概率论与数理统计作业及解答

概率论与数理统计作业及解答

第一次作业

★1.甲，乙，丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹，设事件A,B,C分别表示甲，乙，丙

击中目标，则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示.

事件E=｛事件A,民C最多有一个发生｝,则E的表示为

E=ABC+ABC+~ABC+ABC;=AB~~A^TBC-AC~BC\

或=ABlCBC;或=~\BC-｛ABC+ABC+ABC).

(和A+3即并A8,当互斥即AB=0时,A3常记为A+B.)

2.设M件产品中含机件次品，计算从中任取两件至少有一件次品的概率.

］_Ck”或C©r“+C；=一(2M-加-1)

Cl-C；~M(M-l)

★3.从8双不同尺码鞋子中随机取6只，计算以下事件的概率.

A=｛8只鞋子均不成双｝,8=｛恰有2只鞋子成双｝,C=｛恰有4只鞋子成双｝.

P(A)=q(?)6=—=0.2238,P(B)=或*=—=0.5594,

C143或143

p(C)=。笛：产)2=迎=0.2098.

限143

★4.设某批产品共50件，其中有5件次品，现从中任取3件，求：

(1)其中无次品的概率;⑵其中恰有一件次品的概率.

(1)冬=1112=0.724.(2)^^=—=0.2526.

CoI960-392

5.从1〜9九个数字中，任取3个排成一个三位数，求：

(1)所得三位数为偶数的概率;(2)所得三位数为奇数的概率.

(1)P｛三位数为偶数｝=P［尾数为偶数｝=，，

(2)P｛三位数为奇数｝=P［尾数为奇数｝=|,

或P｛三位数为奇数｝=1-P｛三位数为偶数｝=1-1=|.

6.某办公室10名员工编号从1到10,任选3人记录其号码，求:(1)最小号码为5的概率;(2)

最大号码为5的概率.

记事件A=｛最小号码为5｝,B=｛最大号码为5｝.

(1)尸(4)=与」;(2)p(B)=q」.

7.袋中有红、黄、白色球各一个，每次从袋中任取一球，记下颜色后放回,共取球三次，

求下列事件的概率：A=｛全红｝,6=｛颜色全同｝,。=｛颜色全不同｝,。=｛颜色不全

同｝,E=｛无黄色球｝,/=｛无红色且无黄色球｝,G=｛全红或全黄｝.

"A)=A£，尸⑻=3P(A)J,P©=苧T=|,P(0=1一P(8)=*

☆.某班〃个男生加个女生(川马+i)随机排成一列，计算任意两女生均不相邻的概率.

☆.在［0,1］线段上任取两点将线段截成三段，计算三段可组成三角形的概率.

£

4

第二次作业

1.设4,3为随机事件,P(A)=0.92,P(B)=0.93,尸(B设)=0.85,求:(1)P(A而，(2)P(AUB).

(1)0.85=P(6|M)=°="A0。(油)=0.85x0.08=0.068,

P(A)1-0.92

尸(A与)=尸(A)-尸(AB)=P(A)-P(B)+P(AS)=0.92-0.93+0.068=0.058,

P(A旧)=名型=0058=0.83.

P(B)1-0.93

(2)尸(AIJB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.92+0.93—0.862=0.988.

2.投两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率.

记事件A=｛(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)｝,B=｛(1,6),(6,1)).

P(B|A)=|=1.

o3

★.在1—2000中任取一整数，求取到的整数既不能被5除尽又不能被7除尽的概率.

记事件A=｛能被5除尽｝,B=｛能被7除尽｝.

400=L取整200028557200057

P(A)=285,P(B)=57,P(AB)

2000720004005x72000

P(AB)=P(4B)=1一P(A3)=1-P(A)-P(B)+P(AB)

57

=0.686.

54002000

3.由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨(记作事件A)的概率为4/15,刮风(用8

表示)的概率为7/15,既刮风又下雨的概率为1/10,求P(A|B)、P(6A)、P(AB).

3

P(A|B)=

P(B)7/1514尸(A)4/158

47119

P(AUB)=P⑷+1r正

4.设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是1/2,若第一次落下未摔破，第

二次落下时摔破的概率是7/10,若前二次落下未摔破，第三次落下时摔破的概率是9/10,试

求落下三次而未摔破的概率.

