山西省太原市2024届高三年级下册模拟考试（一）数学试题含答案

4.巳知加,ii是不同的直线是不同的平面.则下列说法正确的是

太原市2024年高三年级模拟考试（一）

B・若a〃dm〃am〃氏则血〃n

数学试卷C,若aJ_6，m«Lam，夕,则D.若a工a,n〃则

北斗七星是夜空中的七颗亮显,我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图形像

（考试时间:下午3：00—5：00）5.

我国古代舀酒的斗,故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象,也是古人藉以判断

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至4页，第II卷5至8页。季节的依据之一.如图，用点4.8.C,O,E,F.C赛示某季节的北斗七星，其中8,D,E.F看作

2.回答第I卷加,考生务必将自己的姓名、考试编号填写在答题卡上。

共线,其他任何三点均不共线•若过这七个点中任意三个点作三角形,则所作的不同三角

3-回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂票.

n如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效。形的个数为

4.回答第D卷时,将答案写在答题卡相应位比上,写在本试卷上无效。C・・G

A.30B.31B・•••

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。DEF

1

C.34D.35

第I卷6.巳知双曲线V-专=1的左、右焦点分别是用，生，点P在双曲线C上，且满足

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

斤•可=9.则点P到双曲线C两条渐近线的距离之和为

合题目要求的.

A.2V2B.3

1.巳知全集U=R,集合4=（0,1,2,3）,B=（-2,-1.0,1],则图中阴影部分表示的集合为

C.2V3D.2\/6

A.{-2,-1,0,1,2.3)B.(0.1)

7.E知数列｛aj的前n项和为S.（neN）且满足S1=2,3S.=（n+2）a.,则使不等式S..V2024

C.(2.3|D.{-2,-1)©

成立的n的堆大声

2.巳知第数:满足m=1+"则！=

A.15B.17

A.1+£B.1-i

C.20D.22

C.-1+fD.-1-i

8.已知」'VaVOLEVF<—^-,sin2a-sip/S+sin(2a+B)=0,则下列结论正确的是

2"2

3.已知。=(3,A),6=(1,2),若(。-则实数A=

A.cos<»-cos^=0B.cosa+sin^n0

A.-4B.1

C.2D.6C.cos2a-co^3=0D.cos2a+si甲=0

高三数学J）第1页供8页）；高三数学G-X第2页（共8页）

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题

目要求的.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列结论正确的是

人.若随机变量乂,丫满足丫=2K-1,则0(丫)=2。(二)-1

B.若随机变量§~伙4,〃)机•<6)=0.82,则尸(2<§<6)=0.64

C.若样本相关系数r的绝对值越接近1，则成对样本数据的线性相关程度越强

D.记样本孙，*2,…，/n的平均数为呈，样本力,力，…，%的平均数为，G1),若样本

町,如，…，与，%，%，…,%的平均数为5=9+占,则工=/

55m3

10.已知定义域在R上的函数/⑺满足以下条件:①对于任意的孙yGRJG+y)+f(%-y)

=¥⑺f(y)；②f(0)#0；③f㈤=0,其中及是正常数，则下列结论正确的是

A-/(0)=lB./(2*).=1

C./依)是偶函数D./(%+2fe)+/(%)-0.

11.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是

分别以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分

如图,在勒洛四面体48co中，正四面体48C。的棱长为4,则下列结论正确的是.

4*rr

A.记勒洛四面体45C。表面上以C,0为球心的两球球面交线为弧4丛其长度为《-

B.平面45c截勒洛四面体45co所得截面的面积为8仃-8^3

C.过棱C。的中点和45的平面截勒洛四面体/1BC。所得的

截面的周长小于36"a

D.勒洛四面体4BC。的内切球半径是4-V6

高三数学(一：)第3页(共8页)

16.(本小题满分15分)

太原市2024年高三年级模拟考试(一)如图，在三棱台4BC-4,，中,CCJ平面48a平面4BC1•平面ACCf/G=CC,=1AC,

Q

数学试卷△48C的面积为2\/2,三棱锥4-/IBC的体积为;.

⑴求证：A4,xec；

(2)求平面4,88,与平面4,8C,夹角的大小.

第II卷(非选择题共90分)

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.(2+/)(1-1)，的展开式中的常数项为.

