山西省西安市长安区2024届高三第四次模拟考试数学试卷含解析

山西省西安市长安区第一中学2024届高三第四次模拟考试数学试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知AABC中，忸。|=2,54-3。=—2.点尸为边上的动点，则+的最小值为（）

3_25

A.2B.——C.-2D.

4~12

2.若(l+2ai)i=l—bi,其中a,beR,则|a+bi|=().

A.1B.75C.6

D.5

2

3.为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复.若

该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）

从文人

Al2«

A.该市总有15000户低收入家庭

B.在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户

C.在该市无业人员中，低收入家庭有4350户

D.在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800户

2+log,x,-<x<1

4.已知函数/（%）=，28,若于（a）=,则ah的最小值为（）

2\1<%<2

参考数据：In2标0.69,h?2土0.48

A.-B.-C.log2GD.—

24S22

5.若直线丁=而一2与曲线y=l+31nx相切，则k=()

11

A.3B.-C.2D.-

32

6.已知正方体ABC。-A4GA的体积为K，点M，N分别在棱8月，CG上，满足AM+MN+A3最小，则四

面体AMN2的体积为（）

A.—VB.-VC.-VD.-V

12869

7.已知四棱锥£-ABCD,底面ABC。是边长为1的正方形，ED=1,平面ECD平面ABC。，当点C到平面ABE

的距离最大时，该四棱锥的体积为（）

A.—B.-C.—D.1

633

8.已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（）

△也

◄—272-0,

△

A.272B.2月C.4D.2新

9.《九章算术》有如下问题：“今有金簟，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思

是：“现在有一根金等，长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”

按这一问题的颗设，假设金维由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（）

775

A.一斤B.一斤C.一斤D.3斤

322

10.已知圆二匚一二・一二二匚=二二：截直线二一二二,1所得线段的长度是八二，则圆二与圆

-.+-_「：=的位置关系是（）

A.内切B.相交C.外切D.相离

11.如图，圆。是边长为的等边三角形ABC的内切圆，其与边相切于点。，点"为圆上任意一点，

BM=xBA+yBD（x,ywR）,则2x+y的最大值为（）

liD

A.V2B.小C.2D.2A/2

12.已知函数〃尤）=（lngf+5-4）,若%>。时，”x）20恒成立，则实数。的值为（）

A.2eB・4eC./D./

yje-2，4—e

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.直线=0（机>0,">0）过圆Ur2+/—2x+2y—l=0的圆心，则工+工的最小值是.

mn

14.锐角ABC中，角A,B,C所对的边分别为“，b,c,若々2—〃+*=（）,则竺4的取值范围是.

sinB

22

15.已知双曲线\-白=1（。〉0力〉0）的左右焦点分别为耳,耳，过白的直线与双曲线左支交于A,3两点，

NA月8=90,AA凡8的内切圆的圆心的纵坐标为且“，则双曲线的离心率为.

一2

16.已知。为矩形ABC。的对角线的交点，现从A&C。,。这5个点中任选3个点，则这3个点不共线的概率为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数/（x）=|x+2|+|x—3|.

（1）解不等式/。）<3%-2；

13

（2）若函数f（x）最小值为4，5.2a+3b=M（a>0,b>0）,求-----+的最小值.

2«+1b+1

18.（12分）某芯片公司对今年新开发的一批5G手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数

据分为［11,12）,［12,13）,［13,14］五个小组（所调查的芯片得分均在［9,14］内），得到如图所示的频率分布

直方图，其中a—6=018.

距

035|.................

0^FHrrh.

091011121314分敷（单位，万分）

（1）求这100颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）.

（2）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试,该手机公司将每颗芯片分别装在3个工程手机中进行初测。

若3个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认

定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二

测，二测时，2个工程手机的评分都达到11万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分,

手机公司将认定该芯片不合格.已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方

法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致(以频率作为概率).每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均

为300元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元,

试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由.

22

19.(12分)已知椭圆C:=+与=1(。〉6〉0)的左、右顶点分别为4、4,上、下顶点分别为g,B2,歹为其

ab

右焦点，且该椭圆的离心率为:；

B14-B1F=I,

(I)求椭圆C的标准方程；

(H)过点4作斜率为左的直线/交椭圆。于X轴上方的点P,交直线x=4于点Q,直线4。与椭圆C的另一个交

点为G,直线。G与直线4。交于点H.若=求;I取值范围.

