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文档简介
过关检测三数列
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的.
1.(2021•内蒙古包头一模)在数歹!J{斯}中,防二2,斯+i斯2=0,贝!J〃5+〃6+…+〃14=()
A.180B.190C.160D.120
2.(2021•北京朝阳期末)已知等比数列{斯}的各项均为正数,且的=9,则
10g3〃l+10g3〃2+10g3Q3+10g3〃4+10g3〃5=()
55
ABcOD5
2-3-
3.(2021.湖北荆州中学月考)设等比数列{斯}的前几项和为S”,若咨=则厚=()
A11D3
2-3-4-
4.(2021•北京师大附属中学模拟)我国明代著名乐律学家明宗室王子朱载埴在《律学新说》中提出十
二平均律,即是现代在钢琴的键盘上,一个八度音程从一个c键到下一个ci键的8个白键与5个黑键
(如图),从左至右依次为:c,#Gd,#d,e工沏g,#g,a,#4,b,ci的音频恰成一个公比为1德的等比数列的原理,也
即高音ci的频率正好是中音c的2倍.已知标准音a的频率为440Hz,则频率为220五Hz的音名是
()
A.dB/C.eD.#d
5.(2021.四川成都二诊)已知数列{斯}的前w项和a=层,设数列{鼠七}的前见项和为则八o的值为
()
A至B也
A.39039
C型D竺
4141
6.(2021•河南新乡二模)一百零八塔位于宁夏吴忠青铜峡市,是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群,是
中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一.一百零八塔,因塔群的塔数而得名,塔群随山势凿石分阶
而建,由下而上逐层增高,依山势自上而下各层的塔数分别为1,3,3,5,5,7,…,该数列从第5项开始成等
差数列,则该塔群最下面三层的塔数之和为()
A.39B.45
C.48D.51
7.(2021.陕西西安铁一中月考)在1到100的整数中,除去所有可以表示为2"(〃eN*)的整数,则其余整
数的和是()
A.3928B.4024C.4920D.4924
(九2九为奇数
8.已知函数式〃)={:,中二且斯=75)+/(〃+1),则41+〃2+俏+…+4100等于()
(-九2,九为偶数,
A.OB.1OOC.1OOD.10200
二、选择题:本题共4小题海小题5分洪20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全
部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.(2021•辽宁沈阳三模)已知等比数列{斯}的前几项和5〃二平由,则()
A.首项a\不确定B.公比4=4
C.〃2=3D."
10.(2021•山东临沂模拟)已知等差数列{斯}的前"项和为公差d=l.若。1+3%=57,则下列结论一定
正确的是()
A.%=1B5的最小值为S3
CS=S6DS”存在最大值
11.己知数列{斯}是等差数列,其前30项和为390,0=5'=2%对于数列{斯},{勿},下列选项正确的是
()
A.d0=8为B.{勿}是等比数列
C.a必30=105D。3+。5+。7_209
。2+。4+。6193
12.(2021•广东广州一模)在数学课堂上,教师引导学生构造新数列:在数列的每相邻两项之间插入此两
项的和,形成新的数列,再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造,第1
次得到数列1,3,2;第2次得到数列1,4,3,5,2;……第〃(〃GN*)次得到数列1眼,如心,…加2.记
a”=l+xi+x2+…+x*+2,数歹1」{斯}的前n项和为斗,贝1k)
A.A+1=2"B.a“+i=3a”3
C.a„4(n2+3n)D.5„4(3n+1+2n-3)
L4
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2021•山西太原检测)在等差数列{a”}中,若。2,。2020为方程/101+16=0的两根,则a\+a\011+^2021
等于.
14.(2021.江苏如东检测)已知数列{斯}的前n项和为S”,且S"=2a“2,则数列{log2斯}的前n项和
Tn=.
15.将数列{2"1}与{3"2}的公共项从小到大排列得到数列{a“},则{a,}的前〃项和为.
16.(2021•新高考/,16)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对
折.规格为20dmxl2dm的长方形纸,对折1次共可以得到10dmxl2dm,20dmx6dm两种规格的图
形,它们的面积之和Si=240dnf,对折2次共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm三种规
格的图形,它们的面积之和$2=180dn?,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数
n
为;如果对折〃次,那么XSk=dm2.
k=l
四、解答题:本题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1
17.(10分)(2021.海南海口模拟)已知正项等比数列{如},°4=白,。5。7=256.
