山东省潍坊市高密市2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题（含答案解析）

山东省潍坊市高密市2023-2024学年九年级下学期3月月考

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.星载原子钟是卫星导航系统的“心脏”，对系统定位和授时精度具有决定性作用.“北

斗”三号卫星导航系统装载国产高精度星载原子钟，保证“北斗”优于20纳秒的授时精

度.1纳秒=1x109秒，那么20纳秒用科学记数法表示应为()

A.2义10翼秒B.2x10-9秒C.20x10-秒D.2x10一0秒

【答案】A

【分析】

根据科学记数法的一般形式为axlO",其中*同<10,"为整数.确定〃的值时，要看

把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数

绝对值210时，〃是正整数；当原数的绝对值小于1时，〃是负整数.

【详解】解：20纳秒=20x1x10-9=2x10-8秒，

故选：A

【点睛】

本题考查科学记数法的表示方法.表示时关键要正确确定。的值以及n的值.

2.已知4m=x,8n=y,其中m,n为正整数，则22m+6n=()

A.xy2B.x+y2C.x2y2D.x2+y2

【答案】A

【分析】根据幕的乘方的运算法则，将4m和8n写成底数是2的嘉，再根据同底数幕相

乘即可得到答案.

【详解】解：,：4m=22m=x,8n—23n—y,

22m+6n=22nv26n=22m*(23n)2=xy2.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了同底数幕的乘法及幕的乘法与积的乘方，熟记运算法则是解题

关键.

[3x-5H

3.若关于x的不等式组c。有且只有3个整数解，则a的取值范围是()

[2x一Q<8

A.0<a<2B.0<a<2C.0<a<2D.0<a<2

试卷第1页，共15页

【答案】c

【分析】先求出不等式组的解集（含有字母。），利用不等式组有三个整数解，逆推出a

的取值范围即可.

【详解】解：解不等式3x-5咒得：%>2,

QIzj

解不等式2x-a<8得：x<——,

2

QIzy

・・・不等式组的解集为：2Kx〈彳，

・・•不等式组。。有三个整数解，

[2x-a<（s

，三个整数解为：2,3,4,

.••4〈工5,

2

解得：0<a<2,

故选：C.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题

的关键就是根据整数解的个数得出关于a的不等式组.

4.已知关于x的分式方程二2=▲的解为正数，则左的取值范围为（）

x-1l-x

A.-2<*<0B.k>-2S.k^-lC.k>-2D.左<2且后wl

【答案】B

【分析】先用k表示x,然后根据x为正数列出不等式，即可求出答案.

【详解】解：•.•*-4=2,

x-11-X

...X+

X—1

:.x=2+k,

该分式方程有解，

2+左w1,

/.kw—1,

x>0,

2+左〉0,

:.k〉—2,

:.k〉一2kw—1,

故选3.

【点睛】本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.

试卷第2页，共15页

5.《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢

马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比

规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则

可列出正确的方程为()

900C900胆=2x%

A.------=2x------B.

x+3x-1x-3x+1

900C900900c900

C.------=2x------D.=2x------

x-1x+3x+1x-3

【答案】B

【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为x天，则慢马送到所需时间为(x+1)

天,快马送到所需时间为卜-3)天，根据“快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900

里”，列出方程即可.

【详解】解：：设规定时间为x天，

，慢马送到所需时间为(x+1)天，快马送到所需时间为"-3)天，

••,快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，

900900

=2x-------,

x-3-------x+1

故选：B.

6.阅读理解：我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集.同样，如果引进

“虚数”，实数集就扩展到“复数集”.现在我们定义：“虚数单位”，其运算规则是：3=，，

i2=-l,i3=-i,Z4=l,i5=i,i6=-1,C=-i,贝!|产23=()

A.-iB.iC.1D.-1

【答案】A

【分析】

根据运算法则可知4个运算一循环，进而即可求解.

【详解】

z1=i,i1=—1，i3=T,!4=1,z5=i,z6=—1,i1=—z,z8=1,........

根据运算法则可知4个运算一循环，2023+4=505…3,

9••I-2023=~1•，

故选：A.

【点睛】本题考查了规律性问题，解题的关键是通过所给的数据发现其中的变化规律，

利用发现的规律进行解题.

试卷第3页，共15页

二、多选题

7.下列计算正确的是()

A.3a⑶.(―4a?)=—1205B.(―=—8机6

22

C.(x+yy=x+yD.2ab+3/b=5a3b,

【答案】AB

【分析】本题考查了单项式乘以单项式、幕的乘方与积的乘方、完全平方公式、合并同

类项，根据单项式乘以单项式、幕的乘方与积的乘方、完全平方公式、合并同类项的法

则逐项判断即可.

