2024年中考数学训练-截长补短模型综合应用（专项训练）能力提升（原卷版+解析）

10截长补短模型综合应用（专项训练）

（能力提升）

1.综合与实践

【问题情境】

数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1,在正方形ABCD中，E是的中点，AE

LEP,EP与正方形的外角4DCG的平分线交于尸点.试猜想AE与EP的数量关系，并

加以证明；

【思考尝试】

（1）同学们发现，取的中点R连接所可以解决这个问题.请在图1中补全图形，

解答老师提出的问题.

【实践探究】

（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2,在正方形

中，E为BC边上一动点（点E,2不重合）,是等腰直角三角形，ZAEP

=90°,连接CP,可以求出的大小，请你思考并解答这个问题.

【拓展迁移】

（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3,在

正方形A8C。中，E为BC边上一动点（点E,8不重合），AAEP是等腰直角三角形，

ZA£P=90°,连接。尸.知道正方形的边长时，可以求出尸周长的最小值.当A2

=4时，请你求出周长的最小值.

2.如图，在边长为1的正方形A8CZ)中，点E是边BC上的动点(与点8、C不重合)，

过点。作。F〃AE,交射线BC于点R作尸尸_L8。于点P,连结B4、PE.(1)求证:

△ABE经ADCF；

(2)①判断△APE的形状，并说明理由；

②求理的值；

DF

(3)设PD=y,求y与x的函数关系式.

3.我们定义：如图1,在aABC中，把AC点绕点C顺时针旋转90°得到CA,把8C绕

点C逆时针旋转90°得到CB',连接A'B'.我们称△&'B'C是△ABC的“旋补交

差三角形"，连接AB'、A'B,我们将A3'、A'B所在直线的相交而成的角称之为△

ABC”旋补交差角”，C点到A'B'中点£间的距离成为“旋转中距”.如图1,ZB'

OB即为△A8C“旋补交差角”，CE即为AABC“旋补中距”.

(1)若已知图1中4B的长度等于4,当/AC8=90°,则△ABC“旋补交差角"/B'

OB=—,“旋补中距"CE长度=—；

(2)若图1中NACB的度数发生改变，则△A2C“旋补交差角”度数是否发生改变？请

证明你的结论，并直接判断△ABC“旋补中距”是否也发生改变；

(3)已知图2中B'C是△ABC“旋补交差三角形”，AB的长度等于4,A'B'

长度等于6,问OC是否存在最小值？如果存在，请求出具体的值，如果不存在，请说明

理由.

4.如图，在RtZkABC和RtZkAOE中，AB^AC,AD=AE,ZBAC^ZDAE^90°CAB<

AD),△&£)£绕点A旋转.

(1)如图1,若连接B。，CE,则8。与CE的关系为；

(2)如图2,若连接CDBE,取BE中点孔连接AR探究A尸与CO的关系，并证

明你的结论；

(3)在(2)的条件下，当△ADE旋转到如图3的位置时，点。落在8c延长线上，若

A尸=3,AC=4&，请直接写出线段AE的长.

5.(1)阅读理解：

如图①，在△ABC中，若4B=8,AC=5,求8C边上的中线的取值范围.

可以用如下方法：将△ACD绕着点。逆时针旋转180°得到△班£>,在△ABE中，利用

三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；

(2)问题解决：

如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，OE_L。/于点。，DE交AB于点E,DF交

AC于点R连接ER求证：BE+CF>EF；

(3)问题拓展：

如图③，在四边形ABC。中，ZB+ZZ>=180°,CB=CD,ZBCD=100°,以C为顶

点作一个50。的角，角的两边分别交42、于£、下两点，连接ER探索线段BE,

DF,£尸之间的数量关系，并说明理由.

图②图③

6.阅读下面材料：

小军遇到这样一个问题：如图1,△ABC中，AB=6,AC=4,点。为的中点，求

的取值范围.

小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题.他的做法是：如图2,延长A。

到E,DE=AD,连接BE,构造△BEZ运△CAD,经过推理和计算使问题得到解决.

请回答：A。的取值范围是.

参考小军思考问题的方法，解决问题：

如图3,442。中,£为42中点，尸是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC于点D求

证：PA-CD=PC'BD.

