高考数学圆锥曲线复习

圆锥曲线

一、知识结构

1.方程的曲线

在平面直角坐标系中，如果某曲线c(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一

个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲

线叫做方程的曲线.

点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点P°(x°,y°)在曲线C上=f(x°,y。)=0；

点PQ(xo,yQ)不在曲线C上=f(xo,yQ)#0

两条曲线的交点若曲线q,q的方程分别为彳&,丫)=0,5@,丫)=0,则

£(")=。

点%(七,八)是q,q的交点0.

方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线

就没有交点.

1-

2.圆

圆的定义：点集：(M|IOM|=r},其中定点。为圆心，定长r为半径.

圆的方程：

(1)标准方程

圆心在c(a,b),半径为r的圆方程是

(x-a)2+(y-b)2=r2

圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是

X2+y2=r2

(2)一般方程

当D2+EZ-4F>0时，一元二次方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0

DE<D2+E2-4F

叫做圆的一般方程，圆心为(-1,-])，半径是-——------.配方，将方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0化为

DED?+E2-4F

(X+y)z+(y+y)2=-------------------

当D2+E?-4F=0时，方程表示一个点

DE

(-——)•

2'2

当Dz+E2-4F<0时，方程不表示任何图形.

点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x°,y。)，贝

IMCI<rO点M在圆C内，IMC|=rO点M在圆C上，IMCI>rO点M在圆C内，

其中IMC|=J(x-a)2+(y-b)2.

(3)直线和圆的位置关系

①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系

直线与圆相交=有两个公共点

直线与圆相切=有一个公共点

直线与圆相离=没有公共点

②直线和圆的位置关系的判定

(i)判别式法

7A?+B?

-2-

3.椭圆、双曲线和抛物线基本知识

\曲

椭圆双曲线抛物线

质

{MIIMFI+1MF|{MIIMFj-IMFI.{MI1MFI=点M到

轨迹条件22

=2a,|F.F.1<2a}=±2a,IF.F.I>2a}.直线1的距离}.

91

•1

j

圆形一--，一-

uiK2

-

y7二

犬2户X2y2

标准方程—+——1(a>b>0)---=l(a>0,b>0)y=2px(p>0)

CL2/72〃2Z?22

A](-a,0),A2(a,0);

顶点A1(0,-a),A2(0,a)0(0,0)

B,(0,-b),B/0,b)

对称轴x=0,y=0

对称轴x=0,y=0

轴长轴长：2a对称轴y=0

实轴长：2a虚轴长：2b

短轴长：2b

P

F(-c,0),F(c,0)*(-c,0),F(c,0)F(],0)

焦点

焦点在长轴上焦点在实轴上

焦点对称轴上

1FF|=2c,1FF21=2c,

12

焦距

c=Ja2-b2c二Ja2b2

P

x=—-

X二土——X二土——2

准线准线与焦点位于顶点

准线垂直于长轴，且在准线垂直于实轴，且在两两侧，且到顶点的距离

椭圆外.顶点的内侧.相等.

C

离心率e=—,0<e<le二—，e>1e二l

aa

-3-

4.圆锥曲线的统一定义

平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线1的距

离之比是一个常数e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,0)称为焦点，定直线

1称为准线，正常数e称为离心率.

当0<e<l时，轨迹为椭圆，当e=l时，轨迹为抛物线当e>l时，轨迹为双曲线

5.坐标变换

坐标变换在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)

叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改

变点的坐标与曲线的方程.

坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变

换叫做坐标轴的平移，简称移轴.

坐标轴的平移公式设平面内任意一点M,它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y),在新坐

标系x'0,y'中的坐标是(x'，y').设新坐标系的原点0,在原坐标系xOy中的坐标是

(h,k),则

1

x=x'+hrx=x-h

(1)S或⑵"

ly=y'+ky'=y-k公式⑴或⑵叫做平移(或移轴)公式.

中心或顶点在点k)的圆锥曲线方程见下表.

