2024年北京市石景山区高考数学一模试卷及答案解析

2024年北京市石景山区高考数学一模试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。

1.(4分)已知集合A=｛x|/-2x-3<0｝,B=｛x\x>l],则()

A.(-1,3)B.(-3,1)C.(-1,1)D.(1,3)

2.(4分)下列函数中，在区间(-1,1)上为减函数的是()

A.f(无)=sinxB.f(x)=cosx

C.f(x)—In(x+1)D.f(x)—2X

3.(4分)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球.若从中不放回地取球2次，每次任取

1个球，记“第一次取到红球”为事件A,“第二次取到红球”为事件8,则P(B|A)=

()

4234

A.—B.—C.—D.—

15555

4.(4分)已知a,0,丫是三个不同的平面，且。。丫=小，。。丫=%则"相〃〃"是"a〃0"

的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

5.(4分)等差数列｛加｝的首项为1,公差不为0.若。2,。3,盛成等比数列，则｛m｝的前5

项的和为()

A.-15B.-5C.5D.25

6.(4分)直线丁=履+1与圆/+(y+1)2=16相交于A,3两点,则线段A5的长度可能为

()

A.5B.7C.9D.14

7.(4分)已知函数/(X)=2sin(a)x+(p)(a)>0,|<p|<J)的部分图象如图所示，则/(-

H)的值是()

A.V3B.1C.-1D.-V3

7T

8.（4分）设a=203,b=sin—,c=ln2,则（）

12

A.c<b<aB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c

9.（4分）中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用这五个音,

排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徽位于羽的左侧，则可排成的不同

音列有（）

A.18种B.24种C.36种D.72种

10.（4分）对于曲线C：x2+y2=\,给出下列三个命题：

①关于坐标原点对称；

②曲线C上任意一点到坐标原点的距离不小于2；

③曲线C与曲线|x|+|y|=3有四个交点.

其中正确的命题个数是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.（5分）复数z在复平面内对应的点为（-1,2）,则g.

Z

12.（5分）斜率为1的直线/经过抛物线/=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点，

则48|=.

—————TC—T

13.（5分）已知向量a,匕满足|切=2,a与b的夹角为二，则当实数人变化时，g-4a|的最

6

小值为.

14.（5分）设函数/（x）=K+3：心“<L

（3%+a2/x>l.

①若/(无)有两个零点，则实数。的一个取值可以是;

②若八x)是R上的增函数，则实数a的取值范围是.

15.(5分)黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：xRO,1］时，R(%)=

由勺**/为解组分麹若数列an=R(7),n€N*,给出下列四个

Io,%=0,1秋0,D内的无理数1

结论:

①劭二-

②。〃+2V〃〃+1；

1

③为%+1<2；

④E之1a；2

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.(13分)在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知26sinA—ga=O.

(I)求角B的大小；

(II)求cosA+cosB+cosC的取值范围.

17.(14分)如图，在四棱锥尸-ABCD中，巩，平面ABC。，PA=AD=CD=2,BC=3,

PC=2逐

(I)求证：CE>_L平面PAD-,

(II)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面PBC与平面出。所

成锐二面角的大小.

条件①：AB=V5；

条件②：BC〃平面外£).

注：如果选择的条件不符合要求，第(II)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分

别解答，按第一个解答计分.

