰的体枳约为

50厘米。

3.师：你能根据这两个条件提出有关“比较”的数学问题吗？

生：冰的体积比水多多少厘米？水的体积是冰的体积的几分之

几？水的体积是冰的体积的百分之几？冰的体积是水的体积的几分

之几？冰的体积是水的体积的百分之几？也有个别会提出：冰的体积

比原来水的体积约增加百分之几？

4.师：哪些问题是我们学过的？你能不能很快就列出算式，请

和你的同桌说一说。

5.在思考中提升：50-45=5（厘米）,45+50=,45+50=90%,

50+45=,50+45=111%这几种列式的异同。具体量不变，倍数关

系是根据标准变化的。

（设计意图：利用情境所提供的数学信息，复习旧知的同时，引

发学生思考，让学生明白在解决百分数应用题时，不仅要弄清“谁和

谁比"，要弄清“以谁为标准。”）

（二）在解决“增加百分之几”问题中理解数学关系，寻求解决问

题的方法。

1.师：今天我们重点解决“冰的体积比原来水的体积约增加百分

之几”这个问题，一起读题，你觉得哪句话最难理解？

2.学生用自己的方式理解“增加百分之几”的意思。

3.四人小组交流自己的理解。

4.全班汇报，由口头理解的不清晰，引出线段草图。

5.对比书中的线段图，引导学生思考“增加了……”这个省略号背

后所隐含的意义，从而得出两种不同的理解。

（设计意图：尊重学生学习的方式，让学生选择自己喜欢的方式

来理解“增加百分之几”的意思，并根据学生思维和学习的特点，突显

画线段草图的必要性。利用线段图帮助学生理解“增加百分之几”的意

思，使学生抽象的思维直观形象化，利于孩子分析数量，明确解题思

路。）

6.列式计算，并说出算式所表示的意义。

先算增加了多少立方厘米。也可以先算冰的体积是原

来水的体积的百分之几

（50-45）4-4550+45%11%

=5945111%-

100%=11%

仁11%

答：冰的体积比原来水的体积约增加了11%。

7.小结两种解题思路和反馈。（注意：约等号的使用）

（设计意图：让学生列出算式后结合线段图说出算式所表达的意

思，目的是数形结合，帮助学生建立线段图与算式之间的联系，从而

使学生更明晰解题的思路。）

（三）在辨析中解决“减少百分之几”的问题，提高学生解决实际

问题的能力。

1.师：增加百分之几是不是也可以说减少了百分之几？

2.抛出问题，激化矛盾。

师：认为不用算的同学举手，为什么不用算？说说你的理由。认

为要算的同学也来说说你的理由。

3.列式计算，比一比谁的动作最快。

师：小结：通过解决刚才的两个问题，对于要求一个数比另一个

数多（或少）百分之几，你有什么要说的吗？或者是有什么要提醒大

家注意的地方？

（设计意图：通过问题矛盾的激化，从而让学生进一步明确解决

百分数应用题的关键是要弄清楚以“谁为标准”，谁是这个标准的百分

之几。)

四、多层练习，巩固深化。

1.试_试

师：同学们，在我们的生活中百分数的应用相当广泛，我们来做

课本32页中的试一试。

电饭煲原价200元，现价160元，电饭煲的价格降低了百分之

几？(百分号前保留一位小数)

2.选一选：光明村今年每百户拥有彩电121通顺，比去年增加

66台，今年比去年增长了百分之几？

(1)(121-66)4-121(2)664-121(3)664-(121

—66)

3.课本第33页第5题。

(设计意图：让学生在提问中进一步巩固“增加百分之几”和“减少

百分之几”的问题的解题思路，并体会到百分数在生活中的应用价

值。)