【详解】解：A、3a3-(-4a2)=-12a5,故原选项计算正确，符合题意；

B、(-2m2)3=-8m6,故原选项计算正确，符合题意；

C、(x+y)2=x2+2xy+y2,故原选项计算错误，不符合题意；

D、2就和3a%不是同类项，不能直接合并，故原选项计算错误，不符合题意；

故选：AB.

8.九年级学生在参加校外实践活动中，有加位师生乘坐〃辆客车.若每辆客车乘42人,

则还有8人不能上车，若每辆客车乘45人，则最后一辆车空了16个座位.在下列四个

方程中正确的有()

_m-8m+16_

C.-------=---------D.42〃+8=45〃一16

4245

【答案】CD

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分两种情况：根据总人数列方程；根据客车

数列方程；分别列出方程即可，找准等量关系是解决此题的关键.

【详解】解：由题意得：

根据总人数列方程为：42H+8=45M-16,

根据客车数列方程为：嚓=‘善，

4245

故选：CD.

9.下列说法正确的是()

2

A.若4'=。，修=b,贝i]2小3>=幺

b

B.若正？+加一1=0,则》?+2机2+2010=2011

C.若。2+/=3,a-b=l,贝=2

试卷第4页，共15页

D.若nm=-2,m+n=3,贝!J»?"+=-6

【答案】ABD

【分析】本题考查了幕的乘方、同底数幕的除法、利用完全平方公式进行计算、求代数

式的值，根据幕的乘方与同底数塞的除法计算即可判断A；将加+2—+2010变形为

/+2010,整体代入计算即可判断B；运用完全平方公式计算即可判断C；

将式子变形为机〃("2+〃)，整体代入计算即可.

2

【详解】解：A、若4，=°,8>=6,则24f=2,23>=(22)工平)'=八6=幺，故

A正确，符合题意；

B、•/m2+m-l=0,m1+m=1

m3+2m2+2010=m(m1+m^+m2+2010=m+m2+2010=1+2010=2011,故B正确,

符合题意；

C、a?+b?=3,a—b—1?

222

ab=a+b-(a-b)=3-1=?故c错误，不符合题意；

22

D、•/mn=-2,m+n=3,

/.m2n+mn2=mn[m+n)=-2x3=-6,故D正确,符合题意；

故选：ABD.

10.下列说法：正确的是()

A.若分式上2的值为零，贝I]a的值为一3；

a—3

2

B.根据分式的基本性质，”可以变形为竺"；

nnx

c.分式产「中x,y都扩大到原来的3倍，分式的值不变；

3x-2y

21

c。,1

D.--------Q+1=------

Q+1Q+1

【答案】AD

【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件以及分式的基本性质、分式与整式的加减

法，直接利用分式的值为零的条件以及分式的基本性质、分式与整式的加减法分别分析

得出答案.

【详解】解：①若分式土^的值为零，则/-9=0且"3/0,即。的值为-3,正确，

a—3

符合题意；

试卷第5页，共15页

2

②根据分式的基本性质，丝变形为咯需要满足xwO,故原说法错误，不符合题意；

nnx

③分式—中x，＞都扩大到原来的3倍，分式的值扩大为原来的3倍，故原说法错

3x-2y

误，不符合题意；

④金-0+1=金-绝±雪”1=故原式正确，符合题意.

Q+1〃+1Q+1〃+1〃+1

故选：AD.

三、填空题

11.因式分解：3ma2-6mab+3mb2=.

【答案】3m(a-b)2

【分析】

根据因式分解中的提公因式法和完全平方公式即可求出答案.

【详解】解：3ma2-6mab+3mb2

=3m^a2-2ab+b2}

=3加(a-bp

故答案为：3m(a-b)2.

【点睛】本题考查了因式分解，涉及到提公因式法和完全平方公式，解题的关键需要掌

握完全平方公式.

12-方程。+1：1)一;1r

的解为

【答案】》=一4

【分析】根据分式方程的解法，先将式子通分化简为T=l,最后验证根的情况，进

而求解.

6

【详解】

(x+l)(x-l)x-1

63(x+l)_]

(X+1)(%—1)(x-l)(x+1)

3—3x

(x+l)(x-l)

x+l

x+1——3,

x=-4f

经检验x=-4是原方程的根;

试卷第6页，共15页

故答案为x=-4；

【点睛】本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，勿遗漏验根环节是解题

的关键.

13.某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌

新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆.如果设从

2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x,那么可列出方程

是.

【答案】20(1+X)2-20=31.2

【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“2022年的销售量比2020年

增加了31.2万辆”列出方程即可.

【详解】解：由题意得：20(1+尤『-20=31.2,

故答案为:20(1+9)2-20=31.2.

14.已知尸-x+5,当x分别取1,2,3,…,2010时，所对应的了值的总和

是.

