2022年江苏省东台市高考数学必刷试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.已知椭圆C：1+2=1（。〉。〉0）的左，右焦点分别为4，心，过耳的直线交椭圆C于A,B两点,若

乙钻g=90。，且"工的三边长忸耳却，|明|成等差数列，则C的离心率为（）

A.iB.史C.也D.B

2322

2_1

2.已知函数/（%）=±r二L则不等式/（"'）＞八＞2力的解集是（）

X

A.B.C.（—8,0）D.,+°°^

3.阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数左（左＞0/W1）的点的轨

Ji

迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,3间的距离为2,动点P与4,3的距离之比为注，当P,A,

2

3不共线时，的面积的最大值是（）

A.2&B.夜C.D.—

33

4.已知P为圆C：（x-5）2+/=36上任意一点，A（-5,0）,若线段Q4的垂直平分线交直线PC于点Q,则。点

的轨迹方程为（）

2222

A.土+乙=1B.土-匕=1

916916

222

C.乙=1(x<0)D.-匕=1(x>0)

916916

5.某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（）

A.1B.2C.3D.0

6.已知抛物线C：J=4x,过焦点F的直线/与抛物线C交于4,B两点（A在x轴上方），且满足|人同=3忸耳,

则直线I的斜率为（）

A.1B..

C.2D.3

一.(a1

7.已知sm—+—贝!Isina的值等于（）

(24；

7227

A.——B.--C.—D.-

9999

8.设抛物线C:丁=2px[p>0）的焦点为尸，抛物线C与圆。'：炉+⑶_Gy=3交于M,N两点，若|MN|=娓，则

二又八不的面积为（）

叵R3「3&D.述

A.-------D.L•---------

8884

9.已知集合4={x|x<l},B={x|3T<l))贝!I

A.AB={x|x<0}B.AB=R

C.A.B={x\x>\}D.AB=0

2

10.已知复数2=——,其中i为虚数单位，则忖=（）

1+z

A.下B..6c.2D.V2

11.已知集合M={小=3"eN*},N={中=2”,〃eN*},将集合MuN的所有元素从小到大一次排列构成一

个新数列{%},则C1+C2+C3+…+。35=（）

A.1194B.1695C.311D.1095

12.以A（3,—1）,8（—2,2）为直径的圆的方程是

A.x2y2-x-y-8=0B.x2+y2-x-y-9=0

C.x2+y2+x+^y—8=0D.x2+y2+x+y—9=0

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知/(%)=X+--4Z(。£尺)，若存在%,%2，尤3，3，匕£匕，2］，使得/(%)+/(尤2)+…+/(Z-1)=/区)成立

的最大正整数〃为6,则。的取值范围为.

14.函数〃x)=cos］3x+3在［0,兀］的零点个数为.

15.在平面直角坐标系xOy中，若圆Ci：x2+(j-1)三户(r>0)上存在点P,且点尸关于直线x—y=0的对称点。

在圆。2：(x-2)2+(j-1)2=1上，则r的取值范围是.

16.如图是九位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分为.

778

824468

934

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)在如图所示的多面体中，四边形ABEG是矩形，梯形。GEE为直角梯形，平面DGM，平面ABEG,

且DGLGE,DF//GE,AB=2AG=2DG=2DF=2.

(1)求证：FG工平面BEF.

(2)求二面角A—肝一£的大小.

18.(12分)已知矩形纸片A6C。中，AB=6,AD=12,将矩形纸片的右下角沿线段MN折叠，使矩形的顶点8落

在矩形的边AD上，记该点为E,且折痕MN的两端点M,N分别在边AB,BC上.设NMNB=仇MN=/,AEMN的

面积为S.

(1)将/表示成。的函数，并确定。的取值范围；

(2)求/的最小值及此时sin8的值；

(3)问当。为何值时，AEMN的面积S取得最小值？并求出这个最小值.

19.(12分)已知函数/(x)=|x+a|+|2x-5|(a>0).

(1)当a=2时，解不等式/(尤)25；

(2)当xe[a,2a-2]时，不等式/(x)<|尤+4卜恒成立，求实数。的取值范围.

20.(12分)设函数/(x)=2sin无+|。一3|+|。一1|.

71

(1)若/>6,求实数。的取值范围;

(2)证明：X/xwH,/(x)之|a—3|一工+1恒成立.

a

tanA-tanB_c-b

21.(12分)在AA5C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=4,

tanA+tanBc

(1)求A的余弦值;

(2)求AABC面积的最大值.