五、课堂总结：请学生谈谈学习了本节课的收获是什么？

【反思】

解决问题首先需要学生具有数学的眼光，能识别存在于日常生

活、自然现象与其他学科中的数量关系，并把它们提炼出来，运用所

学的知识对其进行分析，然后综合应用所学的知识与技能加以解决，

同时在解决问题的过程中，把新旧知识进行梳理，形成自己的知识体

系。而本节课主要从三个对比中让学生建构自己的数学知识脉络。

一、比较的方式和结果有两种，一是比较出具体的多少，另一种

是比较出两种数量的倍数关系。

二、理解“增加百分之几”和“减少百分之几”的异同。

三、两种不同的解决问题的思路：第一种，(50-45)+45,这是

先求出冰的体积比水的体积增加的数量，再求出增加的部分是水的体积

的百分之几；第二种，50945-111%,111%-100%=11%,先求出

冰的体积是水的体积的百分之几，再求增加的部分是水的体积的百分之

几。

另外，本节课有一个亮点是让学生自己提出有关比较的数学问

题，学生提的问题学生自己去找答案，让学生自主发挥，充分调动了

学生的主观能动性。

因此，在教学中紧密联系实际，创设让学生提出问题解决问题的

情境，数学教学要体现教与学的交融，重视教法与学法的互化，组织学

生进行一些创造性的数学活动，培养学生的创新能力，注重让学生通

过小组合作交流和讨论来发现问题，解决问题。

才解决问题的策略》教学案例及反思

《解决问题的策略》中的替换策略，包括倍数关系的等量替换和

相差关系的等量替换。教学的重点是让学生充分理解替换策略的意

义：把两种量替换成一种量，从而顺利的解决问题。难点是学生不易

理解相差关系的等量替换，以及在解决问题时，不知道该用什么方法

来替换。基于以上理解，我认为在教学中应建立模型，运用模型帮助

学生解决这类问题。

一、小学数学建模思想的形成

1.创设情境，感知数学建模思想。

在教学中，先出示例题，让学生分析题中的数量关系，得出：6个

小杯和1个大杯一共是720毫升；一个大杯的容量相当于3个小杯的容

量。在此基础上，出示例题图，引导学生用画图初步感知：解决这个问

题就需要根据大杯容量与小杯容量之间的关系，进行一定的等量替换。

接着，我向学生提出这样一个问题：如果这样的大杯和小杯有

很多个，那么能用这种画图方法解决吗？答案是肯定的。我们只要抓

住把两种量替换成一种量就可以了。

在这个教学过程中，学生通过寻找数量关系以及观察主题图，得出：解

决这个问题需要把两种杯子换成一种杯子（即替换）。然后引导学生根据

主题图画出示意图，即把直观图形抽象成几何图形，在抽象概括的基

础上，学生逐步理解替换的策略。

学生把直观图形抽象成几何图形的过程，其实是把生活中的原型上升为

数学模式的过程。在这一过程中，学生初步感知了数学中的建模思想。

最后提出的问题更让学生进一步思考：是不是解决替换这类问题，

都可以采用这种画图的模式来解决。

2.自主探究，体验数学建模思想。

有了对问题的思考，学生就会主动探究：该画怎样的图形模式才

能解决这类问题。这就要求学生抓住替换策略的本质：两种量替换成

一种量。在此基础上，引导学生建立数学模型。

学生对问题进行了思考和探究，其实就是对解决这类问题作了一个模

型假设。模型假设能帮助学生梳理思路，提取原有的知识并形成较为

完整的知识体系。通过教师的引导，学生针对问题中的条件和问题

之间的本质关系，作出合理、简化的假设。学生通过假设的数学模型，

