三明市宁化县2022年九年级上学期《数学》期中试题与参考答案

三明市宁化县2022年九年级上学期《数学》期中试题与参考答案一、选择题共10题，每题4分，满分40分．每题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂。1.下列图形中一定是相似形的是（）A.两个等腰三角形 B.两个菱形C.两个矩形 D.两个正方形【答案】D【详解】A、两个等腰三角形，三个角不一定相等，因此不一定相似，故本选项错误，不符合题意．

B、两个菱形对应角不一定相等，故本选项不符合题意；C、两个矩形的边不一定成比例，故不一定相似，故本选项错误，不符合题意．D、两个正方形四个角相等，各边一定对应成比例，所以一定相似，故本选项正确，符合题意；故选：D．2.一元二次方程x（x﹣3）＝x﹣3的解是（）A.x1＝x2＝1 B.x1＝0，x2＝3C.x1＝1，x2＝3 D.x＝0【答案】C【详解】∵，∴，∴，即或，解得，．故选：C．3.如图，D、E分别是和上的点，若，，，，则的值为（）A.10 B.12C.15 D.18【答案】D【详解】∵，∴，∴，∵，，，∴，解得：，经检验符合题意；故选：D．4.如果一个袋子里有16个除颜色外其他完全相同的球，若摸到黑球的概率为，则可估计袋中黑球的个数为（）A.12 B.6C.4 D.不能确定【答案】A【详解】设黑球的个数为x，根据题意，得解得．所以黑球的个数为12个．故选：A．5.关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（）A.0 B.±3C.3 D.－3【答案】D【详解】∵，∴，由题意得：m－3≠0且m2－9＝0，解得：m＝－3，故选：D．6.如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（）A.8 B.9C.10 D.15【答案】B【详解】∵图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，

∴，

∵，

∴，∴故答案为：B．7.下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（）A.1个 B.2个C.3个 D.4个【答案】A【详解】①矩形是轴对称图形，两组对边的中点的连线所在的直线是它的对称轴，故错误；②两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；③有两个邻角相等的平行四边形是矩形，故错误；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；正确；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；故错误．故选A．8.已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程是（）A. B.C. D.【答案】A【详解】由根与系数的关系可知，以，为根的一元二次方程是，故选A．考点：根与系数的关系．9.如图，在纸片中，，点分别在上，连结，将沿翻折，使点A的对应点F落在的延长线上，若平分，则的长为（）A. B.C. D.【答案】D【详解】∵，∴=5，由折叠性质得：∠DAE=∠DFE，AD=DF，则BD=5﹣AD，∵平分，∴∠BFD=∠DFE=∠DAE，∵∠DAE+∠B=90°，∴∠BDF+∠B=90°，即∠BDF=90°，∴Rt△ABC∽Rt△FBD，∴即，解得：AD=，故选：D．10.如图，是边长为1的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且，过点D、E分别作AB、BC的平行线相交于点F，分别交BC、AB于点H、G．现有以下结论：①；②当点D与点C重合时，；③；④当时，四边形BHFG为菱形，其中正确结论为（）A.①②③ B.①②④C.①②③④ D.②③④【答案】B【详解】如图1,过A作AI⊥BC垂足为I∵是边长为1的等边三角形∴∠BAC=∠ABC=∠C=60°，CI=∴AI=∴S△ABC=,故①正确；如图2，当D与C重合时∵∠DBE=30°，是等边三角形∴∠DBE=∠ABE=30°∴DE=AE=∵GE//BD∴∴BG=∵GF//BD,BG//DF∴HF=BG=,故②正确；如图3，将△BCD绕B点逆时针旋转60°得到△ABN∴∠1=∠2，∠5=∠6=60°，AN=CD,BD=BN∵∠3=30°∴∠2+∠4=∠1+∠4=30°，∴∠NBE=∠3=30°又∵BD=BN，BE=BE∴△NBE≌△DBE（SAS），∴NE=DE延长EA到P使AP=CD=AN∵∠NAP=180°-60°-60°=60°∴△ANP为等边三角形。∴∠P=60°，NP=AP=CD如果AE+CD=DE成立，则PE=NE,需∠NEP=90°，但∠NEP不一定为90°，故③不成立；如图1，当AE=CD时，∵GE//BC∴∠AGE=∠ABC=60°，∠GEA=∠C=60°∴∠AGE=∠AEG=60°，∴AG=AE同理：CH=CD∴AG=CH∵BG//FH,GF//BH，∴四边形BHFG是平行四边形∵BG=BH∴四边形BHFG为菱形，故④正确．故选B．二、填空题共6题，每题4分，满分24分．请将答案填在答题卡的相应位置。11.已知是方程的一个根，则c的值是__________．【答案】4【详解】把代入得，解得．故答案为：4．12.如图，在中，，是的中点，若，则的长度为__________．【答案】6【详解】，，是斜边又是的中点13.从1，2，﹣3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是____．【答案】．【详解】由题意可知，这三个数相乘的积分别是，所以正数的概率是14.已知，则的值等于__________．【答案】【详解】∵，令，，（）∴，故答案为：．15.如图为菱形与的重叠情形，其中在上．若，，，则的长为__________．【答案】12【详解】作于．四边形是菱形，．，．，．在中，由勾股定理，得．在中，由勾股定理，得，．故答案为：12．16.如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作中的位似图形，并把中的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点的横坐标是________．【答案】##【详解】过B作，，∵，，∴，∴，∵，∴，∵点C的坐标是，点B的横坐标是a，∴，∴，，∴的横坐标是．三、解答题本大题共9小题，满分86分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.解方程：＋3x﹣4＝0．【答案】＝﹣4，＝1【详解】∵＋3x﹣4＝0，∴（x＋4）（x﹣1）＝0，则x＋4＝0或x﹣1＝0，解得＝﹣4，＝1．18.解方程：．【答案】．【详解】移项，得因式分解，得即∴或∴，．19.如图，点分别在菱形的边上，．求证:【答案】见解析【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD，∠B=∠D，