22.(10分)对于很多人来说，提前消费的认识首先是源于信用卡，在那个工资不高的年代，信用卡绝对是神器，稍

微大件的东西都是可以选择用信用卡来买，甚至于分期买，然后慢慢还！现在银行贷款也是很风靡的，从房贷到车贷

到一般的现金贷.信用卡“忽如一夜春风来”，遍布了各大小城市的大街小巷.为了解信用卡在4市的使用情况，某调

查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中随机抽取了100人进行抽样分析，得到如下2x2列联表(单

位：人)

经常使用信用卡偶尔或不用信用卡合计

40岁及以下153550

40岁以上203050

合计3565100

(1)根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为4市使用信用卡情况与年龄有关？

(2)①现从所抽取的40岁及以下的网民中，按“经常使用”与“偶尔或不用”这两种类型进行分层抽样抽取10人，然后,

再从这10人中随机选出4人赠送积分，求选出的4人中至少有3人偶尔或不用信用卡的概率；

②将频率视为概率，从A市所有参与调查的40岁以上的网民中随机抽取3人赠送礼品，记其中经常使用信用卡的人

数为X,求随机变量X的分布列、数学期望和方差.

金小八一户n(ad-bc¥

参考公式：K--------------------------，其中〃=Q+b+c+d・

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

参考数据:

pg.kJ0.150.100.050.0250.010

k°2.0722.7063.8415.0246.635

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

根据等差数列的性质设出忸闾，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得忸阊=q=忸周.再利

用勾股定理建立c的关系式，化简后求得离心率.

【详解】

由已知忸闾，|盟|成等差数列，设忸阊=x,|AB|=x+d,|A阊=x+2d.

由于乙钻8=90。，据勾股定理有忸闾2+|AB「=|A闾2,即12+(尤+/)2=(%+2d)2,化简得兀=3〃；

由椭圆定义知ABg的周长为％+x+d+x+2J=3x+3d=12d=4a,有a=3d,所以x=a,所以

忸阊=a=网|；

在直角5凡耳中，由勾股定理，2a2=4°2,••.离心率e=Y2.

-2

故选：C

【点睛】

本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题.

2.B

【解析】

由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可.

【详解】

X2-111

函数/(%)=L_L=%—可得/，⑴=1+三，

XXX

X£(0,+8)时，/\%)>0,“X)单调递增，

•.『>0,e2，T>0，

故不等式/(3r)>/(e2'i)的解集等价于不等式>e2『i的解集.

1—x>2x—1.

2

x<—.

3

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.

3.A

【解析】

根据平面内两定点A,3间的距离为2,动点尸与A,6的距离之比为无，利用直接法求得轨迹，然后利用数形结

2

合求解.

【详解】

如图所示：

_V2

—2'

化简得（％+3丫+/=8,

当点P到AB（x轴）距离最大时，AR4B的面积最大，

；•ARAB面积的最大值是,x2x20=2忘.

2

故选：A.

【点睛】

本题主要考查轨迹的求法和圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

4.B

【解析】

如图所示：连接QA,根据垂直平分线知QA=QP,|。川=6<10,故轨迹为双曲线，计算得到答案.

【详解】

如图所示：连接QA,根据垂直平分线知QA=QP,

故||QCTQA||=||QCHQH|=|Pq=6<10,故轨迹为双曲线,

22

2a=6,<7=3,c=5,故匕=4,故轨迹方程为...-=1.

916

故选：B.

本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.

5.C

【解析】

由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.

【详解】

其中AASC,ABCD,AADC为直角三角形.

该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题.

6.B

【解析】

设直线/的方程为X=阳+1代入抛物线方程，利用韦达定理可得%+%=4m,%%=-4,由|4耳=3忸同可知

AF=所以可得力=-3%代入化简求得参数，即可求得结果.

【详解】

设A（七,yJ,3（%2，%）（%〉。，％〈。）.易知直线/的斜率存在且不为0,设为工，则直线/的方程为x=SV+L

m

与抛物线方程联立得y2=4（殁+1）,所以%为=-4,%+%=4山.因为|A4=3忸耳，所以AP=39，得

%=-3%，所以炙=之，即/=—迪，另=26，所以工

3及3八m%+%

故选:B.

【点睛】

本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标之间的关系，考查计算能力，属于中档题.