【答案】2022

【分析】此题考查了二次根式的化简求值，直接把已知数据代入进而得出变化规律即可

得出答案，正确化简二次根式是解题的关键.

【详解】解：当x<4时，

原式=4—尤—x+5=—2x+9，

当x=l时，原式=-2xl+9=7；

当x=2时，原式=-2x2+9=5；

当x=3时，原式=-2x3+9=3；

当x24时，原式=x-4-尤+5=1,

.,.当x分别取1,2,3,…,2010时，

所对应了值的总和是:7+5+3+1+1+…+1=15+1x2007=2022,

故答案为：2022.

四、解答题

15.(1)配-2cos300-|6-2卜2)

试卷第7页，共15页

'3(x-l)<2x-2®

(2)解不等式组x+3,x+2小，并将其解集在数轴上表示出来.

----+1>----②

I32

IIIIIIIIIIIII»

-6-5-4-3-240123456

【答案】(1)2A/3--;(2)x<l,见解析

2

【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质、负整数指

数早、解不等式组，熟练掌握运算法则是解决此题的关键.

(1)利用特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质、负整数指数幕进行

化简，再计算乘法，最后计算加减即可；

(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间

找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再在数轴上表示出解集即可.

【详解】解：(1)疵-2COS30°-|6-2|+2-

=2V3-2x—+6-2+-

22

=2百-6+6-2+-

2

=2A/3；

2

(2)解不等式①得：%<1,

解不等式②得：%<6,

，不等式组的解集为xVl,

在数轴上表示为：

।।।।।।，1111A•

-5-4-3-2-1012345

16.已知关于X的一元二次方程——2(4-l)x+/—a—2=0有两个不相等的实数根为，

(1)若。为正整数，求。的值；

(2)若为，巧满足入；+*=16,求。的值.

【答案】(1)。=1或2；

(2)a=—\

【分析】

本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出。的取值范围，再

试卷第8页，共15页

由根与系数的关系得出方程是解答此题的关键.

(1)根据关于X的一元二次方程--2(0-l)x+/-。-2=0有两个不相等的实数根，得

至U△=[—2(«—I)]2—4(。——a—2)>0,于是得到结论；

1

(2)根据占=2(aT),xtx2=a-a-2,代入x；+x；-占马=16,解方程即可得到

结论.

【详解】(1)

解：••・关于x的一元二次方程，-2("1)》+/-。-2=0有两个不相等的实数根，

△=[-2(a-I)]2-4(a2-a-2)>0,

解得：a<3,

为正整数，

..a=1,2；

(2)

2

解：•.,玉+马=2(Q-1),xrx2=a-a-2f

x；+x；-xxx2=16,

.,.(玉+々-3再%2=16,

/.[2(tz-l)]2-3(«2-tz-2)=16,

解得：％=T,2=6,

a<3,

a=-1.

17.对于任意实数a,b,定义一种新运算：。※6=1I,例如：3x1=3-1=2,

[a+b-6(a<2b)

5派4=5+4-6=3.根据上面的材料，请完成下列问题：

(1)4^3=,(T)※(-3)=；

⑵若(3x+2)X(x-1)=5,求x的值.

【答案】(1)1；2；

⑵x=l,

【分析】

(1)原式利用题中的新定义计算即可求出值；

(2)已知等式利用已知的新定义进行分类讨论并列出方程，再计算求出x的值即可.

试卷第9页，共15页

【详解】(1)v4<3x2,

钩=4+3—6=1,

•・・一1〉(—3)x2

「.(-1)※(-3)=-1-(-3)=2；

故答案为：1；2；

(2)若3x+222(x—1)时，即xN—4时，则

(3x+2)-(x-l)=5,

解得：x=l,

若3x+2V2(x—l)时，即xV—4时，则

(3x+2)+(x—1)-6=5,

解得：尤=|,不合题意，舍去，

..X—1,

【点睛】此题考查了实数的新定义运算及解一元一次方程，弄清题中的新定义是解本题

的关键.

c4八号木分&a2-6a+9(5>_,日/土寸金。一1〃4一附十

18.先化间，再求值：----------a+2+,其中使不等式-T；—W1成"的正

a-2I2-aJ2

整数.

【答案】M

2

【分析】

先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数。的值，再代

入数据计算即可.

,、4kTi、b-n/—6。+9(_5A

【详解】解：------T--«+2+-——

a-2\2-a)

(〃-3)2(2+〃)(2-〃)5

-----------r------------------------1---------

d—22—ci2-a

_("3)24-a2+5

Q—22—CL

(a-3)2-a

2(3+a)(3-a)

a—3

a+3'

解不等式M41得：。43,

2

为正整数,

试卷第10页，共15页

••ci—1j2,3,

:要使分式有意义。-2wO,

・•Qw2,

。・•当〃=3时，。+2H---=3+2H---=0,

2-。2—3

••aw3，

一

・,•把。=1代入得：原式=—1-3=-}1.