13.巳知数列｛“中吗=l.a-=卜*2汨%^则数列｛4｝前2024项的和为一

[-Q.+Z〃为偶数，

14.巳知A>0,若对于任意的工引:,+8),不等式外出-In2)-2xlnx>0恒成立J

破小值为.

四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演步骤.

15.(本小题满分】3分)

如图，在△48C中,。是边A8上一点.44CD=90。.〃!=ZBCD.24D=3BC.17.(本小题满分15分)

(1)求tan4的值；c巳知函敷/'(x)='^'el*+(2a-l)e*-2x-y.aeR.

(2)若4c=6,求48的值.

(1)讨论函如(k)的单调性；

AD

(2)若/(工)在R上有两个零点，求实数a的取值范围.

高三数学(一)笫5页(共8页)高三数学(一)第6页(共8页)

18.(本小题满分17分)19.(本小题满分17分)

巳知椭圆C：4+^=l(a>6>0)经过点(1,彦),且离心率e=4.点P是C上一动点.某制药公司针对某种病毒研制了一款新疫苗.该病毒一般通过病鼠与非病取之间的

ab2Z接触传染,现有n只非病鼠,每只非病鼠在接触病以后被感染的概率为余被感染的非病鼠数

点Q是”的中点(。为坐标原点).过点Q的直线交C于",〃两点，且MQ=NQ.

用随机变I1X表示,假设每只非病鼠是否被感染之间相互独立.

(1)求椭圆C的标准方程；

Kl

(2)当直线0P的斜率L和直线"N的斜率小都存在时.证明:*”=~1；(1)若P(X=55)=2p(X=45),求数学期里E(X);

(2)设接种疫苗后的非病鼠被病风感染的概率为p(O<p<l),现有两个不同的研究团队

(3)证明:△"ON的面积为定值.理论研究发现概率P与参数券)<8<I)的取他有关.团队A提出函数模型为p=ln(l+。)-5”,

团队B提出函数模型为「=!(1-尸).现将

这n只非病以平均分成10组，进行实验，随机；

变fiU(i=1,2,….10)表示第i组被感染的非病4

以数,右图是根据班机变址X,(i=12…,10)3

的实脸结果x,(i=12…/0)绘制成的预数;

分布直方图.假设每组非病限是否被感染之飞

间相互独立.

①试写出事件“乂=x“X产物,…出。=所。"发生的概率表达式(用P表示，组合数不必

恼)；

②在统计学中，若参数”仇时使得概率〃(为=占,莅=物,・“出。=与。)最大,称“是8

的极大似然估计.根据这一原理,判断A.B两个团队提出的函数模型是否可以求出，的极大

似然估计仇？若能，请求出%

参考数据尾10.4065.

高三数学(一)第7页(共8页)高三数学(一)第8页(共8页)

太原市2024年高三年级模拟考试（一）

数学看酒案与行建议

一.选择题：DABCBCBB

二.选择flhBCDACDBCD

2

三填空题：-82024

7

四.解答题

15.解：(1)设4=a,•••Z/1CQ=9O°,Z.A=ZBCD,AABC=90°-2a,

在△4CQ中，C=NO,cos4=/1Z)・cosa,..........2分

'BCAC出BCAD-cosa._,_

中，由一：—=--得-----=-------------,/.ADs\nacosa=BnCcos2a,

sinJsinBsinasin(900-2a)