方程焦点焦线对称轴

(x-h)2।(y-k)2_]Q2x=h

x=±---+h

。(±c+h,k)

2b2cy二k

椭圆

(x-h)21(y-k)2=]Q2x二h

(h,±c+k)y-±---+k

b?Q2cy二k

(X-h)2(y-k)2Q2x=h

----------------=1二土—+k

。2Z?2(±c+h,k)

y二k

双曲线

(y-k)2(x-h)2Q2x=h

---------------二1y二土—+k

Q2(h,±c+h)

b2y=k

pp

(—+h，k)x=--+h

(y-k)2=2p(x-h)2y=k

pp

(-2+h,k)x=——+h

(y-k)2=-2p(x-h)2y二k

抛物线p

(h,y+k)y=-——+k

(x-h)2=2P(y-k)2x=h

p

(h,-y+k)y=——+k

(x-h)2=-2p(y-k)2x=h

-4-

二、知识点、能力点提示

(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点

说明在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简.特别是在

求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求出的曲线方

程才能准确无误.另外，要求会判断曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.

三、考纲中对圆锥曲线的要求：

考试内容：

.椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程；

.双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质；

.抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质；

考试要求：

.(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；

.(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；

.(3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；

.(4)了解圆锥曲线的初步应用。

四.对考试大纲的理解

高考圆锥曲线试题一般有3题(1个选择题,1个填空题,1个解答题)，共计22分左右，考查的知

识点约为20个左右.其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查.选择题和填空题考查以圆锥

曲线的基本概念和性质为主，难度在中等以下，一般较容易得分，解答题常作为数学高考中的

压轴题，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考

查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥

曲线的位置关系，往往结合平面向量进行求解，在复习应充分重视。

-5-

求圆锥曲线的方程

【复习要点】

求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转

化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好

圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一

起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法

一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.

定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.

定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个

坐标轴上时，可设方程为mx2+ny-=1(m>Q,n>0).

定量一由题设中的条件找到''式"中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.

【例题】

【例1】双曲线K-#=l(bGN)的两个焦点/、F,,P为双曲线上一点，

4b2

102<5,1尸阡,叫工1,1尸々1成等比数列，则b2=.

解：设々(一c,0)、4(c,0)、尸(x,y),则

IP-口+l尸禺2=2(|PO[2+|尸]O[2)V2(52+C2),

即l%|2+l%2<50+2C2,

又VIPF1I2+IPF2I2=(IPF1I-IPF2I)2+2IPF1I-IPFJ,

依双曲线定义，有LP/I—1尸4=4，

依已知条件有炉3l•IPf^2l=炉lf2|2=4c2

17

・•・16+8*<50+2*・・.c2VLL,

3

175

又Vc2=4+Z?2<—,：.b2<~,.•.62=1.

33

【例2】已知圆C,的方程为1_2>+(丫-1)2=型，椭圆C,的方程为

132

—+^-=l(a>b>0),q的离心率为电，如果J与C,相交于A、B两点，且线段AB恰

a2b22212

为圆C的直径，求直线AB的方程和椭圆C,的方程。

解：Efee=——=---,a2=2c2,b2=

2a2

设椭圆方程为三+止=1.

2b2b?

设A（4,支）.5（冗2，＞2）由圆心为（2,1）.

?.x+x=4,y+v=2.

12，71

又£+*=i,且+”=1,

2b2b22b2b2

-6-

两式相减，得立玉+汇21=。

2b2b2

（.+%）（%-犬2）+2（%+，2）（，1—>2）=0，

又4+4=4./+>2=2.得：1_?二一1.

X1X2

直线A3的方程为y-1=-（％-2）..

即y=一工+3

将y=—x+3代入工+上=1,得

2b2b?

3X2-12X+18-2Z?2=0.

直线A3与椭圆。2相交.A=24b2-72>0.

由A3］二_%21=+%2）2-4%产2=

得6必)2拿

解得点=8.故所有椭圆方程北+21=1.

168

【例3】过点(1,0)的直线/与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为业的椭圆C

2

相交于A、B两点，直线产;x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于

直线/对称，试求直线/与椭圆C的方程.

解法一：由e=£=s,得电-空=L,从而a2=2b2,c=b.

