高考数学复习二轮专项练习 过关检测 数列

过关检测三数列

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（2021•内蒙古包头一模）在数歹!J｛斯｝中,防二2,斯+i斯2=0,贝!J〃5+〃6+…+〃14=（）

A.180B.190C.160D.120

2.（2021•北京朝阳期末）已知等比数列｛斯｝的各项均为正数，且的=9,则

10g3〃l+10g3〃2+10g3Q3+10g3〃4+10g3〃5=（）

55

ABcOD5

2-3-

3.（2021.湖北荆州中学月考）设等比数列｛斯｝的前几项和为S”,若咨=则厚=（）

A11D3

2-3-4-

4.（2021•北京师大附属中学模拟）我国明代著名乐律学家明宗室王子朱载埴在《律学新说》中提出十

二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c键到下一个ci键的8个白键与5个黑键

（如图），从左至右依次为:c,#Gd,#d,e工沏g,#g,a,#4,b,ci的音频恰成一个公比为1德的等比数列的原理，也

即高音ci的频率正好是中音c的2倍.已知标准音a的频率为440Hz,则频率为220五Hz的音名是

（）

A.dB/C.eD.#d

5.（2021.四川成都二诊）已知数列｛斯｝的前w项和a=层,设数列｛鼠七｝的前见项和为则八o的值为

（）

A至B也

A.39039

C型D竺

4141

6.（2021•河南新乡二模）一百零八塔位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是

中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一.一百零八塔，因塔群的塔数而得名,塔群随山势凿石分阶

而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1,3,3,5,5,7,…，该数列从第5项开始成等

差数列，则该塔群最下面三层的塔数之和为（）

A.39B.45

C.48D.51

7.（2021.陕西西安铁一中月考）在1到100的整数中,除去所有可以表示为2"（〃eN*）的整数，则其余整

数的和是（）

A.3928B.4024C.4920D.4924

（九2九为奇数

8.已知函数式〃）=｛:,中二且斯=75）+/（〃+1）,则41+〃2+俏+…+4100等于（）

（-九2,九为偶数，

A.OB.1OOC.1OOD.10200

二、选择题:本题共4小题海小题5分洪20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全

部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.（2021•辽宁沈阳三模）已知等比数列｛斯｝的前几项和5〃二平由,则（）

A.首项a\不确定B.公比4=4

C.〃2=3D."

10.（2021•山东临沂模拟）已知等差数列｛斯｝的前"项和为公差d=l.若。1+3%=57,则下列结论一定

正确的是（）

A.%=1B5的最小值为S3

CS=S6DS”存在最大值

11.己知数列｛斯｝是等差数列，其前30项和为390,0=5'=2%对于数列｛斯｝,｛勿｝,下列选项正确的是

（）

A.d0=8为B.｛勿｝是等比数列

C.a必30=105D。3+。5+。7_209

。2+。4+。6193

12.（2021•广东广州一模）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列:在数列的每相邻两项之间插入此两

项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1

次得到数列1,3,2;第2次得到数列1,4,3,5,2;……第〃（〃GN*）次得到数列1眼,如心，…加2.记

a”=l+xi+x2+…+x*+2,数歹1」｛斯｝的前n项和为斗,贝1k）

A.A+1=2"B.a“+i=3a”3

C.a„4（n2+3n）D.5„4（3n+1+2n-3）

L4

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.（2021•山西太原检测）在等差数列｛a”｝中，若。2,。2020为方程/101+16=0的两根，则a\+a\011+^2021

等于.

14.（2021.江苏如东检测）已知数列｛斯｝的前n项和为S”,且S"=2a“2,则数列｛log2斯｝的前n项和

Tn=.

15.将数列｛2"1｝与｛3"2｝的公共项从小到大排列得到数列｛a“｝,则｛a,｝的前〃项和为.

16.（2021•新高考/,16）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对

折.规格为20dmxl2dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dmxl2dm,20dmx6dm两种规格的图

形，它们的面积之和Si=240dnf,对折2次共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm三种规

格的图形，它们的面积之和$2=180dn?,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数

n

为；如果对折〃次，那么XSk=dm2.

k=l

四、解答题:本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1

17.（10分）（2021.海南海口模拟）已知正项等比数列｛如｝,°4=白,。5。7=256.

1O

（1）求数列｛。"｝的通项公式；

⑵求数列｛|log2a〃|｝的前〃项和.