■：2AD=3BC,/.3sinizcos«z=2cos2tz,..........4分

二3tana=2(1-tan?。)，，tana=1或tana=-2(舍去)，tanJ=—：...........7分

22

(2)由(1)得13114=1，，5111/=走，COSA=,..........8分

255

-.'AC=6,AD=-^-=345,:.BC=2-j5,..........10分

cosA

在△45。中，由余弦定理得/B?=4C2+5C2-24C,3C・COSN4CB..........11分

=36+20-246cos(900+a)=80,AB=4卮

16.(1)证明：取4c的中点。，连接G。，

,.14G=CCj,C\DA.J|C,..........1分

平面A^BC1平面ACCiAi,

.•.4。_1平面48。，二。1。_18。，.....3分

CC,±平面ABC,.\CC[1BC,

二BC_L平面力C"G4，，BC_L441：..........6分

（2）由（1）得CG_L8C,8c_L平面力CO/”•'•8C_L/C,

•.•。4_1平面力3。，，81_14。，以。为原点，O,CB,CG所在直线分别为x轴、y

轴、二轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设4G=X,BG=y,

SMM=54c.BC—yJcCJ+4G=近xy—2亚

x=2,

则解得

1228V=l,

VA,-ABC---SjUBC,CCl=§X>=?，

则C(0,0,0),G(0,0,2),4(2,0,2),B(0,2,0),4(0,1,2),9分

-1-

设前=(*,%T)是平面45G的一个法向量，则一mJ_G&(2Xf=0,

mLBAx,"=0,

取4=1,则玉=O,7]=1,:.m=(0,1,1)，..........11分

设>=1,,8/,)是平面43用的一个法向量，贝”二，竺，..」，2一弘=0,

"J.84，⑵2-2%+2;2=0，

取［2=1,则戈=，，必=2,二〃=(1,2,1),.........13分

-----m-n35/3

/.cos<m,n>=,上一一=.一尸=—,.....14分

|m||nI-v2V62

r.平面角ABB］与平面45G的夹角为30。.......15分

17.解：(1)由题意得/'&)=初2'+(2。-1)/-2=(。/-1乂产+2),xeR,..........2分

①当aKO时，贝iJ/'(x)<0,.•./(X)在R上递减：......4分

②当q>0时，令/'(x)=0,则x=lnL=-Ina,

a

令/'(x)<。，则x<-lna：令r(x)>0,则x>-lna,

.•./(外在(-8,-]114)上递减，在(-Ina,+8)上递增：......6分

(2)由(1)得①当aWO时，/(x)在R上递减，

二/(x)在R上至多有一个零点，二a40不符合题意：......8分

②当a>0时，/(x)在(-8,-lna)上递减，在(-Ina,+8)上递增，

/(x)mM=/(Tna)=：-；+21na,..........9分

22a

(i)当ail时，/(-lna)NO,

.♦./(x)在R上至多有一个零点，.•.aNl不符合题意：......11分

(ii)当0<a<l时，/(-lna)<0,

1)~~^+2-3>1一1>0,.，./(x)在(―L-Ina)上有一个零点，...13分

2e2e22e

aJa”8164、，16,

22alaa

/a-八&163a--163-a-163

;./(一)=_•e0+(2a-l)ea-------->一•ea-ea-------------=ea(一t•ea-1)-------------

a2a22a22a2

81A

>-ea-1---------->3H--------------=—>0./(x)在(—lna;+oo)上有一个零点，

2a2aa22

.♦.0<a<l符合题意：

综上，实数a的取值范困为(0,1).15分

-2-

19.

/十方=L

。=2,

18.解:(1)由题意得c1

a2=b2+c2,

X2y2

二椭圆C的标准方程为—+4-=1：4分

43

则P(2x0,2%)，.•.%=区,

(2)设"区,必),N(x2,y2),0(/,%),

22

Jj,2

+苧=。._3$+十2二3X。

由.43得

224MF4必+%4%

J4=l,

43

TT即自“3

8分

4

(3)①当〃8和心例都存在时，设立线MN的方程为y=Ax+m,

y=kx+m,

由,9y2得(3+4公)/+的〃x+4(〃/-3)=0,

—+—=!

143

-Skni4(〃*一3)

/.X+X,=----，再斗=------壮10分

1"3+4*723+4M

x,+x_-4kni.3m

XQ=2

2一3+4F'"。+‘"=百充'

•.•点P在。上，.••^^•+^^■=1,.•.3廿+4%2=3,二3+缄2=4",

12分

-2k,3

：.X+X2=-----,Xx=1---7，

[mi2nf

设点。到直线MV的距离为4,则△MCW的面积SAA3,=g|MVH/

=；Ji+〃2IK-I-।叫=；1玉一电卜|〃”,

/+公

22Q

SAAfON»f)2=9[5+何-4X㈤=解一.+3=屋

3

■为定值;15分

②当直线。尸的斜率不存在时，则直线MN的方程为y=±JJ,易得S33,

2

-3-

3

③当直线A/N的斜率不存在时，则直线M