2024届上海南洋数学高三年级上册期末调研试题含解析

2024届上海南洋模范数学高三上期末调研试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知丁=依+力与函数/（x）=21nx+5和g（x）=f+4都相切，则不等式组<-°八所确定的平面区域在

x+/?y-2>0

》2+,2+2%一2>—22=0内的面积为（）

A.2万B.34C.6兀D.127r

2.定义在R上的函数v=&）满足氐）匕#且y=&+/）为奇函数，贝W=&）的图象可能是（）

3.已知函数/（x）=ln_x-0+a在xe［l,e］上有两个零点，则”的取值范围是（）

4.已知下列命题：

①“VXER,x2+5x>6”的否定是“Hr£R,x2+5x<6W；

②已知p，q为两个命题，若为假命题，则"（「，）△（「［）”为真命题；

③“a>2019”是“a>2020”的充分不必要条件；

④“若孙=0,则x=0且,y=0”的逆否命题为真命题.

其中真命题的序号为（）

A.③④B.①②C.①③D.②④

5.若数列｛q｝满足％=15且3区向=34-2,则使4・4+心0的人的值为（）

A.21B.22C.23D.24

6.设机，〃均为非零的平面向量，贝！1“存在负数/I,使得〃z=是“电〃<0”的

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

•2020

7.=()

\-i

V21

A.B.V2C.1D.-

4

8.已知函数，(》)=皿》-1)-(》-2修-'«为自然对数底数)，若关于x的不等式〃x)>()有且只有一个正整数解,

则实数m的最大值为()

e~3+e„e2~+ee3~-ee-2-e

A.-------B.-------C.-------D.-------

2222

9.已知函数在R上都存在导函数/'(x),对于任意的实数都有"]=e2)当x<0时，/(x)+/V)>0,

若eV(2a+1)>f(a+1),则实数a的取值范围是()

22

A.0,—B.——,0C.[0,+<x>)D.(—00,0J

10.已知"2，”表示两条不同的直线，a,4表示两个不同的平面，且〃2_La,〃u/7,则“二_1_尸”是“〃?〃””的()

条件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

11.复数l+i=()

i

A.-2iB.-/C.()D.2i

2

12.已知数列｛q,｝满足log3a„+1=log3a„+1(/ieN*)，且a2+%+4=9,则地;3+%+%)的值是()

9

A.5B.-3C.4D.—

91

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/(幻=-/+x+a,xw[Le]与g(x)=3枢-x-1的图象上存在关于x轴对称的点，则。的取值范围为

e

14.对任意正整数〃，函数—若/(2R0,则尤的取值范围是；若不等式

/(〃)>0恒成立，则2的最大值为.

15.若复数z=l—3i(i是虚数单位)，贝！|z6-10)=

16.命题“对任意X>1,彳2>1，，的否定是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,若2叵/jcsinAu〃+c?—4.

3

(I)求角A;

(II)若c=5,cosB=—,求b.

7

,1,

18.(12分)已知函数/'(x)=/QT-(a+l)x+lnx,aeR.

(1)当。=0时，求曲线/(%)在点(2,/(2))的切线方程；

(2)讨论函数/(x)的单调性.

19.(12分)已知函数/(x)=|x-2|,g(x)=a|x|-1.

(1)若不等式g(x—3)2-3的解集为[2,4],求，的值.

(2)若当xeR时，f(x)>g(x),求”的取值范围.

20.(12分)已知函数,/(x)=x—Inx,g(x)=x2^ax.

(1)求函数/(x)在区间[£,f+l](f>0)上的最小值皿。；

(2)h(x)=g(x)—f(x),A(xi,h(xi))9以刈，MM))(X/X2)是函数Mx)图像上任意两点，且满足^>1，求

X]-%2

实数〃的取值范围；

(3)若mxG(0,l],使/U巨"二成立,求实数a的最大值.

X

21.(12分)已知函数/(x)=f+2x-〃?ln(x+l),其中〃zeR.

(I)若机>0,求函数的单调区间；

(n>设g(x)=/(x)+5.若g(x)>击在((),+⑹上恒成立，求实数加的最大值.

22.(10分)设函数/(x)=；x+l+|x-l|(xeR)的最小值为加.

