2024年高考数学三轮复习：抽象函数与函数性质的综合模型 （含解析）

模型1抽象函数与函数性质的综合

问题背景解决方法

【问题背景】函数是高中数学的重中之重，而函数的性质是高考的重点、热点也是难

点.抽象函数由于表现形式的抽象性使得这部分内容的难度更加增大.这部分题型多样，

难度中等.常考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.抽象函数学习是一个难点，但抽象

函数平时考试或在高考中考察较多，故有必要对其进行归纳总结，以便揭开其“神秘面

纱”，使得对其学习不再困难.

【解决方法】

典例分析融会贯通

【典例1]（23-24高三上•山东德州•期末）（多选）已知函数/⑺及其导函数/（X）的定

义域均为R,记g（无）=-。）.若y=f（2x+l）-2x与g（尤+2）均为偶函数，则下列说法正

确的是（）

A.1g（l）=l

B.函数y=&❷的图象关于点（0,1）对称

X

C.函数g（x）的周期为2

2024

D.£[g（氏）一1][。+1）+1]=0

k=l

【套用模型】

第一步：整体审题，翻译信息，结合选项具体情况，确定大致解题思路.

根据函数的奇偶性得到关于g(x)的表达式，代值判断Af根据奇偶性判断函数图象的

对称性，判断Bf研究函数g(x)的周期性，判断Cf根据D中式子结构的特征知也与

周期性有关.

第二步：联系函数性质进行运算.函数的导电性、奇偶性等.

对于A,若y=/(2元+1)-2彳为偶函数，则y=f(2尤+1)-2元的图象关于直线》=0对称，

将其图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，可得y=/(x+D-x的

图象关于直线x=0对称，即y=f(x+D—无为偶函数，所以/(元+1)—x=/(—尤+1)+尤，

贝iW+l)=f(-x+l)+2x.

【快速分析】也可以直接用x代换2x,直接得y=〃x+l)-x为偶函数

所以/'(x+l)=_/'(-x+l)+2,即g(x+l)=_g(_x+l)+2,令》=0,得g(l)=_g6+2,

所以g(D=l,故A正确.

对于B,由f(x+l)=f(-x+l)+2x可得，当XHO时，Z(£±1)=/(Z£±1)+2)

XX

即+/(T+D=2,令Mx)="x+D,贝uh(-x)=/(~X+1),所以//(%)+K-X)=2,

x-xx-x

所以函数y=用±D的图象关于点(0,1)对称，故B正确.

X

对于C,因为g(x+2)为偶函数，所以g(x+2)=g(-x+2),

又g(尤+1)=-g(-x+1)+2,所以g(尤+2)=g[(x+1)+1]=-g[-(尤+1)+1]+2=-g(-x)+2,

贝I]g(x+4)=g[(x+2)+2]=g[-(x+2)+2]=g(-x),所以g(x+2)+g(x+4)=2,

即g(x)+g(x+2)=2,贝I]g(x+4)=2-g(x+2)=2—[2-g(x)]=g(x),

所以函数g。)的周期为4,故C不正确.

对于D,函数g(x)的周期为4,则函数丁=8(左)名(左+1)的周期也为4.

由g(x)+g(x+2)=2,可得g(l)+8⑶=2,g(2)+g(4)=2,

202420242024

则E[g%)g(左+1)]-£g(左+1)+£g(幻一2024

k=lk=lk=l

2024

=S[g*)g(k+D]-g(2025)+g(1)-2024

k=\

2024

=E(左+DI-g(506x4+l)+g(l)-2024

k=\

2024

=2[g(%)g(A+1)>2024

2=1

=506x[g(l)g(2)+g(2)g(3)+g(3)g(4)+g(4)g(5)]-2024

=506x[g(2)+g(4)][g⑴+g⑶]-2024=0

故D正确.

第三步：得到结论.

故选ABD.

试卷第2页，共6页

【典例2】(2024湖南长沙一中9月开学考试)已知定义在R上的奇函数/⑺满足

/(4+%)+/(-%)=0,若"2)=4,则曲线y=/(x)在点(-6/(-6))处的切线方程为

【套用模型】

第一步：整体审题，翻译信息，已知函数奇偶性可联想他们的定义.

