2023-2024学年山东省济南重点中学九年级（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年山东省济南重点中学九年级（下）开学数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列正面摆放的儿何体中，左视图是三角形的是（）

2.2023年杭州亚运会，观众对赛事的热情高涨，截至10月7日上午，门票销售已经超过305万张，票务收

入也超过6.1亿元.其中数据“3050000”用科学记数法表示为（）

A.3.05x105B.30.5x10sC.3.05x107D.3.05x106

3.如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上.若41=42。，贝比2的度数是（）

A.42°B.48°C.58°D.84°

4.实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）

1g।________।?1_________।»

-2-10I2

A.a+h>0B.a-b>0C.ab<0D.|a|<\b\

5.四幅作品分别代表“立春”、“立夏”“芒种”、“大雪”其中既是轴对称图形，又是中心对称图

形的是（）

A.m2+m2=2m4B.a2-a3=a5C.(mn2)3=mn6D.m6-i-m2=m3

7.函数y=-kx-5与y=二0）在同一坐标系内的图象可能是（）

8.将分别标有“最”、“美”、“济”、“南”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字

不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的

汉字可以组成“济南”的概率是（）

111

---

A.642

9.如图，在△ABC中，AB=AC,现以4为圆心，适当长为半径画弧，分别交4B,AC

于点D,E.再分别以D,E为圆心，大于2DE的长为半径画弧，两弧相交于点F,射线

4F交BC于点P,取47的中点Q,连结PQ.若AC=4,BC=6,则△CPQ的面积为（）

10.定义：在平面直角坐标系中,对于点P（X1，%）当点Q（%2，y2）满足2（%1+%2）=儿+、2时，称点（?。2，丫2）

是点P（%i，yi）的“倍增点”.已知点P1（2,O）,有下列结论：①点5（2,8）,（^（7，菖湎是点匕的^心曾

点”；②若直线y=x+2上的点4是点心的“倍增点”，则点4的坐标为（一2,0）；③抛物线y=/一2%-

3上存在两个点是点Pi的“倍增点”；④若点B是点B的“倍增点”，则的最小值是若；其中，正确

结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.因式分解：m2-4=__.

12.大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1是蜜蜂的蜂巢，结构非常精巧，实用而且节省材料，

多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面均为正六边形.如图2是由7个全等的正六边形组成的巢房截

面图，一只蜜蜂随机落在如图2所示的某个巢房中，则落在阴影部分所在巢房中的概率为.

图1图2

13.代数式上与代数式1的值相等，贝反=.

14.如图，正五边形力BCCE的边长为4,以顶点A为圆心，长为半径画圆，则

图中阴影部分的面积是.

15.甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地.如图，线段。力表示货车离甲

地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式；折线B-C-D-表示轿车离甲地距离y（千米）与x（小时）

之间的函数关系，则货车出发小时与轿车相遇.

16.如图，菱形ABCD中AB=8,4ABe=60。，点E为4D上一动点，连接CE,将△DCE沿CE翻折得到4

FCE,连接BF,点G为BF上一点，且GF=BG,连接AG,则线段4G的最小值为

A

三、解答题：本题共9小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题6分）

计算：（0+2-1+/1<：0545。一修|.

18.（本小题6分）

<2（%+1）>3%+1

解不等式组％、x-1并写出该不等式组的整数解.

匕〉亍

19.（本小题6分）

如图，在中，对角线AC,8。交于点0,点E,尸分别是。0,。8的中点，连接AE,CF,求证:

AE=CF.

20.（本小题8分）

学科综合

我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n=舞称为折射率（其中a

代表入射角，£代表折射角）.

观察实验

为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C,但不在细管

MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点力，C,B在同一直线上，测得BF=

12cm,DF=16cm.

（1）求入射角a的度数.

(2)若BC=7czn,求光线从空气射入水中的折射率n.(参考数据：sin53°«cos53°«|,tan53°®

如图，BC是。。的直径，CE是。。的弦，过点E作0。的切线，交CB的延长线于点G,过点B作BF1GE

于点F,交CE的延长线于点4

(1)求证：Z.ABG=2ZC;

(2)若GF=3/3,GB=6,求。。的半径.

22.(本小题10分)

为进一步落实“德智体美劳”五育并举，某中学开展球类比赛，准备从体育用品商场一次性购买若干个足

球和篮球.已知购买1个足球和2个篮球共需240元，购买2个足球和3个篮球共需390元.

