广东省茂名地区2022-2023学年数学九年级第一学期期末考试试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.若点43,4）是反比例函数y=七图象上一点，则下列说法正确的是（）

x

A.图象位于二、四象限

B.当x<o时，y随x的增大而减小

C.点（2,-6）在函数图象上

D.当><4时，x>3

2.如图，A,3,C,。四点都在.0上，ZBOD=110°,则NBCD的度数为（）

C.125°D.130°

3.如图，四边形ABC。内接于）。，若NA:NC=5:7,则NC=（）

A.210°B.150°C.105°D.75°

4.方程x+x-12=0的两个根为（）

A.xi=-2,X2=6B.XI=-6,X2=2C.xi=-3,X2=4D.XI二一4,X2=3

5.若m、n是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则m+n-mn的值是（）

A.-7B.7C.3D.-3

6.一元二次方程炉+3%=4的正根的个数是（）

A.0B.1C.2D.不确定

7.如图，在矩形ABC。中，对角线AC与6。相交于点。,AE±BD,垂足为点E，AE=5,且E0=2BE,则

的长为（）

D.梦

A.亚B.2石C.3非

8.下列事件中，为必然事件的是（）

A.购买一张彩票，中奖

B.打开电视，正在播放广告

C.任意购买一张电影票，座位号恰好是“7排8号”

D.一个袋中只装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球

9.如图的几何体由6个相同的小正方体搭成，它的主视图是（)

10.如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108。，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没

有滑动，则重物上升了（）

27tcmC.cmD.cm

11.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A.平行四边形B.等腰三角形C.矩形D.正方形

12.下列不是中心对称图形的是（）

□P

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图，在ABC。中，BC=6百，对角线3。=10,tanZDBC=-,点E是线段BC上的动点，连接DE,

2

过点D作DPLDE,在射线DP上取点F,使得NDFE=NDBC,连接CF,则。周长的最小值为.

14.进价为30元/件的商品，当售价为40元/件时，每天可销售40件，售价每涨1元，每天少销售1件，当售价为

元时每天销售该商品获得利润最大，最大利润是_______元.

15.若二次函数丁=奴2+4》+。（。为常数）的最大值为3,则a的值为.

16.二次函数的图象经过点（4,-3）,且当x=3时，有最大值-1,则该二次函数解析式为.

17.如图1,是一建筑物造型的纵截面，曲线是抛物线的一部分，该抛物线开口向右、对称轴正好是水平线

AC,6。是与水平线0"垂直的两根支柱，AC=4米，BD=2米,0。=2米.

（1）如图1,为了安全美观，准备拆除支柱AC、BD,在水平线。”上另找一点P作为地面上的支撑点，用固定材

料连接9、PB,对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时点。，P之间的距离是.

（2）如图2,在水平线。”上增添一张2米长的椅子EF（£在/右侧），用固定材料连接AE、BF,对抛物线造

型进行支撑加固，用料最省时点。，E之间的距离是.

三、解答题（共78分）

19.（8分）如图，在菱形ABCD中，作5ELAD于E,BFLCD于F,求证：AE=CF.

B、D

C

20.(8分)如图，点AS。都在。上，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图.(不写作法，保留作图痕迹)

©A

图1图2

(1)在图1中，若NA5C=45°，画一个。的内接等腰直角三角形.

(2)在图2中，若点。在弦4c上，且乙45。=45°，画一个。的内接等腰直角三角形.

21.(8分)探究题：如图1,AABC和A4DE均为等边三角形，点。在边上，连接CE.

忸1

(1)请你解答以下问题:

①求NACE的度数;

②写出线段AC,CD,CE之间数量关系，并说明理由.

(2)拓展探究：如图2,AABC和AADE均为等腰直角三角形，ZBAC=NZME=90。，点。在边上，连接CE.请

判断NACE的度数及线段AC,CD,CE之间的数量关系，并说明理由.

A

图2

(3)解决问题：如图3,在四边形ABC。中，ZBAD=ZBCD=90。,AB=AD=2,CD=1,AC与BD交于

点、E.若AC恰好平分NBC。，请直接写出线段AC的长度.

AD

22.(10分)如图，把RtAABC绕点A.逆时针旋转40。，得到在R3AB，C,点C'恰好落在边AB上，连接BB：

求NBB'C'的度数.