/(X)为奇函数f/(x)=-/(-x)-因为7(4+x)+/(-X)=0,所以/(4+x)=/(x).

第二步：联系函数性质进行运算.

故是以4为周期的周期函数.

将x=-2代入/(4+x)+/(-x)=0,则/(2)+/(2)=2f(2)=0,即/⑵=0,则

/(-6)=/(2)=0.

对/(4+x)=/(%)求导得7(4+x)=f\x),

故/'(x)是以4为周期的周期函数,则尸(-6)=是⑵=4,

即切点坐标为(Y,0),切线斜率％=4,

故所求切线方程为y-0=4(元+6).

第三步：得到结论

所以y=4x+24

【典例3](22-23高三下•福建泉州•二模)已知/⑺是定义在R上的偶函数，/'(尤)是

〃力的导函数，当尤20时，/'(x)-2x>0,且/(1)=3,贝的解集是()

A.(-1,0)<J(1,+CO)B.(-8,-l)5L+℃)

C.(-l,0)(0,1)D.(-8,7)50,1)

【套用模型】

第一步：整体审题，翻译信息，已知函数奇偶性可联想他们的定义，构造新

函数.

了⑺是定义在R上的偶函数一/(-元)=/(-X).要研究“X)>/+2的解集，可考虑移项并

构造函数g(x)=/(x)-x2.

第二步：联系函数性质进行运算.

则g(-x)=f(-x)-(-X)2=/(x)-X2=g(x),所以函数g(x)也是偶函数.

g'(x)=f'(x)-2x,因为当xNO时,f'(x)-2x>0,gpg'(x)=f'(x)-2x>0,

所以函数g(x)在(0,+s)上单调递增,不等式/。)>/+2,即不等式g(x)>2.

由/(1)=3得g⑴=2,所以g(x)>g⑴，所以|x|>l,解得x>l或x<-l.

第三步：得到结论

故选B.

号模型演练

一、单选题

（2024.内蒙古赤峰•一模）

1.已知/＞（X）是定义在R上的偶函数，且周期T=6.若当了目-3,0］时，/（x）=4-\则

/(2024)=()

A.4B.16C.—D.—

164

(2024•山东烟台•一模)

2.已知定义在R上的奇函数/(无)满足/(2-x)=f(x),当0<x<l时，/(x)=2x-l,则

f(log212)=()

A.--B.--C.-D.!

3432

(2024•辽宁•一模)

3.己知函数/(x+2)为偶函数，且当92时，/(力=1吗(/一4彳+7)，若&7)>/(力，

7

则()

A.(a+。—4)(〃—6)<0B.(a+b—4)(〃—6)>0

C.(a+b+4)(a-Z?)<0D.(a+b+4)(a-Z?)>0

(2024•黑龙江•二模)

4.已知定义在R上的奇函数满足〃x+2)+〃x)=0,则以下说法错误的是()

A.〃。)=0B.是周期函数

C./（2024）=1D./（1）+/（3）=/（4）

（2024・湖南邵阳•二模）

5.已知函数〃x）的定义域为RJ'（x）为的导函数.若/⑴=e,且f（x）+ex＜/（x）

在R上恒成立，则不等式＜（2r）e*的解集为（）

A.（-oo,2）B.（2,+oo）

C.（-℃,1）D.（l,+oo）

试卷第4页，共6页

(2024•陕西西安•一模)

1

6.已知函数为偶函数，满足〃彳+2)=-

7R且一2«了《0时，/(无)=—2,

若关于X的方程/(x)-log“(x+l)=0至少有两解，则。的取值范围为().

A.UB.(0,；33,+°0)C.[3,+co)D.：,3

二、多选题

(23-24高三下•河南•阶段练习)

7.已知非常数函数“X)的定义域为R,且〃x)/(y)=/(孙)+程(x+y),则()

A.f(0)=0B.*1)=-2或"1)=1

C.工区是｛x|xeR且XR0｝上的增函数D.是R上的增函数

(2024•吉林白山•二模)

8.已知函数〃x)的定义域为R,其图象关于(1,2)中心对称，若小)一；(4尤)=2一x,

则()

A./(2-3x)+/(3x)=4B./(x)=f(x-4)

20

C.〃2025)=T046D.±/(i)=-340

i=\

(2024•湖南邵阳•二模)

