2024年四川省成都八中高考数学三模试卷（理科）（附答案详解）

2024年四川省成都八中高考数学三模试卷（理科）

一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合A={xeZ[x2+2x-3<0},B={x\x>一1},则集合An8的元素个数为（）

A.1B.2C.3D.4

2.已知z=2—i,则z（z+i）的虚部是（）

A.2B.-2C.2/D.-2i

3.若双曲线C兰-出=1的焦距长为8,则该双曲线的渐近线方程为（）

9m

A.y=土字尤B.y=C.y=D.y=±?x

（x+2y—5N0

4.设工，y满足约束条件x-2y+3>0,则z=2x+y的最小值是（）

x-5<0

A.4B.5C.8D.9

5.已知a是第一象限角，满足cos（?+a）=—1,则cos2a=（）

4，

A.—7B.一?二4C2.T4D.-74

252S2S2S

6.已知"，是直线，a,6是两个互相垂直的平面，则“m〃a”是“zn.L。”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D,既不充分也不必要条件

7.已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70,方差为75,现发现在收集这些数

据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60,另一个错将70记录为90,在对错误得数据进

行更正后，重新求得样本的平均数为。方差为52,贝1]（）

A.x<70«52>75B.X>70，S2<75

C.x=70>S2>75D.x=7o，S2<75

8.2023年5月21日，中国羽毛球队在2023年苏迪曼杯世界羽毛球混合团体锦标赛决赛中以总比分3：0

战胜韩国队，实现苏迪曼杯三连冠.甲、乙、丙、丁、戊五名球迷赛后在现场合影留念，其中甲、乙均不能

站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（）

A.18种B.24种C.30种D.36种

9.已知三梭锥P—48C的四个顶点均在同一个球面上，底面△4BC满足B4=BC=，石，^ABC=p若该

三棱锥体积的最大值为3,则其外接球的体积为()

A.471B.87rC.ynD.167r

10.噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级”=20xlg^,其中常数

Po(Po>0)是听觉下限阈值，〃是实际声压，下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽

车、电动汽车10，”处测得实际声压分别为Pi，p2,p3,则()

声源与声源的距熟/m声压级"8

燃油汽车1060-90

混合动力汽车1050-60

电动汽车1040

A.pi<3P3B.p2>lop1C.p3=lOOOpoD.P2WPiW100p2

11.将函数f(x)=cos(x+4)图象上所有点的横坐标变为原来的工(3>0),纵坐标不变，所得图象在区间

3勺

[0,争上恰有两个零点，且在[-也月上单调递减，则/的取值范围为()

A.白司B《4)C.[^,4]D.得,6]

12.函数f(x)=簿和g(x)=署有相同的最大值b,直线y=爪与两曲线y=f(x)和y=g(x)恰好有三个交

点，从左到右三个交点横坐标依次为勺，右，x3,则下列说法正确的是()

I

①a=1；②b=；；③X+X3=2%2：-x3=X2.

A.®®®B.①②④C.①②③D.②®@

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.(2Q—§6展开式中的常数项为.

14.已知向量Q万=5，\a+b\=8>则|G|=.

15.己知/•,是抛物线C：y2=8x的焦点，点p(—2,2),过点/■,的直线/与C交于人，8两点，”是线段A8

的中点.若[4B|=2|PM|,则直线/的斜率k=

16.△/1BC的外心为。，三个内角4,B,C所对■的边分别为a,匕,,瓦f=ga(a—gc),b=4.则△4BC

面积的最大值为

三、解答题；本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题10分)

已知似“｝是递增的等差数列，％=2,好=+8.

(1)求数列｛即｝的通项公式：

a

(2)若氏=an+2«,求数列｛%｝的前"项和5n.

18.(本小题12分)

某地区对某次考试成绩进行分析，随机抽取100名学生的A,8两门学科成绩作为样本.将他们的A学科成

绩整理得到如下频率分布直方图，且规定成绩达到70分为良好.已知他们中8学科良好的有50人，两门学

科均良好的有40人.