记事件A口第i次落下时摔破｝,i=1,2,3.

p(AHA)=P(A)P(4।A)P(4IAA)

5.设在〃张彩票中有一张奖券，有3个人参加抽奖，分别求出第一、二、三个人摸到奖券

概率.

记事件A口第i个人摸到奖券｝,i=l,2,3.

由古典概率直接得尸（A）=P（4）=P（A）=-.

n

———771]|

或P(&)=P(44)=P(A)P(A2IA)=------；=一,

n〃一1n

--———---YL-1n—9ii

p(A)=P(44AJ=P(A)p(4|A)P(A,|AA)=------------=-

nn-ln-2n

或第一个人中奖概率为P（A）=L

n

2i

前两人中奖概率为2（4+4）=P（4）+24）=—,解得尸（4）=一,

nn

3i

前三人中奖概率为P（4+4,+A）=P（4）+P（4）+P（4）=-,解得P（4）=-.

nn

6.甲、乙两人射击，甲击中的概率为0.8,乙击中的概率为0.7,两人同时射击，假定中

靶与否是独立的.求⑴两人都中靶的概率;（2）甲中乙不中的概率;（3）甲不中乙中的概率.

记事件A=｛甲中靶｝,8=｛乙中靶｝.

(1)尸(AB)=P(A)P(B)=0.7x0.7=0.56,

（2）P（AB）=P（A）-P（AB）=0.8-0.56=0.24,

（3）P（AB）=P（B）_P（AB）=0.7-0.56=0.14.

★7.袋中有a个红球，6个黑球，有放回从袋中摸球，计算以下事件的概率:

（1）A=｛在〃次摸球中有k次摸到红球｝;

（2）8=｛第4次首次摸到红球｝;

⑶C=｛第r次摸到红球时恰好摸了上次球｝.

、k/

aIb『CkaWk

⑴P(A)=C：=

a+bJ3a+b)n(a+h)n

b\k\-\aiabk~{

⑵P(B)=

a+ba+b(a+b)£

k-r

ababk-r

(3)尸（。=。二；%(a+b)k'

a+ba+b

8.一射手对一目标独立地射击4次，已知他至少命中一次的概率为名.求该射手射击一

81

次命中目标的概率.

设射击一次命中目标的概率为p,q=l-p./=1—郎=t，q=g,〃=l—q=

9.设某种高射炮命中目标的概率为0.6，问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以

0.99的概率命中目标.

（1-0.6/<1-0.99,0.4”<0.01,由0.45=0.01024,0.46<0.01,得〃26.

☆,证明一般加法（容斥）公式

P（J*4）=£P（A）-ZP（AA）+EP（A4A）+,•+（-I严Pg>）.

i=\i<ji<j<k

证明只需证分块4AAAczA,，4只计算1次概率.(3，是1,，〃的一个

排列，左=1,2,,九)A块麻用重数为,(

4，,从中任取1个—任取2个++(-1)，任取2个，即

CY++(T)y=]=

1-C：+C；++(-l)AC*=(1-1/=0.

将」互换可得对偶加法(容斥)公式

v=iA)=Em)-Em^)+EP(A勺&)++(一1产P(%4).

i=li<ji<j<k

☆.证明若A,B独立,A,C独立，则A,BUC独立的充要条件是A,BC独立.

证明

P(A(BC))=P(ABAC)=P(AB)+P(AC)-P(ABC)

=P(A)P(3)+P(A)P(C)-P(ABC)

充分性u

P(A(8C))=P(A)P(B)+P(A)P(C)-P(ABC),代入P(ABC)=尸(A)P(BC)

=P(A)(P(3)+P(C)—P(5C))=P(A)P(8C),即4,8C独立.

必要性二>:

P(A(BC))=P(A)P(B.C)=P(A)(P(B)+P(C)—P(BC))

=P(A)P(B)+P(A)P(C)-P(A)P(BC)=P(A)P(B)+P(A)P(C)—P(ABC)

P(ABC)=P(A)P(8C),即A,BC独立.

☆.证明：若三个事件A、B、C独立，则AU8、AB及A—3都与C独立.

