2024年南京中考数学终极押题密卷2含答案

2024年南京中考数学终极押题密卷2一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）1．（2分）设a，b，则用含a，b的式子表示，可得（）A．25ab B．5 C．5ab D．252．（2分）若2x＝5，2y＝3，则22x+y的值为（）A．13 B．28 C．30 D．753．（2分）无理数2介于（）A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间4．（2分）某班抽取6名同学进行体育达标测试，成绩如下：70，80，65，70，65，70，下列关于对这组数据的描述中，错误的是（）A．中位数是65 B．众数是70 C．平均数是70 D．极差是155．（2分）方程x2+3x﹣5＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定是否有实数根6．（2分）圆柱的截面不可能是（）A．梯形 B．长方形 C．正方形 D．椭圆二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）7．（2分）据科学研究表明，新型冠状病毒颗粒的最大直径为125纳米；125纳米用科学记数法表示为米．（1纳米＝10﹣9米）8．（2分）若a＝+3.2，则﹣a＝；若a，则﹣a＝；若﹣a＝1，则a＝；若﹣a＝﹣2，则a＝．9．（2分）已知关于x的一元二次方程x2+kx+3＝0的一个根是1，则它的另一个根为．10．（2分）如图，AB，CD是⊙O的弦，连结AD，延长AB，CD相交于点P，已知∠P＝30°，∠ADC＝40°，则的度数是．11．（2分）某地植物园从正门到侧门有一条小路，甲徒步从正门出发匀速走向侧门，出发一段时间开始休息，休息了0.6小时后仍按原速继续行走，乙与甲同时出发，骑自行车从侧门匀速前往正门，到达正门后休息0.2小时，然后按原路原速匀速返回侧门．图中折线分别表示甲、乙到侧门的距离y（km）与出发时间x（h）之间的关系图象．结合图象，当乙回到侧门时，甲与侧门的距离是千米．12．（2分）甲公司1月份的营业额为60万元，3月份的营业额为100万元，假设该公司2、3两个月的增长率都为x，那么可列方程是．13．（2分）半径为3的圆的内接正六边形的面积为．14．（2分）如图，等边△ABC中，BC为4cm，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部，则阴影部分的周长为cm．15．（2分）已知a＝1，则a2+4a+4＝．16．（2分）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝4，以点A为圆心，AD长为半径作弧，交AB于点E，以AB为直径的半圆恰好与边DC相切，则图中阴影部分的面积为．三．解答题（共11小题，满分88分，每小题8分）17．（8分）我们定义一种新运算：a※b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若A※，求A的表达式（用含x、y的式子表示）．18．（8分）解不等式组：，并将它的解集表示在数轴上．19．（7分）如图，AB＝AC，CD∥AB，点E是AC上一点，∠ABE＝∠CAD，延长BE交AD于点F．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）如果∠ABC＝70°，∠ABE＝25°，求∠D的度数．20．（8分）近年来，随着网民数量的持续增加，越来越多的网民选择在线购物或线上消费，作为满足人们线上消费服务需求的快递服务行业，也得到了较快的发展，如图是“2015﹣﹣2020年前10月中国快递服务企业业务量及增长率统计图”．（1）若2014年中国快递服务企业业务量是140亿件，则2015年中国快递服务企业业务量与2014年相比的增长率是（结果精确到0.1%）；2015年到2019年中国快递服务企业业务量与上一年相比的增长率的中位数是．（2）小明认为：从中国快递服务企业业务量与上一年相比的增长率上看，2016年至2019年增长率逐年降低，因此中国快递服务企业业务量减少了，你认为他的说法正确吗？请说明理由；（3）据了解，我省某快递公司邮寄快递的收费标准是“1千克以内10元，超过1千克时，超过的部分每千克5元（不足1千克的按1千克计费）”，若某顾客在该快递公司邮寄了m千克快递，支付的邮寄费为30元，则m的范围是．21．（8分）一个不透明的盒子中装有两个红球和一个黄球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球．请你用列表法或画树状图的方法求两次摸到的球的颜色都是红色的概率．22．（8分）甲、乙两地相距135km，有大、小两辆汽车从甲地开往乙地，大汽车比小汽车早出发5h，小汽车比大汽车晚到30min．已知大、小汽车的速度比为2：5，求两辆汽车的速度（只列方程）．23．（8分）小瑞放学后回家，到小区的门口C处时，看到自己家的窗户A的仰角α＝37°，他向前走了10m后到达点D处时，看到自己家窗户A的仰角β＝53°，小瑞的身高CM＝DN＝1.5m，求小瑞家到地面的高度AB．（结果取整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，tan53°≈1.33）24．（8分）如图，正方形ABCD中，AD＝5，点E在边DC上．（1）尺规作图：以AE为一直角边，在AE右下方作Rt△AEF，使∠AEF＝90°，AE＝EF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）图中，EF与BC交点记为P，若EC＝2，求EP：PF的值．