BC

18.（13分）为研究北京西部地区油松次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题，某

高中研究性学习小组暑假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查，

得到两地区林下灌木层，乔木层，草本层的抽样调查数据.其中两地区林下灌木层获得

数据如表1,表2所示：

表1：老山油松人工林林下灌木层

植物名称植物类型株数

酸枣灌木28

荆条灌木41

孩儿拳头灌木22

河朔莞花灌木4

臭椿乔木幼苗1

黑枣乔木幼苗1

构树乔木幼苗2

元宝械乔木幼苗1

表2：妙峰山油松次生林林下灌木层

植物名称植物类型株数

黄静乔木幼苗6

朴树乔木幼苗7

栾树乔木幼苗4

鹅耳杨乔木幼苗7

律叶蛇葡萄木质藤本8

毛樱桃灌木9

三裂绣线菊灌木11

胡枝子灌木10

大花澳疏灌木10

丁香灌木8

（I）从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选2株，求2株植物的类型

都是乔木幼苗的概率；

(II)以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物

中随机抽取3株(假设每次抽取的结果互不影响)，记这3株植物的植物类型是灌木的株

数为X,求X的分布列和数学期望；

(III)从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选2株，记

此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为Pi；从妙峰山油松次生林的林下灌木层所

有符合表2中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计

值为放.请直接写出尸1与尸2大小关系.(结论不要求证明)

19.(15分)已知函数/'(x)(a>0).

(I)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(II)求/(x)在区间[-1,1]上的最大值与最小值；

(IID当a=l时，求证：f(x)^lnx+x+l.

%2y2

20.(15分)已知椭圆C：—+—=1(a>b>0)的离心率为一，短轴长为2位.

a2b22

(I)求椭圆C的方程；

(II)设。为坐标原点，过点-|)分别作直线/1,12,直线与椭圆相切于第

三象限内的点G,直线/2交椭圆C于M,N两点.若|PG|2=|PM,|PM，判断直线/2与直

线OG的位置关系，并说明理由.

21.(15分)已知集合S"={X|X=(XI,X2,…，Xn),xiE[0,1},i=l,2,…，n](心2),

对于A=(ai,a2,•••,an),B=(Z?i,bi,…，bn)&Sn,定义A与B之间的距离为d

(A,B)=21]|四一仇|.

(I)已知A=(1,1,1,0)eS4,写出所有的BeS4,使得B)=1；

(II)已知/=(1,1,…，1)ESn,若A,B&Sn,并且〃(/,A)=d(/,B)=pWn,

求d(A,B)的最大值；

(III)设集合PJSn,P中有m22)个元素，若P中任意两个元素间的距离的最小值

为t,求证：机

2024年北京市石景山区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项。

1.(4分)已知集合4={兄/-2x-3<0},B={x\x>l},则AAB=()

A.(-1,3)B.(-3,1)C.(-1,1)D.(1,3)

【答案】D

【分析】解不等式求出集合A,根据交集的定义求解即可.

【解答】解：集合A={x|/-2x-3<0}={x|-l<x<3},B=[x\x>l},

则AnB={x[l<x<3}=(1,3).

故选：D.

【点评】本题考查了解不等式与集合运算问题，是基础题.

2.(4分)下列函数中，在区间(-1,1)上为减函数的是()

A.f(x)=sinxB.f(x)=cosx

C.f(x)=ln(x+1)D.f(x)=2~x

【答案】D

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案.

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,/(x)=sin%,是正弦函数，在区间(-1,1)上为增函数，不符合题意；

对于3,f(x)=cosx,是余弦函数，在区间(-1,0)上为增函数，在区间(0,1)上

为减函数，不符合题意；

对于C,f(x)=ln(x+1),由对数函数的性质，f(x)在区间(-1,1)上为增函数，

不符合题意；

1

对于。，于3=2X=(5)x,是指数函数，在区间(-1,1)上为减函数，符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查函数单调性的判断，注意常见函数的单调性，属于基础题.

3.(4分)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球.若从中不放回地取球2次，每次任取

1个球，记“第一次取到红球”为事件4“第二次取到红球”为事件8,则P(B|A)=

()

【答案】c

【分析】根据题意，第一次取到红球后，袋中有3个红球和2个白球，由条件概率的定

义和古典概型公式计算可得答案.

【解答】解：根据题意，第一次取到红球后，袋中有3个红球和2个白球，

此时，第二次取到红球的概率尸=|,即尸（B|A）=|.

故选：C.

【点评】本题考查条件概率的计算，注意条件概率的定义，属于基础题.

