辽宁省协作校2024届高三年级上册1月期末联考数学试卷及答案

2023—2024学年度上学期期末考试高三试题

数学

考试时间：120分钟满分：150分

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。

2.答选择题时，选出每个题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再虻涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试

卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知U=R,4={x|f—4x+3W0},8={x||x-3|>l},则ZUQ8)=

A.{x|lWxW4}B.{x|2Vx近3}C.{x|l^x<2}D.{x|2WxW3}

2.己知直线(：石x-3y+l=0,若直线6与4垂直，则6的倾斜角是

A.150°B.120°C.60°D.30°

3.已知a,b是两个单位向量，则ua±bn是a\2a-b\=\a+2b\n的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

4.某人将用“1,1,2,3,4,5”进行排列设置6位数字密码,其中两个“1”相邻的概率是

A.1B.1C.1D..L

62312

5.双曲线9=1的焦距为

A.272B.2c.5/2D.4

6.己知sin6+sin（J+：）=l,则cos(e-为=

A.-B.近

c巫D2

2323

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7.若过点尸(，,0)可以作曲线y=(l-x)e'的两条切线，贝〃的取值范围是

A.(-3,1)B.(l,4«o)C.(~°°,-3)D.(7,-3)U(L+°°)

8.以半径为出的球为内切球的圆锥中，体积最小值时，圆锥底面半径r满足

A.r=^^7?B.〃=2RC,r=^-^-RD.r=42R

33

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知z为复数，设z,近在复平面上对应的点分别为4,B,C,其中。为坐标原点，则

A.・网=|丽B.OA^

C.园=|园D.OB//AC

io.已知正方体/Be。-44qq,点尸满足加=入前+〃函下

列说法正确的是

A.存在无穷多个点尸，使得过A，5,尸的平面与正方体的截面是菱形

B.存在唯一一点P,使得力P〃平面4£。

c.存在无穷多个点P,使得4尸，4。

D.存在唯一一点尸，使得op，平面4G。

U.已知数列G：o，i，o，i，o,现在对该数列进行一种变换，规则/：每个o都变为每个

1都变为“0,1,0”,得到一个新数列，记数列£+1=/(。"),左=1,2,3「・，且£,的所有项的和为5“,

则以下判断正确的是

二5尸一1

A.，的项数为5・3"TB.£=22C.C4中1的个数为68DS"

12.下列大小关系正确的是

A.1.92<2'-9B.229<2.92D.log74<log127

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13・(x+1-2)，的展开式中X?的系数为一-------

X

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14.已知函数/(x)=/lsin0«+联卜>0,0>°)的部分图像如图所示，其中

/(x)的图像在y轴右侧与x轴的交点的横坐标从小到大依次玉，々，…,X”.且

2兀

X6-X4=『则/=•

15.函数/(x)=4字的最大值为•

16.已知抛物线C：产二公的准线为/，过点(-1,0)的直线交C于48两点，AB的中点为M,

分别过点儿8,M作/的垂线，垂足依次为。，E,Q，则当需取最小值时，|/却=.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤

17.(10分)A48C的内角>5,C的对边分别为。，瓦c设(sinB+sinC>2=s1n24+3曲jBsinC.

(1)求才：

(2)若五a+b=2c,b=五,求4J8C的面积•

18.(12分)已知正项数列｛”“｝的前〃项和为S.，且2a“=2〃+S"对一切正整数〃都成立,

记6.=勺+2.

(1)求数列｛6J的通项公式：.

a*,n=3k(

(2)已知3,左为正整数.记数列｛cj的前〃项和为I,求40.

log也,nH3k

19.（12分）如图，在五棱推P—ABCDE中,PA工平面ABCDE<B//CD,AC//ED,AE//BC,ZABC=45°,

AB=2Q,BC=2AE=4.

(1)求证:平面PC。J_平面尸4C：

<2)已知直线尸8与平面PCD所成的角为30°,求点4到平面

的距离.

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20.(12分)已知椭圆会+方=Q>6>0)的离心率为孚，左、右焦点分别为不小过耳的

直线交椭圆于8,0两点，过用的直线交椭圆于4c两点，且/C_L8。,

垂足为尸，|OP|=1

(1)求椭圆的标准方程；/《茎」以”

(2)求四边形/sc。的面积的最小值..