(1)求加的值;

(2)若c为正实数，且」-+112+L

a,b,-------1-------——,证明:rvi-

ina2nib3mc3

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解题分析】

根据直线>=^+人与“X)和g(x)都相切，求得。的值，由此画出不等式组所表示的平面区域以及圆

X2+J2+2X-2>--22=0,由此求得正确选项.

【题目详解】

22

f(x)=-，g'(x)=2x.设直线>=狈+8与/(x)相切于点A(%,21nx0+5),斜率为一，所以切线方程为

XX0

2221

y-（2111%+5）=—（X-9）,化简得y=-x+21nXo+3①.令g（x）=2x=-,解得x=一=~?+4，

X。/%0X。

fi\211211

所以切线方程为了——+4x——,化简得》二一1——+4②.由①②对比系数得21nxo+3=--y+4,

VxoJxoIxoJ%/xo

化简得2皿七+二一1=0③.构造函数〃(x)=21nx+3-l(x>0),"⑺=2一之=生土华二Q,所以〃⑴在

入0XXXX

(0,1)上递减，在上递增，所以力(力在x=l处取得极小值也即是最小值，而Ml)=0,所以〃(x)=o有唯一

[…）.+320即1x-2y+3>0

解.也即方程③有唯一解毛=1.所以切线方程为、=2犬+3.即。=2]=3.不等式组，

x+by-2>0x+3}^-2>0'

画出其对应的区域如下图所示.圆/+V+2x—2y—22=0可化为(Hip+(y-l)2=24,圆心为A(—1,1).而方程

x-2y+3=0fx=-l[x-2y+3>0

组/C八的解也是1.画出图像如下图所示，不等式组/c八所确定的平面区域在

x+3y-2=0[y=l[x+3y-220

Y+y2+2x-2y—22=()内的部分如下图阴影部分所示.直线x-2y+3=0的斜率为;，直线x+3y-2=0的斜率

11

1--1—

为—所以1211/84。=1211(乙4£。+44。£)=^^=1,所以NB4C=(,而圆A的半径为@=2«，所

以阴影部分的面积是9%仅甸2=3».

故选：B

【题目点拨】

本小题主要考查根据公共切线求参数，考查不等式组表示区域的画法，考查圆的方程，考查两条直线夹角的计算，考

查扇形面积公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分析思考与解决问题的能力，属于难题.

2、D

【解题分析】

根据y=&+1）为奇函数，得到函数关于。,0）中心对称，排除48,计算!/0.5）lW也排除C,得到答案.

【题目详解】

y=/G+/）为奇函数，即&+/）=-/（r+/）,函数关于0,0）中心对称，排除，出

依.5）1=也，排除c.

故选：D.

【题目点拨】

本题考查了函数图像的识别，确定函数关于。,。）中心对称是解题的关键.

3、C

【解题分析】

对函数求导，对a分类讨论，分别求得函数/（x）的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解.

【题目详解】

当窈-1时，/'（x"0,/（力在［l,e］上单调递增，不合题意.

当e时，f'(x)<0,/(x)在［I,e］上单调递减，也不合题意.

当一时，则xw［l,-a)时,/,(x)<0,/(x)在［1,一。)上单调递减，x«-a,e］时,/,(x)>0,f(x)在

(一凡e］上单调递增，又"1)=0,所以“X)在xe［l,e］上有两个零点，只需/(e)=l-f+a20即可，解得

综上，。的取值范围是F，T

1-e

故选C.

【题目点拨】

本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题.

4、B

【解题分析】

由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断.

【题目详解】

“VxwR,x2+5x>6"的否定是"HreR,x2+5x46”,正确；

已知为两个命题，若“，v”为假命题，则“(力)八(「^)”为真命题，正确；

“a>2019”是“a>2020”的必要不充分条件,错误；

“若孙=0,则x=0且y=0”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误.

故选：B.

【题目点拨】

本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础.

5、C

【解题分析】

因为4用一。“=—《2，所以他“｝是等差数列，且公差。=—：7吗=15,贝ija“=15—=2(n—1)=一：2〃+4与7，所

以由题设％•%+i<0可得(—：2〃+4?7)(—22〃+4?5)<0=与45<〃<47?,贝！J〃=23,应选答案C.

JJJJ4乙

6、B

【解题分析】

根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论.

【题目详解】

因为m,〃均为非零的平面向量，存在负数4,使得〃?=

所以向量〃,7〃共线且方向相反，

所以〃?•“<(),即充分性成立；

反之，当向量而，〃的夹角为钝角时，满足虎•〃<(),但此时〃?，〃不共线且反向，所以必要性不成立.