Q2。22

设椭圆方程为"+2》2=2624々在椭圆上・

则x^2y^=2b2,x^+2y^=2b2^式相减得，

设AB中点为(%,%),则kA=~升,

'o

又(%,%)在直线产3X上,%=g%,

设I的方程为J=—X+1.

右焦点3,0)关于i的对称点设为a'y),

-7-

r-=i

xbx'=l

则，~解得

yr=l-b

由点(1,1—b)在椭圆上，得1+2(1一份2=26力2=2,Q2=2.

168

・••所求椭圆C的方程为平+为尸=1」的方程为广一x+1.

神军法二：由e=£=,得—~~—二—，从而a2=2b2,c=b.

。2。22

设椭圆C的方程为壮+2乃=2〃,/的方程为尸十一1）,

将I的方程代入C的方程，得(1+2依)承一4左2%+2依一2〃=0,

i4"2Dk

则X+X=---------,y,+y7=k(x—l)+k(x—l)=k(x+x)—2k=——-——

121+2^21212121+2/2

直线/：>=」苫过48的中点（匕士马,①二）,贝1」二^12k2

2221+2。21+2左2

解得k=0,或k=-1.

若左=0,则/的方程为广0,焦点打。,0）关于直线I的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上,

所以k=0舍去，从而k=~\,直线I的方程为y=—（x—1）,即y=—x+1,以下同解法一.

解法3：设椭圆方程为丑+21=1（。>方>o）⑴

。2b2

直线/不平行于y轴，否则AB中点在X轴上与直线y=gx过AB中点矛盾。

故可设直线/的方程为y=Mx-1）（2）

⑵代入⑴消y整理得：(k2a2+〃)x2_2k2a2工+0242_0262=0(3)

2k2a2

如(xj%)8(无2，＞2),知：X]+4

k2a2+b2

又V]+>2=女（%]+与）一2%代入上式得:

,2k1,c,后2a2+621,,1J2

k-------——,k—2k----------—―，k—k-----=一,---

22k2a22版222

.-.k=--=-^a~^2)=-2+2e^=-l,...直线/的方程为y=l-无，

a2a2

止匕时〃2=2Z?2,方程(3)化为3%2_4X+2—2Z?2=0,A=16-24(1-b^)=8(3Z?2-1)＞0

「.》＞、，椭圆。的方程可写成：12+2y2=2/72(4),又02=。2一=匕2,

.•・右焦点/3,0)，设点/关于直线/的对称点(5,%),

-8-

yo=1

X—h

则o=>x-1,y=l-b,

yx+b00

-UX.=1——Q----

122

又点（1,1-加在椭圆上，代入（4）得：1+2（1-初=2匕2,.“二之〉正,

43

99

-2-

8-

16

所以所求的椭圆方程为：wI

816

【例4】如图，已知△尸0尸,的面积为卫，尸为线段尸产，的一个三等分点，求以直

12412

线。尸「。尸，为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程.

122

解：以。为原点，/々。匕的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系

设双曲线方程为上-二=1（。>08>0）

。2b2

由《2=丝=1+（2）2=（巫）2,得2=2.

a2a2a2

...两渐近线0々、0P2方程分别为y=gX和y=一3x

设点P]（X],-%]）,尸2（入2「3凡）（%>0%>°），

则由点尸分尸b所成的比券1C=2,

12组

得P点坐标为（％+2%,%-2%

32

又点尸在双曲线工-勺士=1上，

a29a2

所以（%+2%）2..。1-2y=],

9。29a2

即(兀]+24)2—(%]—2%)2=9。2,整理得8%产2=9〃2①

又I*'lx/++/=OP1=^A-2+^X2而

22---X

22

2tanPOx2a12

-------1----_2

sn1Pgp②

1+tan2Po%i+213

1

4

1227

S=-\OPI/O尸IsinPOP=-—XX

州。尸221212241213

即%产2=2②

-9-

由①、②得“2=4,62=9

故双曲线方程为三-止=1.