证明因为

P[(AB)C]=P(ACBC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)

=P(4)P(C)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)

=[P(A)+P(8)-P(A)P(5)]P(C)

=P(AB)P(C)

P[(AB)C]=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=[P(A)P(8)]P(。=P(AB)P(C)

P[(A-8)C]=P(AC—8)=P(AC)-P(ABC)=尸(A)P(C)—P(A)P(B)P(C)

=[P(A)—P(AB)]P(C)=P(A-B)P(C)

所以AU8、AB及A—B都与C独立.

第三次作业

1.在做一道有4个答案的选择题时，如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测.

设他知道问题的正确答案的概率为p,分别就p=0.6和p=0.3两种情形求下列事件概率：

(1)学生答对该选择题；(2)已知学生答对了选择题,求学生确实知道正确答案的概率.

记事件A=｛知道问题正确答案｝,6=｛答对选择题｝.

(1)由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)+P(给P(B摩)=〃+匕4=’+型，

444

*nAU4.DZD\13P13x0.67

当p=0.6时，尸(B)=：+_=：+—--=—=0.7,

444410

当夕=0.3时,2(8)=4+红='+^^=2=0.475.

444440

(2)由贝叶斯公式得0(4|8)=£幽=丁/—=—见，

P(B)13/?1+3〃

44

当〃=0.6时，尸(A|8)=^-=^^-=g,

l+3pl+3x0.67

当p=0.3时，尸(A|5)=-^-=4x03=U

l+3pl+3x0.319

2.某单位同时装有两种报警系统A与民当报警系统A单独使用时，其有效的概率为

0.70;当报警系统8单独使用时，其有效的概率为0.80.在报警系统A有效的条件下，报

警系统B有效的概率为0.84.计算以下概率:⑴两种报警系统都有效的概率;(2)在报警系

统B有效的条件下，报警系统A有效的概率;(3)两种报警系统都失灵的概率.

P(A)=0.7,P(B)=0.8,P(B\A)=0.84.

(1)P(AB)=P(A)P(B|A)=0.7x0.84=0.588,

(2)P(A|5)=&^="^=0.735,

P(B)0.8

(3)P(AB)=P(AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(B)+P(AB)

=1-0.7-0.8+0.588=0.088.

☆.为防止意外，在矿内同时设有两种报警系统A与A每种系统单独使用时，其有效的

概率系统A为0.92,系统8为0.93,在A失灵的条件下，8有效的概率为0.85,.求：(1)

发生意外时，两个报警系统至少有一个有效的概率;(2)B失灵的条件下,A有效的概率.

3.设有甲、乙两袋，甲袋中有〃只白球，只红球；乙袋中有N只白球，M只红球.

从甲袋中任取一球放入乙袋，在从乙袋中任取一球，问取到白球的概率是多少.

记事件A=｛从甲袋中取到白球｝,8=｛从乙袋中取到白球｝.

由全概率公式得

P(5)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

nN+1mN〃+N(〃+/%)

—______________I_______________—__________________

〃+mN+M+ln+mN+M+1(〃+〃?)(N+M+1)

☆.设有五个袋子，其中两个袋子，每袋有2个白球，3个黑球.另外两个袋子，每袋有1

个白球,4个黑球，还有一个袋子有4个白球，1个黑球.(1)从五个袋子中任挑一袋，并从

这袋中任取一球，求此球为白球的概率.(2)从不同的三个袋中任挑一袋，并由其中任取

一球，结果是白球，问这球分别由三个不同的袋子中取出的概率各是多少？

★4.发报台分别以概率0.6和0.4发出信号人”及由于通信系统受到于扰，当发

出信号时，收报台分别以概率0.8及0.2收到信息…及又当发出信号”

时，收报台分别以概率0.9及0.1收到信号“-”及求：⑴收报台收到…的概率;⑵

收报台收到"-”的概率;(3)当收报台收到“•”时，发报台确系发出信号巴”的概率;(4)

收到“，时，确系发出“-”的概率.

记事件3=｛收到信号“•”｝,&=｛发出信号“•”｝,4=｛发出信号“-”｝.