20.(12分)对于非负整数集合S(非空)，若对任意或者x+yeS,或者归―y|wS,则称S为一个好集

合.以下记同为S的元素个数.

(1)给出所有的元素均小于3的好集合.(给出结论即可)

(2)求出所有满足网=4的好集合.(同时说明理由)

(3)若好集合S满足网=2019,求证：S中存在元素相，使得S中所有元素均为的整数倍.

21.(12分)如图在四边形ABC。中，BA=5BC=2,E为AC中点，BE=­.

(1)求AC；

77

(2)若。=§,求AACD面积的最大值.

22.(10分)若函数/(%)在玉)处有极值，且/(%)=%o,则称/为函数/(%)的“尸点

(1)设函数-21nx(%eR).

①当左=1时，求函数/(x)的极值；

②若函数八％)存在“尸点”，求左的值；

(2)已知函数g(x)=ox3+灰2+5(%"ceR,aW0)存在两个不相等的“厂点”再，/，且卜(石)一g(%2)|»1，

求a的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

以3c的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得6(—l,o),c(l,o),设P(a,O),A(x,y),运用向量的坐标表示,

求得点A的轨迹，进而得到关于。的二次函数，可得最小值.

【详解】

以3c的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，

可得5(—1,0),C(l,0),设尸(a,0),A(x,y),

由848c=—2，

可得(x+1,y).(2,0)=2x+2=—2,即x=-2,ywO,

贝！jPC-^PA+PB+=(1-a,0).(x-a-1-a+1-a,y+0+0)

=(1__3a)=(1—Q)(—2—3a)=3ci—a—2

当。=，时，PC.(PA+P3+PC)的最小值为一生.

6''12

故选D.

【点睛】

本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题.

2、C

【解析】

试题分析：由已知，-2a+i=l—bi,根据复数相等的充要条件，有a=-1,b=-l

2

所以|a+bi尸J（—g）2+（—Ip=与，选C

考点：复数的代数运算，复数相等的充要条件，复数的模

3、D

【解析】

根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案.

【详解】

解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%,

则该市总有低收入家庭900+6%=15000（户），A正确，

该市从业人员中，低收入家庭共有15000x12%=1800（户），B正确，

该市无业人员中，低收入家庭有15000x29%%=4350（户），C正确，

该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有15000x4%=600（户），D错误.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基

础题.

4、A

【解析】

首先/（X）的单调性，由此判断出，由/（“）=/（勿求得a力的关系式.利用导数求得log2a6的最小值，由

l<b<2

此求得a匕的最小值.

【详解】

2+log,X,—<x<1,、「1、

由于函数/Xx）=28，所以“X）在上递减，在［1,2］上递增油于/（a）=/3）（a<。），

O）

2\l<x<2

/，［=2+log，=5,"2)=22=4,令2+1呜％=4,解得%」，所以丁。<\且2+1陶。=2&,化简

⑻〃24Is。2

b

得log2〃=2-2。IUlog2ab=log2a+log2b=2-2+log2Z?,构造函数g(x)=2-2"+log2X(l〈x<2)，

g'(x)=-21n2+=IL-2.构造函数刈力=1ZF/2(1<X<2),

xln2xln2

h(x)=-(1+%In2)-2X-In22<0,所以力⑺在区间(1,2］上递减,而/z(l)=1—211?2々1—2x0.48=0.04>0,

/z(2)=l-81n22®1-8x0.48=-2.84<0,所以存在/e(l,2),使力伍)=0.所以g(x)在(1,%)上大于零，在

(%，2)上小于零.所以g(力在区间(1,%)上递增，在区间(%，2)上递减.而g⑴=0,g(2)=2—22+log22=-1,所

以g(x)在区间。,2］上的最小值为—1,也即log?"的最小值为-1,所以质的最小值为2.1=j.

本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.

5、A

【解析】

3,3

设切点为（如为-2）,对y=l+31nx求导，得到了=—,从而得到切线的斜率左=一,结合直线方程的点斜式化简

x/

得切线方程，联立方程组，求得结果.

【详解】

设切点为(%o，g)—2),

3

3—二k①,

・.・y=—，・・.〈飞

%

kx0-2=l+31nA：0(2),

由①得"0=3,

代入②得l+31nx0=l,

则%=1,k=3,

故选A.