1O
(1)求数列{。"}的通项公式;
⑵求数列{|log2a〃|}的前〃项和.
18.(12分)(2021.全国甲,理18)已知数列{斯}的各项均为正数,记5“为{斯}的前几项和,从下面⑦②③中
选取两个作为条件,证明另外一个成立.
(W列{斯}是等差数列;戮列{仄}是等差数列;③fe=3ai.
19.(12分X2021•山东济宁二模)已知数列{诙}是正项等比数列,满足俏是2内,3a2的等差中项,"4=16.
(1)求数列{斯}的通项公式;
⑵若为=⑴"log2a2.+1,求数列{3}的前"项和Tn.
20.(12分X2021•山东临沂一模)在⑦手=岁,②^+1斯=25,③^+诙=2当这三个条件中任选一个,补充
在下面的问题中,并解答该问题.
已知正项数列{诙}的前"项和为S”,41=1,且满足.
⑴求an,
⑵若《=3”+1>2。%求数列{瓦}的前〃项和Tn.
21.(12分)(2021.山东泰安一中月考)为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市计划用若干年
更换1万辆燃油型公交车,每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车.
今年年初投入了电力型公交车128辆,混合动力型公交车400辆,计划以后电力型车每年的投入量比
上一年增加50%,混合动力型车每年比上一年多投入a辆.
(1)求经过〃年,该市被更换的公交车总数F(ri);
(2)若该市计划用7年的时间完成全部更换,求a的最小值.
22.(12分X2021•广东广州检测)已知数列{为}满足可=5,且当时,可痣…斯i=—2.
3an
⑴求证:数列{占}是等差数列,并求数列{诙}的通项公式;
⑵记Tn=-a\ar--an,Sn=T^+管+…+第,求证:当九£N*时
过关检测三数列
1.B解析因为z+iz=2,ai=2,所以数列{z}是首项为2,公差为2的等差数歹山所以
=2+(〃1)x2=2n.
设{〃”}的前〃项和为S%贝1]几)工层十九
所以〃5+〃6+--F6/14=51454=190.
2.C解析因为等比数列{〃〃}的各项均为正数,且。3=9,所以
10g34Zl+10g3Q2+10g343+10g3Q4+10g3Q5=log3(aia2〃3O4〃5)=10g3(虑)=10g3(95)=10g3(310)=10.
3.D解析由题意可知S5,SioS5,Si5Sio成等比数列.
黑=1•:设S5=2k,Sio=k,k^O,
*.O1O05=K,..315010=-,•-015=—,
c3kc
.^15.T_2
_1_/1\1。-4
4.D解析因为。的音频是数列的第10项,440=220/>22=220鱼*(2通),所以频
率为220/Hz是该数列的第4项,其音名是#d.
5.C解析当n=l时,ai=Si=l;当〃三2时,。”=5,£1=层(〃1)2=2〃1.
而<21=1也符合服=2咒1,所以an=2〃l.所以---=—~”=:(至三-王士彳),
anan+1(2n-l)(2n+l)2\2n-l2n+17
所以〃=乂1]+屋+一+六一生?)=扪鼻)=月?所以T20=T-fJJ—=
2\335zn-l2n+1722n+lzn+l2x20+141
6.D解析设该数列为{斯},依题意,可知。5,。6,…成等差数列,且公差为2,05=5.
设塔群共有〃层,则1+3+3+5+5(〃4)+竺与@x2=108,解得“=12.
故最下面三层的塔数之和为aio+au+ai2=3an=3x(5+2x6)=51.
7.D解析由2喧[1,100],代N*,可得〃=123,4,5,6,
所以21+22+23+24+25+26=^^=126.
1-Z
100x101
又
1+2+3+…+100=2=5050,
所以在1到100的整数中,除去所有可以表示为2〃(〃金N*)的整数,其余整数的和为5
050126=4924.
8.B解析由已知得当〃为奇数时,〃〃二层(〃+1)2=2〃1,当〃为偶数时M〃=〃2+(〃+I)2=2〃+1.
所以m+。2+〃3+…+〃100=3+57+…+201=(3+5)+(7+9)+…+(199+201)=2x50=100.
9.BCD解析当n=l时⑷=Si=l+。当〃22时乩=SBd=(2+1)(4〃2+/)=3x4〃2.