(1)P(B)=P(A)「(B|AJ+P(A2)P(B|A2)=0.6X(1-0.2)+0.4x0.1=0.52;

(2)。(历=l-P(8)=l—0.52=0.48;

⑶P(")="J(…4)二0.6x0.812

=----------=—=0.923;

P(B)P(B)0.5213

⑷p(4国=3=P(4)P®4)=0.4x0.93“u

=----------=—=0.75.

P(B)P(B)0.484

5.对以往数据分析结果表明，当机器调整良好时，产品合格率为90%,而机器发生某一

故障时，产品合格率为30%.每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%.

(1)求机器产品合格率，

(2)已知某日早上第一件产品是合格品，求机器调整良好的概率.

记事件3=｛产品合格｝,A=｛机器调整良好｝.

(1)由全概率公式得

P(6)=A)P(61A)+P(A)P(B\A)=0.75x0.9+0.25x0.3=0.75,

P(AB)P(A)P(B\A)0.75x0.9“

(2)由贝叶斯公式得P(A|B)=--------=-----------------=------------=0.9.

P(B)P(B)0.75

☆.系统(A),(B),(C)图如下,系统(A),(B)由4个元件组成,系统(C)由5个元件组成，每

个元件的可靠性为P，即元件正常工作的概率为p,试求整个系统的可靠性.

r&i4U—IZF

-Hi-r^i-

(A)(B)(C)

记事件A=｛元件5正常｝,8=｛系统正常｝.

(A)P(例A)=(1-(1-p)(l-p))2=p2(4-4p+p2),

(B)P(B|A)=1-(1-p2)(l-p2)=p2(2-p?),

(C)由全概率公式得

P(B)=P(A)P(81A)+P(A)P(B|A)

=p-p2(4-4p+p-)+(l-p)p2(2-p2)

=2p2+2p3_5p4+2.5

第四次作业

1.在15个同型零件中有2个次品，从中任取3个，以X表示取出的次品的个数，求X的

分布律.

P(X=k)=*-,k=0,1,2.

X012

p22/3512/351/35

☆.经销一批水果，第一天售出的概率是0.5,每公斤获利8元，第二天售出的概率是0.4,

每公斤获利5元，第三天售出的概率是0.1,每公斤亏损3元.求经销这批水果每公斤赢

利X的概率分布律和分布函数.

X-358

p0.10.40.5

0,x<—3,

F(-3)=P(X=-3)=0.1,-3<x<5,

F(x)<

F(5)=P(X=—3)+P(X=5)=0.1+0.4=0.5,5<x<8,

F(8)=l,x>8.

2.抛掷一枚不均匀的硬币，每次出现正面的概率为2/3,连续抛掷8次，以X表示出现

正面的次数，求X的分布律.

X3(〃=8,〃=2/3),「(乂=左)=以(皆［/=0,1,,8.

3.一射击运动员的击中靶心的命中率为0.35,以X表示他首次击中靶心时累计已射击

的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.

XG(p=0.35),P(X=Zr)=pgi=0.35x0.65J«=1,2.

P(X奇)+P(X偶)=1,

'P(X奇)="X偶),

1q

13

解得P(X偶)=_^=1"0.394.

\+q1+0.6533

4.一商业大厅里装有4个同类型的银行刷卡机，调查表明在任一时刻每个刷卡机使用

的概率为0」,求在同一时刻：

(1)恰有2个刷卡机被使用的概率;(2)至少有3个刷卡机被使用的概率；

(3)至多有3个刷卡机被使用的概率;(4)至少有一个刷卡机被使用的概率.

在同一时刻刷卡机被使用的个数X8(〃=4,〃=0.1).

(1)P(X=2)=《*0.12x0.92=0.00486,

(2)P(X23)=P(X=3)+P(X=4)=C：x0.13x0.9+0.V*=0.0037,

(3)P(X<3)=l-P(X=4)=l-0.14=0.9999,

(4)P(X21)=1-P(X=0)=1-0.94=1-0.6561=0.3439.

5.某汽车从起点驶出时有40名乘客，设沿途共有4个停靠站，且该车只下不上.每个乘

客在每个站下车的概率相等，并且相互独立，试求：(1)全在终点站下车的概率；(2)至少

有2个乘客在终点站下车的概率;(3)该车驶过2个停靠站后乘客人数降为20的概率.