【点睛】

该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单

题目.

6^D

【解析】

由题意画出图形,将MN,NDt所在的面延它们的交线展开到与AM所在的面共面,可得当BB「CiN=；G。时

aV

AM+MN+NR最小，设正方体AG的棱长为3a,得。3=一,进一步求出四面体的体积即可.

【详解】

解：如图,

;点M,N分别在棱33i，CG上，要AM+MN+NA最小，将MN,NR所在的面延它们的交线展开到与所在的面

共面，三线共线时，AM+睦V+NQ最小,

:.BM=1BB｛，GN=；C】C

设正方体AC,的棱长为3a,则27a3=y,

a3=—.

27

取8G=；BC,连接NG,则AGNQ共面,

在AANR中，设N到ADI的距离为4,

22

ADX=7(3tz)+(3tz)=3^2a,

D[N=J(3Q)2+比=yflOa,

AN=J(3缶。+(2〃)2:应a,

10/+22/—18/7

cos/D[NA=

2-VlOtz-V22a

sinND[NA=^^=

2455

.•.S=-D.NANsmZD.NA=-AD.-h=^^-a2

ZAL>IIVA2ii2ii2

设M到平面AGND\的距离为h2,

13屈/6aV_

♦V—X---------

..VAMND132~9

故选D.

【点睛】

本题考查多面体体积的求法，考查了多面体表面上的最短距离问题，考查计算能力，是中档题.

7,B

【解析】

过点E作E"J_CD,垂足为77,过"作毋'LAB,垂足为尸，连接EE因为CD//平面A8E,所以点C到平面

7T

A5E的距离等于点H到平面A5E的距离〃.设NCDE=9(0<9<5)，将〃表示成关于。的函数，再求函数的最值,

即可得答案.

【详解】

过点E作E"J_CD,垂足为H,过H作族，AB,垂足为尸，连接Ef：

因为平面ECD,平面A3C。，所以石汉，平面A3C。，

所以EH工HF.

因为底面A3C。是边长为1的正方形，HF//AD,所以班'=AD=1.

因为CD//平面ABE,所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.

易证平面EFH，平面ABE,

所以点H到平面A8E的距离，即为H到EF的距离限

7T,--------------------

不妨设NCDE=e(0<9<5),则E"=sin6»,EF=+sin20-

因为SEHF=--EF-h=--EH-FH,所以〃.Jl+sin?6=sin夕，

,sin91V2

h——_——.<--------jr

所以一加荷筋一n~^~2，当时，等号成立・

Vsin20

1,1

此时EH与EO重合，所以EH=1,=gxl-xl=g.

故选:B.

【点睛】

本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，

求解时注意辅助线及面面垂直的应用.

8,B

【解析】

由三视图可知，该三棱锥如图，其中底面ABC是等腰直角三角形，PC，平面ABC,结合三视图求出每个面的面积即

可.

【详解】

由三视图可知，该三棱锥如图所示：

其中底面ABC是等腰直角三角形，PC，平面ABC,

由三视图知，PC=2,AB=2亚,

因为PC，8C,PC，AC,AC=5C,AC，

所以AC=3C=2,PA=PB=A3=20,

所以S"AC=S"cB=^AACB=_X2X2=2,

因为AR4B为等边三角形，

所以SAPAB=A3?=（2逝'）=2+,

所以该三棱锥的四个面中，最大面积为2

故选:B

【点睛】

本题考查三视图还原几何体并求其面积；考查空间想象能力和运算求解能力;三视图正确还原几何体是求解本题的关

键;属于中档题、常考题型.

9、B

【解析】

依题意，金差由粗到细各尺重量构成一个等差数列，4=4则%=2,由此利用等差数列性质求出结果.

【详解】

设金维由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为{4},设首项6=4,则%=2,.•.公差4=矢；=皆=-；

,7

a2=（\+a=-.

故选B

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

10、B

【解析】

化简圆二I：二;+（二一二）：=二/n二（a二）,二小二n二到直线二-二=6的距离_Q

又二（L1）,二=二二|=n:-二|<|二二|<|四+口2|=两圆相交・选B

11、C

【解析】

建立坐标系，写出相应的点坐标，得到2x+y的表达式，进而得到最大值.