21.(12分)某企业打算处理一批产品，这些产品每箱10件，以箱为单位销售，已知这批产

品中每箱都有废品.每箱的废品率只有或者L两种可能，且两种'可能的产品市场占有率分别为

105

2」.假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱，现处理价格为每箱840元，遇到废

33

品不予更换，以一箱产品中正品的价格期望值作为决策依据.(运算结果保留分数)

(1)在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；

(2)现允许开箱，不放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验，已发现在抽取检验的2件产

品中，其中恰有一件是废品

①求此箱是废品率为l的概率；

②判断此箱是否可以购买，并说明理由.

22.(12分)对于定义在。上的函数/(x),其导函数为/'(X).若存在Ae0,使得fW=f(H),

且x=A是函数/(x)的极值点，则称函数/(x)为“极致A函数”.

(1)设函数/(x)=x+atanx,其中一aeR.

①若/(x)是单调函数，求实数a的取值范围；

②证明：函数/(x)不是“极致0函数”.

(2)对任意mwR,证明：函数8(%)=*5山工+川(：05%一m是“极致0函数”.

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2023—2024学年度上学期期末考试高三试题

数学参考答案

一、LA2.B3.C4.C5.D6.B7.D8.D

二、9AB10.ACD11.ABC12ABD

12作出y=和y=/的图象，如图所示，由图象可得，当xc(O,2)时，2*>/,

22L192

当xs(2,4)时,X>2S1.9<2%2<2.9,故A,B正确.

令〃X)=——,则〃幻甘+生:/(x)在(0,+8)上单调递减，所以

2'—12—1

)ln2oe

-=^>-=r—,故C错误.

2ln2-l2V2-1

pog74+log712Ytlog,4812]

嗨4电12-1<12—-_J—<0所

>°g74-logl27=log74--~~—

log712log712log712log712

以log?4<log127,故D正确.

故选：ABD.

14.现

三、13.28,516.4也

36-T

16.依题意不妨设直线48的方程为y=%(x+l)(%>0),/(西,乂),86,乃),

联立〈Ui卡“，消得公工2+(2--4)x+公=0,

则A=(2-一4『一4->0,得

又因|。同=|必fI=小=川(占+%)2-4出="J丁

2

/_1

则\DE\=4儿/=28"+r，

答案第1页，共7页

当产「时，品取得最小值，止匕时“+%=一丁=6,痞=1,

所以IAB|=J1+E-J(X1+々)2—4%无2=^1+1•用_4=.故答案为：45/3.

四、17.(1)

(sinB+sinC)2=sin2B+2sinBsinC+sin2C=sin2A+3sinBsinC

即sin2B+sin2C-sin2A=sin8sinC

由正弦定理可得从+。2—4=尻--------------------------2分

则cosA

2bc2

因为AE(0,%),所以A---------------------------------------------------------4分

(2)

木艮据也3+。=2(;由正弦定理得逝5访/4+sinB=2sinC

又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,A=—

则yj2x—^-+—^-cosC+—smC=2sinC

222

整理可得3sinC—y[6=GcosC,即3sinC—V3cosC=2gsinI0——j=46

由正弦定理得」^=上即'^=塞-得a=的

----------------------------------------9分

sinAsin5sin£sin£

34

所以面积5小小多员后胃二十

--------------------------------------10分

18.【解析】(1)由2a“=2〃+S“，得2%_]=2("-1)+S,T(〃22),两式相减得

答案第2页，共7页

2%-2%=2+a“，gpan=2a^+2,----------------------2分

所以%+2=2(a〃T+2),即bn=2bLi5三2)，

当n=1时，2a1=2+q,即=2,从而4=4,

所以｛。｝是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以年=4-2"-1=2向.----------------4分

(2)由(1)知2"=2"+1—2,于是40=q+c。+。3+…+C30

=(log24+log24+4)+(log,b4+log24+。2)+…+(log2b25+log2b26+%)+

(log2^28+log2^29+tz10)

=(2+3+2?-2)+(5+6+23-2)+…+(29+30+2U-2)-------------6分

=(2+5+8+---+29)+(3+6+9+---+30)+(22+23+---+2H-20)----------8分

(2+29)x10+(3+30)x10+4(1-2%_2Q

2+2+1-2—----------10分

=155+165+4092—20=4392----------12分

或者

2311

7；0=(2+5+8+---+29)+(3+6+9+---+30)+(2+2+---+2-20)

(2+3+4+5+6+8+---+30)-(4+7+10+---+28)+(22+23+---+2n-20)