9.已知函数在R上可导，且〃尤)的导函数为g(x).若〃x)=4-〃x+2),g(2x-1)

为奇函数，则下列说法正确的有()

A.g(l)=0B."2)=0

2024

c.〃2)=〃8)D.£%)=4048

Z=1

(2024•山东聊城•一模)

10.设/(x)是定义在R上的可导函数，其导数为g(x),若/(3x+l)是奇函数，且对于

任意的xeR,/(4T)=〃X),则对于任意的女eZ,下列说法正确的是()

A.公都是g(x)的周期B.曲线y=g(x)关于点(2%,0)对称

C.曲线y=g(x)关于直线x=2%+l对称D.g(x+4Z)都是偶函数

三、填空题

(2024•陕西西安•二模)

11.已知函数，(x)满足/'(尤+y)=/(x)+“y)+2移，C则/(100)=..

（2024.山东淄博・一模）

12.已知定义在R上的函数〃x）,/'（X）为了⑺的导函数，/（x）定义域也是R,7（无）满

2024

^/（x+1012）-/（1013-x）=4x-2,则V（i）=.

1=1

（2024.宁夏银川.一模）

13.已知/（X+1）是偶函数，f（x）在［1,+8）上单调递增，/（0）=0,则不等式

（x+l）/（x）＞0的解集为.

（2024•全国.模拟预测）

14.已知〃可是定义在R上的函数，且是奇函数，〃x）-2x是偶函数.设

/(x),0<x<2

g(x)=若g（%）=M。（根＜1）在［。闵（左£N*）内恰有2〃（〃£N*）个实

-2g(x-2),x>2

数根，且这2〃个实数根之和为380,则%的最小值为

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.B

【分析】由函数的奇偶性和周期性求解即可.

【详解】因为/(2024)=/(6x337+2)=/(2)=/(-2)=价=16.

故选：B.

2.A

【分析】根据给定条件，探讨函数/(X)的周期，再利用对数函数单调性及指对数运算计算即

得.

【详解】在R上的奇函数"X)满足/(2-x)=/(x),则洋解=f(x—2),

于是f(x)=-/(尤一2)=-［-f(x—4)］=f(x-4),即函数/(%)的周期为4,

x

而8<12<16,贝！］3<log212<4,-1<log212-4<0,又当OVxVl时，f(x)=2-l,

1O82

所以加鸣12)=/(logJ2-4)=/(log2|)=-/(log2$=-(2^-1)=-1.

故选：A

3.A

【分析】由题意判断了(x)的图象关于直线x=2对称，结合当x»2时的函数解析式，判断其

单调性，即可判断〃幻在直线x=2两侧的增减，从而结合〃。)>“力,可得-2Kg-2|,

化简，即得答案.

【详解】因为函数/。+2)为偶函数，故其图象关于y轴对称，则〃尤)的图象关于直线x=2对

称，

当天22时，/(x)=logj(/-4元+7),因为,=尤2一4了+7在［2,+8)上单调递增且了27,

7

而y=log：在(0,+8)上单调递减，故〃X)在［2,+8)上单调递减，

则在(-8,2］上单调递增，

故由可得I"2|v|b—2|,即|々-212Vl2『,

贝a?-4Q+4</—4/?+4,故(a+人-4)(a—。)<。，

故选：A

4.C

【分析】借助题目条件可得函数的周期性，结合奇函数性质与函数的周期性逐项判断即可得.

答案第1页，共8页

【详解】对A：由为定义在R上的奇函数，故/(0)=-〃0),即"0)=0,故A正确;

对B：由/a+2)+〃x)=0,贝iJ/(x+4)+/(x+2)=0,即有〃x)=/(x+4),

故/(x)是以4为周期的周期函数，故B正确；

对C：由2024=4x506,/(2024)=/(0)=0,故C错误;

对D：由〃x+2)+〃x)=0,故〃3)+〃1)=0,X/(4)=/(0)=0,

故〃1)+〃3)=〃4),故D正确.

故选：C.

5.D

【分析】设g(x)=，Lx,利用导数求得g(x)在R上单调递减，把不等式转化为

g(x)<g⑴,即可求解.