【详解】

以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，

设内切圆的半径为1,以（0,1）为圆心，1为半径的圆；

根据三角形面积公式得到为/周长x-SACxsin6°°'

可得到内切圆的半径为1;

可得到点的坐标为：B(-A/3,0),C(V3,0),A(0,3),D(0,0),M(cosai+sin6»)

5M=(cose+6/+sin8),加=(6,3),3£>=(6,0)

故得到BM=^cos0+6,1+sin8)=(Gx+6y,3x)

故得至!|cos0=y/3x+也y-y/3,sin=3x-1

1+sin9

24

§sin(e+0)+§W2.

故最大值为：2.

故答案为C.

【点睛】

这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等

式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算,将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一

般方法.

12、D

【解析】

通过分析函数y=ln依-1（尤>0）与y=f+6-4（x>0）的图象，得到两函数必须有相同的零点f,解方程组

Inat-1=0

即得解.

a~+at—4=0

【详解】

如图所示，函数y=ln依-l(x>0)与〉=/+6-4(%>0)的图象，

因为X>0时，〃x)NO恒成立，

于是两函数必须有相同的零点t,

]nat-1=0

所以2/八

Q+at—4—0

at=4—t2=ef

解得"二号.

故选：D

【点睛】

本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解

掌握水平.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、4

【解析】

直线机x-"y-1=0(机>0,”>0)经过圆好+产_2x+2y-1=0的圆心(1,-1),可得机+”=1,再利用“乘1法"和

基本不等式的性质即可得出.

【详解】

Vmx-ny-1=0(m>0,n>0)x2+y2-2x+2y-1=0(1,-1),

m+n-1=0,BPm+〃=l.

]]IIntTIj

/.1—=(1—)Cm+n)=2H---1>2+2=4,当且仅当机=〃=一时取等号.

mnmnnm2

.••则工+工的最小值是4.

mn

故答案为：4.

【点睛】

本题考查了圆的标准方程、“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题.

【解析】

由余弦定理，正弦定理得出sinA=sin(6—A),从而得出5=2A,推出A的范围，由余弦函数的性质得出cosA的

范围，再利用二倍角公式化简，即可得出答案.

【详解】

由题意得方2=4+c2-2accosB=a2+ac

a=c—2acosB

由正弦定理得sinA=sinC-2sinAcosB=sin(A+3)-2sinAcosB

化简得sinA=sin(5-A)

又ABC为锐角三角形，.•.5=2A

7171

0<B=2A<—,0<C=〃一3A<—

22

—<A<—

64、

则cosAe,2cosAG(^2,\/3),~~-e

2cosA

7

sinAsinAsinA1

------G

sinBsin2A2sinAcosA2cosA

【点睛】

本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.

15、2

【解析】

由题意画出图形，设内切圆的圆心为M(x,y),圆M分别切A片,3鸟,AB于S,T,Q,可得四边形S£力0为正方形,

再由圆的切线的性质结台双曲线的定义，求得AAfiB的内切圆的圆心的纵坐标，结合已知列式，即可求得双曲线的离

心率.

【详解】

设内切圆的圆心为M(x,y),圆M分别切于S,T,Q,连接MS,MT,MQ,

则I取1=|乙S|,故四边形理力0为正方形，边长为圆M的半径，

SIA5HAQI,\BT\4BQ\,n\AF2\-\AQ\=\SF2\=\TF2\=\BF2\-\BQ\,

，。与耳重合，

.•.|S闾=|9|—|AF；|=2a,二|5|=2。，即(x—»+/=4片——①

222

\MF2\=242a,(x+c)+y=8a----@

4

联立①②解得：x=-—/,y2=4a2-A^,

cc

又因圆心的纵坐标为立Q,

2

7/2b4C

----=4〃—-=>e=-=2・

4ca

故答案为：2

【点睛】

本题考查双曲线的几何性质，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题.

4

16、-

5

【解析】

基本事件总数〃=C：=10,这3个点共线的情况有两种AOC和BOD,由此能求出这3个点不共线的概率.

【详解】

解：。为矩形ABC。的对角线的交点，

现从A,B,C,D,。这5个点中任选3个点，

基本事件总数〃=《=10,

这3个点共线的情况有两种AOC和30。，

24

，这3个点不共线的概率为。=1々.

4

故答案为：y.

【点睛】

本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

「7116

17、(1)-,+co(2)—

L3J9

【解析】

(1)利用零点分段法，求得不等式的解集.