所以“存在负数2,使得加=4〃”是“加力<0”的充分不必要条件.

故选B.

【题目点拨】

判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p,定义法

是判断充分条件、必要条件的基本的方法，解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确.

7、A

【解题分析】

•2020

利用复数的乘方和除法法则将复数二化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结果.

1-1

【题目详解】

,•2020I.,•।,

-2020(;4\5°5150511_1_1+"-111；

z=6=1=匕口一口一(二川+］矛,

故选：A.

【题目点拨】

本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.

8、A

【解题分析】

若不等式/(x)>o有且只有一个正整数解，则y=s(x-1)的图象在y=g(6图象的上方只有一个正整数值，利用导

数求出g(x)的最小值，分别画出y=g(x)与y=m(x-l)的图象，结合图象可得.

【题目详解】

x

解：/(x)=m(x-l)-(x-2)e-e>09

m(x-l)>(x-2)ex+e,

设y=g(x)=(尤—2)e,+e,

：,g'(x)=(x-l)e，,

当x>l时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增，

当x<l时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减，

:.g(x)2g(l)=0,

当xf+CO时，/(X).+2O,当XT-00,y(x)—>e,

函数y=〃z(x-l)恒过点(1,0),

分别画出y=g(x)与y=m(x-l)的图象，如图所示，

若不等式/(x)>0有且只有一个正整数解，则y=1)的图象在y=g(X)图象的上方只有一个正整数值,

m(3-1)<(3-2)/+eS.m(2-1)>(2-2)e'+e,即4g(3)=廿+e,且"?>e

故实数，〃的最大值为d±£,

2

故选：A

【题目点拨】

本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想，考查了数学

运算能力.

9、B

【解题分析】

先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.

【题目详解】

令g(x)=e"(x),则当x<0时，g'(x)=e'"(x)+r(x)]>0,

又g(—x)=""(—X)=e"(x)=g(x),所以g(x)为偶函数，

从而产/(%+1)2/(a+1)等价于e2a+'f(2a+1)>ea+'f(a+1),g(2a+1)2g(a+1),

2

因此g(-12a+11)>g(-1a+11),-12a+11>—|tz+1|,3a~+2a<0.\—WaWO.选B.

【题目点拨】

本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.

10、B

【解题分析】

根据充分必要条件的概念进行判断.

【题目详解】

对于充分性：若aL/3,则〃?,〃可以平行，相交，异面，故充分性不成立；

若n,则〃_Lc,〃u£,可得a_L,,必要性成立.

故选：B

【题目点拨】

本题主要考查空间中线线，线面，面面的位置关系，以及充要条件的判断，考查学生综合运用知识的能力.解决充要条

件判断问题，关键是要弄清楚谁是条件，谁是结论.

11、C

【解题分析】略

12、B

【解题分析】

由log,a„+\=log,a„tl,可得«„+1=3%,所以数列｛a“｝是公比为3的等比数列，

9

所以+。4+4=。2+9%+81。2=91。2=9,则4，，

则logI(q+%+%)=log](3/+27电+243a2)=log।3?=-3,故选B

333

点睛：本题考查了等比数列的概念，等比数列的通项公式及等比数列的性质的应用，试题有一定的技巧，属于中档试

题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，等比数列的性质和在

使用等比数列的前"项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、［2,e3-2］

【解题分析】

两函数图象上存在关于x轴对称的点的等价命题是方程-%3+》+&=-3//1T+X+1在区间［Le］上有解，化简方程

e

。-1=丁-3配c在区间A，e］上有解，构造函数，求导，求出单调区间，利用函数性质得解.