25．（8分）已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠ADC＝∠ABC．（1）如图1，求证：AC为⊙O的直径；（2）如图2，过点C作CD的垂线交AB于点E，G为BC上一点，连接EG，并延长交DC延长线于点F，若EG＝GC，AE＝2FG，求证：AD＝DF；（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作⊙O的切线，在切线上取一点L，使LA＝AC，连接LC，在⊙O上取一点Q，连接AQ并延长交LC于点P，使PC＝2PL，连接LQ和QC，点N和点M分别在AD和DC边上，若AN＝CM，AM和CN相交于点K，且∠AKC+∠LQP＝180°，DM＝5，△AMC的面积是，求CF的长．26．（9分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3）．（1）求b与c的值；（2）求函数的最大值；（3）M（m，n）是抛物线上的任意一点，当时，利用函数图象写出m的取值范围．27．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上⼀点，∠CAB＝30°，D是直径AB上⼀动点，连接CD并过点D作CD的垂线，与⊙O的其中⼀个交点记为点E（点E位于直线CD上⽅或左侧），连接EC．已知AB＝6cm，设A、D两点间的距离为xcm，C、D两点间的距离为y1cm，E、C两点间的距离为y2cm．⼩雪根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随⾃变量的变化而变化的规律进行了探究．下⾯是⼩雪的探究过程：（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，请将表格补充完整；x/cm0123456y1/cm5.204.363.602.652.65y2/cm5.204.564.224.244.775.606.00（2）在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当∠ECD＝60°时，AD的长度约为．

2024年菁优南京中考数学终极押题密卷2参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）1．（2分）设a，b，则用含a，b的式子表示，可得（）A．25ab B．5 C．5ab D．25【考点】算术平方根．【专题】实数；运算能力．【答案】C【分析】根据a，b，可得ab，再根据5即可确定答案．【解答】解：∵a，b，∴ab，即ab，∴55ab，故选：C．【点评】本题考查了算术平方根，二次根式的乘法，二次根式的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．2．（2分）若2x＝5，2y＝3，则22x+y的值为（）A．13 B．28 C．30 D．75【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．【专题】整式；运算能力．【答案】D【分析】根据同底数幂相乘以及幂的乘方的逆用，求解即可．【解答】解：22x+y＝22x×2y＝（2x）2×2y＝52×3＝75，故选：D．【点评】此题考查了同底数幂相乘以及幂的乘方的逆用，解题的关键是熟练掌握同底数幂相乘以及幂的乘方的运算法则．3．（2分）无理数2介于（）A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间【考点】估算无理数的大小．【专题】实数；运算能力．【答案】B【分析】根据求解即可．【解答】解：∵2，∵，∴34∴2介于3和4之间，故选：B．【点评】此题考查了估算无理数的大小，正确估算出34是解题的关键．4．（2分）某班抽取6名同学进行体育达标测试，成绩如下：70，80，65，70，65，70，下列关于对这组数据的描述中，错误的是（）A．中位数是65 B．众数是70 C．平均数是70 D．极差是15【考点】极差；算术平均数；中位数；众数．【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．【答案】A【分析】根据平均数，中位数，众数及极差的概念进行判断．【解答】解：把这组数据从小到大排列为：65，65，70，70，70，80，最中间两个数的平均数是：（70+70）÷2＝70，则中位数是70，故选项A符合题意；70出现了三次，出现的次数最多，则众数是70，故选项B不符合题意；平均数是：（70×3+65×2+80）÷6＝70，故选项C不符合题意；极差是：80﹣65＝15，故选项D不符合题意；故选：A．【点评】此题考查了极差、众数、平均数和中位数，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值；众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．5．（2分）方程x2+3x﹣5＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定是否有实数根【考点】根的判别式．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】A【分析】由方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＞0，进而可得出该方程有两个不相等的实数根．