23.(10分)如图，已知在AABC中，AD是NBAC平分线，点E在AC边上，且NAED=NADB.

求证：(1)△ABD^AADE；(2)AD2=ABAE.

24.(10分)如图，抛物线y=ax?+bx-4经过A(-3,0),B(5,-4)两点，与y轴交于点C,连接AB,AC,BC.

(1)求抛物线的表达式；

(2)求AABC的面积；

(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使得AABM是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理

由.

25.(12分)如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高

度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x—6)2十比已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场

的边界距O点的水平距离为18m.

(1)当h=2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)

(2)当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由.

26.计算：|G-2|+2-I-cos61°-(1-72)1.

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、B

【分析】先根据点A(3、4)是反比例函数y=A图象上一点求出k的值，求出函数的解析式，由此函数的特点对四

X

个选项进行逐一分析.

【详解】•••点A(3,4)是反比例函数y=&图象上一点，

X

:.k=xy=3x4=12,

此反比例函数的解析式为y=—,

A、因为k=12>0,所以此函数的图象位于一、三象限，故本选项错误；

B、因为k=12>0,所以在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项正确；

C、因为2x(-6)=-12/12,所以点(2、-6)不在此函数的图象上，故本选项错误；

12

D、当yW4时，即y=—<4,解得xVO或文3,故本选项错误.

x

故选：B.

【点睛】

此题考查反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意求出反比例函数的解析式是解答此题的关键.

2、C

【分析】根据圆周角定理求出NA,根据圆内接四边形的性质计算即可.

【详解】由圆周角定理得,NA=；NBO0=55°,

•.•四边形A3C。为。。的内接四边形，

.•・N5C£)=180°-NA=125°,

故选：C.

【点睛】

本题考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.

3、C

7

【分析】根据圆内接四边形对角互补可得NC=180。X——=105°.

5+7

【详解】VZA+ZC=180°,NA：NC=5：7,

7

AZC=180°X-------=105°.

5+7

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形对角互补.

4、D

【解析】试题分析：将X2+X-12分解因式成(x+4)(X-1),解x+4=0或x-l=O即可得出结论.

x2+x-12=(x+4)(x-1)=0,则x+4=0,或x-l=O,解得：xi=-4,X2=l.

考点：解一元二次方程•因式分解法

5、B

【解析】解：二•机、〃是一元二次方程X2—5x—2=0的两个实数根，.••加+%=5,mn--2,/.m+n—mn=5-(-2)=1.故选

A.

6、B

【分析】解法一：根据一元二次方程的解法直接求解判断正根的个数；解法二：先将一元二次方程化为一般式，再根

据一元二次方程的根与系数的关系即可判断正根的个数.

【详解】解：解法一：化为一般式得，X2+3X-4=0,

b=3fc=-4,

则△=/—4ac=32—4义1义(-4)=25〉0,

方程有两个不相等的实数根，

.-b£b?—4ac-3±V25-3±5

••x=-------------二---------------------二--------------，

2a2x12

即项=-4,x2=1,

所以一元二次方程/+3%=4的正根的个数是1；

解法二：化为一般式得，尤2+3%—4=0，

△=/—4。。=32—4x1x(—4)=25>0,

方程有两个不相等的实数根，

=-4,

则再、％必为一正一负，所以一元二次方程f+3x=4的正根的个数是1;

故选B.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键；如果只判断正根或负根的个数，也

可灵活运用一元二次方程的根与系数的关系进行判断.

7、C

【分析】由矩形的性质得到：。4=。5设8后=%利用勾股定理建立方程求解x即可得到答案.

【详解】解：矩形ABCD,

OA=OB,

EO=2BE,

设BE=x,

则OE=2x,OA=OB=3x,

AE±BD,

,-.(3x)2=(2X)2+52,

5x2=25,

x=A/5,x=—A/5(舍去)

OA-3A/5.

故选C.

【点睛】

本题考查的是矩形的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键.

8、D

【分析】根据必然事件的概念对各选项分析判断即可.

【详解】解：A、购买一张彩票，有可能中奖，也有可能不中奖，是随机事件，故A不合题意；

B、打开电视，可能正在播放广告，也可能在播放其他节目，是随机事件，故B不合题意；

C、购买电影票时，可能恰好是“7排8号”，也可能是其他位置，是随机事件，故C不合题意；

D、从只装有5个黑球的袋子中摸出一个球，摸出的肯定是黑球，是必然事件，故D符合题意；

故选D.