18.（12分）（2021.全国甲，理18）已知数列｛斯｝的各项均为正数，记5“为｛斯｝的前几项和，从下面⑦②③中

选取两个作为条件，证明另外一个成立.

（W列｛斯｝是等差数列;戮列｛仄｝是等差数列;③fe=3ai.

19.（12分X2021•山东济宁二模）已知数列｛诙｝是正项等比数列，满足俏是2内,3a2的等差中项,"4=16.

（1）求数列｛斯｝的通项公式；

⑵若为=⑴"log2a2.+1,求数列｛3｝的前"项和Tn.

20.（12分X2021•山东临沂一模）在⑦手=岁，②^+1斯=25,③^+诙=2当这三个条件中任选一个，补充

在下面的问题中，并解答该问题.

已知正项数列｛诙｝的前"项和为S”,41=1,且满足.

⑴求an,

⑵若《=3”+1>2。％求数列｛瓦｝的前〃项和Tn.

21.（12分）（2021.山东泰安一中月考）为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年

更换1万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车.

今年年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆,计划以后电力型车每年的投入量比

上一年增加50%,混合动力型车每年比上一年多投入a辆.

（1）求经过〃年，该市被更换的公交车总数F（ri）;

（2）若该市计划用7年的时间完成全部更换，求a的最小值.

22.（12分X2021•广东广州检测）已知数列｛为｝满足可=5,且当时,可痣…斯i=—2.

3an

⑴求证:数列｛占｝是等差数列，并求数列｛诙｝的通项公式；

⑵记Tn=-a\ar--an,Sn=T^+管+…+第,求证:当九£N*时

过关检测三数列

1.B解析因为z+iz=2,ai=2,所以数列｛z｝是首项为2,公差为2的等差数歹山所以

=2+（〃1）x2=2n.

设｛〃”｝的前〃项和为S%贝1]几）工层十九

所以〃5+〃6+--F6/14=51454=190.

2.C解析因为等比数列｛〃〃｝的各项均为正数，且。3=9,所以

10g34Zl+10g3Q2+10g343+10g3Q4+10g3Q5=log3（aia2〃3O4〃5）=10g3（虑）=10g3（95）=10g3（310）=10.

3.D解析由题意可知S5,SioS5,Si5Sio成等比数列.

黑=1•：设S5=2k,Sio=k,k^O,

*.O1O05=K,..315010=-,•-015=—,

c3kc

.^15.T_2

_1_/1\1。-4

4.D解析因为。的音频是数列的第10项,440=220/>22=220鱼*(2通)，所以频

率为220/Hz是该数列的第4项，其音名是#d.

5.C解析当n=l时,ai=Si=l;当〃三2时,。”=5,£1=层(〃1)2=2〃1.

而<21=1也符合服=2咒1,所以an=2〃l.所以---=—~”=:(至三-王士彳)，

anan+1(2n-l)(2n+l)2\2n-l2n+17

所以〃=乂1]+屋+一+六一生?)=扪鼻)=月?所以T20=T-fJJ—=

2\335zn-l2n+1722n+lzn+l2x20+141

6.D解析设该数列为｛斯｝,依题意，可知。5,。6,…成等差数列，且公差为2,05=5.

设塔群共有〃层，则1+3+3+5+5(〃4)+竺与@x2=108,解得“=12.

故最下面三层的塔数之和为aio+au+ai2=3an=3x(5+2x6)=51.

7.D解析由2喧[1,100],代N*,可得〃=123,4,5,6,

所以21+22+23+24+25+26=^^=126.

1-Z

100x101

又

1+2+3+…+100=2=5050,

所以在1到100的整数中,除去所有可以表示为2〃(〃金N*)的整数，其余整数的和为5

050126=4924.

8.B解析由已知得当〃为奇数时,〃〃二层(〃+1)2=2〃1,当〃为偶数时M〃=〃2+(〃+I)2=2〃+1.

所以m+。2+〃3+…+〃100=3+57+…+201=(3+5)+(7+9)+…+(199+201)=2x50=100.

9.BCD解析当n=l时⑷=Si=l+。当〃22时乩=SBd=(2+1)(4〃2+/)=3x4〃2.

由数列｛〃”｝为等比数列，可知Qi必定符合。〃=3x4叱

所以1+昼,即t=l

q住

所以数列｛〃〃｝的通项公式为。〃=3*4叱〃2=3,

数列｛斯｝的公比q=4.故选BCD.