【解答】解：a＝1，b＝3，c＝5，∵Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×（﹣5）＝29＞0，∴方程x2﹣3x+2＝0有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．6．（2分）圆柱的截面不可能是（）A．梯形 B．长方形 C．正方形 D．椭圆【考点】截一个几何体．【专题】多边形与平行四边形；空间观念．【答案】A【分析】根据圆柱的特点，考虑截面从不同角度和方向截取的情况．【解答】解：本题中用平面截圆柱，横切就是圆或椭圆，竖切就是长方形或正方形，唯独不可能是梯形．故选：A．【点评】本题考查了截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）7．（2分）据科学研究表明，新型冠状病毒颗粒的最大直径为125纳米；125纳米用科学记数法表示为1.25×10﹣7米．（1纳米＝10﹣9米）【考点】科学记数法—表示较小的数．【专题】实数；数感．【答案】1.25×10﹣7．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：125纳米＝125×10﹣9米＝1.25×10﹣7米．故答案为：1.25×10﹣7．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．8．（2分）若a＝+3.2，则﹣a＝﹣3.2；若a，则﹣a＝；若﹣a＝1，则a＝﹣1；若﹣a＝﹣2，则a＝2．【考点】相反数．【专题】计算题．【答案】见试题解答内容【分析】根据互为相反数的两数之和为0可得出答案．【解答】解：①a＝+3.2，﹣a＝﹣3.2；②a，则﹣a；③﹣a＝1，则a＝﹣1；④﹣a＝﹣2，则a＝2．【点评】本题考查相反数的定义，属于基础题，注意基础定义的掌握．9．（2分）已知关于x的一元二次方程x2+kx+3＝0的一个根是1，则它的另一个根为3．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】3．【分析】设方程x2+kx+3＝0的两根为α、β，其中α＝1，由根与系数的关系可得出α•β＝3，结合α＝1即可求出β值．【解答】解：方程x2+kx+3＝0的两根为α、β，其中α＝1，则有：α•β＝3，∵α＝1，∴β＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系得出α•β＝3．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程的系数结合根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键．10．（2分）如图，AB，CD是⊙O的弦，连结AD，延长AB，CD相交于点P，已知∠P＝30°，∠ADC＝40°，则的度数是20°．【考点】圆周角定理；三角形的外角性质．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】20°【分析】由三角形外角的性质求出∠A＝∠ADC﹣∠P＝10°，由圆周角定理得到的度数是2×10°＝20°．【解答】解：∵∠P＝30°，∠ADC＝40°，∴∠A＝∠ADC﹣∠P＝10°，∴的度数是2×10°＝20°．故答案为：20°．【点评】本题考查圆周角定理，三角形的外角的性质，关键是由圆周角定理得到∠A度数的一半11．（2分）某地植物园从正门到侧门有一条小路，甲徒步从正门出发匀速走向侧门，出发一段时间开始休息，休息了0.6小时后仍按原速继续行走，乙与甲同时出发，骑自行车从侧门匀速前往正门，到达正门后休息0.2小时，然后按原路原速匀速返回侧门．图中折线分别表示甲、乙到侧门的距离y（km）与出发时间x（h）之间的关系图象．结合图象，当乙回到侧门时，甲与侧门的距离是4千米．【考点】一次函数的应用．【专题】数形结合；函数思想；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．【答案】4．【分析】先求出甲休息后对应的函数解析式和乙回到侧门时用的时间，再将这个时间代入函数解析式即可求出乙回到侧门时，甲到侧门的距离．【解答】解：甲的速度为：5（km/h），∴甲在休息前，y与x之间的函数关系式为：y＝﹣5x+12（0≤x≤1.1）；设甲休息后对应的函数解析式为y＝﹣5x+n，对应的函数图象过点（3，0），则0＝﹣15+n，解得n＝15，∴甲休息后对应的函数解析式为：y＝﹣5x+15，乙回到侧门时，共用了1+0.2+1＝2.2（h），将x＝2.2代入y＝﹣5x+15，得y＝4，∴乙回到侧门时，甲到侧门的距离是4km．故答案为：4．【点评】本题考查一次函数的意义，理解题意，求出甲休息后对应的函数解析式和乙回到侧门时用的时间是解题的关键．12．（2分）甲公司1月份的营业额为60万元，3月份的营业额为100万元，假设该公司2、3两个月的增长率都为x，那么可列方程是60（1+x）2＝100．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】一元二次方程及应用；应用意识．【答案】60（1+x）2＝100．【分析】根据甲公司1月份及3月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意得：60（1+x）2＝100．故答案为：60（1+x）2＝100．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．13．