记事件A=｛任一乘客在终点站下车｝，乘客在终点站下车人数X8(〃=40,p=1/4).

(1)P(X=40)=(；)=8.2718x10-23,

(3Y01(3y943(3V0

(2)P(XN2)=1—噂=0-1)=1一匕)-C^>4XI4I=1-yXl4I

=1-0.000134088=0.999865912.

(3)记事件3=｛任一乘客在后两站下车｝，乘客在后两站下车人数y8(〃=40,p=l/2).

P(r=20)=C；«WW=畀=0.1268.(精确值)

应用斯特林公式〃！万—

P(X=20)=嗡不

[2x2。/

其中%=3.1415926536,正=1.7724538509.

参:贝努利分布的正态近似.

6.已知瓷器在运输过程中受损的概率是0.002,有2000件瓷器运到，求：(1)恰有2个受

损的概率;(2)小于2个受损的概率;(3)多于2个受损的概率;(4)至少有1个受损的概率.

受损瓷器件数XB(n=2000,p=0.002),近似为泊松分布PQ=p=4).

A-

(1)(=-^7=81=0.146525,

(2)鸟=[1+(卜=56-4=0.0915782,

(3)Q=1-《—乙=1-13邛4=0.761897,

(4)/=1-1=0.981684.

7.某产品表面上疵点的个数X服从参数为1.2的泊松分布，规定表面上疵点的个数不超

过2个为合格品，求产品的合格品率.

产品合格品率P=|1+—=史["[2=2.92e42=0.879487.

I1!2!J

★8.设随机变量X的分布律是

求:X的分布函数，以及概率P(3<X<6),P(X>1),P(X<5),P(|X|<5).

随机变量X的分布函数为

0,x<—3,

F(-3)=P(X=-3)=0.2,-3<x<5,

F(x)*

F(5)=P(X=-3)+P(X=5)=0.2+0.5=0.7,5<x<8,

F(8)=l,x>8.

P(3<X<6)=P(X=5)=0.5,

P(X>1)=P(X=5)+P(X=8)=0.5+0.3=0.8,

P(X<5)=P(|X|<5)=F(5)=P(X=—3)+P(X=5)=0.2+0.5=0.7,

第五次作业

1.学生完成一道作业的时间X是一个随机变量(单位：小时)，其密度函数是

2

f(x)=kx+x,04x40.5

0,其他

试求:(1)系数k-(2)X的分布函数;(3)在15分钟内完成一道作业的概率;(4)在10到20分

钟之间完成一道作业的概率.

(.0.5,(k,1k1

⑴1=尸(0.5)=1kx~+xdx-\—%3+—x2=---\-—,k-2\,

J。(32)0248

0,x<0

F(x)=<P{X<x)=£'2lx2+xtZx=7?+1x2,0<x<0.5,

⑵

F(0.5)=l,x>0.5.

/1\

v9

⑶F-=P(X4x)=J：2L?+xdx=7——=0.140625,

k4y°64

p(-<x<-

(4)

63J

2.设连续型随机变量X服从区间[-a,a](a>0)上的均匀分布，且已知概率P(X>1)=；,求:

⑴常数a;⑵概率P(x<g).

(1)P(X>1)=公=—」,a=3,

2a2a3

⑵P(X<$44=*+K

3.设某元件的寿命X服从参数为。的指数分布，且已知概率P(X>50)=e：试求：(1)参数

0的值；(2)概率P(25<X<100).

补分布S(x)-P(X>x)=Oe0xdx=一""|：="以/>0.

(1)5(50)=P(X>50)=^0e~exdx=e~^e=^,0=^=0.08,

(2)由S(rr)=e"=S'(x),r,x>0,取x=50,依次令r=L2,得

2

2

5(25)=P(X>25)=S5(50)=e-2,S(100)=P(X>100)=S2(50)=e-8=0.0003354563,

其中e_2.7182818284.

P(25<X<100)=P(X>25)-P(X>100)=e-2-e*

=0.13533465-0.0003354563=0.1349991937.