10.AC解析由已知得〃1+3（〃1+4义1）=7〃1+^^xl,解得ai=3.

对于选项A,〃5=3+4x1=1,故A正确.

对于选项B,Q〃=3+〃1=〃4,因为41=3<0,。2=2<0,。3=1<0,44=0,45=1>0,所以的最小

值为S3或S4,故B错误.

对于选项C,S6sl="2+。3+。4+。5+。6=5。4,又因为。4=0,所以S6sl=0,即S1=S6,故C正

对于选项D,因为S"=3〃+%尹=W，所以S,无最大值，故D错误.

11.BD解析设｛或｝的公差为d,

由已知得30x5+迎产=390,解得d=3.

..z,16n+129

..an=a\+(nl)d=———

2an+l

:③=2%处=a

=2n+l-«n=2^9

bn2an

故数列｛为｝是等比数列,B选项正确.

:5d=5x=

•••铁=(2。)5=25年23,,：ZnoW8b5,A选项错误.

：3o=ai+29d=5+16=21，•:aiZ?3o=5x22i>lO5,C选项错误.

193一厂416

S*a4=^i+3^=5+3x票=—,(25=ai+4(y=5+4x—209.叼+犯+劭_3a5_。5

29'一。2+。4+。63a4a4

稳,D选项正确.

12.ABD解析由题意，可知第1次得到数列1,3,2,此时左=1,

第2次得到数列1,4,3,5,2,此时k=3,

第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2,此时k=7,

第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,此时左=15,

第〃次得到数列1,孙12用,…,麻,2,此时左二2"1,所以上+1=2”,故A项正确.

当n=l时,ai=l+3+2=6,当n=2时/2=QI+2QI3=3QI3,当n=3

时,。3=。2+2以3=3ai3,...

所以。〃+1=3。〃3,故B项正确.

由。"+1=3或3,得。〃+1|=3（册-分

又«if=?所以,高是首项为沁比为3的等比数歹人所以*=Ix3"=》,即

”+12

以=丁+去故C项错误.

S广仔+0+修+0+…+（岁+1）=*"+1+2〃3）,故D项正确.

\LLJ\LLJ\LLJ4

13.15解析因为Q2,42020为方程以。氏+16二0的两根，

所以ai+ai020=10.

又｛。力为等差数列，所以+。2021=。2+。2020=241011=10,即<21011=5.

所以ai+ai011+4/202i=3ai011=15.

14.专立解析因为S〃=2a“2,所以当心2时$1=2斯2两式相减，得痣=2即2矶即

n

当n=l时，可得m=2,所以数列｛诙｝是首项为2,公比为2的等比数列，所以an=2.

所以log2a〃=〃,所以4=也守2

15.3层2〃解析数列｛2附1｝的项均为奇数，数列｛3附2｝的所有奇数项均为奇数，所有偶数项

均为偶数，并且显然｛3〃2｝中的所有奇数均能在｛2〃1｝中找到，所以｛2〃1｝与｛3〃2｝的所有公

共项就是｛3附2｝的所有奇数项，这些项从小到大排列得到的新数列｛斯｝是以1为首项，以6

为公差的等差数列.

n12

所以｛。〃｝的前〃项和为Sn=nxl+^^x6=3n2n.

16.5240（3-竽）解析对折3次共可以得到|dmxl2dm,5dmx6dm,10dmx3dm,20

dmx|dm四种规格的图形，面积之和53=4x30=120dm2;

对折4次共可以得到|dmxl2dm,|dmx6dm,5dmx3dm,10dmx|dm,20dmx|dm

五种规格的图形,S4=5X15=75dm2.

可以归纳对折〃次可得n+1种规格的图形$=（〃+1）

n

则S=SI+S2+-S〃=2409+A/“*).

k=l

、口.2,3,4n+1

记刀尸方+京+齐+…+于-，

ZZZ乙

则扣=奈+奈+…+式+苏詈②

①与②式相减，得瑁。=如=提"+去+玄+…+,一云*=I一/空

故〃=3贤.故1S『2407”=240（3-贤）

k=1

17.解（1）设正项等比数列｛斯｝的公比为狗>0）.

由等比数列的性质可得a5a7=可=256,因为a〃>0,所以（26=16.