【详解】设函数g(X)=与+x,可得g'(x)=。(小；/(a/+1=0("(x)+e'<。,

所以函数g(x)在R上单调递减，

由f(x)<(2—x)e，,可得/(x)+Jte'<2e*,即/学+x<2='⑴+1，

exe

可得g(x)<g(l),所以无>1,即不等式〃x)<(2-x)e，的解集为(1,他)).

故选：D.

6.C

【分析】根据函数的对称性与周期性，数形结合可得函数交点情况，进而确定方程解的情况.

【详解】由已矢口7(x+2)=—六,则/("=一7^?贝lJ/(x+2)=/(x-2),

可知函数/(x)为周期函数，最小正周期7=4,

又当-2WxW0时，/(x)=I-2,

可知函数“X)的图象如图所示，且“X)的值域为[T1],

关于x的方程/(x)-log“(x+l)=0至少有两解，

可得函数y=/(x)与函数y=log0(x+l)的图象至少有两个交点,

答案第2页，共8页

如图所示,

当a>l时，log“(2+l)Wl=log“a,解得即ae[3,+e),

综上所述济]。，!u[3,+o>),

故选：C.

7.AC

【分析】A.令y=o判断；B.令g(x)=W，/O,分别令x=y=-i,x=y=l判断；CD.

由g(x)=?,xwO,令y=l判断.

【详解】解：在f(x)/(y)=/(孙)+孙(x+y)中,

令y=0,得〃o)/■(»=/⑼，gpVxeR,/(O)[/(x)-l]=O.

因为函数“X)为非常数函数，所以〃。)=。，A正确.

令g(x)=/^,xwo,则g(x)g(y)=g(M+x+y.

令x=y=T,贝!J[g(_l)f=g(l)—2,①

令x=y=l,贝!][g⑴]2=g(l)+2,②

由①②，解得g(l)=2,g(—l)=0,从而/(1)=2,B错误.

令y=l,贝|Jg(x)g⑴=g(x)+x+l,即g(x)=x+l,

因为，(。)=。，所以/(x)=x(x+l),所以C正确，D错误.

故选：AC

8.ACD

【分析】根据对称性即可判断A,根据"1)=2,〃3)=-2,7'(-!)=6的值即可排除B,

答案第3页，共8页

根据/(x+Q—"%)=-8可求解C,根据/(D+/(2)+/(3)+/(4)=-4,即可求解D.

【详解】因为的图象关于(1,2)中心对称，则/(2r)+/(x)=4,故A正确；

由〃x)—j(4r)=2_x,可得x)=8—4x,贝|“2—x)-/(2+x)=4x,取x=l

#/(1)-/(3)=4,

在〃2-耳+〃耳=4中取片1可得〃1)=2,则〃3)=-2,

由〃一1)+〃3)=4,得/•(—1)=6#/(3),故B错误；

由/(2r)-/(2+x)=4x,得4-〃x)-〃2+x)=4x,

/(X)+/(X+2)=4-4A：(1).,./(X+2)+/(X+4)=^I--4X(2),

②-①得〃x+4)-〃x)=-8,又

2025=1+4x506,.-./(2025)=/(l)-8x506=2-8x506=-4046,故C正确；

又由①/(2)+/(4)=-4,•"⑴+f(2)+/(3)+/(4)=-4,

205x4

=-4x5+—x(-32)=-340,故D正确.

/=12

故选：ACD.

9.ACD

【分析】根据已知条件可得y=/(x)的周期，由g(2x-i)为奇函数可得g(x)的对称性，利

用导数公式及函数的周期性、对称性可判断各选项.

【详解】对于D,由〃x)+〃x+2)=4,所以〃x+2)+/(x+4)=4,即〃x)=〃x+4),

所以y=〃x)的周期为4,

且/(l)+/(2)+/(3)+/(4)=mi)+〃3)]+"(2)+/(4)]=8,

20244

所以Z/⑴=506S/⑴=4048，故D正确；

i=li=l

对于A,由g(2x-1)为奇函数知g(尤)关于(-1,0)对称,所以g(—1)=0,

由〃x)+〃x+2)=4得/(力+/"+2)=0,即g(x)+g(x+2)=0,

故g(x)的周期为4且g(-l)+g(l)=O,可得g(l)=O,故A正确；

答案第4页，共8页

对于BC,由上知g(x)的周期为4且g(x)关于(-1,0)对称,所以g(x)关于(3,0)对称,

则有g(x)+g(6-x)=0,gpf'(x)+f(6-x)=0,所以/(x)—/(6—x)=c,

令x=3,得c=0,故〃x)—〃6—x)=0,所以/(x)关于x=3对称，

又〃2)+〃4)=4,所以〃2)=〃4)=2,故B错误；

又〃4)=〃8),所以/(2)=/(8),故C正确.