7.【阅读理解】

截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边上截取一条

线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解

决问题.

（1）如图1,△ABC是等边三角形，点。是边BC下方一点，NBOC=120°,探索线

段D4、DB、OC之间的数量关系.

解题思路：延长DC到点E,使CE=BD,连接AE,根据/晟4。+/8£^=180°,可证

NACE易证得△A2D0ZXACE,得出△?1£）£是等边三角形，所以AO=DE,从

而探寻线段。A、DB、。。之间的数量关系.

根据上述解题思路，请直接写出ZM、DB,0c之间的数量关系是；

【拓展延伸】

（2）如图2,在Rtz^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC.若点。是边BC下方一点，Z

BDC=90°,探索线段。4、DB、。。之间的数量关系，并说明理由；

【知识应用】

（3）如图3,两块斜边长都为14c7九的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板

的直角顶点之间的距离PQ的长为cm.

8.截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策

略.截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两

条短边拼合到一起，从而解决问题.

(1)如图1,ZVIBC是等边三角形，点。是边8C下方一点，ZBDC=120°,探索线

段ZM、DB、0c之间的数量关系.

解题思路：延长。C到点E,CE=BD,根据N3AC+/BOC=180°,可证乙48。=/

ACE,易证得出△AOE是等边三角形，所以从而解决问题.

根据上述解题思路，三条线段ZM、DB、OC之间的等量关系是；(直接写出结果)

(2)如图2,Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC.点。是边8C下方一点，ZBDC

=90°,探索三条线段DA、DB、0c之间的等量关系，并证明你的结论.

10截长补短模型综合应用（专项训练）

（能力提升）

1.综合与实践

【问题情境】

数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1,在正方形ABC。中，E是的中点，AE

±EP,EP与正方形的外角/。CG的平分线交于尸点.试猜想AE与"的数量关系，并

加以证明；

【思考尝试】

（1）同学们发现，取的中点R连接EF可以解决这个问题.请在图1中补全图形，

解答老师提出的问题.

【实践探究】

（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2,在正方形

ABCD中，E为BC边上一动点、（点E,8不重合）,△AEP是等腰直角三角形，ZAEP

=90°,连接CP,可以求出/QC尸的大小，请你思考并解答这个问题.

【拓展迁移】

（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3,在

正方形ABC。中，E为BC边上一动点（点E,B不重合），△AEP是等腰直角三角形，

ZA£P=90°,连接。尸.知道正方形的边长时，可以求出尸周长的最小值.当A8

=4时，请你求出△ADP周长的最小值.

【解答】解：（1）AE=EP,

理由如下：取A3的中点R连接ER

图I

・・•/、E分别为A3、BC的中点，

:・AF=BF=BE=CE,

：.ZBFE=45°,

/.ZAFE=135°,

•・・。尸平分/。。6,

AZZ)CP=45°,

/.ZECP=135°,

・・・ZAFE=/ECP,

\9AE±PE,

：.ZAEP=90°,

AZAEB+ZPEC=90°,

VZAEB+ZBAE=90°,

：.ZPEC=ZBAE9

：.AAFE^AECP(ASA),

：.AE=EP；

(2)在A3上取AF=EC,连接EF,

图2

由(1)同理可得NCE尸

\9AF=EC,AE=EP,

:•△FAEEMEP(SAS),

・•・ZECP=NAFE,

a：AF=EC,AB=BC,

:・BF=BE,

：.ZBEF=ZBFE=45

：.ZAFE=135

AZ£CP=135°,

ZDCP=45Q,

(3)连接CP,作OG_LCP,交BC的延长线于G,交CP于O,连接AG,

图3

由(2)知，ZDCP=45°,

AZCDG=45°,

/.ADCG是等腰直角三角形，

点、D与G关于CP对称，

：.AP+DP的最小值为AG的长,

VAB=4,

：.BG=S,

由勾股定理得AG=782+42=4泥，

△A£)P周长的最小值为A〃+AG=4+4代.