(1)足球和篮球的单价各多少元？

(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共80个，但要求足球和篮球的总费用不超过6000元，学

校最多可以购买多少个篮球？

23.(本小题10分)

已知在等腰直角三角形4BC中，=90°,4(0,2),BQ0).

(1)如图1,请直接写出点C的坐标,若点C在反比例函数y=3(x>0)上，则七=:

(2)如图2,若将AABC延久轴向右平移得到△A'B'C',平移距离为m,当A,C'都在反比例函数y=生(x>

0)上时,求七，m；

(3)如图3,在(2)的条件下，在y轴上是否存在点P,使得A4。6的面积是△4'B'C'面积的一半.若存在，请

求出点P；若不存在，请说明理由.

24.(本小题12分)

将正方形力BCD的边AB绕点4逆时针旋转至AB',记旋转角为a.连接BB',过点。作DE垂直于直线BB',垂足

为点E,连接。B',CE,

(1)如图1,当a=60。时，夕的形状为,连接BD,可求出翳的值为；

(2)当0。<a<360。且a丰90。时.

①(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；

②当以点B',E,C,。为顶点的四边形是平行四边形时，请求出标的值.

图1图2

25.(本小题12分)

如图1,已知抛物线y=%2+bx+c与x轴交于4(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C,顶点为点D.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)点E是点。关于x轴的对称点，经过点A的直线y=mx+l与该抛物线交于点F,点P是直线4F上的一个

动点，连接AE、PE、PB,记APAE的面积为Si，APAB的面积为S2，那么弱的值是否是定值？如果是，请

求出这个定值；如果不是，请说明理由.

(3)如图2,设直线AC与直线BD交于点M,点N是直线4c上一点，若乙ONC=LBMC,求点N的坐标.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：4、左视图是等腰梯形，不符合题意；

B、左视图是长方形，不符合题意；

C、左视图是三角形，符合题意；

。、左视图是长方形，不符合题意；

故选：C.

根据几何体的特点及三视图的确定方法依次判断即可.

此题考查了几何体的三视图，正确掌握三视图的确定方法及几何体的特点是解题的关键.

2.【答案】。

【解析】解：3050000=3.05x106.

故选：D.

科学记数法的表现形式为ax1011的形式，其中14同＜10,n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a

时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整

数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案.

本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键.

3.【答案】B

【解析】解：如图，

A_________________B

■：N1+43=180°-90°=90°,Z1=42°,

Z3=90°-41=48°,

-AB//CD,

z2=z3=48°.

故选：B.

根据平角的定义可得41+43=90。，进而求得43=48。，由两直线平行，同位角相等即可解答.

本题主要考查平行线的性质、平角的定义，熟知两直线平行，同位角相等是解题关键.

4.【答案】C

【解析】解：观察数轴可得，-2<a<—1<0<b<1,|a|>|b|,

a+b<0,故A选项不符合题意，

a-b<0,故B选项不符合题意，

ab<0,故C选项符合题意，

|a|>\b\,故。选项不符合题意，

故选：C.

观察数轴可得，一2<a<-1<0<b<1,|a|>网，验证选项是否正确.

本题考查了数轴、绝对值，关键是从数轴中提取信息.

5.【答案】D

【解析】解：4该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B.该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.该图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项合题意；

故选：D.

根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可.

本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的

定义.如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；

把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对

称图形，这个点就是它的对称中心.

6.【答案】B

【解析】解：A.m2+m2=2m2,故此选项不合题意；

B.a2-a3=a5,故此选项符合题意；

C.(mn2')3=m3n6,故此选项不合题意；

D.m6-rm2=m4,故此选项不合题意.

故选:B.

直接利用合并同类项法则、同底数幕的乘除运算法则、积的乘方运算分别计算，进而判断得出答案.

此题主要考查了合并同类项、同底数基的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键.

7.【答案】C

【解析】解：•••当k>0时，y=-kx—5过二、三、四象限，反比例函数y=(过一、三象限，

当k<0时，y=—kx—5过一、三、四象限，反比例函数y=：过二、四象限，

•a•C正确；

故选：C.

根据当k>0、当k<0时，函数y=—依一5与y=：(k40)经过的象限，二者一致的即为正确答案.

本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限.

8.【答案】A

【解析】解：画树状图如下：

开始

美济南最济南最美南最美济

共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字可以组成“济南”的结果有2种，

・••两次摸出的球上的汉字可以组成“济南”的概率为高

iZO

故选：A.