能够清楚地抓住事物的本质关系，从而进一步解决问题。

在这个过程中，学生由最初抽象的几何图形，到现在的数学表达式，恰

恰体验了数学模型的形成过程。在这个过程中，不仅培养了学生的建

模意识，更为学生探究另一种数学模型增添不少兴趣。

学生在以上问题的解决过程中，运用建立数学模型的方法，逐步

理解并掌握了倍数关系的等量替换。接下来，我把题目中的条件换了一

下：1个大杯的容量比小杯多160毫升。引导学生思考，能不能用刚才

建立的数学模型来解决？通过交流，学生明白了解决这个问题同样要把

两种量替换成一种量，只不过替换过程中，总量发生了变化。

基于以上分析，引导学生建立了数学模型。

学生根据建立的数学模型，比较容易理解相差关系的等量替换。

接下来，再让学生比较(1)和(2)两种数学模型的联系与区别。通过比

较，学生都能清楚地认识到：倍数关系的等量替换和相差关系的等量

替换都是把两种量变成一种量，不同的是倍数关系的等量替换，其总

量不变；而相差关系的等量替换，其总量发生了变化。再进一步引导

学生发现，总量的变化也有规律可言。比如说，1个大杯换1个小杯，

容量肯定减少，那么总量就会减少；而1个小杯换1个大杯，容量肯

定增加，那么总量也会增加。这样，学生不仅能充分理解替换策略的意义,

还能明确的判断出该用什么方法来解决。

在这个教学过程中，学生能根据倍数关系等量替换的数学模型，

建立相差关系等量替换的数学模型。不仅让学生很好地掌握了重点，更

突破了教学中的难点，那么，解决这类替换问题也就迎刃而解了。在模

型(2)建立过程中，学生充分体验了数学模型的形成过程。

二、小学数学建模思想的应用

学生已经形成了解决替换问题的数学模型，接下来，就要用这

个方法去解决实际问题。我出示了以下两道题目：

(1)2个同样的大盒和5个同样的小盒装满球，正好是100个。每个

大盒比每个小盒多装8个，每个小盒和每个大盒各装多少个？

(2)小红买了3枝铅笔和1枝钢笔共10.8元，一枝钢笔的单价是一枝

铅笔的6倍，求钢笔和铅笔的单价。

接下来，我让同学们讨论怎样去解决这类问题。经过短暂的讨论，学

生们都已经有了正确的答案。他们能够正确解决这两道题目，说明他

们对倍数关系的等量替换和相差关系的等量替换能正确区分开来。这

都归功于他们建立了这两种替换的数学模型。

从上述两种模型上能清楚地看到，倍数关系的等量替换其总量没有发

生变化，而相差关系的等量替换其总量已发生变化，而且总量的变化

是有规律的。通过这一点，学生很快就能判断出第1题是相差关系的等

量替换，第二题则是倍数关系的等量替换。接下来就可以用相应的数

学模型去解决这两道题目。

在运用模型解决这类题目时，学生可以发现：题目中装得多的、

价格贵的，我们可以把他们看作“大”的，而题目中装得少的、价格便

宜的，我们可以把他们看作“小”的，这样，同学们运用这两个数学模

型就更加得心应手了。

反思

小学数学建模思想的形成过程是一个综合性的过程，是数学能力

和其他各种能力协同发展的过程。在这一过程中，学生易于形成实事

求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。因此，我们在教学过程

中，应注重学生建模思想的形成与运用，注重为学生的终身学习、可

持续发展奠定基础。

《圆柱和圆锥的认识2案例分析与反思

教学片断:

师：刚才我们用观察、画图、测量、交流等方法认识了圆柱的特征，

它有上下两个完全相同的圆，周围有一个曲面，上下两地面之间的距

离是它的高。你能用这些方法研究出圆锥的特征吗？学生拿出学具圆

锥，小组自主探索，教师巡视指导。

师：你能和圆柱比较着说说圆锥有哪些特征吗？

生：和圆柱比，圆锥有一个面是圆形。

师：圆锥和圆柱一样底面都是圆。（板书）

生：上面有一个尖顶。

师：圆柱上面是尖顶吗，你们能解释对圆锥这个尖顶的理解吗？

生：我觉得上面的圆缩小、缩小，直到一个尖尖的点就是圆锥的

尖顶了

师：大家想象一下……（稍作等待）。的确可以想象成圆柱的上

底面不断收缩直到成为一个点。这个尖顶叫做圆锥的顶点。（板书）

师：还有什么特征？

生：侧面是一个三角形

师（出示教具）：仔细观察，再摸一摸，是吗？

生：不是，看的时候像三角形，实际上也是一个曲面。

师：说得好，远远观察时像一个三角形，用手摸一下是弯曲的面。

板书：曲面。

师：圆柱有高，圆锥有高吗？

生：有！（齐声）

师：谁能解释什么是圆锥的高？可以借助圆锥或直观图来说明。

生：（边指边说）这里（顶点）到下面的线段。师:

是这样的线段吗？（在直观图中任意画一条）生：

不是，要垂直。

师：对，高一定是一条垂直的线段，也叫距离。刚好是顶点到哪

里的距离？谁来指一指，说一说

生：圆锥顶点到圆心的距离

师：这就是圆锥的高。

反思：

圆锥的认识和圆柱的认识在研究内容上有其相似之处。认识圆柱后

我及时地引导学生进行回顾，通过引言：“刚才我们用观察、画图、测

量、交流等方法认识了圆柱的特征，它有上下两个完全相同的圆，周围

有一个曲面，上下两地面之间的距离是它的高。你能用这些方法研究

出圆锥的特征吗？"，引导学生用刚才的学法自主探索圆锥的特征，通

过交流学生明白了对于圆锥是从面（个数和特征）、直观图、高等几个

方面进行研究的。特别是通过学法的比较、交流，实现自主迁移，自主

建构圆锥和圆柱的特征。学习的积极性得到有效地激发，为后续关于圆

柱和圆锥的学习打下坚实的基础。

教学的过程也充分体现了教师是组织者、引导者与合作者。在学

生自主探索和交流的过程中，教师没有过多的横加干预，而是因势利

导，顺其自然，“引”着学生自主发现圆锥的特征。特别是在认识高的

过程中，通过思辨引导学生把高的含义说准确，这也意味着学生对圆锥

的高的真正理解。

圆柱体表面枳》教学案例与反思

教学案例：

师:看下面三张硬纸皮（实物演示①），并让学生分别计算它们的

面积.（单位：厘米）图（略）

师:再看演示②（展示三张硬纸皮组合成圆柱体茶叶桶的过程）

师:谁能根据这个演示很快地说出这个圆柱体茶叶桶侧面的面积

和两个底面的面积之和是多少？

生：在立体图形和平面图形的互相转化的过程中，面积总和不变.

师：（展示茶叶桶）现在要让你们计算这样一个茶叶桶的侧面的

面积和两个底面的面积之和，该怎么办？

生:把茶叶桶展开成一个长方形铁皮和两张圆形铁皮，通过测量圆形

铁皮的直径以及长方形铁皮的长和宽，再分别计算它们的面积，然后求出

三张铁皮的面积之和.

师:可茶叶桶不能展开，茶叶桶的侧面是个曲面，怎么计算它的面积

呢？（小组可以讨论）

生1:我用一根铁丝绕茶叶桶的底面一周，量出细铁丝的长度，就能知

道围成侧面的长方形的长，再量茶叶桶的高，就知道围成侧面的长方形的

宽，这样就能计算侧面的面积.（请学生观看生1演示实验）

生2:用一张纸围住茶叶桶的侧面（刚好围满）然后展开成一个长

方形、长方形纸张的面积就是茶叶桶侧面的面积.（请学生观看生2

做演示实验）

生3:因为沿着高把圆柱的侧面展开可以得到一个长方形，这个长方

形的长等于圆柱底面周长，宽等于圆柱的高，所以只要量出茶叶桶底面直径

和高，计算底面周长，用底面周长乘高就能得知茶叶桶的侧面积.