4.（4分）4知a,仇丫是三个不同的平面，且aCy=»i,0。丫=小则“〃/〃〃"是"a〃B”

的（）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】若则a〃0或aC0=/；若a〃0,则机〃由此能求出结果.

【解答】解：：a,P，丫是三个不同的平面，且aPlY=机，0门丫="，

:."mH="a〃0或aCB=/"，

“a〃印'n“加〃〃”，

“相〃是“ct〃仅'的必要而不充分条件.

故选：B.

【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查空间中线线、线面、面

面间的位置关系等基础知识，考查推理能力，是基础题.

5.（4分）等差数列｛斯｝的首项为1,公差不为0.若02,03,06成等比数列，则伍”｝的前5

项的和为（）

A.-15B.-5C.5D.25

【答案】A

【分析】根据题意可得试=。2。6,即（l+2d）2=（1+（7）（1+54）,从而可求出｛a〃｝的公差

d,进一步利用等差数列前n项和公式即可求出S5.

【解答】解：设等差数列｛即｝的公差为d(dWO),

‘；。2,03,。6成等比数列，01=1,

.".al=aia6,即(1+2J)2=(1+d)(l+5d),

整理得/+2d=0,解得d=-2或d=0(舍去)，

所以Ss=5ai+10d=5-20=-15.

故选：A.

【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式，考查学生归纳推理与数学运算

的能力，属于基础题.

6.(4分)直线y=fcc+l与圆(y+1)2=16相交于A,B两点，则线段A8的长度可能为

()

A.5B.7C.9D.14

【答案】B

【分析】根据题意，直线>=履+1经过定点M(0,1),计算出过M的最短弦长，进而

得到线段长度的取值范围，可得答案.

【解答】解：直线经过定点M(0,1),且点M在圆龙2+(>1)2=16的内部,

求得圆的半径r=4,设圆心为C(0,-1),可得|CM=2,

过M点的直线与圆C相交，当直线与CM垂直时，截得的弦长最小，最小值为

2〃2一=4百，

因此，若直线y=fcc+l与圆/+(y+1)2=16相交于A,B两点，则|48|曰48，8].

对照各选项，可知B项正确，其它各项均不符合题意.

故选：B.

【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系及其应用，属于中档题.

7.(4分)已知函数/(无)=2sin(3x+(p)(w>0,|cp|<J)的部分图象如图所示，则/(-

IT)的值是()

A.V3B.1C.-1D.-V3

【答案】A

【分析】根据函数图象求出函数解析式，从而可得函数值.

【解答】解：由图象可得：T7=不TC—(一H萼IT)=多IT

212•乙乙

277

所以T=Hj所以3=万r=2,

由五点作图法可得2X金+(p=*所以年=多

所以/(x)=2sin(2x+§),

所以/(-n)—2sin(-2ir+0=2sin—=y/3.

故选：A.

【点评】本题主要考查由y=Asin(3x+(p)的部分图象确定其解析式，考查运算求解能

力，属于基础题.

7T

8.(4分)设〃=2°3,b=sin—，c=lnl,则()

12

A.c〈b〈aB.b<c〈aC.a<b<cD.b〈a〈c

【答案】B

【分析】根据函数的单调性可比较得结果.

11

037r

【解答】解：a=2>2°=1,b=sin^=sml5°<sin30°=而迎<2<6,贝与

1

<Zn2<l,即一VcVl,

2

所以b〈c〈a.

故选：B.

【点评】本题主要考查利用单调性比较两个数的大小，属于中档题.

9.(4分)中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用这五个音，

排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徽位于羽的左侧，则可排成的不同

音列有()

A.18种B.24种C.36种D.72种

【答案】C

【分析】先排宫、徽、羽三个音节，然后商、角两个音阶插空即可求解.

【解答】解：先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有亭=3种，

再将商、角插入4个空中，共有3幽=36种.

故选：C.

【点评】本题考查排列组合的应用，属于基础题.