画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字可以组成“济南”的结果有2种，再由概

率公式求解即可.

本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上

完成的事件.解题时还要注意是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况

数之比.

9.【答案】A

【解析】解：rAB=AC,4P平分4BAC,

AP1BC,CP=PB=：BC=3,

AP=yjAC2-PC2='42-32=y[7,

•••S-cp=•CP=3XCX3=苧,

=

故选：A.

求出AAPC的面积，再利用三角形中线的性质求解.

本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握等

腰三角形的性质.

10.【答案】D

【解析】解：①依据题意，由“倍增点”的意义，

•••2(2+2)=8+0,2(-3+2)=-2+0,

.•.点Qi(2,8),<22(-3,-2)都是点&的“倍增点”.

・•.①正确.

②由题意，可设满足题意得“倍增点”4为(x,x+2),

•••2(x+2)=x+2+0.

x=-2.

4(-2,0).

・•・②正确.

③可设抛物线上的“倍增点”为(居/—2%—3),

:.2(%4-2)=%2—2%—34-0.

-%2—4%—7=0,

・・•A=(一旬2-4x1X(-7)=16+28=44>0,

・・.抛物线y=%2-2x-3上存在两个点是点%的“倍增点”，

・•.③正确.

④，设B(%y),

・,・2(%+2)=y+0.

・•・y=2(x4-2).

P[B=V(x-2)2+y2=V(%-2)2+4(x+2)2=J5(x+1)2+y,

・•・当x=时，PiB有最小值为^

・•.④正确.

故选：D.

依据题意，由“倍增点”的意义进行计算进而判断①；设满足题意的“倍增点”4为(x,x+2),从而可以

求得/(-2,0),进而可以判断②；设抛物线上的“倍增点”为(X,/-2X-3),从而建立方程求得解，可

以判断③；设B(x,y),再由倍增点的意义得出y=2(x+2),再利用两点间的距离公式表示出匕8,然后

利用配方可以判断④，从而可以得解.

本题主要考查了二次函数图象上的点的坐标、一次函数图象上的点的坐标，解题时要熟练掌握并理解.

11.【答案】0+2)0-2)

【解析】解：m2—4=(m+2)(m—2).

故答案为：(巾+2)(巾一2).

根据平方差公式，进行因式分解.

本题考查公式法的因式分解，解题的关键是掌握平方差公式的因式分解法.

12.【答案好

【解析】解：令每个正六边形的面积为a,则巢房截面图面积为7a,阴影部分的面积为4a,

则落在阴影部分所在巢房中的概率为芈=

7a7

故答案为：去

令每个正六边形的面积为a,得巢房截面图面积为7a,阴影部分的面积为4a,再根据概率公式求解即可.

本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率.计算方法是长度比，面积

比，体积比等.

13.【答案】3

【解析】解：由题意得，月=3，

2x-ix

去分母得，5x=3(2%—1),

解得x=3,

经检验x=3是原方程的解，

所以原方程的解为x=3,

故答案为:3.

根据题意列方程，再根据解分式方程的步骤和方法进行计算即可.

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

14.【答案】4.87T

【解析】解：•••正五边形的外角和为360。，

•••每一个外角的度数为360。+5=72。，

・•.正五边形的每个内角为180。-72°=108°,

•••正五边形的边长为4,

_1087TX42_

:•、阴影=360=1’

故答案为:4.8合.

先确定扇形的圆心角的度数，然后利用扇形的面积公式计算即可.

考查了正多边形和圆及扇形的面积的计算的知识，解题的关键是求得正六边形的内角的度数并牢记扇形的

面积计算公式，难度不大.

15.【答案】3.9

【解析】解：设04段对应的函数解析式为〉=上，

将(5,300)代入，得：5k=300,

解得k=60,

即。4段对应的函数解析式为y=60%,

设CD段对应的函数解析式为y=ax+b,

(2.5a+b=80

14.5a+b=300'

解嘴：端5,

即CD段对应的函数解析式为y=110x-195,

令110x-195=60x,得x=3.9,

即货车出发3.9小时与轿车相遇，

故答案为：3.9.

根据函数图象中的数据，可以分别求得。力段和CD对应的函数解析式，然后令它们相等，求得x的值，即可

得到货车出发几小时与轿车相遇.

