2023-2024学年度2024届高三(上)期末考试 理科数学试卷（含答案）

成都市第七中学2023-2024学年高三上学期期末测试

数学（理科2024.1.20）

第I卷（选择题）

一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求的.

1.已知.集合X-{xxS；，，8=卜卜=,4尢-]）,则{=

2.sina<tana"是为第一象限角"的（

A,充分不必要条件B必要不充分条件

C,充要条件D,既不充分也不必要条件

49

3一设4=1og35，b=log57,W'Jlogls—=（

2b-]-2a2b-2-a八2ab-]-2a-2ab-2-a

A.-----------B.----------C.----------------------D.------------

1+a1+a1+a\+a

4.在某病毒疫苗的研发过程中,需要利用基因编转小鼠进行动物实缝,现随机抽取100只基因编辑小鼠对该病毒

疫苗进行实险,得到如下2x2列联表（部分数据缺失）：

被某病毒感染未被某病毒感染

他好理出1050

未注时殁苗3050

合H30100

a0.10.050.010.0050.001

XQ2.7063.8416.6357.87910.828

计算u知，根据小概率值a=的独立性检验，分析“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感

染的效果”（）

n{ad-be)

附：/2=fi=a+b+c+d.

(〃+6)(c+d)("+c)3+d)

A.0.001B.0,05COOID.0.005

5,若方程2）、+5-加=0的两根都大于2,则实数阳的取值范围是（

A.(-oo,-5)U(-5,-4]B，(-00,-4]

C.I-oo,-2]D.f-4]

6在直角坐标平面内，点/(I,-1)到直线/的距离为3,点8(4,3)到直线/的距离为2,则满足条件的直线/的

•条数为(

A.lB.2C3D.4

7.如图)是函数/(x)=cos(gxj的部分图象，经过适当的中移和伸缩变换后，部到图2中g")的部分图象,

则(，

AgQ)=/(2x-；)

B.g(.r)>-的解集为(，+2鼠工+2片［keZ

2166J

D.方程g(x)=log「x有4个不相等的实数解

8,已知在等腰△48C中，*3=40=2./历1。=5•，点D在线段8。上.H&Q=3SA皿则益・布

的值为(

A.1B]C-D.-i

2222

9Al佟I所玳的几何体是由正方形N8CD沿直线AB版转90°得到的，设G是圆弧CE的中点，"是圆瓠读上

的动点(含端点)，则下列结论不正砌的是('

©

A,存在点H,使得号718G

B.存在点〃，使得£〃〃8。

C.存在点H,使得EH〃平点BDG

D存在点〃，使得比线EII与平面BDG的所成角为3(?

10.定义在(0,+8)上的函数/(.r)满足x\f\x)+1>0,/(2)=4,则关于x的不等式/(Inx)>」一+2的解

2!nx

条为（）

A.（e\+8）C（e,『）

11刈抛物线丁2=2px的焦点为点4、8在抛物线.匕口.468=红，弦48的中点,以在掂线/上的

3

\MM'\,,

射影为〃'，则j京的最大值为（

4百2/6

A,----B.----C.--D.73

333

12.在锐知△48C巾，由4B,C所对的边分别为a,b.c,c-b-2dcosA,则下列4个结论中正

确的有（）个.

①3=2月；②6的取值范围为

③蓝的取值范围为（贝，/卜

④L=—=—+2sin4的最小值为2>/^

lanBtanA

A.0个B1个C.2个D.3个

第II卷（非选择题）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.

13.已知［d展开式中第3项和第5项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为

14.交通雄.又称锥形交通路标，如图1,常用丁进行工程、发生小故忖提醒行人或车辆，以保证工程人员及道

路使用者的人身安全等一某数学课外兴趣小组对一个去掉底座的圆锥形交通铺筒进彳j研究，发现将医交通锥筒

放倒在地面匕如阳2,使交通锥筒在地间卜绕键顶点S滚动.当这个交通锥筒首次转M钊原位置时，交通锥

筒本身恰好滚动「3周一若将该交通锥筒近似看成圆锥，将地而近似看成平而，测得该四锥的底而半径为

15,2cm；则该圆锥的侧面积为cm2（交通锥筒的原度忽略不计）

15.双曲线的光学性质为①：如图，从双曲线右焦点工发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线

经过左焦点”.我国首先研制成功的.双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的

22

轴戳面是双曲线一部分,如图②，其方程为xy弓，弓为其左右焦点，若从小焦点工发出的光线

a2b~

经双曲线上.的点4和点6反射后,满足/族。=90°,tanZABC=--,则该双曲线的阳心率为_____.