320+4092-20=4392

19.(I)证明:因为NABC=45o,AB=2V^,8c=4

2

所以在\ABC中由余弦定理得AC?=(2亚)一+42-2x2夜x4xcos45。=8

解得八C=2盘，又由ZB2+AC2=8。2得

因为所以CD1AC---------2分

因为PA1平面ABCDE,CDu平面ABODE

所以尸A1CD又因为PAnAC=A所以CD_L平面尸AC

又因为COu平面PCD,所以平面PC。，平面PAC.■4分

(II)由(I)得AB,AC,AP两两互相垂直，分别以ABMCMP所在直线为x,y,z轴,建立如图所示

答案第3页，共7页

空间直角坐标系，设期=f

则4（0,0,0,）B（20,O,O）,C（0,20,0）,P（0,0j）

因为/C的,CD1AC,所以四边形ZCD8是直角梯形

因为42：=2.ZABC=45°,AE//BC

所以44£=135°,/。£=45。，8=柞Tm45°=及

所以D（-V^,2&,0）--------------------------------------------------------------------------4分

则CP=（0-2>/2,/）,CD=（-72,0,0）

设7=卜,y,z）是平面PCD的一个法向量

_m-CP=0„\-2>/2ty+te=0

则有Mtu即a.

m-CD=0［—V2x=0

令二=1,得7〃=0,—r,l-------------------------------------------------------------8分

I4）

设。是直线与平面所成的角，PS=（2>/2,0,-r）

贝有sin6=sin30°=|cos（PS,〃7）|=〔'=—

11出+向|2

解得f=2&-----------------------------------------------------------1。分

所以尸（0,0,2立）,£=（0.1,1）.方=（0,0,2亚）

设点A到平面PCD的距离为万

.APm］的.

所以点A到平面PCD的距离为2.----------------------------------------------------12分

20.解：(1)因为APK片是直角三角形，且10Pl=1,所以椭圆的半焦距c=1,——2分

由£=走，得2=&,所以椭圆的标准方程为《+止=1.----------------------------4分

a332

(2)(i)当助的斜率k存在且k#0时，BD的方程为y=«(x+l),代入椭圆方程］+(

答案第4页，共7页

并化简得(3k2+2*+6k2x+3尸_6=0.

2n八，、c、n.i6k23k2—6

设3(演，必)，D(X,y2),则X]+X2=-3卜2+■/

2

22

|叫=，1+左小1-0|=yl(l+k)[(x2+x2)-4xlx2']=，'：；：："!-----6分

因为AC与BC相交于点P,且AC的斜率为-1,

k

所以，|吐4可t+1)=4妆2+1),-----------------7分

1112k23

3x=+2=+J

k2

四边形ABCD的面积

5=；回国=产八112_2…y__96

21"1(3*+2)(2/+3)[(3*+2)+(2/+3)]25

2

当公=1时，上式取等号.----------------10分

(ii)当BD的斜率k=0或斜率不存在时，四边形ABCD的面积S=4.

综上，四边形ABCD的面积的最小值为生96.----------------12分

25

21.解：(1)设每箱实际价格为X,则X可能取值为800元，900元.

21

所以尸(X=900)=§,P(X=800)=-,------------------------2分

122600，所以值得购买------------------------4分

£(JQ=800x-+900x-=-^—>840

(2)设每箱实际价格为y,则丫可能取值为800元，900元

设人="废品率!”，B="废品率!”C="检验2件产品，恰好有一件废品”

105

71

P(J)=1.P(S)=1

P(AC)=P(A)P(C|A)=等=1，P(BC)=P(B)尸(C|B)=卜等=需,

答案第5页，共7页

P(C)=P(AC+BC)=—+—=—6分

''15135135

①

16

“RBC)=135=8

(I*P(C)-M-i7

135

8分

2

②因为户(川0=々冬=聂=言，则丫的分布列为

r(Cz)。今1/

135

Y800900

P89

1717

E(F)=800x—+900x—=地空>840

171713

所以此箱值得购买------------------------------------12分

22.(1)①由题意，得尸(幻=经争.------------------------1分

JCOS2X

⑴若八无)在(-秀)上单调递减，财产3W0恒成立，

即aW—cos2%恒成立，所以aW—1；------------------------------------2分

(ii)若/(%)在(一纪)上单调递增，贝!jf'(%)20恒成立，即-cos?%恒成立，所以a20.

综上，实数a的取值范围为u[0,+8).-------------------------------------3分

②假设/(%)是“极致0函数”，则汽=0是/(幻的极值点，

所以/'(0)=1+a=0,解得a=-1,------------------------------------4分

由①可知，当a