4.某种型号灯泡的使用寿命X(小时)服从参数为熹的指数分布，求:(1)任取1只灯泡使

oUv

用时间超过1200小时的概率;(2)任取3只灯泡各使用时间都超过1200小时的概率.

——X1200--

(1)P(X>1200)=e8002=0.2231301602,

此处血=1.6487212707001.

9

(2)尸3(X>1200)=J3=0.0111089965.

5.设X~N(O,1),求：P(X<0.61),P(—2.62<X<1.25),P(m1.34),尸(因>2.13).

(1)P(X<0.61)=0(0.61)=0.72907,

(2)P(—2.62<X<1.25)=①(1.25)—①(—2.62)=0(1.25)+0(2.62)-1

=0.89435+99560-1=0.88995,

(3)P(X>1.34)=1-①(1.34)=1-0.90988=0.09012,

(4)P(|X|>2.13)=2-2①(2.13)=2—2x0.98341=0.03318.

6.飞机从甲地飞到乙地的飞行时间X~N(4,t).设飞机上午10:10从甲地起飞，求：(1)飞

机下午2:30以后到达乙地的概率;(2)飞机下午2:10以前到达乙地的概率;⑶飞机在下午

1:40至2:20之间到达乙地的概率.

(1)>g)=l—P(X4)=1—①=l一①⑴=1—0.84134=0.15866,

(2)P(X<4)90)=0.5,

25/6-47/2-4

一①

⑶d"畸卜①1/31/3

1=0.69146+0.93319-1=0.62465.

★7.设某校高三女学生的身高X~N(162,25),求:(1)从中任取1个女学生，求其身高超过

165的概率；(2)从中任取1个女学生，求其身高与162的差的绝对值小于5的概率；(3)

从中任取6个女学生，求其中至少有2个身高超过165的概率.

(1)P(X>165)=P(X[62>165；6义=。幻)=1一①(0.6)=1—0.7258=0.2742,

<y_1D、

(2)P(|X—162]<5)=尸一—<1=2①(1)—1=2x0.84134—1=0.6827,

、5>

(3)记事件A={任一女生身高超过165},p=P(A)=P(X>165)=0.2742,

随机变量Y贝努利分布B(n=6,p=0.2742),

P(y>2)=l-P(Y=0)-P(y=l)=l-(l-p)6-C：p(l—p)5=0.52257.

第六次作业

★1.设随机变量X的分布律为

X-2-101

1111

Pk

24612

(1)求丫=因的分布律;(2)求y=$+x的分布律.

(1)

Y012

P1/61/31/2

⑵

Y02

p2/127/12

★.定理(连续型随机变量函数的密度公式)设连续型变量X密度为fx(x),y=g(x)严

格单调，反函数x=My)导数连续，则Y=g(X)是连续型变量，密度为

f、J/x(My))Ix'(y)I，。=g(x)极小值=g(x)极大值，

小刃一jo,其它.

证明1)若y=V(y)>0,{y4y}={g(X)4g(x)}={X<x},

Fy(y)=P(Y<y)=P(g(X)<g(x))=P(X<x)=Fx(x),

两边对y求导，

fY(y)=fx(x(y))xXy),a<y</3.

2)若力=My)<O,{y”}={g(X)Wg(x)}={X"},

外(y)=P(Y<y)=P(g(X)<g(x))=尸(XNx)=1-七(幻，

两边对y求导，

fY(y)=一/x(x(y))V("oc<y<p.

因此总有fY(y)=力(尤3))Ix'(y)\,a<y<p.

或证明

P(X<x)=Fx(x),g'(x)>Q,

FY(y)=P(Y<y)=P(g(X)<g(x))=<

P[X>x)=l-Fx(x),g'(x)<0,

两边对y求导,

dFx(x)&,

dxdy'

dFx^dx

dxdy

或两边微分

dFx(x)-fx{x}dx,

dFY(y)=fY(y)dy=

-dFx(x)=-fx{x}dx,

4(y)=<

-/x(嚼,

=fx(x(y))Ix\y}\,a<y<(3.

2.设随机变量X的密度函数是A(x),求下列随机变量函数的密度函数:

6Y=tanX;(2)y==；⑶qX|.