e

【题目详解】

解：根据题意，若函数/(xQ-f+x+a/wxKe)与g(x)=31nx-x-l的图象上存在关于x轴对称的点，

e

则方程-/+尤+〃=-3仇¥+%+1在区间P，e］上有解，

e

即方程^-1=X3-3/;U在区间［Le］上有解，

e

设函数g(x)=x3-3lnx,其导数g\x)=3/,

XX

又由x£［Le］,可得：当时，g'(x)vO,g(x)为减函数，

ee

当1Wx<e时，g'(x)>。,g(x)为增函数，

故函数g。)=x3-3//u■有最小值g(D=1,

又由g(」)=4+3,g(e)=e3—3；比较可得：g(3<g(e),

eee

故函数8(力=13-3如有最大值8(6)=/-3,

故函数g(x)=V-3加在区间弓,e］上的值域为；

若方程a+1=V一3//u在区间A,e］上有解，

e

必有lWa-lWe3—3,则有2WaWe3—2,

即a的取值范围是［243-2］；

故答案为：［2,/-2］；

【题目点拨】

本题利用导数研究函数在某区间上最值求参数的问题，函数零点问题的拓展.由于函数y=/(x)的零点就是方程

/(为=0的根，在研究方程的有关问题时，可以将方程问题转化为函数问题解决.此类问题的切入点是借助函数的零点,

结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决.

(13］13

14、-oo,---——

I2」2

【解题分析】

将〃=2代入求解即可；当〃为奇数时,cos〃兀=—1,则转化/(/?)=2/+7/_助―12o为九<2〃2+7〃-L设

n

g(〃)=2〃2+7〃-L由单调性求得g(〃)的最小值；同理，当n为偶数时,COSn兀=1,则转化

n

/(〃)=21—7/--120为4W2/_7〃—■，设/Z(X)=2X2-7X--(X^2),利用导函数求得的最小值,

进而比较得到4的最大值.

【题目详解】

由题J(2)=16—28—2/1—120,解得2W—工.

2

当«为奇数时,cos〃万=一1,由/(«)=2"+7〃2__120,得九42"+7〃一L,

n

2

而函数g(〃)=2n+7n--为单调递增函数，所以g(n)min=g⑴=8,所以2<8；

n

当〃为偶数时,cos=1,由/(")=2"-7〃2_之〃_IN0,得2w2/_7〃一,，

n

设/z(x)=2x2-7x-4(x22),

x

X22,・•.hr(x)=4x-7+二>0,h(x)单调递增，

x

1313

A〃。"皿=〃Q)=,所以之W—凸，

13

综上可知，若不等式/(H)>。恒成立，则A的最大值为-宁.

故答案为:(1)(一8,一~—.(2)-¥

I2」2

【题目点拨】

本题考查利用导函数求最值，考查分类讨论思想和转化思想.

15、3()i

【解题分析】

直接根据复数的代数形式四则运算法则计算即可.

【题目详解】

z=l+3i，Az(z-10)=(l-3z)(l+3i—10)=30/.

【题目点拨】

本题主要考查复数的代数形式四则运算法则的应用.

16、存在4>1，使得/241

【解题分析】

试题分析：根据命题否定的概念，可知命题“对任意x>l,Y>i”的否定是o>l,使得x/wl”.

考点：命题的否定.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

71

17、(I)A=—(II)8

3

【解题分析】

(I)由余弦定理可得a2=62+c2_3ccosA，即可求出4,

(H)根据同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式和正弦定理即可求出.

【题目详解】

(I)由余弦定理/=〃+。2—2Z?ccosA，

所以Z??+c2—a2=2hccosA>

所以tAxJ_bcsinA=2Z?ccosA，

32

即tanA=百，

因为0cAe乃，

所以A=”；

3

(ID因为cosB='，所以sin8=迪，

77

因为sinC=sin（A+B）,

=sinAcosB+cosAsinB

百2+l4百_5百

272714

bec

由正弦定理得——=」一，所以〃=」一7泊8=8.

sinBsinCsinC

【题目点拨】

本题考查利用正弦定理与余弦定理解三角形，属于简单题.

18、(1)x+2y+2-21n2=0；(2)当④()时,/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,物)上单调递减；当0<a<l时,/(x)

在(0,1)和仁,+8］上单调递增，在11,j上单调递减；当a=1时,f⑴在(0,+a))上单调递增；当a>1时,f(x)在

(0,：］和(1,一)上单调递增,在(：,1)上单调递减.

【解题分析】

(1)根据导数的几何意义求解即可.

⑵易得函数定义域是(0,+0Q)，且f(x)=3T)d).故分4,0,0<a<1和“=1与a>1四种情况，分别分析得极值

x

点的关系进而求得原函数的单调性即可.

