2024年全国普通高中九省联考模拟数学试题(三)

2024年高考模拟数学试题（三）试卷+答案

本套试卷根据九省联考题型命制，题型为8+3+3+5模式，适合黑龙江、吉林、安徽、江西、甘肃、河

南、新疆、广西、贵州等省份考生模拟练习.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

L某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学

成绩不小于103分的人数至少为（）

A.220B.240C.250D.300

2.设是圆。上两点，若MN=2,则砺.丽=（）

A.-4B.-2C.2D.4

3.甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人都等可能地把球传给另一人，由甲开始传球，作为第一次传球，

经过3次传球后，球回到甲手中的概率为（）

A.-B.—C.-D.L

81642

4.已知分别为椭圆c:菅+3=1的两个焦点，p为椭圆上一点，则|PF|2+『吁-2|PF||PF|的最大值

为（）

A.64B.16C.8D.4

5.已知数列3｝为等比数列，S是它的前〃项和，若4.G=2。,且。与2a的等差中项为:，则S=

5

nn231474

（）

A.35B.33C.31D.29

6.甲、乙两个圆锥的底面积相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为"、S体积分别为

甲乙

sV

9、匕，若h=2,则寸等于（）

甲乙3V

B,也C2M

A.V10

,5

7.如图,F,尸是分别是双曲线二一四b>0）的左、右

12/7。?2In/"7）2

点，尸为双曲线右支上的一点，圆M与△尸勺勺三边所在的直线都

切，切点为A,B,C,若|尸目=。，则双曲线的离心率为（

A.^2B.2C.百D.3

8.已知85（4。。一。）+85（40。+。）+©05（8。。一。）=0,则tan®=（）

A.-73B.一也C.3D.百

33

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.非空集合A具有如下性质：①若x,yEA,则工£白；②若羽WA,则x+yEA下列判断中，正确的有（）

y

A.-1胡B•翳日

C.若x,yGA,则孙巳4D.若x,yEA,贝Ux-yEA

10.已知函数/（X）sin23xcos<p+cos2coxsin（pj3>0,0<（p<；）的部分图象如图所示，则下列结论正确的

是（）

A./G）的图象关于点卜寸称

B./G）在区间［o,"的最小值为一;

C.为偶函数

D./G）的图象向右平:个单位后得到y=sin2x的图象

11.已知定义在R的函数/G）满足以下条件：

（1）对任意实数x,y恒有/G+y）fG）/（y）+fG）+f（y）；

（2）当x>0时，/G）的值域是（0,+℃）

（3）/（1）=1

则下列说法正确的是（）

A./（x）值域为Ll,+s）B./（x）单调递增

3_f（Q

C./'（8）=255D./J：/）的解集为I+s）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知复数z满足卜-2|=卜|=2,则空=.

13.已知函数/G）=X3+2X-2T,若实数。、匕满足了（2.2）+/。2_1）=0,则4Ji+2b2的最大值为

2

14.如图，矩形ABC。中，AB=2AD,E为边AB的中点，将△4DE沿直线。E翻折成.若M为

1

线段AC的中点，则在△4DE翻折过程中，下面四个选项中正确的是

1

(填写所有的正确选项)

(1)怛必是定值

(2)点M在某个球面上运动

(3)存在某个位置，使。EJ.AC

1

(4)存在某个位置，使M3〃平面A

1

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)两个安全设备间由一组对接码进行“握手”连接，对接码是一个由“1,2,3,4”4个数字组成的

六位数，每个数字至少出现一次.

(1)求满足条件的对接码的个数；

(2)若对接密码中数字1出现的次数为X,求X的分布列和数学期望.

16.(15分)已知函数/(x)=lnx-a(x-l).

(1)当。=1时，讨论/G)的单调性；

(2)若/G)有两个零点，求”的取值范围.

3

n7i

17.(15分)如图，在四棱台ABCZ5-A/吗G0中，底面ABC。是菱形，ZABC=~,ZB;BD=-,

(1)求证：直线ACJ_平面B£>吗；

(2)求直线A,与与平面ACJ所成角的正弦值.