【点睛】

本题主要考查确定事件；在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫做必然

发生的事件，简称必然事件.

9、A

【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案.

【详解】从正面看有三列，从左起第一列有两个正方形，第二列有两个正方形，第三列有一个正方形，故A符合题意,

故选A.

【点睛】

本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图.

10、C

【解析】试题分析：根据定滑轮的性质得到重物上升的即为转过的弧长，利用弧长公式得：JO.则重

180

物上升了37tcm,故选C.

考点：旋转的性质.

11、B

【分析】根据轴对称图形的概念和中心对称图形的概念进行分析判断.

【详解】解：选项A,平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，错误；

选项B,等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，正确.

选项C矩形是轴对称图形，也是中心对称图形；错误；

选项D,正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，错误；

故答案选B.

【点睛】

本题考查轴对称图形的概念和中心对称图形的概念，正确理解概念是解题关键.

12、A

【分析】根据中心对称图形的定义，逐一判断选项，即可.

【详解】；A是轴对称图形，不是中心对称图形，

；.A符合题意，

是中心对称图形，

；.B不符合题意，

是中心对称图形，

不符合题意，

；D是中心对称图形，

；.D不符合题意，

故选A.

【点睛】

本题主要考查中心对称图形的定义，掌握中心对称图形的定义是解题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、10s/2+2y/10

【分析】过D作DGLBC于点G,过F作FHLDG于点H,利用tanNDBC=，和BD=10可求出DG和BG的长，

2

然后求出CD的长，可知4DCF周长最小，即CF+DF最小，利用“一线三垂直”得到△HDFS^GED,然后根据对

应边成比例推出FH=2GD,可知F在DG右侧距离2DG的直线/上，作C点关于直线/的对称点CT连接DC,DC

的长即为CF+DF的最小值，利用勾股定理求出DC,则CD+DC的长即为周长最小值.

【详解】如图，过D作DGLBC于点G,过F作FHJ_DG于点H,

：•X2+4x2=102，解得x=±275

.*.DG=275.BG=46

/.GC=BC-BG=2-75

；•CD=7DG2+GC2=2A/10

△DCF周长最小，即CF+DF最小

■:ZFDE=90°

:.ZHDF+ZGDE=90°

VZGED+ZGDE=90°

ZHDF=ZGED

又；ZDHF=ZEGD=90°

.,.△HDF^>AGED

=tanZDFE=tanZDBC=-

HFDF2

.,.FH=2GD=46

即F在DG右侧距离46的直线/上运动，如图所示，

作C点关于直线/的对称点C，，连接DC,DC，的长即为CF+DF的最小值

VDG±BC,FH1DG,FO±CC'

二四边形HFOG为矩形，

.\OG=HF=475

XVGC=2A/5

.\OC=OC'=2^

.*.GC'=6A/5

在RtaDGC，中，DC'=^（2A/5）2+（6A/5）2=1072

•*.4CF周长的最小值=CD+DC=10拒+2A/10

故答案为：1072+2^0.

【点睛】

本题考查了利用正切值求边长，相似三角形的判定以及最短路径问题，解题的关键是作辅助线将三角形周长最小值转

化为“将军饮马”模型.

14、55,3.

【解析】试题分析：设售价为X元，总利润为w元，则w=(x—30)[40—lx(x—40)]=—(x—55y+625,.•.x=55时,

获得最大利润为3元.故答案为55,3.

考点：3.二次函数的性质；3.二次函数的应用.

15、-1

【分析】根据二次函数的最大值公式列出方程计算即可得解.

【详解】由题意得，4”*4<7♦a-42

4a4a

整理得，3a—4=0,

解得：q=4,g=一1，

•••二次函数有最大值，

••a<0,

a=-1•

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查了二次函数的最值，易错点在于要考虑a的正负情况.

16、y=-2(x-3)2-1

【分析】根据题意设出函数的顶点式，代入点(4,-3),根据待定系数法即可求得.

【详解】•..当x=3时，有最大值-1,

•••设二次函数的解析式为尸a(尤-3/-1,

把点(4,-3)代入得：-3=a(4-3/-1,

解得a=-2,

.,.y=-2(x-3)2-1.

故答案为：y=-2（x-3）2-1.

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键.