2.如图，在边长为1的正方形ABC。中，点E是边BC上的动点(与点8、C不重合)，

过点D作。/〃AE,交射线2C于点R作尸尸，2。于点P,连结必、PE.(1)求证:

△ABE乌ADCF；

(2)①判断△入2£的形状，并说明理由；

②求理的值；

DF

(3)设PD=y,求y与x的函数关系式.

【解答】(1)证明：•••四边形ABC。是正方形,

：.ZBCD=ZABE=90°,AB=DC,

：.ZDCF=1SO°-ZBCD=90°,

：.NABE=/DCF,

*：DF//AE,

：./AEB=/DFC,

在△ABE和△0Cb中，

:.△ABE<LDCF(A4S)；

(2)解：①△人「£是等腰直角三角形.理由如下：

如图，连接CP,

丁四边形ABC。是正方形，

AZABD=ZCBD=45°,AB=BC,

,:BP=BP,

:.4ABP<LCBP(SAS),

：.PA=PC,NAPB=NCPB,

'：FP.LBD,NPBF=45°,

APBF是等腰直角三角形，

：.PB=PF,ZPFB=ZPBF=45°,

AABE^ADCF,

：.BE=CF,

:ABEP<MFCP(SAS),

：.PE=PC,NBPE=NFPC,

：.PA=PE,ZAPE=ZAPB+ZBPE=ZBPC+ZFPC=ZBPF=90°,

AAP£是等腰直角三角形；

②•；△APE是等腰直角三角形，

.PE_V2

••-----,

AE2

,/AABE沿LDCF,

；.AE=DF,

•PEPEV2.

"DFAE

(3)设8E=x,PD=y,贝[]BF=x+l,

,/APBF是等腰直角三角形，

：.PB=-±±-(x+1),

2

,:BD=®

・•・y=M-"(x+1)，

2

即y=-亚x+亚(0<x<l).

22

3.我们定义：如图1,在△ABC中，把AC点绕点C顺时针旋转90°得到CA,把8C绕

点C逆时针旋转90°得至IJC3',连接A'B'.我们称△?!'B'C是△A3C的“旋补交

差三角形"，连接AB'、NB,我们将4夕、A'8所在直线的相交而成的角称之为△

ABC“旋补交差角”，C点到A'B,中点E间的距离成为“旋转中距”.如图1,ZB'

OB即为△A8C“旋补交差角”，CE即为AABC“旋补中距”.

(1)若已知图1中AB的长度等于4,当NACB=90°,则△ABC“旋补交差角”/皮

OB=90°“旋补中距"CE长度=2；

(2)若图1中NACB的度数发生改变，则△ABC“旋补交差角”度数是否发生改变？请

证明你的结论，并直接判断△ABC“旋补中距”是否也发生改变；

(3)已知图2中B'C是△ABC“旋补交差三角形”，AB的长度等于4,A'B'

长度等于6,问OC是否存在最小值？如果存在，请求出具体的值，如果不存在，请说明

理由.