7.A

【解析】

2

由余弦公式的二倍角可得，coS（«+j）=l-2sin^|+^^1,再由诱导公式有

cos（6Z+^）=-sin6/,所以sina=-1

【详解】

・・・由余弦公式的二倍角展开式有

cos（a+—）=1-2sin2[―+工]=—

2（24）9

又.cos（6ZH——）=-sma

2

・.7

..sin6Z=——

9

故选：A

【点睛】

本题考查了学生对二倍角公式的应用，要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式，属于简单题

8.B

【解析】

由圆C'过原点，知M,N中有一点M与原点重合，作出图形，由|C'M=|C'N|=G，I肱V|=",得CM工C'N,

7T

从而直线MN倾斜角为一，写出N点坐标，代入抛物线方程求出参数。，可得支点坐标，从而得三角形面积.

4

【详解】

由题意圆C过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为〃，如图，

由于|。M=|。叫=石，|ACV|=n，：.C'M±C'N,：.ZC'MN=^,ZNOx=^,

...点N坐标为(6,g),代入抛物线方程得(G)2=2〃x百，p=今,

MFX

,,/(*，°)，SRFMN^~\\yN=(x*xG=g.

4Z24o

故选：B.

【点睛】

本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点。是其中一个交点，从而AWC是等腰直角三角形，于是可得N

点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解.

9.A

【解析】

•••集合5={x|3、<l}

8={x[%<0}

•.•集合A={x|x<l}

/.AnB={x|x<0),AuB=1%|x<l}

故选A

10.D

【解析】

把已知等式变形，然后利用数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案.

【详解】

22(1-/)

z==

解：T77(i+z)(i-0

则忖=&71=亚

故选：D.

【点睛】

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.

11.D

【解析】

确定｛&｝中前35项里两个数列中的项数，数列｛2”｝中第35项为70,这时可通过比较确定｛3"｝中有多少项可以插入

这35项里面即可得，然后可求和.

【详解】

〃=35时，2x35=70,3"<70,”<3,所以数列｛&｝的前35项和中，俨｝有三项3,9,27,{2〃}有32项,所以

q+Q+G+…+C35=3+9+27+32x2H----——x2=1095.

故选：D.

【点睛】

本题考查数列分组求和，掌握等差数列和等比数列前〃项和公式是解题基础.解题关键是确定数列｛c“｝的前35项中有

多少项是｛2〃｝中的，又有多少项是｛3"｝中的.

12.A

【解析】

设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出,从而求出圆的方程.

【详解】

设圆的标准方程为(X-a)2+(y-b)2=r2,

由题意得圆心6)为A,3的中点,

根据中点坐标公式可得，=3?-2=1g〃=-?1+2=1

2222

又r=3=《+2)2+(T2)j=典,所以圆的标准方程为：

222

(x-1)2+(y-1)2=y,化简整理得%2+y2-x-y-8=0,

所以本题答案为A.

【点睛】

本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1519、J321

13.r——，——)5——，——

81058

【解析】

5f(x).<f(x)

由题意得:mmV；max,分类讨论作出函数图象，求得最值解不等式组即可.

6/(x)min>f(x)max

【详解】

S/OKHmax,

原问题等价于

6/（x）min〉"x）max'

5（2一a）•一〃

通知15,19

则,解得：—V〃<—；

6（2一〃）>^-a810

9

当时'函数图象如图

此时/(X).=0,/(x)=--6Z,

^\/min^\/max[

5x0V—a

2

则解得：6ZG0；

6x0>—a

2

95

当一工〃＜一时，函数图象如图

5x0V〃一2

解得：6ZG0；

6x0>〃一2

此时/(%)=a--,f(x\-a2,

^\/min2,\，max

综上，满足条件。的取值范围为［不，二)u

810

故答案为:[竺，/5土马

81058

【点睛】

本题主要考查了对勾函数的图象与性质，函数的最值求解，存在性问题的求解等，考查了分类讨论，转化与化归的思

想.

14.3

【解析】

7T7T

求出3x+：的范围，再由函数值为零，得到3x+7的取值可得零点个数.

66

【详解】

详解：0<X<7l

乃3乃19乃

.•.—<3x+—<---

666

由题可知3兀+2=2,3兀+工=红，^3x+-=—

626262

er兀4〃47万

解得X=3,一3，或后一

故有3个零点.

【点睛】

本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题.