4

图①图②

16.如图，球。的内接八面体&8C'。。中.顶点户,。分别在平面NBC'。两侧.四棱锥尸一/BC。,

。一48C。均为正四棱锥，设二面角「一48-。的大小为仇则tanS的取值范围是.

三、解答题：本大题共6小题,共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.数列｛a„｝的前n顼和S〃=2an-2,

(1)求数列｛4”｝的通项公式:

(2)若b“=nlog,an,求数列｛a,,b„｝的前n项和Tn.

18.近期，成都某中学高一、高二年级举行数学思维导因设计大赛，总分获得一等奖、二等奖、三等奖的代表

队人数情况如去，其中一等奖代表队比三等奖代表队多10人.为使颁奖仪式:行序进行，同时气第活跃，在颁奖

过程中穿插抽奖活动.并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取16人在前排就坐，其中一等奖代表队有5人

(同队内高高二俏采用分层抽样)

获奖年级一等奖代表队二驿契代袭机工暗奖代表队

高一30

高二302030

(1)完成表格;

(2)从前排就坐的一等奖代表队中随机抽取3人上台领奖，川X表示高二上台领奖的人数，求P(X<2).

(3)抽奖活动中，代表队员通过操作按键，质电脑自助产生［-2,2］内的两个均匀随机数x,7.随后电脑自

动运行如图所示的程序根图的程序.若电脑显示“中奖”，则代表队员获相应奖品；若电脑显示“谢谢”，则不

中奖.求代表队队员获得奖品的概率.

2边长为4的正方形力BCD所在卫面与半圆弧13所在平面垂直,四边形EFCD是半圆弧丽的内接梯形,

M.CD//EF.

(I)证明：平曲/。EJ.平向8CE；

(2)殳E尸=2,且二.面角E—XD-C与二面角。—8C-尸的大/］郦是60°.当点P在梭力。(包含端点)

上运动时，求直线PB和平面NC£所成角的正弦值的取值范圉.

20,已知幡圆C:[+£=1(4>/>>0)过点P(企,1),点心率为6==

a'b'2

(1)求椭圆。的方的;

⑵当过点M(4,1)的动直线与椭圆C和交于不同的两点A,B时，在线段AB上取点N,满足AM=-AMB,

~AN=ANB,求线段PN长的最小值.

=sinx-xcosx,g(x)=Id-------COSX

、27

⑴①当X€［0,用时,证叽/(x”0；

②当xe时，求g(x)的值域;

(2)若数列｛。"｝满足q=l,a“+i=a“cosa“，a„>0,证明:

(3%+a2+a3+•••+«„)cosa,cosa2cosa3---cosan<2(nG.

22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

多样化的体育场地会为学4加提供更丰富的身体缴炼方式,现有一个标她的铅球场地如同若场地边界删线〃

.—**—•7fl

分别由两段同心脱弧方C,力。和曲条线段48,CQ四部分组成，在极坐标系Ox中，乙AOD=乙BOC=F，

36

A.O,B三点共线、/4(20二工］，点C在半径为I的网上.

(1)分别写出组成边界曲线〃的两段圆瓠和两条线段的极坐标方程；

(2)若需设置一个即边界曲线“距离不小丁1H.关于极轴所在在线对称的矩形警示区域、如图,求警示区域

所用的最小面积.(注：sin—=0.3,cos包、0.95)

7272

23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数/(x)=|21|.

⑴求不等式/(x)<x+l的解集；

t22

(2)若a+b=L/(幻一/。+1)〈幺+丁对任意正实数a,6恒成立，求实数x的取值范圆

ab

数学(理科解析2024.1.20)

CBDBDCBBBACB

如图所示，由题意得尸(1,0),

h\AF\+\BF[)

30号(|佝j(|AF\^\BF\)

-7而~।叫AF\*2+\5F|2-21AF||BF\cos-y

^(\AF\+\BF\)

~(\AF\+\BF\)

J\AF\2+\BF^+\AF^BF\J(\AF\+\BF\)'-\.4F^BF\

卜|d£|+|8用)^(|AF\^\BF\)也

'(|JF|+|5F|)2-(HF|^|5F|)2?(|"|+|8尸I)

当旦仅当：IAF|=|BF|E>j,网勺有最大但也

\AB\3

12.【详解】在△48。中，由正弦定理可将式子，一/7=2/兀05/化为$出。一5南8=25m8(：0$/1.