【解答】解：(1)如图1,

图1

\,把AC点绕点C顺时针旋转90°得至UCA,把BC绕点C逆时针旋转90°得到CB',

.•./ACA'=90°=/BCB;AC=AC,BC=B'C,

VZACB=90°,

：.ZA'CB'=ZACB=90°,ZACB+ZACA'=180",ZACB+ZBCB'=180°,

.•.点A,点C,点8共线，点8,点C,点A共线，

：.AB'.A'8的交点。与点C重合，

...△ABC“旋补交差角"NB'08=90°,

'：AC=A'C,ZA'CB'=ZACB=90°,BC=B'C,

：./\ACB^/\A'CB'(SAS),

：.AB=A'B'=4,

•.,点E是的中点，ZA'CB'=9Q°,

：.CE=2,

故答案为：90°,2；

(2)AABC“旋补交差角”度数不变，AABC“旋补中距”长度不变，理由如下：

:把AC点绕点C顺时针旋转90°得到CA,把BC绕点C逆时针旋转90°得到CB',

.•.NAC/r=90°=ZBCB',AC=A'C,BC=B'C,

：.ZACB'=ZBCA',

在△ACM和△ACB中，

‘AC=A'C

-ZACB7=ZAZCB，

B'C=BC

/.AACB'^AA'CB(SAS),

J.ZCAB'^ZCA'B,

.,.点A,点A,点C,点。四点共圆，

ZAG4'=ZAOA'=90°=ZBOB',

如图2,延长CE至R使CE=EF,连接ARB'F,

,:CE=EF,A'E=B'E,

四边形ACB下是平行四边形，

/.ZA'CB'+ZM'C=180°,A'F=B'C,

'：ZA'CB'+ZACB^360°-ZA'CA-ZB'CB=180°,

ZACB=ZCA'F,

又：AC=AC,A'F^B'C^BC,

：.AACB^ACA'F(SAS),

：.AB=CF=4,

：.CE=2；

(3)0c存在最小值，最小值为1,理由如下：

如图3,取中点E,连接CE,CO,EO,

A

B

图3

「△A'B'C是△ABC“旋补交差三角形”，

/.ZBOB'^90°,CE=^AB=2,

2

,点E是AE中点，ZA'OB'=90°,

：.OE=^A'B'=3,

2

在△OCE中，OC>OE-CE,

当点C在线段OE上时，0c有最小值为OE-CE=1.

4.如图，在RtzXABC和RtZXADE中，AB^AC,AD=AE,ZBAC^ZDAE^90°CAB<

AD),△&£)£绕点A旋转.

(1)如图1,若连接BO,CE,则与CE的关系为BD=CE,BDLCE；

(2)如图2,若连接CD,BE,取BE中点R连接AR探究AF与CD的关系，并证

明你的结论；

(3)在(2)的条件下，当△ADE旋转到如图3的位置时，点。落在BC延长线上，若

AP=3,AC=4加，请直接写出线段AE的长.

【解答】解：(1)BD=CE,BDLCE,理由如下:

如图1,设CE与3。交于点O,

'：ZBAC=ZDAE=90a,

ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,

即NA4D=NCAE,

VAB=AC,AD=AE,

：./\BAD^/\CAE(SAS),

:・BD=EC,ZABD=ZACE,

VZABD+ZCBD+ZACB=90°,

AZCBD+ZACB+ZACE=90°,

/.ZBOC=90°,

：.BD±CE,

故答案为：BD=CE,BD±CE；

(2)AF=^CD,AF±CD,理由如下：

2

如图2,延长必交OC于点G,延长A尸到点H,使尸H=刚，连接口/,

・・•尸是中点,

；・FE=FB,

又•：/EFH=/BFA,

：.AEFH^ABFA(SAS),

:・HE=AB,NHEB=NEBA,

：.HE//AB,

：.ZHEA+ZBAE=ISO°,

VAB=AC,

:.HE=AC,

VZBAC=ZDAE=90°,

：.ZCAD+ZBAE=180°,

:・/HEA=/CAD,

又・：AD=AE,

•••△HE42△C4。(SAS),

：.AH=CDfZEAH=ZADCf

■:FH=FA,

：.AF=^AH=^-CD,

22

VZDAE=90°,

：.ZEAH+ZDAG=90°,

AZADC+ZDAG=90°,

/.ZAGD=90°,

J.AGLCD,

BPAF±C£＞；

(3)如图3,过点A作ANLBC于N,

由(2)可知，CO=2AF=6,

•；AB=AC=4&,ZBAC=90°,AN±BC,

:.BC=\[^AB=8,AN=4BC=BN=CN=4,

:.DN=CD+CN=V),

-AD=VAN2+DN2="+]02=2^29)

图3

图I

5.(1)阅读理解：

如图①，在△ABC中，若A2=8,AC=5,求BC边上的中线的取值范围.

可以用如下方法：将△ACD绕着点。逆时针旋转180°得到△班£>,在△ABE中，利用

三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是」;

(2)问题解决：

如图②，在△ABC中，。是BC边上的中点，DE_L。尸于点。，DE交AB于点E,DF交

AC于点/，连接EP,求证：BE+CF>EF；

(3)问题拓展:

如图③，在四边形A8CD中，ZJB+ZD=180°,CB=CD,ZBC£)=100°,以C为顶

点作一个50。的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点、,连接EF,探索线段BE,

DF,EF之间的数量关系，并说明理由.