10.(4分)对于曲线C：x'2+y'2=l,给出下列三个命题：

①关于坐标原点对称；

②曲线C上任意一点到坐标原点的距离不小于2；

③曲线C与曲线|x|+|y|=3有四个交点.

其中正确的命题个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】将x换为-x,y换为-y,方程/2+y2=i不变，可判断①；方程变为7+y2=

x2y2,由基本不等式可判断②；由对称性可考虑第一象限的交点个数，结合函数零点存在

定理和函数的单调性，可判断③.

【解答】解：将X换为-x,y换为方程/2+了2=]不变，则曲线C关于原点对称，

故①正确；

=2+y2_________

由了-2+歹2=],可得/+/2=尤2卜2忘(---)2,解得即有+y2-2,故②

正确；

由曲线C和曲线|x|+|y|=3都关于原点对称，都关于x,y轴对称，可考虑第一象限的交点

个数.

由>=3-%和/=JJi=J1+可得落-6尤3+7/+6x-9=0,

设/(x)=¥-6_?+7/+6x-9,由/(I)=-KO,f(1.5)=0.5625>0,f(2)=-1

<0,

可得了（x）在（1,1.5）和（1.5,2）各有一个零点，又y=3-彳和＞=J1+彩匕在（1，

3）递减，

则第一象限的交点个数为2,

可得曲线C与曲线|x|+|y|=3有8个交点，故③错误.

故选：C.

【点评】本题考查曲线的方程和性质，以及直线和曲线的位置关系，考查方程思想和运

算能力、推理能力，属于中档题.

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.（5分）复数z在复平面内对应的点为（-1,2）,则9=-1-21.

Z

【答案】-1-2z.

【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解.

【解答】解：复数z在复平面内对应的点为（-1,2）,

则z=-1+2/,

555（—1—2i）

故胃=不去=E而名=一1—2九

故答案为：-1-2i.

【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题.

12.（5分）斜率为1的直线/经过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点，

则IA8=8.

【答案】8.

【分析】求出直线/的方程，设ACxi,yi）,BCe,”），直线方程代入抛物线方程应用

韦达定理得X1+尤2,然后由焦点弦长公式可得结论.

【解答】解：抛物线/=©的焦点坐标为/（1,0）,直线/方程为y=x-l,

设A（xi,yi）,BC,X2,yi）,则由抛物线焦点弦长公式得：\AB\=xi+x2+p=xi+x2+2,

又A、2是抛物线与直线的交点，由产=©得/-6x+l=0,

iy=x—1

则XI+X2=6,|AB|=8.

故答案为：8.

【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题.

7TT-

13.（5分）已知向量a,b满足|b|=2,a与b的夹角为二，则当实数人变化时，|b—4al的最

6

小值为—1

【答案】1.

TTTT—T

【分析】据题意，设oa=a,OB=b,作利用数量积的几何意义可得|b—2a|

的最小值为|BE|,即可求解.

—TTT

【解答】解：如图，设04=a,OB=b,

TTTTT

当（b-4a），a时，|b-4al取得最小值，

过B作BELOA,即后一4a的最小值为由囿，

因为：与7的夹角为2,所以/8。4=也

66

又|08|=2,所以|BE|=2xsi琛=2x*=l,即|b—4al的最小值为1.

故答案为：1.

【点评】本题考查平面向量数量积的几何意义，属中档题.

14.（5分）设函数/（x）=F+<L

①若/（X）有两个零点，则实数a的一个取值可以是-1（答案不唯一）；

②若/（无）是R上的增函数，则实数a的取值范围是:0,1]U⑵+8）.

【答案】-1（答案不唯一）；[0,1]U[2,+8）.

【分析】由题意可得八x）=丁+3"（尤W1）必有两个零点，利用导求解即可第一空答案；

利用导数判断出函数在（-8,1]和a,+8）上均单调递增，再由1+3.W3+/求解即

可得第二空答案.