16

17、4—

3

【分析】（1）以点0为原点，0C所在直线为y轴，垂直于0C的直线为x轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法确

定二次函数的解析式后延长BD到M使MD=BD,连接AM交OC于点P,则点P即为所求；利用待定系数法确定直

线的解析式，从而求得点P的坐标，从而求得O、P之间的距离；

（2）过点a作B'P平行于y轴且5'?=2,作p点关于y轴的对称点尸‘，连接4尸'交y轴于点E,则点E即为所

求.

【详解】（1）如图建立平面直角坐标系（以点。为原点，oc所在直线为y轴，垂直于oc的直线为x轴），延长ED

到使MD=5'。'，连接AAT交OC于点P，则点P'即为所求.

设抛物线的函数解析式为y=ax~,

由题意知旋转后点B,的坐标为（-2,2）.带入解析式得a=:

二抛物线的函数解析式为：y=-x2,

当％=T时，y=8,

.,•点A，的坐标为（T,8）,

B'D'=2

，点的坐标为（2,2）

代入“（2,2）,4（-4,8）求得直线的函数解析式为y=-尤+4,

把x=0代入、=-尤+4,得y=4,

，点P的坐标为（0,4）,

用料最省时，点。、P之间的距离是4米.

(2)过点8,作5'P平行于，轴且B'F=2,作P点关于y轴的对称点P，连接4尸,交y轴于点E,则点E即为所

求.

B'P=2二点P的坐标为(—2,4),

.•.尸'点坐标为(2,4)

代入P'(2,4),Af(-4,8),的坐标求得直线HP的函数解析式为y=—|x+g,

把x=0代入y=—xH—,得y=—,

333

二点E的坐标为］。，与［,

二用料最省时，点。、E之间的距离是g米.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出二次函数模型，利用二次函数的知识解决生活中的实

际问题.

1

18、y———(x+3)9+1

【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式，写出抛物线解析式，即可.

【详解】由题意知：抛物线y=-万炉+1的顶点坐标是(o,1).

•.•抛物线向左平移3个单位

...顶点坐标变为(-3,1).

...得到的抛物线关系式是v=--(x+3)2+l.

故答案为y=—］(X+3)2+1.

【点睛】

本题主要考查了二次函数图像与几何变换，正确掌握二次函数图像与几何变换是解题的关键.

三、解答题（共78分）

19、见解析

【分析】由菱形的性质可得R4=3C,ZA=ZC,然后根据角角边判定ABE=CBF,进而得到AE=C/.

【详解】证明：•••菱形A5。，

/.BA=BC,ZA=NC,

VBELAD,BFLCD,

，ZBEA=NBFC=90，

在八45石与VCBb中，

ZBEA=ZBFC

<ZA=ZC,

BA=BC

:.ABE=CBFiAAS'）,

AE=CF.

【点睛】

本题考查菱形的性质和全等三角形的判定与性质，根据菱形的性质得到全等条件是解题的关键.

20、（1）见解析；（2）见解析

【分析】根据内接三角形和等腰直角三角形的性质，结合题意即可得出答案.

【详解】解：（1）如图1,AACD即为所求（画法不唯一）.

（2）如图2,AAEF即为所求（画法不唯一）

【点睛】

本题主要考查了圆内接等腰直角三角形的作图方法，考查了学生的作图能力.

21、（1）①60°；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为：AC=CD+CE,理由见解析;

（2）ZACE=45°,0AC=CD+CE，理由见解析.

⑶'理由见解析.

【分析】（1）①证明ABAD丝Z\CAE（SAS）,可得结论：ZACE=ZB=60°；②由ZkBAD0ACAE,得BD=CE,利用

等边三角形的AC=BC=BD+DC等量代换可得结论；

(2)如图2,先证明A4BD也Z\ACE,得BD=CE,ZACE=ZB=45°,同理可得结论；

(3)如图3,作辅助线，构建如图2的两个等腰直角三角形，已经有一个AABD,再证明AACF也是等腰直角三角形,

则利用(2)的结论求AC的长.