18.(17分)已知抛物线€:》2Px(p>0)的焦点为尸，斜率为左—0)的直线过点十多。｝交C于

A,B两点，且当k=；时，|4川+步周=16.

⑴求C的方程；

AF\AQ\2

⑵设C在42处的切线交于点。，证明港一

\BQ|2

19.(17分)若项数为k/eN*,k33)的有穷数列伍｝满足：OWa<a<a<-<a,且对任意的

n123k

i,jQWiWjWk),a+a或。-。是数列｛a｝中的项，则称数列伍｝具有性质尸.

jijinn

(1)判断数列0,1,2是否具有性质P,并说明理由；

(2)设数列仅｝具有性质p,a。=1,2,…，口是｛。｝中的任意一项，证明：。-a一定是伍｝中的项;

ninkin

(3)若数列｛。｝具有性质p,证明：当z25时，数列｛。｝是等差数列.

nn

4

2024年高考模拟数学试题（三）试卷+答案

（题型同九省联考，共19个题）

注意事项：

].答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学

成绩不小于103分的人数至少为（）

A.220B.240C.250D.300

答案B

解析由1200x80%=960人，所以小于103分学生最多有960人，所以大于或等于103分的学生有

1200-960=240人.故选B

2.设",N是圆。上两点，若MN=2,则砺.旃=（）

A.-4B.-2C.2D.4

答案C

解析设"N中点为尸，则。PLMN,

所以质•旃=岛+而）.丽=办.丽+而•丽=^^+0=2.解法二：

cosZOMN=

3.甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人都等可能地把球传给另一人，由甲开始传球，作为第一次传球,

经过3次传球后，球回到甲手中的概率为（）

A.-B.—C.-D.

8164

答案C

解析设甲、乙、丙三人用Ac,由题意可知：传球的方式有以下形式,

5

(Q,b,Q,Z?),(Q,b,a,C),(Q,Z?,C,〃),(〃,/?,c,b),(a,C,Q,Z?),(Q,C,Q,C),(a,c,瓦c),

21

所求概率为故选C

84

4.已知«分别为椭圆。：看+亍1的两个焦点，P为椭圆上一点，则吃F+|吗2-2修|吗的最大值

为()

A.64B.16C.8D.4

答案B

解析：|「呼+1”F-21PqiPPJ=«「勺卜I”,

因为椭圆上的点P满足|PF|-|PF|<|FF|,当点P为FF的延长线与C的交点时，|P,I-|竺I取得最大

值，最大值为归勺1=4.所以『呼+『吁一2|尸邛”|的最大值为16.故选B.

5.已知数列3｝为等比数列，S是它的前〃项和，若a-G=2a,且a与2a的等差中项为以，则S=

5

nn231474

()

A.35B.33C.31D.29

答案C

解析设等比数列的公比为“，则。〃=aq-aq2=2a,所以。=2,

231114

515)16(Y)5)

又〃+2〃=a+2。0=处—,解得q-=,〃16,端以S~=^~~——=~：---31,故选C.

47444215l-q

2

6.甲、乙两个圆锥的底面积相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S田、S体积分别为

甲乙

sV

%、V乙，若丁=2,则声等于()

乙乙

「2M

A.MB.L•-------D.

56

答案B

解析设甲、乙两个圆锥的母线长分别为/,/.

12

由甲、乙两个圆锥的底面积相等，得出两个圆锥底面圆半径相等，设为厂.

2兀/2兀/Yr

由侧面展开图的圆心角之和为2兀，得力——=2兀，则7+1=1①.

1212

6

qTtlI

因为丁=2,则r打2,所以/=2/②，

S兀力/12

乙22

由①②解得/弃,/I，所以甲圆锥的高/?=」/2一r2=,9r2一厂2=20r,

1221Y1

乙圆锥的图"二J/2—T2=二——r，

2*22

2应■

—^nh—2—Tin4加

3Ti卷一.故选B.