【解答】解：①因为当彳>1时，于3=3X+/》3,此时函数没有零点，

要使函数有两个零点，则/（x）=/+3ax（xWl）必有两个零点，

又因为，（x）=3/+3a,

所以当a=-1时，则，(x)=3^2-3,

令/(x)=0,则尤=1或-1,

故/(X)在(-8,-1)单调递增，在(-1,1)单调递减，

/(-2)=-8+6=-2<0；/(-1)=-1+3=2>0,

故了(%)在(-2,-1)内有一个零点，在(-1,1)内也有一个零点，故有2个零点，

则a=-1满足条件；

②根据题意可得，当xWl时，f(尤)=3/+3.20,

所以心-/,

又因为xWL所以-fWO,

故。》0；

当x>l时，/(x)=3>0,

即x>l时，fCx)单调递增恒成立，

要使/(x)在R上为增函数，

故在x=l时，/(I)=l+3a^3+a2,解得a>2或aWl,

故。的取值范围为[0,1]U[2,+8).

故答案为：-1(答案不唯一)；[0,1]U[2,+8).

【点评】本题考查了函数的零点、导数的综合运用，属于中档题.

15.(5分)黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：xe[0,1]时，R(%)=

,x=aq€N*,'为既约真分豁若数殛^/噌)，i*,给出下列四个

结论：

]

①""=xC

@an+2<an+l；

1

<2；

④£陌aiN仇殁上

其中所有正确结论的序号是②③④.

【答案】②③④.

【分析】由黎曼函数的定义和数列的裂项相消求和、函数g(x)="-X-l的性质，可

得结论.

1

【解答】解：对于①，〃6N+,."=1时，a1=R(O)=O^p故①错误；

11

对于②，劭+1=几+1，。n+2=几+2,>〃〃+2,故②正确；

111111

对于③，£仁1〃依+l=Ql〃2+〃2〃3+〃344+3+〃〃〃〃+l=KX5+与X7+…+—*------

ZJJ4九n+1

111111111

=2_可+可-4+…+而一申=2一中<2'故③正确；

111

对于④，)=〃1+。2+〃3+...+劭=2+可+...+而(〃22),

构造函数g(x)-x-\(x>0),

贝I]J(x)="-1>0,g(X)单调递增，：.gCx)>g(0)=0,

,1i111i

即当尤>0时/>x+l,可得e2>,+l,e3>-+l,•­­,en>-+1,

r,1.1..134n+1n+111in+1

则eZ+y1''"十元>弓X5X...X-----=、，—+...+—>ln(------),

2371223九2

当〃=1时，£之1%=%=0,EIli由2》(写与，故④正确.

故选：②③④.

【点评】本题考查函数与数列的综合，以及数列的裂项相消求和、累乘法，考查转化思

想和运算能力，属于中档题.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.(13分)在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知26sinA—V5a=0.

(I)求角B的大小；

(II)求cosA+cosB+cosC的取值范围.

【答案】见试题解答内容

【分析】(I)根据正弦定理可得sinB=学，结合角的范围，即可求出，

(II)根据两角和差的余弦公式，以及利用正弦函数的性质即可求出.

【解答】解：(I)V2Z?sinA=/3a,

2sinBsinA=V3sinA,

.sinAWO,

sinB=学,

・••△ABC为锐角三角形，

(II):△ABC为锐角三角形,B=

"=冬—A,

27r711731

cosA+cosB+cosC=cosA+cos(——A)+cos-=cosA—«cosA+-5-sinA+不

33222

177

2cosA++2=sin(A+6)+2'

△ABC为锐角三角形，0<AV*,0<C<J,

解得看<A<1，

「TC+T/T可27r

V377.

/.—<sin(A+N)<1,

26

V3177-13

22622

V3+13

.♦.cosA+cosB+cosC的取值范围为(---,-].

【点评】本题考查了正弦定理，三角函数的化简，三角函数的性质，考查了运算求解能

力和转化与化归能力，属于中档题.