由数列{〃”}为等比数列,可知Qi必定符合。〃=3x4叱
所以1+昼,即t=l
q住
所以数列{〃〃}的通项公式为。〃=3*4叱〃2=3,
数列{斯}的公比q=4.故选BCD.
10.AC解析由已知得〃1+3(〃1+4义1)=7〃1+^^xl,解得ai=3.
对于选项A,〃5=3+4x1=1,故A正确.
对于选项B,Q〃=3+〃1=〃4,因为41=3<0,。2=2<0,。3=1<0,44=0,45=1>0,所以的最小
值为S3或S4,故B错误.
对于选项C,S6sl="2+。3+。4+。5+。6=5。4,又因为。4=0,所以S6sl=0,即S1=S6,故C正
对于选项D,因为S"=3〃+%尹=W,所以S,无最大值,故D错误.
11.BD解析设{或}的公差为d,
由已知得30x5+迎产=390,解得d=3.
..z,16n+129
..an=a\+(nl)d=———
2an+l
:③=2%处=a
=2n+l-«n=2^9
bn2an
故数列{为}是等比数列,B选项正确.
:5d=5x=
•••铁=(2。)5=25年23,,:ZnoW8b5,A选项错误.
:3o=ai+29d=5+16=21,•:aiZ?3o=5x22i>lO5,C选项错误.
193一厂416
S*a4=^i+3^=5+3x票=—,(25=ai+4(y=5+4x—209.叼+犯+劭_3a5_。5
29'一。2+。4+。63a4a4
稳,D选项正确.
12.ABD解析由题意,可知第1次得到数列1,3,2,此时左=1,
第2次得到数列1,4,3,5,2,此时k=3,
第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2,此时k=7,
第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,此时左=15,
第〃次得到数列1,孙12用,…,麻,2,此时左二2"1,所以上+1=2”,故A项正确.
当n=l时,ai=l+3+2=6,当n=2时/2=QI+2QI3=3QI3,当n=3
时,。3=。2+2以3=3ai3,...
所以。〃+1=3。〃3,故B项正确.
由。"+1=3或3,得。〃+1|=3(册-分
又«if=?所以,高是首项为沁比为3的等比数歹人所以*=Ix3"=》,即
”+12
以=丁+去故C项错误.
S广仔+0+修+0+…+(岁+1)=*"+1+2〃3),故D项正确.
\LLJ\LLJ\LLJ4
13.15解析因为Q2,42020为方程以。氏+16二0的两根,
所以ai+ai020=10.
又{。力为等差数列,所以+。2021=。2+。2020=241011=10,即<21011=5.
所以ai+ai011+4/202i=3ai011=15.
14.专立解析因为S〃=2a“2,所以当心2时$1=2斯2两式相减,得痣=2即2矶即
n
当n=l时,可得m=2,所以数列{诙}是首项为2,公比为2的等比数列,所以an=2.
所以log2a〃=〃,所以4=也守2
15.3层2〃解析数列{2附1}的项均为奇数,数列{3附2}的所有奇数项均为奇数,所有偶数项
均为偶数,并且显然{3〃2}中的所有奇数均能在{2〃1}中找到,所以{2〃1}与{3〃2}的所有公
共项就是{3附2}的所有奇数项,这些项从小到大排列得到的新数列{斯}是以1为首项,以6
为公差的等差数列.
n12
所以{。〃}的前〃项和为Sn=nxl+^^x6=3n2n.
16.5240(3-竽)解析对折3次共可以得到|dmxl2dm,5dmx6dm,10dmx3dm,20
dmx|dm四种规格的图形,面积之和53=4x30=120dm2;
对折4次共可以得到|dmxl2dm,|dmx6dm,5dmx3dm,10dmx|dm,20dmx|dm
五种规格的图形,S4=5X15=75dm2.
可以归纳对折〃次可得n+1种规格的图形$=(〃+1)
n
则S=SI+S2+-S〃=2409+A/“*).
k=l
、口.2,3,4n+1
记刀尸方+京+齐+…+于-,
ZZZ乙
则扣=奈+奈+…+式+苏詈②
①与②式相减,得瑁。=如=提"+去+玄+…+,一云*=I一/空
故〃=3贤.故1S『2407”=240(3-贤)
k=1
17.解(1)设正项等比数列{斯}的公比为狗>0).