15.[^-1,72+1]

【解析】

设圆G上存在点尸(xo,jo),则。(jo,xo),分别满足两个圆的方程，列出方程组，转化成两个新圆有公共点求参数

范围.

【详解】

设圆G上存在点尸(xo,jo)满足题意，点P关于直线x-y=0的对称点0(jo,xo),

E靖+(为-1)2=/

则｛22，

〔(为-2)+(%-1)=1

故只需圆好+(j—1)2=/与圆(X—1)2+(y—2)2=1有交点即可，所以卜―1区,(1_0)2+Q_I)2解得

V2-l<r<V2+l.

故答案为：[、历-1,、历+1]

【点睛】

此题考查圆与圆的位置关系，其中涉及点关于直线对称点问题，两个圆有公共点的判定方式.

16.1

【解析】

写出茎叶图对应的所有的数，去掉最高分，最低分，再求平均分.

【详解】

解：所有的数为：77,78,82,84,84,86,88,93,94,共9个数，

去掉最高分，最低分，剩下78,82,84,84,86,88,93,共7个数，

hxz-t八d78+82+84+84+86+88+93

平均分为-------------------------=8o5,

故答案为1.

【点睛】

本题考查茎叶图及平均数的计算，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

27r

17.(1)见解析；(2)y

【解析】

(1)根据面面垂直性质及线面垂直性质，可证明3E，FG；由所给线段关系,结合勾股定理逆定理,可证明EE_LNG,

进而由线面垂直的判定定理证明EG平面5即.

(2)建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面加5和平面EKB的法向量，由空间向量法求得两个平面

夹角的余弦值，结合图形即可求得二面角A-BF-E的大小.

【详解】

(1)证明：•.•平面平面A5EG,且

二班1平面。GEE,

：.BE±FG,

由题意可得尸G=尸石=血，

AFG2+FE2=GE~,

■:FE1FG,且FEcBE=E,

，FG工平面BEF.

（2）如图所示,建立空间直角坐标系，则4（100）,6（1,2,0）,E（0,2,0）,-0,1,1）,==

FE=(O,l,-l).

设平面AFB的法向量是〃=（玉,%,4）,

FAn=0WZ=0^芯=Z]

则=><

FB,n=0^1+J71-21=0J=0

令士=1,n=(1,0,1),

由（1）可知平面跖8的法向量是加=GF=（0,1,1）,

n-m11

cos<n,m>=

|n|-|m|A/2x^/22

27r

由图可知，二面角A—肝—£为钝二面角，所以二面角A—肝—£的大小为

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定，面面垂直及线面垂直的性质应用，空间向量法求二面角的大小，属于中档题.

3兀/八/兀\、G,/的最小值为％8.（3）6=工时，面积S取最小值为

18.⑴/=/D2/3l7?-^-VsinO=

smOcos。[124)326

【解析】

（1）NENM=ZMNB=仇NEMA=2。,利用三角函数定义分别表示A®,MB,ME,AM,且AM+MB=6,即可得到

3

BN=---------<12

sincos

3

/关于。的解析式；BN<12,BM<6M]BM=——<6，即可得到。的范围;

cose

O<0<-

2

（2）由⑴，若求/的最小值即求sin3cos2。的最大值,即可求si/ecos,e的最大值，设为/（。）=5皿2。0^夕,令

X=cos2氏则/⑹=(1—x)]2,即可设g(x)=(1-X)/,利用导函数判断函数的单调性，即可求得g(X)的最大值，进而

求解;

(3)由题,S=—Z2sin6>cos6)=—x----------(工W。V贝[]S2=—x——，~设

22sin0cos30U24「4sin2cos6

[JTJT)

—=a—,利用导函数求得h(t)的最大值，即可求得s的最小值.

【详解】

解：(1)ZENM=ZMNB=0,ZEMA=20,

故NB=/cos0,MB=ME=Isin0,AM=MEcos20=Isin6,cos26).

因为AM+MB=6,所以/sin8cos28+/sine=6,,

63

所以/=

sin8(cos20+1)sin0cos20'

3

BN=——-——<12

sin6cos6

37171

又琥＜12,3加＜6,则＜BM=^-<6，所以",

cos0124

O<0<-

2

37171

所以/=,——<0<—

sin^cos2^1124

(2)记/(e)=sinecos2e,^ve«,,

则/2(6>)=sin26»cos4^,

12+A/3

设x=cos23，xe—，则尸⑻=(1—x)J,

2,4

记g(九)=(1一%)犬2,贝！Igr(x)=2x-3x2,

令,(x)=0,则x=ge,

一12-92+x/s

当2J3时，gK*)>°；当X©了《时,g")<0,

/\12上单调递增，在|，二8

上单调递减,

所以g(x)在-，3

故当x=cos?8=2时/取最小值，此时sine=且，/的最小值为.