故选：ACD.

【点睛】本题关键是利用函数的周期性和对称性，结合函数的导数即可判断各选项.

10.BC

【分析】结合题意，借助导数的运算可判断函数的对称性，借助赋值法，可得函数的周期性,

利用所得函数的性质，结合选项逐项分析判断即可得.

【详解】由/(3x+l)是奇函数，故有/(3x+l)=—/(—3x+l),即有/(x+l)=—/(—x+1),

故,贝i]/'(x+l)=r(r+l)，即g(x+l)=g(-x+1),故g(x)关于尤=1对称，

由/(4—x)=/(x),贝卜/=即一g(4—x)=g(x),

故g(x)关于(2,0)中心对称,

由-g(4—x)=g(x),贝!J—g(3-x)=g(x+l),又g(x+l)=g(-x+l),

故g(r+l)=-g(3-x),即有g(x+l)=-g(3+x),

贝！Jg(x+3)=-g(x+5),故g(x+3)=-g(x+5)=-g(x+l),

即g(x+l)=g(x+5),故g(x)=g(x+4),故g(x)周期为4.

对A：当％=0时，4左=0,故A错误；

对B：由g(x)周期为4,故g(4左-x)=g(-x),

又一g(4-x)=g(x),故一g(-x)=g(x),故g(-x)=-g(尤)=g(4Z-x),

故曲线y=g(x)关于点(2太0)对称，故B正确；

对C：由g(x)周期为4,故g(4Z+2-x)=g(2-x),

又g(x+l)=g(r+l)，故g(x)=g(r+2)=g(4k+2-x),

答案第5页，共8页

故曲线y=g(x)关于直线x=2%+l对称，故C正确；

对D：由B得-g(x)=g(4左-x),故一g(-x)=g(4Z+x),又g(x)周期为4,

故有-g(-x)=-g(4Z-x),故g(4Z+x)=-g(4k-x),又xeR,

即g(x+4左)都是奇函数，故D错误.

故选：BC.

【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：

(1)关于对称：若函数/⑺关于直线关=。轴对称，则/•(元)=/(2a-x),若函数了⑺关于

点(。，方)中心对称，则f(x)=26-/(2a-x),反之也成立；

(2)关于周期：若/(x+a)=-/(x),或/(x+a)=I，或/5+。)=一工，可知函数/⑺

/(X)于(x)

的周期为2a.

11.10100.

【分析】根据题意，取尤=g,>=；，求得"1)=2,再令无=",y=l,得到

f(n+l)-f(n)=2n+2,结合

7(100)=[/(100)-/(99)]+[/(99)-/(98)]++[/(2)-/(1)]+/(I),利用等差数列的求和公

式，即可求解.

【详解】由函数/⑴满足f(x+y)=/(x)+/(y)+2^,

取x=；,y=；，可得八D=错)+/(g)+g=»；=2,

令％=〃,y=1,可得/(〃+1)=/(〃)+/\1)+2〃=/(〃)+2〃+2,

即/(n+l)-/(n)=2n+2

则“100)="(100)—/(99)]+"(99)—f(98)]++"(2)—/(I)]+/(I)

=(2x99+2)+(2x98+2)+-+(2xl+2)+2

99(1+99)

=2x(99+98++2+1)+198+2=2x—^~^+198+2=10100.

故答案为：10100.

12.4048

【分析】求导得至ljr(x)+「(2025—x)=4,赋值累加即可.

答案第6页，共8页

【详解】对〃尤+1012)-/(1013-力=4尸2两边同时求导得

/,(x+1012)+/,(1013-x)=4,

即/'(x)+尸(2025-x)=4,

则尸(1)+1(2024)=4,尸⑵+尸(2023)=4/'(1012)+『'(1013)=4,

2024

则£(