(1)根据所给数据，完成下面的2x2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为这次考试学生的

A学科良好与8学科良好有关;

8学科R好8学科不够良好合计

A学科良好

A学科不够良好

合计

(2)用样本频率估计总体概率，从该地区参加考试的全体学生中随机抽取3人，记这3人中A,8学科均良

好的人数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.

n(ad-bc)2

附：K2其中M=Q+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

2

P(K>fc0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

频率

1组—距

,—--

0.010

0.005

5060708090100分数

19.(本小题12分)

如图所小，在四棱铢P-48C0中，平面P48.L平面A8CD,四边形ABC。是边长为2的菱形，/.ABC=

120°,PB=1,PB1AB.

(1)求证：平面P801平面PAC-.

(2)求平面PA/)与平面P8c所成锐二面角的大小.

20.(本小题12分)

已知椭圆C：,+，=l(a>?>>0)的焦距为2,且经过点P(l,|).

(1)求椭圆C的方程；

(2)经过椭圆右焦点F且斜率为k(k丰0)的动直线/与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F

的定点T,使伊F|■\BT\=|BF|•|47|恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由.

21.(本小题12分)

己知函数f(汇)=ln(l+x)+acosx.

(1)曲线y=f(x)在点(0/(0))处的切线方程为y=x+2,求实数a的值.

(2)在(1)的条件下，若g(x)=f(x)-击，试探究g(x)在(-13)上零点的个数.

22.(本小题12分)

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程

c

2+

为psiM。=acos0(a>0)，过点尸(-2,-4)的直线/的参数方程为12

c(t为参数)，直线/与曲线

4+

2

C相交于A,B两点.

(圈)写出曲线C的直角坐标方程和直线/的普通方程;

⑶若|P4|-|PB|=|4臼2,求a的值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：A={xeZ\x2+2x-3<0}={xeZ|-3<x<1]={-3,-2,-1,0,1).

：.AC\B=[-1,0,1),即集合An8的元素个数为3.

故选：C.

结合一元二次不等式求集合A,再利用集合的交集运算，即可求解.

本题主要考查交集及其运算，属于基础题.

2.【答案】4

【解析】【分析】

本题考查了复数的运算性质，涉及到复数虚部的定义，属于基础题.

利用复数的运算性质以及共短复数的性质即可求解.

【解答】

解：因为z=2-i.

则z(W+i)=«-()(2+i+i)=(2-0(2+2i)=4+2+2i=6+2i，

所以虚部为2,

故选：A.

3.【答案】D

【解析】解：由题意可知9+机=5)2nm=7,即c：[一<=1,

A.97

所以a=3,b=^7-又双曲线的焦点在.i•轴上，

则该双曲线的渐近线方程为y=±?x=±^x.

故选：D.

利用双曲线的性质计与即可.

本题考查了双曲线的性质，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部

分，

z=2x+y可得y=-2x+z,则二表示直线y=-2x+z在y轴上

的截距，截距越小，z越小

由题意可得，当y=-2x+z经过点A时，z最小

Mt甑建轲得心力，此时Z=4.

故选：A.

作出不等式组表示的平面区域，由z=2x+y可得y=-2x+z,则z表示直线y=-2x+z在了釉上的截

距，截距越小，z越小，结合图象可求［的最小值

本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z的几何意义.

5.【答案】B

【解析】解：因为a是笫一象限,

则:+a为第一象限用或第二象限角，且cosG+a)=—£<0，

所以sin/+a)=Jl—cos2(j+a)=&,

由题意可得：cos2a-cos[2(：+a)-J]-sin2G+a)=2sin(^+a)cos(J+a)=—卷.

故选：B.

以;+a为整体，先求sing+a),再利用诱导公式结合倍角公式运算求解.

本题主要考查了诱导公式以及二倍角公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基

础题.