49

【例5】过椭圆C：上+出■=l(a〉Z?>0)上一动点P引圆O：x2+y2="的两条切线

。2匕2

PA、PB,A、B为切点，直线AB与x轴，y轴分别交于M、N两点。⑴已知P点坐标为

%。，V。)并且％丫0#。，试求直线AB方程；⑵若椭圆的短轴长为

8,并且，1—+上—="，求椭圆C的方程；⑶椭圆C上

\OM|2IONP16

是否存在点P,由P向圆。所引两条切线互相垂直？若存在，请

求出存在的条件；若不存在，请说明理由。

解：⑴设他，%)，B(X2,y2)

切线PA：x^x+y^y=b2tPB：x^x+y^y=b2

,；P点在切线PA、PB上，X]X()+匕丫0=£»2尤2%+>2>0=。2

x

直线AB的方程为XQX+yQy=b-(QyQ*0)

(2)在直线AB方程中，令y=0,则M(打，0)；令x=0,则N(0,—)

%与

2222

--a----+---b---=—a(.—yo^-+-o-)=—a=—25

IOMI2|ON|2b2。2b2b216

2b=8b=4代入①得。2=25,"=16

椭圆C方程：孙力0)(注：不剔除xyWO,可不扣分)

(3)假设存在点P(x0,y。)满足PA_LPB,连接04、OB由|PA|=|PB|知,

四边形PAOB为正方形，|OP|=«|0A|.•.呼+环=262①

又点在椭圆C上a2x^+b2y^=a2b2②

由①②知X2=丝空二"2,产=-

006—b2

*.*a>b>0a2—b2>0

(1)当02—2b2>0,即0>拒8时，椭圆C上存在点，由P点向圆所

引两切线互相垂直；

(2)当02—282色0,即b<a<7’2b时，椭圆C上不存在满足条件的P点

-10-

【例6】已知椭圆C的焦点是F](―6,0)、F2(石，0),点F]到相应的准线的

距离为在，过F,点且倾斜角为锐角的直线/与椭圆C交于A、B两点，使得|F,B|=3|F,A|.

3222

(1)求椭圆C的方程；(2)求直线/的方程.

解：(1)依题意，椭圆中心为o(o,0),c=G

点与至IJ相应准线的距离为丝=百,...m=包乂4=1，

c'3

a2=b2+c2=l+3=4

•••所求椭圆方程为工+y2=l

4-

(2)设椭圆的右准线/'与/交于点P,作AM_U',AN_L/',

垂足

分别为M、N.由椭圆第二定义，

得四」=AF\=e\AM\

\AMI2

I^S|BF2|=e|BN|

由RtAPAM-RtAPBN,得|PA\=-\AB\=2\FA1=2eIAMI-9分

22

cosZPAM='AM-=—=—="n/的斜率k=tanZPAM=.

IPAI2eV33

2x--

2

直线/的方程y=啦(％-4)即正尤-y-J6=0

【例7】已知点B(-l,0),C(l,0),P是平面上一动点，且满足I记|.|*1=丽.无

(1)求点P的轨迹C对应的方程；

(2)已知点A(m,2)在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE,且AD_LAE,判断：

直线DE是否过定点？试证明你的结论.

(3)已知点A(m,2)在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD,AE,且AD,AE的斜率勺、

卜2满足勺•卜2=2.求证：直线DE过定点，并求出这个定点.

解：(1)设P(x,y)代入IPCLIBCI=PB-C8得J(x-l)2+y2=1+兑化简得y2=4x.

-11-

(2)将A(加,2)代入y2=©得加=1,.•.点A的坐标为(1,2).

,,.,48

设直线AZ)的方程为y-2=k(％—1)代入,2=4%,得y2—,+—4=0,

kk

,444

由y=2可得y=--2,D{—+1,--2).

12kk2k

同理可设直加E:y-2=」(x-l)JV<y2=4x得E(4。+1,-4k-2).

k

2+4k

贝！J直线。片方程为：y+4左+2=-^—(%—4左2一1),化简得

k2-4k

左2(y+2)+女(冗一5)—(丁+2)=0,

k

即y+2------(x—5),过定点(5,—2).