乙-E7

326

7.如图，F,尸是分别是双曲线三一21l(fl>0,6>0)的左、

12a2b2

点，P为双曲线右支上的一点，圆M与△尸尸尸三边所在的直线都

12

切，切点为A，B,C,若|PB|=。，则双曲线的离心率为()

A.0B.2C.出D.3

答案B

解析：连接MA,MC,MF,

1

由直线和圆相切的性质，可得声4|归回a,设

性却归C|x,由双曲线的定义可得，|尸,卜|尸阴=2°,

则|P4|=2a+|PFj=2a+|尸回+怛Fj=3a+x,

\AF\=\AP\+\PF\=4a+x,|FC|=|FF|+|FC|=2c+x,

由圆外一点作圆的切线，则切线长相等，即有4a+x=2c+x,即c=2a,

仁22.故选B.

a

8.已知cos（40。一。）+cos（40。+。）+cos（80。一。）=0,则tan®=（）

A.-J3B.一遮C.BD.Ji

33

答案A

解析H^cos（40°-6）+cos（40°+6）+cos（80°-6）=0,

所以cos4（）Ocos0+sin40°sin0+cos4O°cos0-sin40°sin0+cos8O0cos0+sin8O°sin0=0,

所以2cos40°cos。+cos8O0cos0+sin8O°sin0=0，

所以2cos400+cos800+sin80°tan。=0,

7

匚匚“a2cos400+cos80°2cos(120°-80°)+cos80°

所以tan。=----------------=

sin80°sin80°

2(cos120°cos800+sin120°sin80°)+cos800在sin80°

-布.故选A.

sin80°sin80°

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.非空集合A具有如下性质：①若x,yEA,则工£白；②若羽WA,则x+yEA下列判断中，正确的有（）

y

A.-IgAB•翳日

C.若x,yGA,则孙巳4D.若x,yEA,则x-yGA

答案ABC

解析：对于A,假设-1EA,则令x=y=-l,则上=1EA,x+y=-2GA,

y

令x=-l,y=l，则上=-1EA,x+y=0EA,令x=l,y=0,不存在工，即yWO,矛盾,

yy

-164.故A对;

对于5,由题，1GA,则1+1=2巳4,2+l=3EA,・・・，2022GA,2023GA,

••・翳讯故5对;

对于cjt•*1eA,xGA,/•—■eA,

x

VJGA,—GA,・••干=xyGA,故C对;

x±

X

对于Z),VIGA,2GA,若X=2,y=l,则x-y=lGA,故错误.故选ABC.

(

10.已知函数/（X）sin2coxcos(p+cos2coxsin(pfco>0,0<p<—的部分图

象如图所示，则下列结论正确的是（）

/G）的图象关于点［g,。］对称

A.

B./（X）在区间。目71的最小值为彳

2

C.小为偶函数

D./G）的图象向右平二个单位后得到y=sin2x的图象

6

答案BC

解帕/（x）sm（23x+总由图象可知即sin*,又0所以中=£，

8

由五点作图法可得cox2?兀+B7T=T371，解得①=2,所味/(X)sin)2x+兀-、,

362v07

对于A：dq)=sin[g+\|=T,所以/(x)的图象关于x=-(对称，故A错误；

「兀1兀「兀7兀](兀、「11「兀11

对于B：当冗£0,—时，2x+—G—sin2x+-e--,1,即/(%)在区间0,—上的最小值为-；,

2J6|_66」16/1_2」1_2」2

故B正确；

对于C：/(x+g(兀、兀

sin2x+—+-=sin|2x+-COSX,C

LI6j6_I2,为偶函数，故正确.

71(兀、兀sin(2x-的图象，故D错误；故

对于D：7(%)的图象向右平移7个单位后得至的sin2x---+-=

6LI6J6_

选BC.