⑵先求得即2a+3b=5(a>03>0),再根据“1的代换”的方法，结合基本不等式，求得五匕3

~b+l

的最小值.

【详解】

3

(1)当xv-2时，一%—2—1+3<31一2,即冗21，无解；

,77

当一2<%<3时，x+2—x+3<3x—2,即一V%,得一

33

当%>3时，x+2+x-3<3x-2,即xNl,得x>3.

故所求不等式的解集为p+J.

(2)因为/(%)=|%+21+1x—3以(％+2)—(x—3)|—5,

所以2a+3b=5(a>0,Z?>0),则2a+l+3(b+l)=9,

13+/12a+1+33+1)]=：I。—3(6+1)।3(2a+l)

-------------1----------1

2a+1Z?+12a+1/7+1

2a+1—Z?+1,

当且仅当<2〃+3~=5,时取等号.

a>0,b>0,b=-

4

的最小值为。.

故------+-----

2。+1/7+1

【点睛】

本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中

档题.

18、(1)11.57(2)预算经费不够测试完这100颗芯片，理由见解析

【解析】

(1)先求出。=025,b=001,再利用频率分布直方图的平均数公式求这100颗芯片评测分数的平均数；(2)先求

出每颗芯片的测试费用的数学期望，再比较得解.

【详解】

(1)依题意，(005+a+〃+035+028)xl=1,故a+b=032.

又因为。一匕=0.18.所以a=025,8=007,

所求平均数为95x0.05+105x025+115x035+125x028+135x0。7

=0.475+2625+4.025+35+0.945=1157(万分)

(2)由题意可知，手机公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到11万分的概率。=0.0.28+0.07=0.7.

设每颗芯片的测试费用为X元，则X的可能取值为600,900,1200,1500,

P(X=600)=032=009,P(X=900)=0.73+0.7x032+03x0.7x03=0.469,

P(X=1200)=Clx03x0J2x03=01323,P(X=1500)=C；x03x0.72x0.7=03087,

故每颗芯片的测试费用的数学期望为

E(X)=600x0.09+900x0.469+1200x01323+1500x03087=1097.91(元)，

因为100x1097.91>100000,

所以显然预算经费不够测试完这100颗芯片.

【点睛】

本题主要考查频率分布直方图的平均数的计算，考查离散型随机变量的数学期望的计算，意在考查学生对这些知识的

理解掌握水平.

22勺

19、(I)—+^=1；(II)/le(-,3).

433

【解析】

(I)由题意可得4A，4厂的坐标，结合椭圆离心率，用尸=i及隐含条件列式求得以，力的值，则椭圆方程

可求；(II)设直线4。：丫=%(彳+2),求得。的坐标，再设直线4。：y=3A(x-2),求出点G的坐标，写出0G的

方程，联立0G与A。，可求出〃的坐标，由4P=24〃，可得2关于左的函数式，由单调性可得2取值范围.

【详解】

(I)4(—凡0),4(0力)，F(C,O),

51A—(—a,—b)9B1F=(c,—b)9

c1

由51A•瓦尸=1，得从―改=1,又一=7,a1=Z?2+c2，

a2

解得：a=2,b-V3，c=l.

22

二椭圆C的标准方程为L+上=1；

43

(II)设直线AD：y=k(x+2)/>0),则与直线％=4的交点。(4,6公，

又4(2,0),.•.设直线=34(X—2),

y=3k(x-2)

联立f尸消V可得(1+12妤濡-48妤x+48左2-4=0.

—+—=1

143

24左2-2-12k

解得G(.1+12无2)'

1+12左2

y=k(x+2)

6-8公12k

联立3,得尸(

3+4左2)

=13+4左2

[43

—6k

直线OG:y=-----n-----%

nk2-i

-6k

y—_______JQ

联立《12左2—1,解得H(--2叱+212k、

12k2+512F+5

y=左(x+2)

A。=24/7,

二.(4+2,小)=〃％+2,yH),

yP=^yH，

.y12^+512左2+9-4。4

,1_JrP_________________________________________C2_______________

"一公―3+4/一4/+3--4/+3

4

函数f(k)=3-在(0,+co)上单调递增，

4k+3

2=f(k)e(1,3).

本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，意在考查学生对这些知识的理解掌

握水平和分析推理计算能力.

20、(1){0},{0,1},{0,2},{0,1,2}.(2){0,"c/+c}；证明见解析.(3)证明见解析.