（2分）半径为3的圆的内接正六边形的面积为．【考点】正多边形和圆．【专题】正多边形与圆；运算能力；推理能力．【答案】．【分析】设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，则△OAB是正三角形，△OAB的面积的六倍就是正六边形的面积．【解答】解：设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，∠AOB＝60°，OA＝OB＝3，则△OAB是正三角形，∵OC＝OA•sinA，∴S△OABAB•OC，∴正六边形的面积为，故答案为：．【点评】本题考查的正多边形和圆，理解正六边形被半径分成六个全等的等边三角形是解答此题的关键．14．（2分）如图，等边△ABC中，BC为4cm，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部，则阴影部分的周长为12cm．【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【答案】12．【分析】由等边三角形的性质得AB＝AC＝BC＝4cm，由折叠得A′D＝AD，A′E＝AE，所以A′D+BD＝AB＝4cm，A′E+CE＝AC＝4cm，即可求得阴影部分的周长＝A′D+BD+A′E+CE+BC＝12cm，于是得到问题的答案．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BC＝4cm，∴AB＝AC＝BC＝4cm，由折叠得A′D＝AD，A′E＝AE，∴A′D+BD＝AD+BD＝AB＝4cm，A′E+CE＝AE+CE＝AC＝4cm，∴阴影部分的周长＝A′D+BD+A′E+CE+BC＝4+4+4＝12（cm），故答案为：12．【点评】此题重点考查等边三角形的性质、轴对称的性质等知识，推导出A′D+BD＝AB＝4cm，A′E+CE＝AC＝4cm是解题的关键．15．（2分）已知a＝1，则a2+4a+4＝9．【考点】代数式求值．【专题】整式；运算能力．【答案】9．【分析】把a2+4a+4写成（a+2）2，再把a＝1代入计算即可．【解答】解：∵a＝1，∴a2+4a+4＝（a+2）2＝（1+2）2＝32＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了代数式求值，熟记完全平方公式是解答本题的关键．16．（2分）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝4，以点A为圆心，AD长为半径作弧，交AB于点E，以AB为直径的半圆恰好与边DC相切，则图中阴影部分的面积为π．【考点】切线的性质；扇形面积的计算；矩形的性质．【专题】几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】如图，连接AG、EG、由题意易知△AEG是等边三角形，根据S阴＝S半圆﹣S扇形AEG﹣S弓形AmG计算即可解决问题．【解答】解：如图，连接AG、EG．由题意易知△AEG是等边三角形，S阴＝S半圆﹣S扇形AEG﹣S弓形AmG＝2π（），π．故答案为：π．【点评】本题考查切线的性质、等边三角形的判定和性质、扇形的面积，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积，属于中考常考题型．三．解答题（共11小题，满分88分，每小题8分）17．（8分）我们定义一种新运算：a※b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若A※，求A的表达式（用含x、y的式子表示）．【考点】分式的混合运算．【专题】新定义；分式；运算能力．【答案】x2﹣4xy+4y2．【分析】先将a※b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2化简，然后根据A※，可以转化为关于x、y的方程，再变形，即可用含x、y的式子表示A．【解答】解：∵a※b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝4ab，A※，∴4A•，∴A•＝（x﹣2y）2＝x2﹣4xy+4y2．【点评】本题考查分式的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．18．（8分）解不等式组：，并将它的解集表示在数轴上．【考点】在数轴上表示不等式的解集．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．【解答】解：由①得x≥﹣2，由②得1+2x＞3x﹣3，解得x＜4，原不等式的解集是﹣2≤x＜4，将解集表示在数轴上为：【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．19．（7分）如图，AB＝AC，CD∥AB，点E是AC上一点，∠ABE＝∠CAD，延长BE交AD于点F．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）如果∠ABC＝70°，∠ABE＝25°，求∠D的度数．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；运算能力；推理能力．【答案】（1）见解析；（2）∠D的度数为115°．【分析】（1）直接根据ASA可证明△ABE≌△CAD；（2）根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理求出∠BAC＝40°，从而得到∠BAD＝65°，再根据平行线的性质即可得到答案．