把sinC=sin(/+5)=sinJcos5+cosAsinB代入整理得，sin(/-6)=sin8,

解你/一8=8或/-8+8=〃，即/=28或/=皮(舍去)，所以4=28.故A错误；

选顼B：因为△/8C为锐角三角形，A=2B,所以C="-38,

0<5<-,

2

山，0<2B<区,解得8w£,二故H错误;

2164J

0<7-36<—,

2

叶““、«sin/1sin28__(nrry

选项C：—=----=------=2cosD8,因为8ow|—I，

bsin.8sin5(64J

所以cos8e'T2cos8e（友,行），

即3的取值范围为（7173）.故C正确；

b

选项D：—-----—+2sin^=^^—^+2sinJ=—!—+2sin/4>2J—!—x2sinJ=272,

tanBtanAsin//sinBsinAvsinA

当且仅.当=2sin<4即sinN=士也时取等，

sinJ2

但因为B所以4=23€信"sin八俘」），无法取到等号，故D借误.

13.240；14.1350n[cm2j；15.-^^-；16,^-oo,-2x/2J

15.【详解】由题可知大，A,O共线，片，B,。共线,

33

设|力用二/",|力曰=〃，则用-〃=2°,由tan4BC二一/f!J.tanZ.ABF{=~,

乂/4力8=/月/。=90。，所以12口//8£=，一=3,|/8|=2用，

|AB\43

所以忸周4/B|-周=,〃7-八，所以忸闻=2a+J=2a+3"?—刀=4a+1"?,

333

山|河+|力8|2=忸父得疗+（gmj=（4a+）j

因为"?>0.故解利:"7=3a,则〃=3〃一2〃=a,

左八伤E,中,左+4=（2c）,即9/+“2=4〃,所以）=£=巫

a2

16.【详解】设P。与平面48co的交点为E,HE为正方形/BCD的中心,

取为8中点为M,连接PM,QM.EM,则EMLAB,PMLAB,。加1NB,如图所示.

设一面角尸一Z6-C的大小为a,一面角0--C的大小为6,

则NPME=a,乙QME=B.

设球心。到平面43。的距离为d.球的平行为1.

则aw==JJl-d2,PE=\-d,

22

°E"3。=婴券卷=皑gd")),

72(1-c/)A/2(J+d)

-------7--"I--------7

VT-小Ji一小2g,q

tan6=tan(a+6)

j痴-d)圆通

17.解析：（1）因为S0=2a〃-2,所以当"=1时，%=S[=2S]-2,所以q=2,

当〃N2时，S“T=为_|-2,所以a.=S,-S“_|=(2/—2)-(2%-2)=2勺-2勺_|,

整理可得广■=2,所以数列｛%｝是以2为首项，2为公比的等比数列，所以怎=2".

(2)由⑴有，=〃噪2%=〃10g22"=/,所以67也=〃2*2",

7"=『X2+2?X2?+32X2$+…+(〃-1)2X2""+"X2",

27；,=l2x22+22x23+32x24+---+(/j-l)2x2H+//2x2n+l,

错位相减可得：-Tn=(l2-0)x2+(22-l2)x22+(32-22)x23+--+[rt2-(/7-1)2]x2,,-/j2x2H+I

=1x2+3x2?+5x2,+“+(2〃-1)x2"--x2",

令〃“=1x2+3x22+5x2,+…+(2〃-l)x2"；

234,,+I

2Mn=1X2+3X2+5X2+---+(2K-1)X2

错位和减可得：

—=1x2+(3—1)x22+(5—3)x2^+…+[(2见一1)—(2〃-3)]x2rt—(2M—1)X

=tx2+2x22+2x234-.-+2x2w-(2/?-I)x2^

=2+2、。二;J-(2〃-l)x2n+l=-6~[2n-3)x2向

所以此=6+⑵L3)X2"“

所以-7；=M“一〃22用=6+(2〃-3)x2n+,-n22n+1=6+(-n2+2n-3)x2n+1

所以7；=(〃2—2〃+3)x2”“—6.

l&【详解】(1)由去可知，二等奖代龙队共50人，

设代发队共有〃人，—,解得"=160,

16n

设一等奖代表队高一人数为X,x+30+20+30+(x—10)+30=160,

解秘x=30,故填30,20.