【题目详解】

(1)当a=0时,/(x)=—》+11,八划=一1+’,则切线的斜率为八2)=-1+1=—工

x22

又/⑵=-2+In2,则曲线/(x)在点(2,/(2))的切线方程是y—(—2+ln2)=-1(x-2),

即x+2y+2—21rl2=0,

19

(2)/(x)=万ax-(a+l)x+In]的定义域是。+oo).

ax2一(a+l)x+1(ar-l)(x-l)

ff(x)=OX-(6F+1)+—=

xxx

①当&()时,6-IvO,所以当x£(0,l)时，/(x)>0；当无£(1,”)时/(x)v0,

所以fM在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减;

②当0<a<l时,；>1,所以当x€(0,l)和1:,+oo]时J'(x)>0；当J时,r(x)<0,

所以/(X)在(0,1)和0,+8)上单调递增，在上单调递减；

③当。=1时—=1,所以/'(X)..0在(0,+8)上恒成立.所以f(X)在(0,+8)上单调递增；

a

④当a>1时,0<,<1,

a

所以xe(o,£|和(1,4W)时,/'(x)>0；时J'(x)<0.

所以/(x)在1°，J和(1，叱)上单调递增，在］，j上单调递减.

综上所述，当知0时,/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+«))上单调递减；当0<a<1时,/(x)在(0,1)和(：,+8］上单调递

增，在］J上单调递减；当a=1时,/(x)在(0,+8)上单调递增；当a>1时,f(x)在(0,J和(1,”)上单调递增，在

11上单调递减.

【题目点拨】

本题主要考查了导数的几何意义以及含参数的函数单调性讨论，需要根据题意求函数的极值点，再根据极值点的大小关

系分类讨论即可.属于常考题.

19、(1)a——2；(2)(—00,—］

【解题分析】

试题分析：(1)求得g(x-3)2-3的解集，根据集合相等，列出方程组，即可求解。的值；

(2)①当尤=0时，,一2住。国一1恒成立，②当XHO时，转化为avL-nL-,设//(x)=Ly^—,求得函数〃(力

\x\lxl

的最小值，即可求解。的取值范围.

试题解析：

(1)由g(x-3)N-3,得a|x-3|2-2,

9

因为不等式g(x-3)2-3的解集为［2,4］,所以a<0,故不等式可化为h一3|4-一，

a

3+2=2

解得3+—<x<3-一,所以:,解得a=—2.

aa3二二4

、a

⑵①当x=0时，|x-2,a|x|-l恒成立，所以aeR.

--+l,x<0

X

.।।।|x—2|+1/、|x—21+1/、.3

②当x00时，,一2|泊国一1可化为2«—rn-,设h(x)=―—(XNO),则h(x)=<——l,0<x<2,所

x

---+l,x>2

x

以当x=2时，h(x).==，所以aw］.

\/minnn

综上，〃的取值范围是1-8,3.

z-lnr,/>l__

20、(1)m(t)=\(2)a<2V2~2.(3)a<2V2-2.

1,O<Z<1

【解题分析】

(D是研究在动区间上的最值问题，这类问题的研究方法就是通过讨论函数的极值点与所研究的区间的大小关系来进

行求解.

(2)注意到函数九(幻的图像上任意不同两点A,3连线的斜率总大于1,等价于加工。一奴工2)〈。一丫2(*1〈*2)恒成立，

从而构造函数F(x)=6(x)-X在(0,+8)上单调递增，进而等价于尸(x)H在(0,+8)上恒成立来加以研究.

(3)用处理恒成立问题来处理有解问题，先分离变量转化为求对应函数的最值，得到£江二业E,再利用导数求

X+1

2x2-xlnx

函数M(x)=的最大值，这要用到二次求导，才可确定函数单调性，进而确定函数最值.

x+1

【题目详解】

(1)r(x)=i--,x>o,

X

令尸(x)=0,则X=l.

当仑1时，段)在［f,f+1］上单调递增，y(x)的最小值为刖=

当OCfVl时，/U)在区间(f,l)上为减函数，在区间(1,t+1)上为增函数，大x)的最小值为式1)=1.

r-lnr,r>l

综上,m(t)=<

l,0<z<1

(2)h(x)=x2—(a+l)x+lnx,

不妨取0<X|<X2,则Xl—X2<0,

h(x,)-h(x.)[

则由J>1,可得—ft(X2)<Xl—X2>

X,-x2

变形得A(X1)—X1V〃(X2)—X2恒成立.