【解答】（1）证明：∵CD∥AB，∴∠BAE＝∠ACD，在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（ASA）；（2）解：∵AB＝AC，∠ABC＝70°，∴∠ACB＝∠ABC＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵∠ABE＝25°，∴∠CAD＝∠ABE＝25°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝40°+25°＝65°，∵CD∥AB，∴∠D＝180°﹣∠BAD＝180°﹣65°＝115°．【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点是解题的关键．20．（8分）近年来，随着网民数量的持续增加，越来越多的网民选择在线购物或线上消费，作为满足人们线上消费服务需求的快递服务行业，也得到了较快的发展，如图是“2015﹣﹣2020年前10月中国快递服务企业业务量及增长率统计图”．（1）若2014年中国快递服务企业业务量是140亿件，则2015年中国快递服务企业业务量与2014年相比的增长率是47.6%（结果精确到0.1%）；2015年到2019年中国快递服务企业业务量与上一年相比的增长率的中位数是27.35%．（2）小明认为：从中国快递服务企业业务量与上一年相比的增长率上看，2016年至2019年增长率逐年降低，因此中国快递服务企业业务量减少了，你认为他的说法正确吗？请说明理由；（3）据了解，我省某快递公司邮寄快递的收费标准是“1千克以内10元，超过1千克时，超过的部分每千克5元（不足1千克的按1千克计费）”，若某顾客在该快递公司邮寄了m千克快递，支付的邮寄费为30元，则m的范围是4＜m≤5．【考点】条形统计图；中位数；近似数和有效数字．【专题】数据的收集与整理；概率及其应用；数据分析观念．【答案】（1）47.6%，27.35%；（2）不同意，理由见解析；（3）4＜m≤5．【分析】（1）根据表中数据直接计算即可；（2）不同意，虽然增长率在减小，但增长率仍然为正值，业务量依然在增加；（3）根据题意列出方程直接计算，再根据不足1千克的按1千克计费求解即可．【解答】解：（1）从图中可知，2015年中国快递服务企业业务量为206.7亿件，∴2015年中国快递服务企业业务量与2014年相比的增长率是100%＝47.6%，将2015年到2019年中国快递服务企业业务量与上一年相比的增长率排好顺序为：25.3%，26.6%，28.1%，51.3%，∴中位数为27.35%，故答案为：47.6%，27.35%；（2）不同意，虽然增长率在减小，但增长率仍然为正值，业务量依然在增加；（3）∵支付的邮寄费为30元，∴m＞1，∴超出部分为（m﹣1）千克，∴10+5（m﹣1）＝30，∴m＝5（千克），∵不足1千克的按1千克计费，∴4＜m≤5，故答案为：4＜m≤5．【点评】本题主要考查条形统计图，中位数的定义，正确理解题意时解答此题的关键．21．（8分）一个不透明的盒子中装有两个红球和一个黄球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球．请你用列表法或画树状图的方法求两次摸到的球的颜色都是红色的概率．【考点】列表法与树状图法．【专题】概率及其应用；数据分析观念；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，两次摸到的球的颜色都是红色的结果有2个，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如图：共有6个等可能的结果，两次摸到的球的颜色都是红色的结果有2个，∴两次摸到的球的颜色都是红色的概率为．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式P求事件A或B的概率．22．（8分）甲、乙两地相距135km，有大、小两辆汽车从甲地开往乙地，大汽车比小汽车早出发5h，小汽车比大汽车晚到30min．已知大、小汽车的速度比为2：5，求两辆汽车的速度（只列方程）．【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；应用意识．【答案】设大汽车的速度为2xkm/h，则小汽车的速度为5xkm/h，所列方程为5．【分析】设大汽车的速度为2xkm/h，则小汽车的速度为5xkm/h，利用时间＝路程÷速度，结合大汽车比小汽车多用（5）小时，即可列出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：设大汽车的速度为2xkm/h，则小汽车的速度为5xkm/h，根据题意得：5．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．23．（8分）小瑞放学后回家，到小区的门口C处时，看到自己家的窗户A的仰角α＝37°，他向前走了10m后到达点D处时，看到自己家窗户A的仰角β＝53°，小瑞的身高CM＝DN＝1.5m，求小瑞家到地面的高度AB．（结果取整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，tan53°≈1.33）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．