17.(14分)如图，在四棱锥尸-A8CD中，B4_L平面ABC。，PA=AD=CD=2,BC=3,

PC=2V3.

(I)求证：CD_L平面PAD-,

(II)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面PBC与平面PAD所

成锐二面角的大小.

条件①：AB—V5；

条件②：〃平面用D

注：如果选择的条件不符合要求，第(II)问得。分；如果选择多个符合要求的条件分

别解答，按第一个解答计分.

BC

71

【答案】(I)证明过程见解答；(II)

4

【分析】(1)连接AC,由题目条件可推得△AOC为等腰直角三角形，且4。。=也

ZADC=J,即COLA。，再E4LCD,由线面垂直的判定定理即可证明；

(II)选条件①或选条件②均可证明BC,CD,建立以A为原点的空间直角坐标系，求

出平面PBC与平面E4D的法向量，由二面角求解即可.

【解答】解：(I)如图，连接AC,因B4_L平面ABC。，AC,CDu平面ABC。，则PA

又PC=2V3,E4=2,则AC=2V2,

因为AZ)=OC=2,所以△ADC为等腰直角三角形，其中NADC=等所以

4,Z

CD1AD,

又因为雨，。)，AD,勿u平面物力，ADC\PA=A,所以CO_L平面以。；

(II)若选条件①，由余弦定理可得：cos/ACB="2嫖=2：羡工二挈

结合NAC2为三角形内角，得4cB=1,

又/ACD=则NBCD=即BCLCD.

4Z

若选条件②，因BC〃平面B4D,BCu平面ABCD,平面ABCDC平面B4D=A。，则BC

//AD,

又4DC=W，则BPBCLCD.

故建立以A为坐标原点，如图所示空间直角坐标系(x轴所在直线与。C平行)，

又B4=AO=C£)=2,BC=3,AB=V5,

则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),

—>—>—>

所以BC=(0,3,0),CP=(-2,—2,2),DC=(2,0,0),

->

由题知，平面B4O法向量为。C=(2,0,0),

设平面P3C法向量为几=(x,y,z),

则匕g=3y=0,

\n-CP=-2x—2y+2z=0

令x=l,则y=0,z=l,所以蔡=(1,0,1),

设面PBC与平面PAD所成锐二面角为0,

TTT厂

所以cos。=|cos〈n,DC)\-\|=|\-所以。=也

\n\-\DC\口2'&

【点评】本题考查线面平行证明和二面角的求法，还考查空间想象能力和运算求解能力，

属于中档题.

18.(13分)为研究北京西部地区油松次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题，某

高中研究性学习小组暑假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查，

得到两地区林下灌木层，乔木层，草本层的抽样调查数据.其中两地区林下灌木层获得

数据如表1,表2所示：

表1：老山油松人工林林下灌木层

植物名称植物类型株数

酸枣灌木28

荆条灌木41

孩儿拳头灌木22

河朔荒花灌木4

臭椿乔木幼苗1

黑枣乔木幼苗1

构树乔木幼苗2

元宝械乔木幼苗1

表2：妙峰山油松次生林林下灌木层

植物名称植物类型株数

黄柏乔木幼苗6

朴树乔木幼苗7

栾树乔木幼苗4

鹅耳物乔木幼苗7

律叶蛇葡萄木质藤本8

毛樱桃灌木9

三裂绣线菊灌木11

胡枝子灌木10

大花渡疏灌木10

丁香灌木8

（I）从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选2株，求2株植物的类型

都是乔木幼苗的概率；

（II）以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物

中随机抽取3株（假设每次抽取的结果互不影响），记这3株植物的植物类型是灌木的株

数为X,求X的分布列和数学期望；

（III）从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选2株，记

此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为Pi；从妙峰山油松次生林的林下灌木层所

有符合表2中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计

值为尸2.请直接写出尸1与尸2大小关系.（结论不要求证明）

【答案】（I）熹

9

（II）分布列见解析，期望下

(III)尸1＜尸2.