在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），

∴AE=AF．20.某超市销售某种品牌玩具，购进该玩具的价格为10，超市决定以不超过30元/个的价格销售这些玩具．经市场调查发现：销售单价定为26元时，日销售量为20个；销售单价每降低2元，日均多售出1个．（1）当销售单价定为多少元时，该品牌玩具日销售总额为460元？（2）该超市为提高销售量，决定让利给消费者，当销售单价定为多少元时，该品牌玩具日利润总额为150元？【答案】（1）当销售单价定为20元时，该品牌玩具日销售总额为460元；（2）当销售单价定为16元时，该品牌玩具日利润总额为150元．【小问1详解】解：设当销售单价定为元时，该品牌玩具日销售总额为460元．依题意得，，解得：，∵超市决定以不超过30的价格销售这些玩具，∴不合题意，应舍去．∴．答：当销售单价定为20元时，该品牌玩具日销售总额为460元．【小问2详解】解：设当销售单价定为元时，该品牌玩具日利润总额为150元．依题意得，解得：∵超市决定以不超过30的价格销售这些玩具，∴不合题意，应舍去．∴．答：当销售单价定为16元时，该品牌玩具日利润总额为150元．21.如图，已知△ABC为和点A'.(1)以点A'为顶点求作△A'B'C',使△A'B'C'∽△ABC，S△A'B'C'=4S△ABC;(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、A'C'的中点，求证：△DEF∽△D'E'F'.【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析.【详解】（1）作线段A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，得△A'B'C'即为所求．证明：∵A'C'＝2AC、A'B'＝2AB、B'C'＝2BC，∴△ABC∽△A′B′C′，∴；（2）证明：∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴△DEF∽△CAB，同理：△D'E'F'∽△C'A'B'，由（1）可知：△ABC∽△A′B′C′，∴△DEF∽△D'E'F'．22.某中学全校师生听取了“禁毒”宣传报告后，对禁毒人员肃然起敬．学校德育处随后决定在全校1000名学生中开展“我为禁毒献爱心”的捐款活动．张老师在周五随机调查了部分学生随身携带零花钱的情况，并将收集的数据进行整理，绘制了如图所示的条形统计图．（1）求这组数据的平均数和众数；（2）经调查，当学生身上的零花钱多于15元时，都到出零花钱的20%，其余学生不参加捐款．请你估计周五这一天该校可能收到学生自愿捐款多少元？（3）捐款最多的两人将和另一个学校选出的两人组成一个“禁毒”知识宣讲小组，若从4人中随机指定两人担任正、副组长，求这两人来自不同学校的概率．【答案】（1）平均数为20.5；众数为20；（2）3150元；（3）【详解】（1）平均数：，众数：根据图可知有6人零花钱是20，故众数为20故答案为：20.5；20（2）由图可知零花钱多于15元的学生有12人，则这12人的零花钱平均数为：∴周五这一天该校收到捐款数约为：（元）．（3）设捐款最多的两名学生分别为、，另一个学校的两名学生分别为、，列表如下：∵由表可知，均等机会共12种，两人来自不同学校的结果有8种，∴这两人来自不同学校的概率23.如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC．过点C作CG⊥AD，垂足为G，AF是BC边上的中线，连接FG．（1）求证：AC=FG．（2）当AC⊥FG时，△ABC应是怎样的三角形？为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）当AC⊥FG时，△ABC是等腰直角三角形，理由见解析.【详解】试题分析：（1）先根据题意推理出四边形AFCG是矩形，然后根据矩形的性质得到对角线相等；（2）由（1）的结论和AC⊥FG得到四边形AFCG是正方形，然后即可得到△ABC是等腰直角三角形．(1)∵AD平分∠EAC，且AD∥BC，∴∠ABC＝∠EAD＝∠CAD＝∠ACB，∴AB＝AC.∵AF是BC边上的中线，∴AF⊥BC.∵CG⊥AD，AD∥BC，∴CG⊥BC，∴AF∥CG，∴四边形AFCG是平行四边形．∵∠AFC＝90°，∴四边形AFCG是矩形．∴AC＝FG.(2)当AC⊥FG时，△ABC是等腰直角三角形．理由如下：∵四边形AFCG是矩形，AC⊥FG，∴四边形AFCG是正方形，∠ACB＝45°.∵AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形．24.已知关于的方程.（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC的边长，另两边的长恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）10．【详解】（1）∵△=，∴方程总有实根；（2）∵两实数根互为相反数，∴，解得；（3）①当时，则△=0，即，∴，方程可化为，∴，∴，∴不适合题意舍去；②当，则，∴，方程化为，解得，，∴c=2，C△ABC=10，当c=a=4时，同理得b=2，∴C△ABC=10，综上所述，△ABC的周长为10．25.在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结．（1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则____