【答案】见试题解答内容【分析】连接CD并延长，交AB于点E，易得出四边形CDNM和四边形DEBN是矩形，从而得出DE＝BN，CD＝MN＝10m，再根据正切的定义得出AE＝tan•（DE+CD）＝tan•（DE+10），AE＝tanβ⋅DE，从而即可列出等式tanβ⋅DE＝tanα⋅（DE+10），解出DE≈12.9m，进而即可求出AE＝tanβ⋅DE≈17.2m，最后由AB＝AE+BE求解即可．【解答】解：如图，连接CD并延长，交AB于点E，由题意可知CE⊥AB，∴四边形CDNM和四边形DEBN是矩形，∴DE＝BN，CD＝MN＝10m，在Rt△ACE中，，∴AE＝tanα•CE＝tanα•（DE+CD）＝tanα•（DE+10）．在Rt△ADE中，，∴AE＝tanβ⋅DE，∴tanβ•DE＝tanα•（DE+10），∴，∴AE＝tanβ•DE≈17.2m，∴AB＝AE+BE＝17.2+1.5＝18.7（m）≈19（m）．答：小瑞家到地面的高度AB为19m．【点评】本题考查矩形的判定和性质，解直角三角形．正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键．24．（8分）如图，正方形ABCD中，AD＝5，点E在边DC上．（1）尺规作图：以AE为一直角边，在AE右下方作Rt△AEF，使∠AEF＝90°，AE＝EF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）图中，EF与BC交点记为P，若EC＝2，求EP：PF的值．【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质；作图—复杂作图．【专题】图形的相似；尺规作图；推理能力．【答案】（1）尺规作图见解答；（2）EP：PF的值为．【分析】（1）过点E作射线EK⊥AE，在射线AE上截取EF＝AE，连接AF，Rt△AEF即为所求；（2）由正方形性质可得∠C＝∠D＝90°，AD＝CD＝5，利用勾股定理可得EF＝AE，再证得△CEP∽△DAE，可得，即，得出EP，即可求得答案．【解答】解：（1）如图所示，∠AEF＝90°，AE＝EF，Rt△AEF即为所求；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝∠D＝90°，AD＝CD＝5，∵EC＝2，∴DE＝CD﹣EC＝5﹣2＝3，在Rt△ADE中，AE，∴EF＝AE，∵∠AEF＝90°，∴∠AED+∠CEP＝90°，∵∠AED+∠DAE＝90°，∴∠CEP＝∠DAE，∴△CEP∽△DAE，∴，即，∴EP，∴PF＝EF﹣EP，∴EP：PF：，∴EP：PF的值为．【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、尺规作图、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．25．（8分）已知四边形ABCD内接于⊙O，且∠ADC＝∠ABC．（1）如图1，求证：AC为⊙O的直径；（2）如图2，过点C作CD的垂线交AB于点E，G为BC上一点，连接EG，并延长交DC延长线于点F，若EG＝GC，AE＝2FG，求证：AD＝DF；（3）如图3，在（2）的条件下，过点A作⊙O的切线，在切线上取一点L，使LA＝AC，连接LC，在⊙O上取一点Q，连接AQ并延长交LC于点P，使PC＝2PL，连接LQ和QC，点N和点M分别在AD和DC边上，若AN＝CM，AM和CN相交于点K，且∠AKC+∠LQP＝180°，DM＝5，△AMC的面积是，求CF的长．【考点】圆的综合题．【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；运算能力；推理能力．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）7．【分析】（1）利用圆内接四边形的性质和圆周角定理解答即可；（2）过点E作EH⊥AD于点H，利用直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质和正方形的判定与性质解答即可；（3）过点L作LH⊥AP，交AP的延长线于点H，利用圆的切线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质得到∠CKM＝∠LQP＝45°；过点N作NJ⊥AK于点J，连接NM，延长AM交⊙O于点R，连接RC，利用圆周角定理，全等三角形的判定与性质与性质，等腰直角三角形的判定与性质和线段垂直平分线的判定与性质得到AN＝NM＝CM；设AJ＝JM＝CR＝x，则AM＝2x，利用三角形的面积公式列出关于x的方程，解方程求得x值，再利用勾股定理和相似三角形的判定与性质得到CM的长，则FC＝DF﹣DM﹣CM．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°．∵∠ADC＝∠ABC，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴AC为⊙O的直径；（2）证明：过点E作EH⊥AD于点H，如图，∵EG＝GC，∴∠ECG＝∠CEG．∵CE⊥CD，∴∠CEG+∠F＝90°，∠ECG+∠GCF＝90°，∴∠F＝∠GCF，∴GC＝GF，∴EG＝GF＝CG，∴EF＝2GF．∵AE＝2FG，∴AE＝EF．∵CE⊥CD，EH⊥AD，∠D＝90°，∴四边形ECDH为矩形，∴∠HEC＝90°，∴∠AEH+∠CEB＝90°．∵∠CEB+∠ECB＝90°，∴∠AEH＝∠ECB，∴∠AEH＝∠CEF．在△AEH和△FEC中，，∴△AEH≌△FEC（AAS），∴AH＝CF，EH＝EC，∴矩形ECDH为正方形，∴DH＝DC．