本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

16.【答案】4/3-4

【解析】解：如图，延长B4至点H,使连接尸H、CH,

•••GF=BG,BA=AH,

46是4BHF的中位线，

AG=\FH,

•••四边形4BCD是菱形，

•••AB=BC=CD=DA=AH=8,

8H=4"+2B=8+8=16,4AHC=乙4CH,

连接4C,

•••AABC=60°,

・・・△/8C是等边三角形，

・•・乙4cB=ABAC=60°,

•・•Z.BAC=^AHC+乙ACH,

・・・乙AHC=Z.ACH=30°,

・•・乙BCH=乙ACB+Z.ACH=60°+30°=90°,

在RtABCH中，由勾股定理得：CH=y/BH2-BC2=V162-82=8/3,

由折叠的性质得：CF=AD=8,

・・•点尸在以C为圆心，以8为半径的圆上，

•・•CF+FHNCH,

・・・当点C、F、〃三点共线时，以1+?”值最小，

•・,CF为定值8,

.%CF+尸H值最小时,FH值最小,

1

•・•AG=*,

••・当点C、F、H三点共线时，AG的值最小，

此时，FH=CH-CF=8yf3-8,

.•■AG=^FH=^x(8/3-8)=4/3-4,

故答案为：4yJ~3-4.

延长84至点H,使B4=4H,连接F〃、CH,易证4G是△BHF的中位线，得出AG=；FH,连接4C,再证

△ABC是等边三角形，求出4BCH=90。，由勾股定理求出CH=8，W，然后由折叠的性质得CF=4。=

8,推出点F在以C为圆心，以8为半径的圆上，最后证当点C、F、”三点共线时，4G的值最小，即可得出

结果.

本题考查了折叠的性质、三角形中位线定理、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三

角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，正确作出辅助线，将4G转为三角形中位线是解题的关键.

17.【答案】解：原式=1+x?一：

=1+1+1-|

=1+1

=2.

【解析】根据实数的运算法则，绝对值，零指数基，负整数指数基，特殊角的三角函数值直接计算即可.

本题考查实数的运算，绝对值，零指数基，负整数指数基，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握

知识点，正确计算.

(2(x+1)>3x+1@

18.【答案】解：「x-i",

亍②

由①得：x<1：

由②得：X>-2,

所以不等式组的解集是：

则不等式组的整数解是：-1,0,1.

【解析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，在解集中找出整数即

可.

此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

19.【答案】证明：•••四边形4BCD是平行四边形,

•••AB=DC,AB!!DC,OD=OB,

・••Z.ABE=乙CDF,

•・•点E,F分别为OB,。。的中点，

・・.OE=ED,OF=BF,

・・・BE=DF,

在△ABE和△CDF中，

AB=CD

乙ABF=乙CDE,

BE=DF

•••△48E"COF(SAS),

・•.AE=CF.

【解析】利用SAS证明△ABEgaCD/后利用全等三角形对应边相等即可证得结论.

考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

20.【答案】解：(1)如图：过点。作DGLAB,垂足为G,

由题意得：四边形DG8F是矩形，

・•・DG=BF=12cm,BG=DF=16cm,

在RMDGB中，tan/BDG=怒=当=?,

DG1Z3

・•・乙BDG=53°,

・・・乙PDH=乙BDG=53°,

・•・入射角a的度数为53。；

(2)vBG=16cm,BC—7cm,

CG=BG-BC=9(cm),

在Rt△COG中，DG=12cm,

・•.DC=VCG2+DG2=V92+122=15(cm),

・•・sinp=sinZ-GDC=黑=得=|，

由(1)得：Z.PDH=53°,

4

・•・sin乙PDH=sina«

4

s-4

5

=I-n丽a=-=-

33

s-

5

•••光线从空气射入水中的折射率n约为g.

【解析】(1)过点。作DG_LAB,垂足为G,根据题意可得：四边形DGBF是矩形，从而可得。G=BF=

12cm,BG=DF=16cm,然后在Rt^DGB中，利用锐角三角函数的定义求出tan/BDG的值，从而可得

Z.BDG=53°,再根据对顶角相等可得4PDH=N8DG=53。，即可解答；

(2)根据己知可得CG=9cm,然后在RtACOG中，利用勾股定理求出C。的长，从而利用锐角三角函数的定

义求出sin/GDC的值，再利用(1)的结论可得：Z.PDH-53°,从而可得sinz_PDH=sina弋"最后进行计

算即可解答.