（学生测量茶叶桶的底面直径是10cm,高18cm）

师:同学们发现的办法可真多！（板书：s«=ch）

师：（学生计算了茶叶桶侧面和两个底面的面积之和后）请同学

们结合手中的学具看书学习，圆柱的侧面积加上两个底面的面积叫做

圆柱的什么？

生（齐答）：表面积！（师板书S表=$侧+2$底）

师:请同学们根据上面的计算方法计算自己带来的圆柱体茶叶桶

的表面积.（略）

教学反思

上面的教学中，学生学得主动积极，思维灵活多样，获得了自主学习

成功的体验.

一、树立“用教材教，而不是教教材”的新教育理念，创造性地使用

教材.

在本课教学中，教师没有机械使用课本的例题，而是灵活地处理

教材，创造性地使用教材.因为小学生的思维特点是：“从以具体形象思

维为主要形式逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式，但是这种抽象

逻辑思维在很大程度上仍然是直接与感性经验相联系的，仍然具有很大

成份的具体形象；”教师遵循小学生的认知规律，充分利用方便易取的

实物（如茶叶桶等）作为直观教具和学具，及时为学生提供丰富、直观的

感知材料，学生看得见、摸得着，易于操作，有助于学生由具体形象思维进

入抽象逻辑思维，课堂教学省时高效，充分体现了“用教材教，而不是教

教材”的新理念.

二、数学教育首先应该关注学生的发展.

新课标在目标体系中首先列出的是发展性领域的目标，首先关

注的是每一个学生在情感态度、思维能力等多方面的进步和发展.在上述

教学过程中，教师创造了一个有利于学生生动活泼、主动发展的教育环

境，提供给学生充分发展的时间和空间.不难看到，教师只提出“如何计算

茶叶桶的表面积”这个问题，引导学生进行探索性实践活动，在探索过程

中学生发现了圆柱的侧面是个曲面，要计算侧面的面积需要把曲面图形转

化成平面图形，把其侧面展开成长方形，但茶叶桶的侧面不能展开，怎么办

呢？学生围绕这个关键性问题，通过实验操作、独立思考、与人合作讨论

交流和比较探索等，发现了计算圆柱侧面积的几种方法，最终发现了圆柱

体侧面积和表面积的计算方法.在学生的学习过程中，教师精心创设各种

问题情景，诱发学生不断发现问题、提出问题，学生在自主探索中一步一

步走向成功.经历了由感性认识上升到理性认识的过程.在这里，教师是学

生学习的组织者、引导者、合作者，而并非是知识的灌输者，学生真正成

为学习的主人，成为课堂教学的主

体.解题思路是由学生逐步自主探索出来的，解题规律是学生发现、总结

出来的.学生的观察能力、思维能力、空间观念、情趣等方面在探究过

程中而获得充分的发展.

三、数学教育必须关注学生学习数学的过程.

新课程标准的一个显著特点是，指出了过程性目标.新课程标准

强调现代数学教学应致力于关注学生已有的生活经验和知识背景，关注学

生的自主探索和合作交流，关注学生数学情感和情绪体验，让学生

亲历做数学的过程.本课教师运用了化归的方法导入新课，由平面图形变

成立体图形，由组合图形面积计算到表面积的计算，学生在解题的思维过

程中化静为动，化动为静，形成一定的认知策略，学到数学思想方

法,培养了学生的初步空间观念.

四、重视问题意识的形成和培养，突出问题解决.

问题解决是数学教育的核心，要重视学生问题意识的形成和培

养.教师注意引导学生把生活问题转化成数学问题来解决，学生发现必须

先解决的问题是侧面积的计算，最后要解决的问题是表面积的计算，

其中关键性的问题是侧面积的计算.整个学习过程完全是学生不断发现

问题、分析问题和解决问题的过程.学生在学习中体会到数学的趣味和

应用价值，体验到数学魅力，增强学生的数学应用意识，激发学生学习数

学的兴趣.