上2一1

⑶将4九2)代入产=4x得加=1,

设直线£>E的方程为y=履+。,£>(彳乂上成%],%)

(y=kx+b

由《得NN+2(妨-2)x+4=0,

[y2=4x

k-k=2,「.——•~~~=2(x,xw1),

AOAEX-1X-112

12

y=kx+b,y=kx+b

且J11')22

2-2

;.(k2)XX2+(kb—2k+2)(々+%)+3—2)—2=0,

将X+x=一4独——,XX=—代入化简得Z?2=(上一2)2,.•.匕=±(左一2).

12人212人2

:.b=±(k-2).

^b=k-2代入y=kx+b得y=kx-bk-2=k(x+l)-2,过定点(一1,—2).

将6=2—上代入y=kx+b得y=kx+2-k=k(x-l)+2,过定点(1,2),不合,舍去，

定点为(-1,-2)

【例8】已知曲线己-21=1(。>0)>0)的离心率e=2&,直线/过A(a,0)、

a2b23

B(0,-b)两点，原点。至I]/的距离是A.

2

(I)求双曲线的方程；

(II)过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若。荷.。/=-23,求直线m的方程.

解：（I）依题意，/方程着上=1,即法-ay-帅=0,由原点。至U/的距离

a-b

为由，得,ab_也_圆又《=£=2再：.b=l,a=^3

2'a?+b2c2a3

故所求双曲线方程为三_y2=1

3

（II）显然直线m不与x轴垂直,设m方程为片收一1,则点M、N坐标（七，七）、

-12-

y=kx—\

(%,y)是方程组的解

221X2

------V2=1

3,

消去y,得(1一3左2)x2+6区一6=0①

依设，1—3%2。0,由根与系数关系，知_6^=_父

人I人—=，人xx人—

123%2-1123k2-1

OMON=(x,y)-(x,y)=xx+yy=xx+(kx-V)(kx-1)

112212121212

二(1+左2)%x-k(x+x)+1=6(l+%2)6k2

12123k2—13女2—1

OM-ON=-23~-+1=—23,k=±—

当k二土;时，方程①有两个不等的实数根

故直线/方程为y=*T或"—XT

【例9】已知动点P与双曲线二一21=1的两个焦点尸尸，的距离之和为定值，

2312

且cosZFPF的最小值为

129

(1)求动点尸的轨迹方程；

(2)若已知0(0,3)，/、N在动点尸的轨迹上且DM=>0N,求实数九的取值范围.

解：⑴由已知可得："石’―卢=

。2=9b2=a2-c2=4

所求的椭圆方程为工+及=1.

94

(2)方法一:

由题知点D、M、N共线，设为直线m,当直线m的斜率存在时，设为k,则直线m的方程

为y=kx+3代入前面的椭圆方程得

(4+9k2)x2+54k+45=0①

由判别式A=(54^)2-4x(4+9)fc2)x45>0,得左22|.

再设MWjVjNlXz，%)，则一方面有

DM=a],%_3)=\DN=Mx2，％-3)=(嬴2，入(4一3))，得

-13-

-3=X（J2-3）

另一方面有X+x=一一—,x尤=）—②

124+9）12124+9左2

将X=kc代入②式并消去X,可得

122

324。J+9,由前面知，0<—<—

5（1+九）2无2k25

•c324九81板4日1）<

5（1+九）255

又当直线m的斜率不存在时，不难验证：入或九=5,

5

所以工人45为所求。

5

方法二：同上得

卜1=立2

［兀-3=九（％-3）

设点M(3cosa,2sina),N(3cosP,2sin[3)

cosa=XcosP

则有

2sina-3=九(2sinP-3)

由上式消去a并整理得

13a2-18九+5

sinP由于-iWsinP<1

12(X2-A,)

..._"虎2-幽+M1,解得!WK5为所求.

12（九2一九）5

方法三：设法求出椭圆上的点到点D的距离的最大值为5,最小值为1.