11.已知定义在R的函数/G)满足以下条件：

(1)对任意实数x，y恒有/G+y)f(x)fG)+fG)+f(y)；

(2)当尤＞0时，/G)的值域是(o,口)

⑶/(i)=i

则下列说法正确的是()

A./G)值域为［-1,4-00)B./G)单调递增

3_f(\

c./(8)=255D.］［；(；)的解集为1+8)

答案BCD

解析对选项A：令，1可。可得/心)/(1)/(0)+/(0)+/(1),^f(0)=0,

令y=-X可得/(0)=/(一x)/G)+/Q)+/(-x),/(-x)^-l,

/G)=/1!)?I=T+/(，)+I，当x<0时，/(T)>0,则/(x)=T+/(_：)+i>T，

综上所述：/G)e(-1,+»),错误；

对选项B：任取ER且x〉x,/(x-x)>0,f(x)>-1,

1212122

则)—/(x)=/(%—X+冗)—/(x)=/(x-1)/(x)+/(x)/(x-x)F/G)+11>0,所以函

1212221221212L2J

9

数y=/G）在R上单调递增，正确；

对选项C：取有卢1得到/L）/（1）/（1）+/（1）+X1）3；

取*户2得到4）/（2）/（2）+/（2）+742）15；

取*卢4得到世8）/（4）/（4）+/（4）+/=（4）255,正确;

对选项D：/［省,/[/(X)][1+/G)]>3-/(X),

即/[/G)]fG)+fG)+f[fG)]=/[X+/G)]>/(2),

即x+y(x)N2,又函数g(x)=x+/(x)单调递增，且g(l)=l+l=2,故xNl,正确;

故选BCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知复数z满足卜-2|=卜|=2,则百=

答案-8

解析设片a+bi,则z-2=a-2+Z?i,

。2+/72=4

所以(a-2》+从=4'解得

当^l=bV?时，z=1+-J3iJ故Z2=

G+2后)(+V§1)=-2+6i2=-8；

空二

当a=l,6=-4时，=1-后,故z2=(一占)=1-2.+3i2=—2—2/,

Z3=C2—2'^'i)(―^/5i)=—2+6i2=—8,故答案为—8

13.已知函数/（X）=X3+2.2-£,若实数a、6满足/（2a2）+/Q-1）=。，则。向与7的最大值为

3

答案7

4

解析函数/（X）的定义域为R,且/（一x）=（—X）+2T-2,=-x3+2f—2%=-f（x）,

所以，函数/（X）为奇函数，因为函数y=%3、y=2x、丁=-2-均为区上的增函数，故函数/（X）在R上为

10

。2一1）=/（1一"）,

增函数,

所以，2a2=1一小，即2a2+从=1,当外/1+2核取最大值时,则。＞0,

所以，aJl+2比.（1+2心或+1卜止步!

而22/?2+1逅

4

当且仅当＜2〃2+6=1时,即当＜等号成立,

1

〃＞0b=+

2

因此，._____的最大值为3:.3故答案为:

14.如图，矩形ABCD中，AB=2AD,E1为边AB的中点,将aAOE沿直线。E翻折成△AOE.若Af为

1

线段AC的中点，则在△AOE翻折过程中，下面四个选项中正确的

1

是（填写所有的正确选项）

（1）怛叫是定值

（2）点M在某个球面上运动

（3）存在某个位置，使

1

（4）存在某个位置，使〃平面4OE

1

答案（1）（2）（4）

解析取CD中点Q,连结/。，BQ,

则MQ//D4,BQ//DE,

1

平面M8Q〃平面AOE,又•.•MBu平面M3。，

1

平面AOE,故（4）正确；

1

由NAi=1AD定值，好亦定值,

由余弦定理可得MB2=MQ2+QB2-2MQ•QB•cosZMQB

所以M3是定值，故（1）正确;

•••5是定点，是在以5为球心，MB为半径的球面上，故（2）正确;

■.■ZADE=ZADE=^,NCDE=45。,且设AO=1,A2=2'

11

则GE五，

若存在某个位置，使DE1々C,则因为DE2+CE2=CD2，即CE，DE,因为\CnC£=C，则DE1平面ACE,

所以DELAE,与D4LAE矛盾，

111

故(3)不正确.故答案为：(1)(2)(4)

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)两个安全设备间由一组对接码进行“握手”连接，对接码是一个由“1,2,3,4”4个数字组成的

六位数，每个数字至少出现一次.

