高中数学概率论与数理统计知识点总结

《概率论与数理统计》复习参考资料

第一章随机事件及其概率

§1.1随机事件

一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件:

二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性：

§1.2概率

A所含样本点数

古典概型公式：P(A)=

Q所含样本点数

实用中经常采用“排列组合”的方法计算

补例1：将n个球随机地放到n个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多

少？解：设A：“每个盒子恰有1个球”。求：P(A)=?

Q所含样本点数：n-n-...-n^nH

A所含样本点数：〃・(〃——2)•…•1="！

补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为

1、2、3的概率各是多少？

解:设Ai："信箱中信的最大封数为i”。(i=1,2,3)求:P(Ai)=?

Q所含样本点数：4.4-4=43=64

A1所含样本点数：4.3-2=24

A2所含样本点数：C3•4-3=36

A3所含样本点数：Cf-4=4

注：由概率定义得出的几个性质：

1、0<P(A]<1

2、P(Q)=1,P(6)=0

§1.3概率的加法法那么

定理：设A、B是互不相容事件(AB=6),那么：

P(AUB)=P(A)+P(B)

推论1：设Al、A2、…、An互不相容，那么

P(Al+A2+...+An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)

推论2：设Al、A2.........An构成完备事件组，那么

P(A1+Az+…+An)—1

推论3：P(A〕=1—PU)

推论4：假设BnA,那么P(B—A)=P(B)—P(A)

推论51广义加法公式)：

对任意两个事件A与B,有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)

补充——对偶律：

§1.4条件概率与乘法法那么

条件概率公式:

P(A/B)=B^(P(B)WO)

P(B/A)=(P(A)WO)

.*.P(AB〕=P(A/B〕P(B)=P(B/A〕P(A)

有时须与P(A+B)=P(A)+P(B〕-P(AB)中的P(AB)联系解题。

全概率与逆概率公式:

全概率公式：

逆概率公式：

〔注意全概率公式和逆概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第

二步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件发生条件下第一步

某事件的概率，就用逆概率公式。）

§1.5独立试验概型

事件的独立性:贝努里公式（n重贝努里试验概率计算公式）:课本P24

另两个解题中常用的结论——

1、定理：有四对事件：A与B、A与6、A与B、A与5,如果其中

有一对相互独立，那么其余三对也相互独立。

2、公式：尸（A1一尸（A

第二章随机变量及其分布

一、关于离散型随机变量的分布问题

1、求分布列：⑴确定各种事件，记为J写成一行；

⑵计算各种事件概率，记为pk写成第二行。得到的表即为所求的分布列。

注意:应符合性质——

1、pk>0（非负性）2、EPk=l（可加性和标准性）

k

补例1：将一颗骰子连掷2次，以4表示两次所得结果之和，试写出旗勺概率

分布。解：。所含样本点数：6X6=36

所求分布列为:

23456789101112

1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36

Pk

用牛：sz加目《干少与、奴：—iu

所求分布列为：2、

4345

分布函数

Pk1/103/106/10

二、关于连续型慨

VxWR,如果随机变量4的分布函数F(x)可写成F(x)=J：O(x)dx,

那么4为连续型。。(*)称概率密度函数。

解题中应该知道的几个关系式：

第三章随机变量数字特征

一、求离散型随机变量J的数学期望EJ=?

数学期望〔均值〕

二、设J为随机变量，f(x)是普通实函数，那么n=f(?也是随机变量，求En

4XiX2・•.Xk

PkpiP2・•.Pk

n=f(Jyiy2・•.yk

以上计算只要求这种离散型的。

补例1：设g的概率分布为：

2

—i012

J2

11133

Pk

5ToToToTo

求：⑴〃=片一1,〃=¥的概率分布；(2)石〃。

解：因为

£

—1012

J2

11133

Pk

5ToToToTo

2

若一-2—101

n12

25

n=12

1014T

所以，所求分布列为：

2

-2—101

Q=4-12

11133

Pk

5ToioToTo

和：

25

口=12114

0T

1i133

Pk5io101010

当n=J—1时，En=E(彳-1)

111333

=—2Xi+(-l)X—+0X—+1X—+-X—

5101010210

=1/4

当nW2时，En=E&2=ix1+ox—+ix—+4XA+21xA

-5101010410

=27/8

三、求J或n的方差Dj=?Dn=?

实用公式耳=石"—炉J

其中，炉4=（石《）2=（»/1

k

Ef^x\pk

k

补例2：

J-202

Pk0.40.30.3

求：EJ和DJ解：Ef=-2X0.4+0X0.3+2X0.3=-0.2

E&2=(—2〕2义0.4+02X0.3+22义0.3=2.8

=石J2—石2J=2.8—（-0.2）2=2.76

第四章几种重要的分布

常用分布的均值与方差（同志们解题必备速查表）

参数

名称概率分布或密度期望方差

范围

二项Pg=k}=C：pkq『kO<P<1

npnpq

分布(k=0,1,2,...,n)q=l—p

0(x)一,一-e2a,

正态・cr口任意

UCT2

分布xe(-oo,+oo).cr,〃为常数.o>0

泊松

不要求X入人>0

分布

指数11

不要求人〉

I¥0

分布

解题中经常需要运用的EJ和DJ的性质（同志们解题必备速查表）

EJ的性质DJ的性质

E(c)=cD(c)=0

若■〃独立，则

若4、〃独立，则

—

E®）=EgEr!