6.【答案】D

【解析】解：由7na16=m〃a或mua.

；・“M/a”是“m」./?”的既不充分也不必要条件条件.

故选:D.

由m1(i,aJ.0=血〃0：或771ua.即可判断出结论.

本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：根据题意，在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60,另一个

错将70记录为90.

由于因为80+70=60+90.

则在更正数据之后，数据的平均数不变，

即平均数3=70，

不妨设其他48个数据依次为由,。2,…，a48，

2222

所以(4-70)+(a2-70)+■■-+948-70产+(60-70)+(90-70)=50x75.

2222

(%-70)2+(a2-70)2+…+(a48-70)+(80-70)+(70-70)=50xs,

W50(52-75)=100-400-100=-400<0,

解得S2<75

故选：D.

由题意，根据平均数与方差的定义再进行求解即可.

本题考查数据的平均数、方差的W算，注意平均数、方差的计算公式，属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：由题意可知，当丙站在左端时，有心=6种站法.

当丙不站在左端时，有©掰咫=24种站法,

由分类加法计数原理可得，一共有6+24=30种不同的站法.

故选：C.

分丙站在左端和丙不站在左端两种情况，结合排列组合知识求解即可.

本题主要考查了排列组合知识，属于基础题.

9.【答案】C

【解析】解：•：BA=BC=&，^ABC=l，则△ABC是等腰直用三角形，

,­.AC为4A8C所在截面圆的宜径，

取AC的中点D,则/)'为△ABC外接圆圆心，

设三棱锥P-ABC外接球的球心为0,

则OD.L平面AHC,

「底而AHC的面积为定值，

.•.当P,。，。共线且P,。位于截面同一侧时，棱锥的最大高度为P/),棱锥的体积最大,

则三极锥P-ABC的体枳V=|x|x/6xy/_6xPD=3,解得PD=3,

设外接球的半径为/<，则OD=3-R,OC=R.

l

在^ABC\',AC==J"1)2+)2=2V3,

在AODC中，CD=^AC=73，

由勾股定理得：(3-R)2+3=R2,解得R=2.

••・外接球的体枳V=?X23=挈.

故选：C.

根据给定条件，确定△48c外接圆圆心D,确定在三棱锥P-A8c的体积最大时外接球球心。与/X尸的

位置关系，再由勾股定理求出半径，即可得体积.

本题考查球的体积计算问题，涉及球与三棱锥的关系，属于中档题.

9【答案】D

【解析】解：由题意得，60<201g^<90,

Po

所以lOOOpo<pi<102p'

50<201g"W60,

Po

所以io"oWP2WlOOOpo'

20]g"=4O,p3=lOOpo,故C错误：

即

则有3P3=3OOpo,

(j

因为3P3=300Po<lOOOpo<P1<102p>

可得Pl>3P3,故A错误;

因为10%WP2WlOOOpo，lOOOpo<pt<102p-贝UlOOOOpoWlOp】M10学p，

所以P2<1000p0<lOOOOpo<lOp],故8错误;

95

,

Pi<102po=100x102Po<l00p2

所以P2三Pi£100p2,故。正确.

故选：D.

根据题意,分别计算P1，P2的范围以及P3的值，进行运算比较即可求解.

本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题，

11.【答案】C

【解析】解：根据题意，将丫=(：。5(>+与)图象上所有点的横坐标变为原来的\(3>0)倍，

纵坐标不变，得到y=cos(a>x+等的图象，

设g(x)=cos(3X+y)=sing-(cox+y)］=-sin(wx+看)，

在区间［0,争上g(x)恰有两个零点，且在［-刍为上单调递减，

因为03刀3］兀，所以［W3X+2w^可知2”W学7T+2V3万，解得与W3<g

3663636I4

令T+2kHs3*+**+2时，kez,解得一算+皿+如，kez,

乙043(0O)3wco

令k=0,可得g(x)在［一券勺上单调递减，所以［一总罚=［号忌］,

2n__三

可得五二一瓦，结合3>0，解得0<3弓4.