⑵由⑴得三个代袤队中前排就坐的比例是按照一等奖:一等奖：三等奖=60:50:50=6,5:5,

所以一等奖被抽取的人数为16x9=6,

16

又同队内高•，高二仍采用分层抽样，所以故前排就坐的16人中,等奖代表队有3名高•的学生，3名高二

的学生，则*的取值为：0、I、2、3,则

P(¥s2)=P(X=0)+P(X=l)+尸(X=2)=^-+^1+^1=L2H.2=29

C：C：Cl20202020'

(3)送验的全部结果所构成的区域为Q={(x,y)\-2<x<2,-2<y<2],面积为5。=4x4=16,

设事件/女示代发队队员获得奖品，则其所构成的区域为力={(x,y)|-2<x<2,-2<y<2,-2<x+y<1},

II|Q

如图，阴影部分的面积另=16--x2x2--x3x3=-

222

9

这是一个几何.概型.所以p(⑷=&=2="

S。1632

故求代表队队员获得奖品的概率为二.

32

19.【详解】(1)在正方形力中8cle0

「而力8CD±向CDE,BCc|/(|ABCD,|AiABCDDifijCDE=CD,

二8C1面CDE,TDEu画CDE,：.BC1DE,

'「£在以CD为直径的半圆匕：.DELEC.

丈：BCCCE=C,BC,CEu面8CE,一。£1面8CE,

又DEu面4DE,..面力。E1面BCE,

(2)\ADIIBC,DE1BC,..DELAD

X.431DC,为二面角£—/1£>—C的平面用，?.ZEPC=60°,同理NFCD=60°.

在梯形£777)中,DE=CF=2.

取。。的中点。，以为y轴正半轴，以平行于51的方向为x轴正半轴，以平面6£内垂直丁-OC的方

向为2轴正半轴，建立如图空间直用坐标系：则/(4,一2,0),向4,2,0),C(0,2,0),£(0-1,73),

设尸伍,一2,0),/U[0,4],则/<?=(-4,4,0),。1=(0,-3,圆丽=(4一九4,0),

ACn--4A+4v=0

设平面/C£的法向量为”=(x),z),贝I•一；-.

CE-ii=-?>y+v3z=0

令x=l,则y=l,z=43、..万=(1,1、J?),

设直线PB和平面ACE所成角为Q,

....।/~nnI1尸—力||4—/+418—人

则sina-|C0S〈QB,〃)|=-4=-----「二--,,一

I081•|Js.心一厅+16J5/(4TP+16

4+t1l/2+16+8/1L8t

设。=4一4e[0,4]则sina石介+16-利产+16->/5Vr+16

8/

令g①=7前,问°,肛当'=°时’^)=0-

当5时,g(z)=-4r--令如)=/+生，，60,4],

任意Oyy玖)一/«)j+竺工+竺^16^

，2I{1JI“2,

因为0<，1<4・4,所以4-4>0,。2-16<0,卒2>0，

所以硝』<人aj,所以"，)在/e(0,4〕上为减函数，

Qgf

故/t(f)€[8,+8)、所以g(f)=.\G(O，1]、所以g(f)=-]——€[0,1],

h(t)?+16

।r_sr"石Vid]

所以sinQ—产.114—1u-.

75V尸+16551

所以直线PB和平面ZCE所成角的正弦值的取值范围字，半

£=V|

20.【解析】⑴根据题惹，"2'解得『=4.Zr=2,

21,

椭圆C的方程为三+乙=】

42

⑵设/(、，乂)・6(%%)，M").

山病=_/砺，~AN=ANB,得]一/

1_必一久上2

、1-A

x}+AX2

一币一

六4x=

V+为’2'MT

\+A

4-4M

又工：+2»；=4.耳+2屋=4.-.4x+2>>=------^-=4.二点"在直线2)+.;>—2=0匕

\-A2

_|2应+1-2|_2近-1_2而-6

PN最小

~也，+1J55-

21.【详解】(1)①/''(x)=cosx-cosx+xsinx=xsinxNO在xe[O,〃]源成优

故/(X)=sinx-xcosx在xe[O,汨上单调递增，故/(x"/(0)=0.证毕;

②Vx£[-〃/],恒右*{—X)=1CO4(T)=(1+]COSX=g(X),

故g(x)=(1+三卜sx为阳函数,.当Xe[0,〃]时，

/2\2

X\X

g[x)=x8sx-1+—Jsinx=(xcosx-sinx)---sinx,

山①可知，xcosx-sinxsO在工w[0,〃]匕恒成立，

乂--^sinxw0,故g'(x)40在xe[0m]上恒成立，

故g(x)在xe[0,"]上单调递减.故g(x)em=g(/z)=^]+-^-jcOS7T=一1一券、

2

g(X)max=g(°)=l，结合函数在上为偶函数可得，函数值域为-1"-,1

L2

(2)因为4=1,4+]=%cosq,

所以cosalcosa2coscosa”="・%-・—•••="〃川,

卬的azan

2.

其中”“