2

令F(x)=h(x)—x=x—(a+2)x+lnxfx>0,

则尸(幻=必一(〃+2)x+加x在(0,+8)上单调递增，

故尸，四=2x-3+2)+120在(0,+8)上恒成立，

x

所以2xH—加+2在(0,十刃)上恒成立.

x

因为当且仅当*=曰时取“=”，

所以处20一2.

(3)因为人工心^~~匹2,所以〃(工+1)02/-X阮r.

X

因为x£(0,l],贝!Jx+lW(l,2],所以mx£(0,l],使得处2rr1”*成立.

x+1

22

.2x-尤Inx2x+3x-Inx-1

令M(x)=—~,则M'(x)=----------；-----.

x+1(x+1)-

.,,.(x+l)(4x-l)r,q1__.

令y=212+3x—/"x—1,则由y=-------------------=0可得x=—或x=—1(舍).

x4

当xG(0-)时，y'VO,则函数y=2x2+3x-/"x—1在上单调递减；

44

当xG，,+oo)时，旷>0,则函数y=2*2+3x—/"*—1在(“+<»)上单调递增.

所以心/"4—">0,

所以W)>0在xG(0,1]时恒成立，

所以M(x)在(0,1]上单调递增.

所以只需小⑴,即心1.

所以实数a的最大值为1.

【题目点拨】

本题考查了函数与导数综合问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算能力，属于难题.

21、(I)单调递减区间为一1,警—1,单调递增区间为(与-1,+8；(H)2.

【解题分析】

(I)求出函数y=/(x)的定义域以及导数/'(%),利用导数可求出该函数的单调递增区间和单调递减区间；

(H)由题意可知V+2X—mn(x+l)〉T-［在(0,+力)上恒成立，分机40和机>0两种情况讨论，在机40

时，构造函数6(力=父+2%一白+十，利用导数证明出G(x)>0在(0,+“)上恒成立；在加>0时，经过分析得

出0<机42,然后构造函数P(x)=f+2x_2In(x+1)+《—白，利用导数证明出P(x)>()在(0,+“)上恒成

立，由此得出/(x)>P(x)>0,进而可得出实数〃7的最大值.

【题目详解】

(I)函数/(x)=x2+2x—Mn(x+l)的定义域为(-l,+oo).

c,(、__ITI2(A：+1)--m

当相>0时,f(x)=2x+2-------

v7x+1x+1

V2m.,公土、42m，,

令/'(x)=0,解得%--------1<-1(舍去)，x,=---------1>-1.

2'2

(/z—\(\

当xe-1,^-1时，_f(x)<0,所以，函数y=/(x)在T甘二1上单调递减;

/'(x)>0,所以，函数y=/(x)在1,口上单调递增.

7

因此，函数y=/(x)的单调递减区间为一1，“5”一1，单调递增区间为节

(n)由题意，可知x?+2xln(x+l)>—■在(0,+8)上恒成立.

(i)若加<0,ln(x+l)>0,.\-mln(x4-l)>0,

11

・'.+2x—tTiIn(x+1)------j*H——2JC+2x—---+一,

x+1ex

11,x〉0,则6'(力=2犬+2+^~^1

构造函数G(x)=x2+2x------+—

x+1ex(x+1),2d

•.•%>0,0<—<19「・一1<—■<0.

又

2x+2+------7>2x4-2>2.•・G'(x)>0在(O,+R)上恒成立.

x+l)'

所以，函数y=G(x)在(0,+“)上单调递增，.•.G(x)>G(O)=O.

,当时，x2+2x—，wln(x+l)—---H-->0在(0,+8)上恒成立.

(ii)若机>0,构造函数"(x)=e*-x-l,x>0.

=所以，函数y="(x)在(0,+a)上单调递增.

.♦.”(X)>〃(0)=()恒成立，即,>x+l>0,，一^>《，即」^一《>0.

由题意，知〃刈>+-5在(0,+8)上恒成立.

/(x)=x2+2x-mln(尤+1)>0在(0,+8)上恒成立.

由(I)可知/(矶血=/(力极小值=/[警一1],

又Q/(O)=。，当业一1>0,即加>2时，函数y=/(x)在0，掌T上单调递减,

(5)口-

f号"―1</(0)=0,不合题意，.•.乂叫—1<0,即0<〃?W2.

I272

此时g(x)-=x24-2x-mln(x+l)+-^r->x2+2x-21n(x+l)+-^r----—

I1