-->-

.3一12

综上所述，y<W<4,即3的取值范围是［4,4］.

故选：C.

先由三角函数图象变换，得到g(x)=cos(3x+3在区间［0,豹上恰有两个零点，口在［-《总上单调递

减，再由三角函数的图象与性质，建立关于3的不等式，解出川的取值范围.

本题主要考查了函数图象的变换、三角函数的图象与性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于

中档题.

12.【答案】B

【解析】解：由函数〃切=能和g(x)=普得，/V)=与2g'(x)=在，

当£>0时，当xe(-8,l)时,/'(*)>0,/'(X)在(-8,1)上弟调递增,

当x6(1,+8)时，［(X)<0,在(1,+8)单调递减：

当Xe(0,e)时，g'(x)>0,g(x)在(0,e)上单调递增，

当“e(e,+8)时，g'(x}<0,在(e,+8)上单调递减.

Tf(x)与g(x)有相同的最大值，；./■⑴=g(e),即*看

a=1,b=

e

当a<。时，当x>1时,f(x)>0,f(x)单调递增,当x<1时，f(x)<0,/(x)单调递减,

所以当X=1时，函数/"(X)有最小值，没有最大值，不符合题意，

当a<0时，当x>e时，g'(x)>o,g(x)单调递增，当0<x<e时，g'(x)<0,g(x)单调递减,

所以当x=e时，函数g(x)有最小值，没有最大值，不符合题意，

所以①②正确.

两个函数图象如图所示：

由数形结合思想可知：当直线y=ni经过点M时，此时直线

y=ni与两曲线y=/(x)和y=g(x)恰好有三个交点，

不妨设0<A<1<X2<e<X3,

且缶=釜=詈=**

由冷=野=蟋二门足不)，又Xi<1,lnx2<

Ine=1,

又当x<1时,/(%)单调递增，所以七=lnx2»

又盍=詈=需=/(*2)=/(In/),又不>1,lnx3>Ine=1.

乂当x>1时,/(x)单调递减，所以=lnx3,

X3_h凶_%2_1

x2-hix2lnx2-？n，

铝藏。，于是畸咤"向=若，所以④正确，

如果无］+工3=2工2，则上2=所以工1%3=(%上)2，(七一巧>=0，右=%，

与0V0V1<<已<小矛盾，所以不+必=2不错误，所以③借误.

故选：B.

先求导，对〃分两种情况讨论，求出函数的最大值即可判断①②：由数形结合思想可知：当直线y=m经

过点M时，此时直线y=m与两曲线y=/(%)和y=g(x)恰好有三个交点，不妨设0<七<1<工2<。<

勺，再利用指数和对数恒等式证明•正确：再利用反证法判断③的真假.

本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了数形结合思想及转化思想，属于难题.

13.【答案】240

【解析】解：由于.(2V1-1)6展开式的通项公式为：7>+1=C(2x；)6-r(-X-l)r6-3r

=匕（一1）「X26-rX~<

令与包=0,解得：r=2,

可得常数项为7=或(-1)2X2,=240,

故答案为：240.

由题意，利用二项式定理，求出通项公式，再令.1•的轮指数等于0,求得r的值，即可求得展开式中的常

数项的值.

本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题.

14.【答案】7

【解析】解：已知向量五=(2,—1),

则I五I=/22+(-1)2=/5,

X|a+b|=8.

即日2+2五-3+=64，

乂日d=5­

则于=49，

即日|=7

故答案为：7.

由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解即可.

本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题.

15.【答案】2

【解析】解：方法一：由题意"(2,0),k手0,

设直线I：x=my+2,其中m=

联立消去.1,得y2—8my—16=0,4>0,

设AQiJi)，8(外,力)，则%+72=8m,yxy2=-16，

乂[48|二2|PM|,则尸A1P8,即西•丽二0，

而而=(4+2,7]-2)，PB=(x2+2,为-2)，

则(必+2)(X2+2)+(%-2)(力-2)=0.