332

1991

(3)AE即V的面积S=。/sin6cose=—x八—<e<—\

2sin^cos3^1124)

QI1nn

所以『丁、血词/设

12424

3]_

设丸«)=(1—/)/，则"⑺=3产_4/,令/«)=0/=1e

5'

137f/\32+y/3

所以当，e-，彳4时,〃(/)〉0；当fe时,勿(。<0,

13匕跖、田32+6

所以人(。在-，，;上单调递增，在---上单调递减,

4144

37T

故当f==cos20,^0=-时，面积s取最小值为8A/3

46

【点睛】

本题考查三角函数定义的应用，考查利用导函数求最值，考查运算能力.

Q]3

19.(1){%[%<2或％2^}；(2)(2,-^-].

【解析】

(1)分类讨论去绝对值，得到每段的解集，然后取并集得到答案.(2)先得到。的取值范围，判断％+a,x+4为正,

去掉绝对值，转化为|2x—5|W4—a在2a—2]时恒成立，得至a-4<2x-5<4-a,在2a—2]

恒成立，从而得到。的取值范围.

【详解】

3—3x,x<—2

(1)当a=2时，/(x)=|x+2|+|2x-5|=<7—x,—2«xV—,

2

GC5

5x—3,X>一

2

x<—2

x<—2

由/(九)》5,得<,即<2，%<-2

3—3x25x<——

3

-2<x<-2«%W—

2,即彳2,-2<x<2

7-x>5x<2

5x>一

元〉一28

或2,即:，x>-

3x-3>5x>—、

l13

8

综上：%«2或％2一,

3

Q

所以不等式/(%”5的解集为{x|xV2或x2§}.

(2)/(X)<|A:+4|,/(x)=|x+a|+|2x-5|<|x+4|,

因为xe[a,2a_2],2a-2>a,

所以a>2,

又xe[a,2a—2],x+a>0,x+4>0,

得x+a+12x—5]<x+4.

不等式恒成立，即12x—5区4—a在xe[a,2a—2]时恒成立,

不等式恒成立必须aW4,a-4<2x-5<4-a,

解得a+1W2xW9-a.

2a>a+l

所以

4a-4<9—a'

13

解得

结合2<aW4,

13

所以2<aV,

(13

即a的取值范围为2,二.

【点睛】

本题考查分类讨论解绝对值不等式，含有绝对值的不等式的恒成立问题.属于中档题.

20.(1)(-8,0)1(4收)(2)证明见解析

【解析】

(1)将不等式化为|a-3|+|。-1|>4,利用零点分段法，求得不等式的解集.

(2)将要证明的不等式转化为证VxwH,2sinx»-|a-l|-L+l恒成立，由2sinx的最小值为-2,得到只要证

a

-2>-|a-l|--+l,即证|a-1|+,+122,利用绝对值不等式和基本不等式，证得上式成立.

aa

【详解】

(1)6，2+1a—31+1a—11>6,即|a—3|+|a—1|>4

a-3+a-1>4

当时，不等式化为《。,.\a>4

a>3

(3—a)+(a—1)>4

当l<a<3时，不等式化为〈。，此时〃无解

1<〃<3

(3—6?)+(1—a)>4

当〃时，不等式化为'/V,・・・a<0

a<l

综上，原不等式的解集为(e,0)(4,”)

(2)要证MxeH,/(x)?l。—3|—工+1恒成立

a

即证VxwH,2sinx>—l^z—1|----Fl恒成立

a

■:2s2%的最小值为-2,・••只需证-2>—\a—V\F1即证I6Z—11H----F122

a9a

又|a—l|+，+12a-l+1+l=a+4=|a|+，b2j|a|xr2

aaa\a\\

—1|+,+122成立，.•.原题得证

a

【点睛】

本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识;考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分

类与整合思想.

1仁

21.(1)-；(2)4V3

【解析】

(1)根据正弦定理化简得到sin(A—6)=5皿(人+5)—sinB,故sin5=2sin3cosA,得到答案.

(2)计算be<16,再利用面积公式计算得到答案.

【详解】