【详解】(1)①•••AABC和AADE均为等边三角形，

：.AB=AC,AD^AE,ABAC=ZDAEZB60°,

：.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,

即=

ABAD^ACAE(SAS),

ZACE=ZB=60°,

②线段AC、CD、CE之间的数量关系为：AC=CD+CE；

理由是：由①得：ABAD^ACAE,

:.BD—CE9

■:AC=BC=BD+CDf

**.AC=CD+CE；

(2)ZACE=45°,叵AC=CD+CE，理由是：

如图2,和AADE均为等腰直角三角形，且N54C=NZME=90°,

AAB=AC,AD=AE,ABAC-ADAC=ZDAE-ZDAC,

即4AZ)=NC4E,

:.AABD^AACE,

：.BD=CE,ZACE=ZB=45°,

,/BC=CD+BD,

.*•BC=CD+CE9

•.•在等腰直角三角形ABC中，BC=6AC，

:•①AC=CD+CE;

(3)如图3,过A作AC的垂线，交CB的延长线于点尸，

D

F

；/BAD=ZBCD=90°,AB=AD=2,CD=1,

•••BD=2V2，BC=S，

,//BAD=ZBCD=90°,

.,.以BD的中点为圆心，工切为半径作圆，则A,C在此圆上，

2

:.A、B、C、。四点共圆，

,/AC恰好平分/BCD

：.ZADB^ZACB=45°,

AACE是等腰直角三角形，

由(2)得：亚AC=BC+CD，

.…BC+CDA/7+1714+72

V2V22

【点睛】

本题是四边形的综合题，考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的性质和判定、四点共圆的

判定，圆周角定理，本题还运用了类比的思想，从问题发现到解决问题，第三问有难度，作辅助线，构建等腰直角三

角形ACF是关键.

22、20°

【分析】利用旋转的性质及等腰三角形的性质可得NABB，，再根据直角三角形两锐角互余可得解.

【详解】解：由旋转可知：

ZBAB'=40°,AB=AB".

ZABB'=ZAB'B.

1800-40°

AZABB'=————=70°.

2

AZBB'C'=90°-70°=20°.

【点睛】

本题考查了三角形的旋转，灵活利用旋转对应边相等，对应角相等且等于旋转角的性质是解题的关键.

23、(1)、证明过程见解析；(2)、证明过程见解析

【分析】试题分析：(1)、根据角平分线得出NBAD=NDAE,结合NAED=NADB得出相似；(2)、根据相似得出答案.

【详解】试题解析：(1)、；AD是NBAC平分线/.ZBAD=ZDAEXVZAED=ZADB/.AABD^AADE

ABAD,

(2)、VAAABD^AAADE,...——=——/.AD2=ABAE.

ADAE

考点：相似三角形的判定与性质

]555225IsS5

24、(1)y=-x2-—x-4；(2)10；(3)存在，Mi(—,11),Mi(—,--),M3(一,-----2),M4(一,

66223222

A/55八

2

【分析】(D将点A,B代入y=ax2+bx-4即可求出抛物线解析式；

(2)在抛物线y=4x2-Wx-4中，求出点C的坐标，推出BC〃x轴，即可由三角形的面积公式求出AABC的面积;

66

155

(3)求出抛物线y=-x2--x-4的对称轴，然后设点M(-,m),分别使NAMB=90。，ZABM=90°,ZAMB

662

=90。三种情况进行讨论，由相似三角形和勾股定理即可求出点M的坐标.

【详解】解：(1)将点A(-3,0),B(5,-4)代入y=ax2+bx-4,

//9〃-3人-4=0

^[25a+5b-4=-49

一1

CL——

解得，6,

b=——

、6

二抛物线的解析式为：y=！x2-3x-4；

66

(2)在抛物线y='x2-*x-4中，

66

当x=0时，y=-4,

AC(0,-4),

VB(5,-4),

・・・BC〃x轴，

1

/.SAABC=-BC*OC

2

1

=—x5x4

2

=10,

/.△ABC的面积为10；

(3)存在，理由如下：

在抛物线y=—x2--4中,

66

b5

对称轴为：*=

2a2

设点M(°,m),

2

①如图1,

图1

当NMiAB=90。时，

设x轴与对称轴交于点H,过点B作BNLx轴于点N,

EU

则HMi=m,AH=——，AN=8,BN=4,

2

・：ZAM1H+ZMiAN=90°,ZMiAN+ZBAN=90°,

AZMiAH=ZBAN,

又,:ZAHMi=ZBNA=90°,

/.△AHMi^ABNA,

.AHHM.

・・嬴-NA'

11

即2=丝，

T-T

解得，m=ll,

AMi(-,11)；

2

②如图2,