所以「="=256,即q=16.

。4

n6n6n5

所以an=a6q=16x16=16.

(2)由⑴可知Iog2〃〃=log216〃5=4〃20,

设为二|10820〃|=|4〃20|,数歹]｛瓦｝的前〃项和为Tn.

①当〃W5,且neN*^,T„=-(16+1°-4n)=18/?2n2;

;:22

②当“三6,且neN*0i,L!=75+^^f^^=18x52x5+(2n8)(H5)=2«18n+8O.

18n-2n2,n<5,且nGN*,

综上所述,〃=

2n2-18n+80,n>6,且n©N*.

18.证明若选①②n③，

设数列｛服｝的公差为由,数列｛、腐｝的公差为di.

:•当.WN*时,板>0,."1>0,龙>0.

nn)d2

.".Sn=na\+^'^l=y-n+^a1-y^?.

火器n=同+(〃1)必，

.：Sn=ai+d弘〃1)2+27d2(〃1)=d枷2+(2A^力2或)〃+或2+ai,

•••9==2V«i<^22^2,d^ly[a[d2+a\=Q,-'-“=9,d2=V^L即di=2ai,.".

a2=ai+di=3ai.

若选①③今②，

设等差数列｛z｝的公差为d.

因为。2=3。1,所以ai+d=3ai,则d=2ai,

12

所以Sn=na\+^-^-d=nai+n(nl)ai=nai,所以店—房;二几7Q](ZZ\)yjQ]=7Q].

所以｛店｝是首项为圾，公差为圾的等差数列.

若选②③今①，

设数歹I｛店｝的公差为d,则我一6=4

即+Q2-V—d.

S*4Z2=36ZI,AJ4al—y[a[=d^?d-y[a[,

・•・yf'S^=

即Sn=n2ai,

当时,Q“=S〃S〃I=〃2QI(〃1)2QI=(2〃1)QI,

当n=l时⑷符合式子an=(2nl)a\,

•：a〃=(2〃l)〃i,〃£N*,・：〃〃+IQ〃=2QI,

即数列｛z｝是等差数列.

19.解(1)设正项等比数列｛所｝的公比为幽>0).

因为。3是2QI,3〃2的等差中项，所以2Q3=2QI+3〃2,即2〃应2=2〃1+3〃原因为⑶知,所以

1

2q-3q2=0,解得q=2或q=](舍去).

nln

所以a4=aiq3=8ai=16,解得ai=2.所以aw=2x2=2.

(2)由⑴可知如+i=22〃+\

所以bn=(l)/!10g2«2n+1=(1)nlog222n+1=(1)n(2/J+1),

所以^(I)1x3+(l)2x5+(l)3x7+-+(l)n(2n+l),

4=(l)2x3+(l)3x5+(l)4x7+…+(l)/i«2〃+l),

所以24=3+2[(1)2+(1>+…+(1再(l)"+i(2〃+D=3+2x

1士;)1)”(2〃+1)=3+1⑴疝+(1)"(2〃+1)=2+(2咒+2)(1)",

所以G=(〃+l)⑴叮.

20.解⑴若选①，则2Sn=nan+i.

当n=l时,2SI=<72,又Si=ai=l,所以42=2.

当〃三2时,25"1=(〃1)外,所以2an=nan+i(nl)an,

即(〃+1)。〃="。〃+1,所以=手(">2).

又等=1,所以当n与2时3=1,即an-n.

又a\-\符合上式，所以an-n.

若选②，则当n-1时,251=。2。1,可得。2=2.

当时可得2an=anan+ianani.

由田>0,得an+iani=2.

又m=〃2=2,所以｛如｝是首项为2,公差为2的等差数列,｛或九｝是首项为1,公差为2

的等差数列，所以z二九

若选③,因为成+z=2S〃，

所以当时,QMI+ZI=2S〃I,两式相减得碓+〃〃就_1斯1=2瓯即(o〃+a〃i)(a〃aml)=0.

由一＞0,得“Mil1=0,即-1=1,所以｛“〃｝是首项为1,公差为1的等差数列，所以

an=n.

(2)由⑴知仇=(〃+1)2,

所以4=2x2+3x22+4X23+・・・+(〃+1)・2”,

24=2x22+3x23+4X24+・・・+(〃+1>2叫

两式相减，得

Tk=4+22+23H----卜2"(〃