【解析】

(1)根据好集合的定义列举即可得到结果；

(2)设5={。,/?,。,2},其中a<b<c<df由OES知a=0；由Ovd—可知d—c=c或d—c=Z?,分别讨论

两种情况可的结果；

(3)记〃=1009,则间=2〃+1,设3={0,%,工2,,.，由归纳推理可求得无j=,从而得到

M=2xn=2nm,从而得到S,可知存在元素机满足题意.

【详解】

(1){0},{0,1},{0,2},{0,1,2).

(2)设5={。,/?",〃}，其中a<b<c<d,

则由题意：d+d生S,故OwS,即a=0,

考虑c,d,可知：U〈d-ceS,:.d-c=c^d-c=b,

若d—c=c,则考虑"c,

c<b+c<2c=d,:.c—beS,则c-Z?=b,

:.S={a,b,2b,4b},但此时3b,5b史S,不满足题意；

若d—c=b,此时S={O,>,cS+c},满足题意，

:.S={O,b,c,b+c],其中b,c为相异正整数.

⑶记”=1009,贝!|网=2"+1,

首先，OeS,设S={0,石,…,马”},其中0<%=机<々<…<々”=M,

分别考虑〃和其他任一元素毛，由题意可得：河-七也在S中，

而OVA/-%,—<M—%-2-xx<M,=x2n_t(1<z<71),

M

对于1£</<“，考虑々e，x2n_j,其和大于M，故其差=勺一玉eS,

特别的，x2-x{eS,:,x2=2%j=2m,

由九3—％]£S,且％1<%3一%1<%3，/•%3=%2+石=3加，

以此类推：xz=zm(l<z<n),

M=2xn=2nm,此时S={0,n,2m,■■■,nm,(n+1)m,•••,2ram1,

故S中存在元素m,使得S中所有元素均为m的整数倍.

【点睛】

本题考查集合中的新定义问题的求解，关键是明确已知中所给的新定义的具体要求，根据集合元素的要求进行推理说

明，对于学生分析和解决问题能力、逻辑推理能力有较高的要求，属于较难题.

21、(1)1；(2)旦

4

【解析】

(1)AE=x,在ASCE和AABE中分别运用余弦定理可表示出COSN5C4,运用算两次的思想即可求得x,进而求

出AC；

(2)在AADC中，根据余弦定理和基本不等式，可求得CD-AOW1,再由三角形的面积公式以及正弦函数的有界性,

求出AABC的面积的最大值.

【详解】

(1)由题设=则AC=2尤

在ASCE和AABE中由余弦定理得：

CE2+BC2-BE2AC2+BC2-AB24+X2--<:2

cosNBCA=-----------------=------------------，即Hr|44+4x-37

2CE-BC2AC-BC----4--%----=----8--%----

解得工」

,AAC=2x=l

2

(2)在AACD中由余弦定理得AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosD,

即1=CI)2+AD2—CDADNCDAD,；•CDAD<1

S..^-CDADsmD^—CDAD<—

AArCDn244

所以AACD面积的最大值为且，此时CD=A£>=1.

4

【点睛】

本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档

题.

22、(1)①极小值为1,无极大值.②实数发的值为1.(2)[-2,0)

【解析】

(1)①将左=1代入可得/(x)=*—21nx,求导讨论函数单调性，即得极值；②设玉)是函数/(龙)的一个“F

点”(/〉0),即是/■'(%)的零点，那么由导数(("=乂竺zD可知左>0,且/'(/)=0,可得/=A，根

据/(%)=/可得%+1=0,设0(x)=x+21nx—1,由0(x)的单调性可得尤。，即得左.⑵方法一：先

求g(x)的导数，g(x)存在两个不相等的“尸点”占，x2,可以由g'(x)=0和韦达定理表示出X],%的关系，再由

8(石)一8(毛)=%一%2，可得“，仇。的关系式，根据已知解心(石)-8(X2)|=忖一％2|»1即得•方法二：由函数g(x)

3Q%2+2bxc—0

存在不相等的两个“尸点”X1和％,可知王，羽是关于X的方程组3，的两个相异实数根，由

ax+bx~+cx=x

加+法2+5=%得％=0,分两种情况：x=0是函数g(x)一个“尸点”，％=0不是函数g(x)一个“尸点”，进行讨

论即得.

【详解】

解：（1）①