【解答】(1)解：如图①，将△ACD绕着点。逆时针旋转180°得到△EBD,则△AC。

qAEBD,

J.AD^DE,BE=AC=5,

在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE,即3VAec13,

故答案为：1.5<AE<6.5；

(2)证明：如图②，延长FD至N,使DN=DF,连接BN、EN,

在△尸QC和中，

/\FDC^/\NDB(SAS)

：.BN=FC,

,:DF=DN,DELDF,

:.EF=EN,

在△EBN中，BE+BN>EN,

：.BE+CF>EF；

(3)解：BE+DF=EF,

理由如下：如图③，延长A3至点X,使BH=D尸,连接CW,

VZABC+ZD=180°,ZHBC+ZABC=180°,

ZHBC=ZD,

在△HBC和△FDC中，

'DF=BH

-ZD=ZCBH>

CD=CB

/./\HBC^/\FDC(SAS)

:.CH=CF,ZHCB^ZFCD,

'：ZBCD=WO°,ZECF=50°,

:.NBCE+/FCD=50°,

：.ZECH=50Q=ZECF,

在和中，

/.AHCE^AFCE(SAS)

：.EH=EF,

：.BE+DF=EF.

图②

6.阅读下面材料：

小军遇到这样一个问题：如图1,2XABC中，AB=6,AC=4,点。为8c的中点，求

的取值范围.

小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题.他的做法是：如图2,延长A。

到E,DE=AD,连接8E,构造△8项理△CAZ),经过推理和计算使问题得到解决.

请回答：A。的取值范围是.

参考小军思考问题的方法，解决问题：

如图3,△ABC中，E为AB中点，尸是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC于点D.求

证：m•CD=PC，BD.

【解答】解：(1)1<AD<5,

延长AO到E,使DE=AD,连接BE,

在△AC。与△EBD中，，

:ABDEmACDA,

：.BE=AC,

：.2<AE<10,

：.1<AD<5；

(2)证明：延长P£>至点R使EF=PE,连接BR

:BE=AE,ZBEF=ZAEP,

在△BEF与中，，

ABEFm/\AEP,

：.ZAPE=ZF,BF=PA,

又,：NBDF=/CDP,

：.丛BDFs丛CDP,

.BF=BD

"'PCCD，

.PA=BD

"PCCD"

即PA-CD=PC-BD.

7.【阅读理解】

截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边上截取一条

线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解

决问题.

(1)如图1,△ABC是等边三角形，点。是边BC下方一点，ZBZ)C=120°,探索线

段D4、DB、。。之间的数量关系.

解题思路：延长。C到点E,使CE=B。，连接AE,根据/£/^7+/引乂:=180°,可证

NACE易证得△ACE,得出△>!£)£是等边三角形，所以A£>=OE,从

而探寻线段ZM、DB、。。之间的数量关系.

根据上述解题思路，请直接写出ZM、DB,0c之间的数量关系是；

【拓展延伸】

(2)如图2,在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC.若点。是边BC下方一点，Z

BDC=90：探索线段D4、DB、0c之间的数量关系，并说明理由；

【知识应用】

(3)如图3,两块斜边长都为14cH7的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板

的直角顶点之间的距离PQ的长为cm.

图1图2图3

【解答】解：(1)如图1,延长OC到点E,使CE=BD,连接AE,

图1

AABC是等边三角形，

：.AB=AC,ZBAC=60°,

VZBDC=120°,

ZABD+ZACD=180°,

又,

：.ZABD=ZACE,

：.AABD^AACE(SAS),

：.AD=AE,ZBAD=ZCAE,

VZABC=60°,即/BAD+ND4c=60°,

AZDAC+ZCAE=60°,即NZME=60°,

△ADE是等边三角形，

DA=DE=DC+CE=DC+DB,即ZM=DC+DB,

故答案为：DA=DC+DB；

(2)近DA=DB+DC,

如图2,延长。C到点E,使CE=BD,连接AE,

9：ZBAC=90°,/BDC=90°,

/.ZABD+ZACD=180°,

VZACE+ZACD=180°,

JZABD=ZACE,

VAB=AC,CE=BD,

：.AABD^AACE,

：.AD=AE,ZBAD=ZCAEf

：.ZDAE=ZBAC=90°,

：.DA1+A