即(m%+2)(my2+2)+(力-2)(%—2)=0，

即(巾2+1)%%+(4m-2)(%+力)+20=0,

所以一16(7几2+1)+8771(47九—2)+20=0,解得m=

所以々=工=2.

m

方法二：如图，由题意，尸(2,0),点〃在准线x=-2上，

设人，8,M在准线上的射影分别是a,&,N,

则|A8|=\AF\+\BF\=\AA,\+|88i|=2\MN\=2\PM\,

所以

设A(%i，yi),8(x2,%)，I-x=my+2,

联立2，消去M得P—8my-16=0,

所以％+y2=4=8mnm=；,所以k='=2.

故答案为：2.

方法一：设直线/：x=my+2,设A(xi，%),B(x2,y2),联立直线/与抛物线的方程求出力+丫2，%•

y2,由|A8|=2|PM|可得丽,丽=0,将韦达定理代入化简即可得出答案：

方法二：设人，8,M在准线上的射影分别是4,8i，N,由题意可得出PM〃x轴，设A(xi，%)，

S(x2,y2),/：x=my+2,联立直线/与抛物线的方程可得力+以=4,解方程即可得出答案.

本题考查直线与抛物线的综合应用，属中档题.

6【答案】12

【解析】解：设8C,的中点为M,「△ABC的外心为。，，OMJ.BC,则丽质=6，

.-.AO-BC=Ad-BC+OMBC=(Ad+OM)■BC

=AM-BC=l(AB+AC)(AC-AB)=l(：b2-c2),

又,:AOBC=ga(a-|c)..•.|(b2-c2)=；a(a-|c),

整理得a2+c2_b2=|g

；.cos8=U±£=f，则sin8=称,

2nc5£

又b=4,16=b2=a2+c2—|ac>2ac-|ac=|ac,得ac<40,

S=；acsin8<12.

故答案为：12.

由平面向量的数量枳结合已知可得a2+c2-b2=&ac，再由余弦定理求得C0S8,进一步得到sinB,由余

•J

弦定理及基本不等式求得ac的最大值，则△4BC面积的最大值可求.

本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查三角形的解法，考查运算求解能力，是中档题.

17.【答案】解:⑴解：・.•等差数列｛。"的公差为d,d>0,%=2,=a4+8.

(2+=2+3d+8,d2+d-6=(d+3)(d—2)=0=d=2,

an=%+(n-1)•d=2+(n—1)•2=2?i.

n2n

(2)bn=a”+2»=2n+2

24Zn

Sn=&+b2+...+bn=(2+2)+(4+2)+...+(2n+2)

=(2+4+6+…+2n)+(22+24+...+22n)

(2+2n)n4-(1-4n)

=24.-

/4〃+l_4

=n(n+1)+工^—•

［解析】(1)利用等差数列的通顶公式求解即可；

(2))利用等差数列和等比数列的前n顶和公式，分组求和即可.

本题考查了等差数列的前〃顶和公式和通顶公式，等比数列的前“顶和公式，分组求和，属于中档题.

18.【答案】解：(1)由频率分布直方图可得A学科良好的人数为100x(0.040+0.025+0.005)x10=

70,

所以2x2列联表如下:

8学科良好B学科不够良好合计

A学科良好403070

A学科不够良好1()2030

合计5050100

假设%:A学科良好与8学科良好无关,

此时八笔磊畿*颗生8>3.84］，

所以我们有95%把握认为A学科良好与B学科良好有关:

(2)已知4,学科均良好的概率P=器=：，

易知X的所有可能取值为0,1,2,3,

此时P(X=0)=4x(|)。x(|尸=急，P(X=1)=屐x：x(|)2=急,

P(X=2)=耨x(§2x(|)i=哉，P(X=3)=喘x(§3*号)。=2，

则X的分布列为:

X0123

27

P54368

125125125125

所以E(X)=0x%+1x+2x■—+3x

1251251251255

【解析】(1)由题意，根据频率分布直方图计算可得出4学科良好的人数，补全2x2列联表，代入公式求

出观测值，将其与临界值进行对比，进而即可求解：

(2)先得到X的所有可能取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解.