(1)求满足条件的对接码的个数；

(2)若对接密码中数字1出现的次数为X,求X的分布列和数学期望.

解析(1)当对接码中一个数字出现3次，另外三个数字各出现1次时，种数为：

OA64x6x5x4x3x2xl

­।一&。---------------480,2分

A33x2x1

3

当对接码中两个数字各出现2次，另外两个数字各出现1次时,

4x3一

,八A---x6x5x4x3x2xl

种数为22x1----------------[080,..........4分

A2A22xlx2xl

22

所有满足条件的对接码的个数为1560..........5分

(2)随机变量X的取值为L2,3,

CiAsC2A6

__36.+__36

P@@上_上丝.........7分

156026

QA?

P&9,9分

156026

C3A31

Pa0—6-----3=11分

156013

故概率分布表为:

13分

16.(15分)已知函数/(x)=lnx—〃(x—l).

12

(1)当。=1时，讨论/(X)的单调性；

(2)若/G)有两个零点，求。的取值范围.

解析(1)当a=l,/GXlnx-x+lG>0),则广(%)=--1=1^,

XX

令r(r)>0解得O<X<1,令/(x)<0解得x>l,

所以/G)在(0,1)单调递增，在(1,+«0单调递减..........4分

(2)由题意可得x>0,r(x)=」—a=E竺，.........5分

XX

当aWO时，/'Q)>。恒成立，/G)单调递增，故至多有一个零点，

不符合题意，.........7分

所以a>0,由尸G)>0解得0<尤<!，由/'(x)<0解得x>1，

aa

所以/(X)在单调递增，在+8］单调递减，

所以由零点存在性定理可得若/G)有两个零点，则小］=1/_尸-1］>0,

\a)a\a)

即In〃一a+l<0,...................9分

令g(a)=lna-a+1,由(1)得g(〃)在(0,1)单调递增，

在(1,+8)单调递减，..........11分

又g(D=O,所以由g(a)<0解得ae(0,l)U(l,+8),...................13分

因为/Q«)=lne-a-aG-a-l)=-ae—“<0,

所以由得在e-。和工之间存在一个零点，.........14分

又/'(1)=0,所以a的取值范围为(o,l)u(l,+s)....................15分

71兀

17.(15分)如图，在四棱台ABCA-A//CQ,中，底面4BC。是菱形，ZABC=-,ZB.BD=-

36

NBBA=NBB*AB2AB2FBB3

ii।ii

(1)求证：直线AC,平面8。吗；

(2)求直线A,%与平面ACq所成角的正弦值.

解析(1)连-接AC8。交于。，

13

因为=/BBA=/BBC,BB=BB,

ii1i

所以AB3C=AB3A,故BA=3C

iiii

又因为o为菱形对角线交点，即是线段AC的中点，所以BOLAC

1

又四边形A8C。为菱形，故ACL8。

而30口3。=0,所以ACJ_平面

11

方法二：因为/BA4=/BBC,

11

所以点q在平面ABCD内的射影。在为/A5C的平分线，

又四边形A8C。为菱形，故BO为NA8C的平分线，则Oe直线2。

故平面BDBJ■平面ABCD,而平面BDBA平面ABCD=BD，

11

又四边形A8CD为菱形，故

所以AC,平面出汨

1

（2）延长44,33,CC,DD交于点尸，平面808即为平面尸，平面ACC即平面ACP

111111

由（1）得平面ACP_L平面BDP,0P=平面ACPPl平面BDP,

所以过3做尸，则平面ACP,故/84”即为直线48与平面4口7所成角（若研究直线

11111111

AB与平面ACC所成角的正弦值则线段等比例扩大2倍结果不变）

1

因为四棱台ABC。一ARCR4A3号V2,所以A8=1,BP=6

n

由菱形有48SC2,且/ABC=w，所以8。=2

兀

作因为/勺3。=不，则3G=34，PG,所以

POdBG?+PGz叵,

,36+21-39s3手

则nc°s"PO次西无T'sin4P0=m

14

故sinZBA//=£^=生.