A

⑴反函数x(y)=arctany,x(y)=二#],由连续型随机变量函数的密度公式得

fY(y)=&(x(y))Ix'(y)|=7y'xl^ctany).

或反函数支耳(y)=R+arctany,z为整数，x；(y)=/丫二,

arctan

fY(y)=£ZAG))IE(y)I=77-7E加市+y).

/=-ooyj=-so

⑵x=/,反函数X,=/,/y(y)=fx(Xy)xy==，4(-L).

(3)Fy(y)=P(Y<y)=P(\X区y)=P{-y<X<y)=Fx(y)-Fx(-y).

两边对y求导得y的密度函数为人(y)=/x(y)+/x(-y)，y>。

★3.设随机变量X~U[-2,2],求y=4X2-l的密度函数.

Fy(y)=P(y<y)=P(4X2-I<y)=P(-1V7+T4X<=1V7TT,-i<y<i5,

两边对y求导得随机变量Y的密度为

4(y)=-7^==，-l<y<15.

8Jy+l

或解反函数支X1(y)=}jy+l,X2(y)=-.Jy+l，

★4.设随机变量x服从参数为1的指数分布，求y=x2的密度函数(他仍“〃分布).

当ywo时，y=x2的分布斗()，)=0,当y>0时，

耳⑶)=P(Y<y)=P(X2<y)=P(XW方)=&(4)，

两边对y求导得

4(y)=/x(6>(扬'eS,力(y)=

[0,y<0.

=6,6(y)=/x，)K

或反函数xvy>0.

★5.设随机变量X~M0,1),求⑴Y=eX的密度函数;(2)y=x2的密度函数(GM〃以分布).

(1)当y«0时，Y=eX的分布弓(力=0,当y〉0时，

x

Fy(y)=P(Y<y)=P(e<y)=P(X<\ny)=①(1”)，

因而丫的密度为

.[1exJW>)2]v>0

K(y)=<D(lny)=^lny)(lny),=(^lny),/y(y)=1V^y"2)'''

'[0,y<0.

或反函数X=Iny,X=Iny,/(y)=奴x)x；='^Iny)=exp,y>0.

J-2

>>y<2兀y()

⑵当yWO时，斗(y)=0;当丫>0时,

2

Fy(y)=P(Y<y)=P(X<y)=P(~6<X<^)=Fx(4)一国(一方).

两边对y求导得y的密度函数为力(y)=后7,2,>>0，

[o,y<0.

或反函数支外")=4，々(/)=一6,

1_2

fY(y)=fx^y))Ix；(y)|+/X(x2(y))Ix2(y)1=,Je2,y>0.

J2兀y

'1.

6.设随机变量X的密度函数是为(x)=F，x>],求Y=lnX的概率密度.

0,x<l

反函数=e\fY(y)=,fx(xy)x'y=fx(e')e>=e-，，y>0.

第七次作业

☆.将8个球随机地丢入编号为1,2,3,4,5的五个盒子中去，设X为落入1号盒的球的个

数,y为落入2号盒的球的个数，试求X和丫的联合分布律.

1.袋中装有标上号码1,2,2的3个球，从中任取一个并且不再放回，然后再从袋中任取

一球,.以x,y分别记第一、二次取到球上的号码数，求：(i)(x,/)的联合分布律(设袋中

各球被取机会相等);(2)x,丫的边缘分布律;(3)x与丫是否独立？

(i)(x,y)的联合分布律为

p(x=i,y=i)=o,p(x=i,y=2)=p(x=2,y=i)=p(x=2,y=2)=g.

⑵X,Y的分布律相同,P(X=1)=；,P(X=2)=*

(3)x与丫不独立.

2.设二维连续型变量(X,y)的联合分布函数尸(x,y)=pl—e"W—X，y>0,

0,其它.

求(X,y)联合密度.

〃、J15e-3*-5，，x,>>0,

f(x,y)=—F(x,y),f(x,y)=J

dxdy[0,其它.

★3.设二维随机变量(X,V)服从。上的均匀分布，其中。是抛物线产/和右旷所围成的

区域，试求它的联合密度函数和边缘分布密度函数，并判断X,Y是否独立.