∴DH+AH＝DC+FC，∴AD＝DF；（3）解：过点L作LH⊥AP，交AP的延长线于点H，如图，∵AL为⊙O的切线，∴AL⊥AC．∴∠LAH+∠HAC＝90°，∵AC为直径，∴∠HAC+∠ACQ＝90°，∴∠LAH＝∠ACQ．在△ALH和△ACQ中，，∴△ALH≌△ACQ（AAS），∴LH＝AQ，AH＝CQ．∵LH⊥AP，CQ⊥AP，∴LH∥CQ，∴△CQP∽△LHP，∴，∵PC＝2PL，∴CQ＝2LH．∴AH＝2AQ，∴AQ＝QH＝LH，∴△LQH为等腰直角三角形，∴∠LQH＝45°．∵∠AKC+∠LQP＝180°，∠AKC+∠CKM＝180°，∴∠CKM＝∠LQP＝45°．过点N作NJ⊥AK于点J，连接NM，延长AM交⊙O于点R，连接RC，∵∠NKJ＝∠CKM＝45°，∴NJ＝KJ．∵AC为直径，∴∠R＝90°．在△ANJ和△CRM中，，∴△ANJ≌△CRM（AAS），∴NJ＝MR，AJ＝RC．∴KJ＝MR．∵KM+KJ＝KM+MR，∴MJ＝RK．∵∠R＝90°，∠CKR＝45°，∴△CKR为等腰直角三角形，∴RK＝RC，∴AJ＝RK．∴AJ＝MJ．∵NJ⊥AK，∴DJ为AM的垂直平分线，∴AN＝NM，∴AN＝NM＝CM．设AJ＝JM＝CR＝x，则AM＝2x，∵△AMC的面积是，∴AM•RC，∴2x•x，∵x＞0，∴x，∴AM＝5．在Rt△ADM中，AD25．由（2）知：DF＝AD＝25，∵∠R＝∠D＝90°，∠DAR＝∠DCR，∴△DAM∽△RCM，∴，∴，∴CM＝13，∴CF＝DF﹣DM﹣CM＝25﹣5﹣13＝7．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形大排档与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，线段垂直平分线的判定与性质，平行线的判定与性质，圆的切线的性质，勾股定理，熟练掌握圆的有关性质，构建恰当的辅助线是解题的关键．26．（9分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3）．（1）求b与c的值；（2）求函数的最大值；（3）M（m，n）是抛物线上的任意一点，当时，利用函数图象写出m的取值范围．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】（1）c＝3，b＝2；（2）函数的最大值为4；（3）当n时，m．【分析】（1）把A、C两点坐标代入抛物线解析式可求得b、c；（2）把二次函数化成顶点式可求得其最大值；（3）在抛物线中令y，求得x值，根据图象可得出m的取值范围．【解答】解：（1）∵C点坐标为（0，3），∴c＝3，∵A坐标为（3，0），∴代入可求得b＝2；（2）由（1）可知抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，y＝﹣（x﹣1）2+4，∴函数的最大值为4，（3）在抛物线y＝﹣x2+2x+3，令y，可得﹣x2+2x+3，解得x或x，又二次函数开口向下，∴当n时，m．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，掌握二次函数顶点式是解题的关键，注意数形结合思想的应用．27．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上⼀点，∠CAB＝30°，D是直径AB上⼀动点，连接CD并过点D作CD的垂线，与⊙O的其中⼀个交点记为点E（点E位于直线CD上⽅或左侧），连接EC．已知AB＝6cm，设A、D两点间的距离为xcm，C、D两点间的距离为y1cm，E、C两点间的距离为y2cm．⼩雪根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随⾃变量的变化而变化的规律进行了探究．下⾯是⼩雪的探究过程：（1）按照下表中自变量的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值，请将表格补充完整；x/cm0123456y1/cm5.204.363.6032.652.653y2/cm5.204.564.224.244.775.606.00（2）在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当∠ECD＝60°时，AD的长度约为4.5cm或6cm．【考点】动点问题的函数图象．【专题】作图题；数形结合；函数及其图象；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）当x＝3时，点D与点O重合，此时△DCE是等腰直角三角形；当x＝6时，点D与点B重合，据此问题可解；（2）根据表中数据描点作图即可；（3）利用含30度角的直角三角形的性质可知：EC＝2CD，从而可得y2＝2y1，观察函数图象可得答案．【解答】解：（1）当x＝3时，∵AB＝6cm，AD＝3cm∴点D与点O重合，此时△DCE是等腰直角三角形∴CD＝DE＝3∴y1＝3当x＝6时，点D与点B重合∴CD＝BC∵∠CAB＝30°∴CD＝BCAB＝3故答案为：3，3．（2）函数图象如图所示：（3）当∠ECD＝60°时在Rt△ECD中∵∠EDC＝90°∴∠CED＝30°∴EC＝2CD∴y2＝2y1∴由函数图象可知，满足条件的x的值为4.5cm或6cm．故答案为：4.5或6．【点评】本题考查了动点问题的函数图象、含30度角的直角三角形的性质等知识点，数形结合是解题的关键．

考点卡片1．相反数（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．2．近似数和有效数字（1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．（2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．（3）规律方法总结：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．3．科学记数法—表示较小的数用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【规律方法】用科学记数法表示有理数x的规律x的取值范围表示方法a的取值n的取值|x|≥10a×10n1≤|a|＜10整数的位数﹣1|x|＜1a×10﹣n第一位非零数字前所有0的个数（含小数点前的0）4．算术平方根（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．5．估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．6．代数式求值（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．7．同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．am•an＝am+n（m，n是正整数）（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．8．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（am）n＝amn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝anbn（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．9．分式的混合运算（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．10．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．11．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．12．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．13．由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．14．由实际问题抽象出分式方程由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．15．在数轴上表示不等式的解集用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．【规律方法】不等式解集的验证方法某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．16．动点问题的函数图象函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．17．一次函数的应用1、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．2、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．3、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．18．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．19．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．20．二次函数的最值（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．21．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．22．截一个几何体（1）截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．（2）截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．23．三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．24．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．25．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．26．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R1，所以r：R＝1：1．27．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．28．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．29．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．30．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．31．正