【分析】（I）根据古典概型概率公式，以及组合数公式，即可求解;

（II）根据二项分布概率公式，即可求解;

（III）根据两个表格中的植物类型分布的数据，即可求解.

【解答】解：（I）表1中的灌木有28+41+22+4=95株,

乔木幼苗有1+1+2+1=5株，共有100株,

「21

所以尸=砒，

L100

所以求2株植物的类型都是乔木幼苗的概率为二.

495

(II)表2中的灌木有9+11+10+10+8=48株，

乔木幼苗有6+7+4+7=24株，木质藤本有8株，

■2

由题意可知，X=0,1,2,3,X〜8(3,1),

P(x=0)=(I)3=熊，P(X=1)=程X(|)(|)2=患,

P(X=2)=窃X(|)2(|)=嘉，P(X=3)=(|)3=法,

分布列如下，

X0123

P8365427

125125125125

E(X)=n=3Xp=g.

(Ill)表1中植物间的数量差距较大，表2中每种植物的数量差不多，

所以选出来不同种类，表2的概率更大，所以Pi<P2.

【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和方差，属于中档题.

19.(15分)已知函数/(x)=xeax(a>0).

(I)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(II)求/(x)在区间［-1,1］上的最大值与最小值；

(III)当。=1时，求证：f(x)lnx+x+1.

【答案】(I)尸X；

(II)当时，函数无)的最小值为了(-I)=--%最大值为/(I)=ea,

当。>1时，函数/(x)的最小值为/'(—》=—白，最大值为了⑴=/；

(III)证明见解析.

【分析】(I)根据导数的几何意义，求切线方程；

(H)首先求函数的导数，再讨论0<aWl和。>1两种情况求函数的单调性，求函数的

最值；

(III)首先根据不等式构造函数g(x)=xex-lnx-x-1,再利用导数求函数的最小值,

即可证明.

【解答】解：(I)/(尤)=(1+ax)e",f(0)=1,f(0)=0,

所以曲线y=/(x)在点(0,f(0))处的切线方程为丫=筋

(II)/(x)=(1+ox)eax,a>0

当0<aWl时，f(x)20在区间［-1,1］上恒成立，/(%)在区间［-1,1］上单调递增，

所以函数/(x)的最小值为/(-I)=~e~a,最大值为/(I)=本，

1

当〃>1时，f'(x)—0,得％=—(—1,0),

fCO在区间［-1,—》小于。，函数/(X)单调递减，

f(x)在区间［―：,1］大于0,函数/(X)单调递增，

11

所以函数/⑴的最小值为f(—分=一看

/(-1)=-ea,/(1)=ea,显然/(1)>f(-1),所以函数/(x)的最大值为/(1)

=ea,

综上可知，当0<〃<1时，函数f(x)的最小值为了(-I)=--%最大值为了(1)=

当41时，函数/(x)的最小值为/(一》=—卷最大值为了⑴=e〃；

证明：(III)当。=1时，f(x)=小，即证明不等式

1

设g(%)=%靖一"%-%-1，%>。，“(%)=(%+l)(e*-亍)，

11

设x>0,九'(%)=靖+/>0,

所以、(X)在(0,+8)单调递增,并且()=后一2<0,h(l)=e-l>0,

11

所以函数/z(x)在(另1)上存在唯一零点初使/(&)=〃。一擀=0，

zxo

即/(xo)=0,则在区间(0,xo),屋(X)<0,g(x)单调递减，

f

在区间(xo,+8),g(%)>0,g(x)单调递增，

x

所以g(x)的最小值为g(%o)=xoe°-lnx0-x0-1,

由/(%o)=e'。一■—=0,得与？比。=1,且xo=7nxo,

xo

所以g(xo)=0,

所以g(x)=x^-Inx-x-\^0,即/(x)2/nx+x+l.

【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题.

xy