分布区域面积S=|*「dydxy/x-x2dx=—x^——x3=—,

JoJ/Jo333

\/o

皿人-—=3,x2<y<&<1,

联合密度“x,y)=«S)

0,其它.

2

边缘X的密度为fx(x)=3dy=3(Vx-x),0<x<1,

边缘丫的密度为4(y)=J：?>dy=3(4—V),0<丁<].

f(x,y)丰fx(x)-fY(y),因此X与丫不独立.

或/(X,y)非零密度分布范围不是定义在矩形区域上，因此X与y不独立.

4.设二维离散型变量(X,y)联合分布列是

-!35

12

-1q

155

23

1P

5To

问p,q取何值时X与y相互独立.

两行成比例U”q1/52,12

=],解得0=历/=

P1/53/1015

★5.设(X,y)的联合密度为=T<x<Ly>0,求:⑴常数A；⑵概率

-0,其它.

p(o<x<>1)；(3)边缘概率密度△(©,弁。)；(4)x与丫是否相互独立？

(1)fx(x)=y)dy=『Ax2e"ydy=Ax2『e^ydy=Ax2,-l<x<1,

1

Jifx(x)dx=J]Axdx=gA=1,A=?*

(2)p(o<x<(,y>i)=尸(o<x<g)p(y>1)="|/公17-'办=汽.

3,

⑶fx(x)=-x-,-l<x<l,

A(3;)=J=JAx1e~ydx=e~y^x1dx=e~y,y>Q.

,“—x2e~y,-1<x<1,y>0"

(4)由/x(x)/(>)=《2)=/(尤,y),得X与丫独立.

0,其它

或

2y

因为f(x,y)^Axe-,-l<x<l,y>0,可表示为x的函数与y的函数的积且分布在

矩形区域上，所以X与y相互独立.由此得4(y)=e~y,y>Q;Ax1,-\<x<\,

2

JIfx(x)dx-J]Axdx=gA=1,A=[.

P(0<X<I，y>1)=P(0<X<!)P(y>1)=£21Jeydy=.

5e”v>0

6.设X服从均匀分布U(0,0.2),y的密度为人(y)=|o其;)’且X,Y独立.求:(1)X的

密度;(2)(x,y)的联合密度.

⑴X的密度为/x(x)=5,04xW02

⑵"联合密度”）喷:—。

第八次作业

★1.设随机变量（X,K）的联合分布律是

012

01/61/31/12

11/61/121/6

求函数(l)Zi=X+Y,⑵Z2=min{X,丫},⑶Z3=max{X,丫}的分布律.

(1)p(z,=o)=p(x=y=o)=(,p(z,=i)=p(x=o,y=i)+p(x=i,y=o)=；+；=g,

p(4=2)=p(x=o,y=2)+p(x=i,y=i)」+LJp(4=3)=p(x=i,y=2)J

121266

1113

(2)p(z2=i)=p(x=i,y=i)+p(x=i,y=2)=—+-=-,P(Z2=O)=I-P(Z2=I)=-.

(3)p(Z3=o)=p(x=y=o)=,，

o

八八1117

p(z3=i)=p(x=o,r=i)+p(x=i,y=i)+p(x=i,r=o)=-+—,

p(Z3=2)=p(x=o,y=2)+p(x=i,y=2)=g+\=；.

2.设随机变量(X,y)的联合分布律是

-11

-10.250.125

10.1250.25

求函数z=x/y的分布律.

p(z=x/y=i)=p(x=y=i)+p(x=y=-i)=o.25+0.25=0.5,

p(z=x/y=-1)=1-p(z=x/y=1)=0.5.

3.设x与y相互独立，概率密度分别为人。)=[岑'启>')=【£'可

[0x<0,[0x<0

试求Z^X+Y的概率密度.

心(Z)=J。/(X，z-x)dx=jj/x(x)fY(z-x)dx

=^2e-2xe-z+xdx=2e~:e-xdx=2e~:(1-「),z>0.

★4.设x~u（o,1）,y~E（i）,且x与y独立，求函数z=x+y的密度函数.

e~y,0<x<1,>0,

f(x,y)=«

0,其它，

当0<zKl时,

z+x2+A

fz{z)=£/(x,z-x)dx=