本题考查离散型随机变量分布列的期望以及独立性检验，考查了逻辑推理和运算能力.

19.【答案】解：(1)证明：•.,平面PAB.L平面ABC。，J^PABCi^ABCD=AB,且PB148,PBc®PAB,

PB.L平面ABCD,

ACu面ABCD,.1.AC1PB,

由菱形性质知ACIB。，•.P8CBQ=8,

AC.L平面PBD,

又ACu平面PAC,.,.平面P8D.L平面PAC.

(2)如图，设C。的中点为

CE=^CD=l.zfiCE=60",BC=2,■■BE1CE

BE1AB,

•••平面P4B1平面ABC。，面P4BD面A8CD=AB,5.BELAB,BEc^iSABCD,

BE上面PAB,

又PB.LA8,所以PB,AB两两互相垂直，

所以以点8为坐标原点，以直线BA、BP、BE为X、)，、z轴，如图所示建立空间直角坐标系，

py

可得B(0,0,0),4(2,0,0),P(O,1,O),C(_1,O,V3),0(1,0,C)，

设平面的一个法向量为沅=(x,y,z),而而=(-1,0,0存=(-2,1,0).

=°,得「：+Cz[0,取“=0，

=01-2工+y=0

得记=(/3,2^3,1).

设平面P8C的一个法向量为五=(a,b,c)，且前=(0,1,0),阮=(-1,0,0,

由伊.更=0,得FUC，取a=C，得"(C，0,1)，

设平面山。与平面P/3C所成锐二面角为。，则

3+1_1

COS0=Icos何，孙=黯

/3+12+lxf-2f

所以。=60。，故平面PAD与平面PBC所成锐二面角为60。.

【解析】(1)根据面面垂直的性质定理可证4C_LPB,再根据题意，结合面面垂直的判定定理，即可证明结

果；

(2)根据题意可建立以点8为原点，以直线8A、BP、BE为X、义工轴的空间直角坐标系，再利用空间向量

法，即可求出二面角的大小.

本题考查了面面垂直的证明和空间二面角的计算，属于中档题.

20.【答案】解：由椭圆C的焦距为2,故c=l,则。2=。2—1,

又由椭圆C经过点P(l,|),代入C得・+言=1,得。2=4,肥=3,

所以椭圆C的方程为：¥+?=1.

(2)根据题意，直线/的斜率显然不为零，令旨m

由椭圆右焦点F(l,0),故可设直线的方程为x=my+1,

与C：aq=1联立得，(3?n2+4)y2+6iny—9=0,

则4=36m2—4(-9)(3m2+4)=144(m2+1)>0»

—6〃2—9

设A(XQi),8(X2，y2)，yi+力=莉彳/加=布西7

设存在点7；设7'点坐标为什,0),

由|AF|-\HT\=\HF\-\AT\,得耨=瑞，

又因为底=%胆=殉刖sinRF_附|sinUTF

'1幽S&TFR一新7'|即IsinMTF—|8T|sin，8TF'

所以sin4ATF=sin^BTF,乙ATF=乙BTF,

所以直线TA和TH关于K轴对称，其倾斜角互补，即有的7+kBT=0,

则：如+kBT=+含=0,所以%(丫2-t)+为(匕-0=0，

所以必(m%+1-t)+V2(myi+1-t)=0,2myxy2+(1-t)(7i+y2)=0,

即+H—。即^i+(l-C)^TZ=°，

3m」+43nlz+43/rr+4