进而推得大的取值范围为1045。

5

【求圆锥曲线的方程练习】

一、选择题

1.已知直线x+2y~3=0与圆x2+y2+x—6y+m=0相交于P、Q两点，0为坐标原点，若

OPLOQ,则加等于（）

A.3B.-3C.lD.-1

2.中心在原点，焦点在坐标为（0,±5的椭圆被直线3无一y—2=0截得的弦的中点的横

坐标为;，则椭圆方程为（）

-14-

AH+苴=1B.至+苴=1

25757525

-1DW+正=1

25757525

二、填空题

3.直线/的方程为y=x+3,在/上任取一点P,若过点尸且以双曲线12/—4产=3的焦点作

椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_________.

4.已知圆过点P(4,—2)、2(-1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4万，则该圆的

方程为.

三、解答题

5.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为R〃是椭圆上的任意

点，的最大值和最小值的几何平均数为2,椭圆上存在着以y=x为轴的对称点和知2,

且同阳|=生叵，试求椭圆的方程.

123

6.某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其

中最长的支柱的长.

7.已知圆G的方程为(x—2)2+(y—1)2=上^椭圆C的方程为

132

三+2=1伍>6>0),C,的离心率为出，如果C|与C,相交于4、

a2b22212

8两点，且线段AB恰为圆C］的直径，求直线的方程和椭圆C?

的方程.

15-

参考答案

一、1.解析：将直线方程变为x=3—2y,代入圆的方程以+乃+工一6丁+徵=0,

得(3—2y)2+W+(3—2y)+m=0.

整理得5y2—20y+12+w=0,设尸(叼凡)、。(々，/)

.i12+m/

则m匕丫2=^^^+丫2=4

又：尸、。在直线尤=3—2》上，

■'-x1x2=(3-2y1)(3-2y2)=4yly2—6(y1+y2)+9

6+9=m—3=0

故~(y1+y2)>故机=3・

答案：A

2.解析：由题意，可设椭圆方程为：E+工=1,且成=50+62,

。2b?

即方程为工=1.

50+b2b2

将直线3x-y-2=0代入，整理成关于x的二次方程.

由尤1+%=1可求得62=25,42=75.

答案：C

二、3.解析：所求椭圆的焦点为尸］(—1,0)巴(1,0),24=炉/1+1P工1.

欲使2a最小，只需在直线/上找一点尸.使1尸阡+1尸工1最小，利用对称性可解

答案：—+^-=1

54

4.解析：设所求圆的方程为(%—。)2+什一/?)2=/2

(4-«)2+(-2-Z?)2=r2a=1a=5

贝弗(_1_。)2+(3一02*2或〉=4

n<Z?=0

1。|2+(2、&)2=r2「2=13卜2=27

由此可写所求圆的方程.

答案：x2+y2~2x~12=0或x2+y2_10x_8y+4=0

三、5.解：\MF\=a-^-c,\MF\.二〃一c,则(〃+c)(〃-c)=〃2—〃二尔

maxmin''

设椭圆方程为三+21=1①

。24

设过监和M?的直线方程为y=~x+m

2222

将②代入①得：(4+。2)承一2amx-\-am—4a=0

设监(工必)、M2a2%%的中点为(%，%)，

则Xo=g(%+%)=a2m4m

4+。2

a2m4m

代入产X,得

4+。24+。2

16-

4Q2

由于a2>4,m=0,由③知%]+4=0吟%2=一

4+。2

又叫叫1=，(无]+4)2-4X]%=,

代入可解.2=5,故所求椭圆方程为：弓■+手=1.

6.解：以拱顶为原点，水平线为X轴，建立坐标系,

如图，由题意知，L4BI=20,\OM\=4,A、B坐标分别为(一10,-4)、(10,一4)

设抛物线方程为/=-2py,将A点坐标代入，得100=-2px(—4),解得p=12.5,

于是抛物线方程为x2=—25y.

由题意知E点坐标为(2,-4),F点横坐标也为2,将2代入得y=—0.16,从而IE£|=

(―0.16)—(―4)=3.84.故最长支柱长应为3.84米.

7.解：由6=在，可设椭圆方程为二+吐=1,

22b2b2

又设A(x必)、8(%,为),则4+%=4%+%=2,

又£+空=1,二+立=1,两式相减，得+)]242=0,

2b2b?2b2Z?22b2Z?2

即(x1+x2)(x1—x2)+2(yi+y2)(yi-^)=0