由等比数列的性质可得a5a7=可=256,因为a〃>0,所以(26=16.
所以「="=256,即q=16.
。4
n6n6n5
所以an=a6q=16x16=16.
(2)由⑴可知Iog2〃〃=log216〃5=4〃20,
设为二|10820〃|=|4〃20|,数歹]{瓦}的前〃项和为Tn.
①当〃W5,且neN*^,T„=-(16+1°-4n)=18/?2n2;
;:22
②当“三6,且neN*0i,L!=75+^^f^^=18x52x5+(2n8)(H5)=2«18n+8O.
18n-2n2,n<5,且nGN*,
综上所述,〃=
2n2-18n+80,n>6,且n©N*.
18.证明若选①②n③,
设数列{服}的公差为由,数列{、腐}的公差为di.
:•当.WN*时,板>0,."1>0,龙>0.
nn)d2
.".Sn=na\+^'^l=y-n+^a1-y^?.
火器n=同+(〃1)必,
.:Sn=ai+d弘〃1)2+27d2(〃1)=d枷2+(2A^力2或)〃+或2+ai,
•••9==2V«i<^22^2,d^ly[a[d2+a\=Q,-'-“=9,d2=V^L即di=2ai,.".
a2=ai+di=3ai.
若选①③今②,
设等差数列{z}的公差为d.
因为。2=3。1,所以ai+d=3ai,则d=2ai,
12
所以Sn=na\+^-^-d=nai+n(nl)ai=nai,所以店—房;二几7Q](ZZ\)yjQ]=7Q].
所以{店}是首项为圾,公差为圾的等差数列.
若选②③今①,
设数歹I{店}的公差为d,则我一6=4
即+Q2-V—d.
S*4Z2=36ZI,AJ4al—y[a[=d^?d-y[a[,
・•・yf'S^=
即Sn=n2ai,
当时,Q“=S〃S〃I=〃2QI(〃1)2QI=(2〃1)QI,
当n=l时⑷符合式子an=(2nl)a\,
•:a〃=(2〃l)〃i,〃£N*,・:〃〃+IQ〃=2QI,
即数列{z}是等差数列.
19.解(1)设正项等比数列{所}的公比为幽>0).
因为。3是2QI,3〃2的等差中项,所以2Q3=2QI+3〃2,即2〃应2=2〃1+3〃原因为⑶知,所以
1
2q-3q2=0,解得q=2或q=](舍去).
nln
所以a4=aiq3=8ai=16,解得ai=2.所以aw=2x2=2.
(2)由⑴可知如+i=22〃+\
所以bn=(l)/!10g2«2n+1=(1)nlog222n+1=(1)n(2/J+1),
所以^(I)1x3+(l)2x5+(l)3x7+-+(l)n(2n+l),
4=(l)2x3+(l)3x5+(l)4x7+…+(l)/i«2〃+l),
所以24=3+2[(1)2+(1>+…+(1再(l)"+i(2〃+D=3+2x
1士;)1)”(2〃+1)=3+1⑴疝+(1)"(2〃+1)=2+(2咒+2)(1)",
所以G=(〃+l)⑴叮.
20.解⑴若选①,则2Sn=nan+i.
当n=l时,2SI=<72,又Si=ai=l,所以42=2.
当〃三2时,25"1=(〃1)外,所以2an=nan+i(nl)an,
即(〃+1)。〃="。〃+1,所以=手(">2).
又等=1,所以当n与2时3=1,即an-n.
又a\-\符合上式,所以an-n.
若选②,则当n-1时,251=。2。1,可得。2=2.
当时可得2an=anan+ianani.
由田>0,得an+iani=2.
又m=〃2=2,所以{如}是首项为2,公差为2的等差数列,{或九}是首项为1,公差为2
的等差数列,所以z二九
若选③,因为成+z=2S〃,
所以当时,QMI+ZI=2S〃I,两式相减得碓+〃〃就_1斯1=2瓯即(o〃+a〃i)(a〃aml)=0.
由一>0,得“Mil1=0,即-1=1,所以{“〃}是首项为1,公差为1的等差数列,所以
an=n.
(2)由⑴知仇=(〃+1)2,
所以4=2x2+3x22+4X23+・・・+(〃+1)・2”,
24=2x22+3x23+4X24+・・・+(〃+1>2叫
两式相减,得
Tk=4+22+23H----卜2"(〃
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