石（若）=c・石4Q（喈）=C?3

第八章参数估计

§8.1估计量的优劣标准（以下可作填空或选择〕

⑴假设总体参数9的估计量为如果对任给的£>0,有

limP{p-e|<£}=i,那么称4是。的一致估计；

n—>（x）

八

⑵如果满足E®=e,那么称夕是。的无偏估计；⑶如果。和区均是0的

无偏估计，假设。©）<。自）,那么称4是比a有效的估计量。

§8.3区间估计：

几个术语一一

1、设总体分布含有一位置参数，假设由样本算得的一个统计量a（x，..，xn）及

a（Xp."X"）,对于给定的afo<a<l）满足：

那么称随机区间囱）是。的100（1—a）%的置信区间，。和女称为，

的100（1—a）%的置信下、上限，百分数100（1—a）%称为置信度。

一、求总体期望（均值）EJ的置信区间

1、总体方差/的类型

①据心得①o（U0）=l—£，反查表（课本P260表〕得临界值U”；

]〃——

②短一♦③求d=U0・展④置信区间U-d,X+d）

〃z=i7n

补简例：设总体X~N（4,0.09）随机取4个样本其观测值为12.6,13.4,12.8,

13.2,求总体均值Li的95%的置信区间。

解:©VI-a=0.95,a=0.05

..•①（Ua）=l一笋.975,反查表得：21.96

一141

②X=—Zx,=—(12.6+13.4+12.8+13.2)=13

4i=i4

o03

③:。=0.3,n=4.-.d=t/a--^=1.96x^=0.29

④所以，总体均值R的a=0.05的置信区间为:

U-d,x+d)=(13—0.29,13+0.29)即(12.71,13.29)

2、总体方差丁未知的类型（这种类型十分重要！务必掌握！！）

①据a和自由度n—1（n为样本容量），查表（课本P262表）得心（”-1）；

2

②确定最=二乙七和$2=--J；（X-X7.）

nz=iw-ltr

v——

③求d=fa（〃-l）,一尸④置信区间（％-d,%+d）

y/n

注：无特别声明，一般可保存小数点后两位，下同。

二、求总体方差b2的置信区间

①据a和自由度n—1（n为样本数），查表得临界值:

片（〃T）和

22

11n-

②确定又=:乙项和/=-7Z（X—毛）2

〃日w-lti

（H-l）52（71-1）52

③上限/a5-1）下限必（…

1---——

22

④置信区间（下限，上限〕

典型例题：

补例1：课本P166之16某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布，对

10个试件作横纹抗压力试验得数据如下（单位：kg/cm2）:

482493457471510

446435418394469

试对该木材横纹抗压力的方差进行区间估计（a=0.04）。

解：①:a=0.04,又n=10,自由度n—1=9

••・查表得，—D=/O2（9）=19.7

2

，〉ST）=/.98（9）=2.53

2

_1ioi

②乂二元二七=—（482+493+...+469）=457.5

110一1

s1=_£（X—再）2=—[（457.5—482）2+（457.5—493尸+...+（457.5—469）2]

99

=1240.28

（"1）.9d9x1240.28

③上限力「（〃一1）二点礼2.53力以06

2

ST）/9s29x1240.28

下限5—1）=XO.O2（9）=—197—=566.63

2

④所以，所求该批木材横纹抗压力的方差的置信区间为（566.63,4412.06）

第九章假设检验

必须熟练掌握一个正态总体假设检验的执行标准

一般思路：

1、提出待检假设Ho

2、选择统计量

3、据检验水平0,确定临界值

4、计算统计量的值

5、作出判断

检验类型⑵:未知方差检验总体期望（均值）口

①根据题设条件，提出Ho：〃二4（4）；

②选择统计量图=乙芳7（〃-1）;

③据a和自由度n—l（n为样本容量），查表（课本P262表）得/。（〃-1）；④

由样本值算出文=?和$=?从而得到叫=工/；

s/yln

⑤作出判断

典型例题：

对一批新的某种液体的存贮罐进行耐裂试验，抽查5个，得到爆破压力的数据

（公斤/寸2）为：545,545,530,550,5450根据经验爆破压认为是服从正

态分布的，而过去该种液体存贮罐的平均爆破压力为549公斤/寸2,问这种新

罐的爆破压与过去有无显著差异？（a=0.05）

解:Ho：〃=549

选择统计量|刀=江若~心-1）

Va-o.05,n-l=4,...查表得：气05（4）=2.776

又,:文二g(545+…+545)=543

S2-[(545-545尸+...+(543-545尸]=57.5

4

X-JLI543-549

=1.77<2.776

s/Jn4513/45

•••接受假设，即认为该批新罐得平均保爆破压与过去的无显著差异。

检验类型⑶:未知期望（均值）U,检验