「BA14

11

法二：延长A4,5B,CC,DD交于点尸，

iiii

平面5。勺即为平面尸，平面ACq即平面A”,

14

设直线A8与平面ACC所成角为。

111

过户作垂足为G,因为8P=6,所以

建系，以。氏。。为羽y轴，作z轴//GP,

设平面ACP的法向量为机=（x,y,z）,贝!J

2y=0

-2y/3x+y+3z=0'

所以机=（二叵,0,1），

2

cos-----3,--^=诉［、］.03币

1••'cc312J714，所以sine=：

2x2x/—FI14

\4

即直线A.B.与平面ACC.所成角的正弦值为止.

14

18.（17分）已知抛物线€:户2Px（p>0）的焦点为忆斜率为斤（%0）的直线过点尸交C于

A,B两点，且当k=；时，|AF|+|BF|=l6.

⑴求C的方程；

AF\AQ\2

⑵设。在48处的切线交于点Q,»-=

\BQI2

解析（I）设斜率为且过点尸的直线为/：不my-4，其中机=之

2k

设AGJ>］）,5G^，八）•当％=g时，l：=x2y_g将其与€：”2Px（p>0）联立，消去工得:

尸-4py+p2=0,由韦达定理有y丰y4p,myp2.

i2i2

又由抛物线定义知|AF|+|8F|=X］+x,+p,又X］+x,=2（*+y,）-p,结合

\AF\+\BF\^l6,则8P=16np=2.得C的方程为y2=4x；.........5分

（2）由（l）可得，P（-l,0）,则/：?my-l,将其与抛物线方程联立，

15

消去x得：产一4畋+4=0,贝(Jy*y4m,y4.

1212

设C在A点处的切线方程为am(y-y)+x,

111

C在B点处的切线方程为mm(y-y)+x.

8分

222

将m机(y-y)+x与y2=4x联立，消去x得:

y2—4my+4my-4x=0,

1111111

因片m(y-y)+x为抛物线切线，则

联立方程判别式A16m2-16my+0,

1111

又y2=4x=>16x

111

则16m2-16my+16x=16加2-16my+4y2-yr=0,

111111111

得m=工，同理可得相

i22

x=m-y)+x

将两切线方程联立有1\1,代入机m

%=m-yJ+x12

222

yy

X=F21,得。(1,2冽).

解得4

2

y■2m

2

1

则I叫2=Q-l)+(y-2m)，又％=⑺-1,

iiii

=(my一2)+(y-2m)=Cn2+i)y

则|4。|2-Smy+4加2+4,

1

同理可得=Cn2+1

Smy+4机2+4.12分

2

AFx+1my-1+1

注意到联-----}—―--y

x+1my-1+1y，

222

则/需|2

等价yjBQfjjA。'下面说明七口q2=|Ag|2

|2

yW02—(m2+1)yy2-Smyy+4C12+l)y,因yy=4,

12

则y忸。"4Cn2+1)(>+y)-32m.又y|A2|2=

VH2+1)y>2-8myy+4Q2+1))=4Cn2+1)(y+y)-32m,

2112212

16

..,,AF\AQ\.|2

则y|52|2=y17分

|A。'故正］BQI2'

19.(17分)若项数为人(AeN*,左三3)的有穷数列｛、｝满足：0W4<%<%<…<4，且对任意的

i,jQWiWjWk),a+。或。-a是数列｛a｝中的项，则