【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是

熟练掌握分式混合运算法则，准确计算.

19.阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如

3+2后=(1+后『.善于思考的小明进行了以下探索：

设0+6&=1〃+7行『其中.、b、m、〃均为整数，

贝U有a+by/2=m2+2n2+2加“C-

a=用+2/,b=2”.这样小明就找到了一种把类似a+b叵的式子化为平方式的方

法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)当。、6、加、”均为正整数时，若a+b^=[m+n栏',用含加、"的式子分别表

示〃、b,得：a=b=；

(2)利用所探索的结论，找一组正整数。、b、m、〃填空：_+_君=(_+_6『；

⑶若a+4G=(根+〃6『，且。、机、"均为正整数，求。的值.

【答案】⑴病+3/,2利〃

(2)13,4,1,2

(3)7或13

【分析】

本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，

(1)根据上面的例子，将按完全平方展开，可得出答案；

(2)由(1)可写出一组答案，不唯一;

⑶将(加+展开得出〃/+3〃2一2力〃"5,由题意得用"=2,m2+3n2=a,再由a、

m、〃均为正整数，可得出答案.

试卷第11页，共15页

【详解】(1)解：,:a+b拒=1加，

a+b也—m~+37?2+2rm△，

a=m2+3n2,b=2mn；

故答案为：m2+3n2,21rm.

(2)解：由(1)可得。=13,6=4,m=l,n-2；

故答案为：13,4,1,2.

(3)解：Va+4V3=(m-«V3j2,

a+4^/3=m2+3«2-2nm枢,

mn=2,m2+37?2=a，

m、n均为正整数，

m=1,n—2,a=13或〃?=2,n=1,a=7；

，a的值为7或13.

20.如果一个正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘

数”.例如:因为4=2Z-02,12=42-22,20=62-4,故4,12,20都是神秘数.

(1)写出一个除4,12,20之外的“神秘数”

(2)设两个连续偶数为2斤和2人+2(左为非负整数)，则由这两个连续偶数构造的“神秘数”

能够被4整除吗?为什么？

(3)两个相邻的“神秘数”之差是否为定值?若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明

理由.

【答案】⑴28

⑵能够被4整除，理由见解析

(3)两个相邻的“神秘数”之差是定值8

【分析】

(1)根据“神秘数”的定义写出一个“神秘数唧可；

(2)根据题意用两个连续偶数的平方差表示出“神秘数”，利用平方差公式化简即可判

断；

(3)利用“神秘数”的定义和(2)中结论即可得出结论.

【详解】(1)解：•••28=14x2=(8+6)(8-6)=82-62,

28是“神秘数”,

试卷第12页，共15页

故答案为：28；

（2）解：能够被4整除，理由为：

根据定义，两个连续偶数为例和2人+2"为非负整数），构造的“神秘数”为

（2人+2）2-（2发7，

（2左+2）2—（2斤?

=（2左+2+2左）（24+2-2左）

=（4左+2）2

=4（2左+1）,

构造的“神秘数”能够被4整除；

（3）解：根据（2）中结论，设两个相邻的“神秘数”为肱+4,8（左+1）+4,

：[8（后+1）+4]-（8左+4）

=8左+8+4-8左-4

=8，

，两个相邻的“神秘数”之差是定值8.

【点睛】本题主要考查平方差公式，理解新定义，熟练掌握平方差公式的运用是解答的

关键.

21.为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A,B两种型号的充电桩.已

知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万

元购买B型充电桩的数量相等.

（1）A,B两种型号充电桩的单价各是多少？

⑵该停车场计划共购买25个A,B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电

桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的1■.问：共有哪几种购买方案？哪种方案

所需购买总费用最少？

【答案】（1）A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元

（2）共有三种方案：方案一*购买A型充电桩14个，购买B型充电桩11个；方案二：购

买A型充电桩15个，购买B型充电桩10个；方案三：购买A型充电桩16个，购买B

型充电桩9个；方案三总费用最少.

试卷第13页，共15页

【分析】

（1）根据“用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等”列分式

方程求解；

（2）根据“购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购

买数量的3”列不等式组确定取值范围，从而分析计算求解

【详解】（1）解：设B型充电桩的单价为x万元，则A型充电桩的单价为（x-0.3）万元,

由题意可得:

1520

x-0.3x

解得％=1.2

经检验：x=1.2是原分式方程的解,

X—0.3=0.9，

答：A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元;

（2）解：设购买A型充电桩〃个，则购买B型充电桩（25-a）个，由