本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

21.【答案】(1)证明：连接0E,

vEG是00的切线，

・・・OELEG,_X—

G5V0Jc

vBF1GEf

・・.OE//AB,

・,•乙4=Z-OEC,

•・・OE=OC,

・••Z.OEC=乙C,

Z-A=乙C,

v乙ABG=+Z.C,

•0.乙ABG=2zC；

(2)解：vBF1.GE,

・・,乙BFG=90°,

VGF=3/3，GB=6,

BF=7BG2—GF2=3.

・♦・乙FGB=30°,

:•令OE=r,则2r=r+6

r=OE=6,

.■.o。的半径为6.

【解析】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关

键.

(1)连接0E,根据切线的性质得到OELEG,推出0E〃/IB,得到=40EC,根据等腰三角形的性质得

到NOEC=NC,求得NA=NC,根据三角形的外角的性质即可得到结论；

(2)根据勾股定理得到BF=VBG2-GF2=3,根据含30。角的直角三角形的性质即可得到结论.

22.【答案】解：(1)设足球的单价为久元，篮球的单价为y元，

依题意得:卷7短第0,

解得:［；：90-

答：足球的单价为60元，篮球的单价为90元；

(2)设购买篮球ni个，则购买足球(80-巾)个，

依题意得：90m+60(80-m)<6000,

解得：m<40.

答：学校最多可以购买40个篮球.

【解析】(1)设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，根据“购买1个足球和2个篮球共需240元，购买2个

足球和3个篮球共需390元”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设购买篮球m个，则购买足球(80-机)个，利用总价=单价x数量，结合购买总资金不超过6000元，即

可得出关于小的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论.

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确

列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

23.【答案】解：(1)(3,1),3；

(2)设C'(3+m,l),

卜2=2771=3+771»

m=3,则点q(3,2),

将点4'坐标代入反比例函数表达式得：的=2x3=6；

(3)存在，理由：

•••4(3,2),C<6,1),夕(4,0),

设4B'中点为D,则D©,1),

由点夕、C'的坐标得，直线B'C'的表达式为：y="x-2,

延长C的交y轴于点H,则点4(0,-2),

作DP〃夕C'交y轴于点P,

点P即为所求点；

DP点关于直线B'C'的对称直线与y轴交点P'也为所求点,

由中点坐标公式得，点P'(0,-当，

综上，点P的坐标为：(0,-今或(0,-苧).

【解析】解：为等腰直角三角形，

则84=BC,乙ABC=90°,

・・・(ABO+乙CBH=90°,

•・•Z.CBH+乙BCH=90°,

・•・Z,ABO=乙BCH,

在△4B0和△8”。中,

AABO=乙BCH

乙AOB=4BHC=90°

BA=BC

BCH(AAS),

BH=AO=2,CH=OB=1,

•••C(3,l),

将点C的坐标代入反比例函数表达式得：自=3x1=3,

故答案为：(3,1),3；

(2)见答案;

(3)见答案。

(1)证明△ABO丝△BHC(44S),进而求解；

(2)设4(m,2),C'(3+m,l),则k2=2m=3+m,进而求解；

(3)求出。弓,1),作DP〃夕C'交y轴于点P,点P即为所求点；DP关于直线B'C'的对称直线与y轴交点P'也为

所求点，即可求解.

本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到三角形全等、平行线的性质、面积的计算等，有一定的综合

性，难度适中.

24.【答案】等腰直角三角形

【解析】解：(1)如图1所示：——水

•.•四边形ABCD是正方形，

^BDC=45°,需=等,4840=90。,AB=AD,

由旋转的性质得：AB=AB',ZBAB'=60°,图1

•••AB=AD=AB',△ABB'为等边三角形，^B'AD=90°-60°=30°,

A^AB'B=60°,/.AB'D=|(180°-30°)=75°,

•1•乙DB'E=180°-60°-75°=45°,

vDE1BB',

•••4DEB'=90°,

4B'DE=45°,

.•.△OEB'为等腰直角三角形，

•••乙BDC=乙B'DE=45°,

DB'2

・•・Z.BDC-LB'DC=乙B'DE-乙B'DC,即4BOB'="DE,

..CD_DE_>[!>

：~BD~~DB'=~9

BOB'S△CDE,

BB'BDe

’7F=而='2'

故答案为：等腰直角三角形，/2;

(2)①两个结论仍然成立，理由如下：

连接BD,如图2所示：

由旋转的性质得：AB=AB',Z.BAB'=a,

•••乙AB'B=g(180°-a)=90°-热

^LB'AD=a-90°,AD=AB',

•••Z.AB'D=1(180°-a+90°)=135°-p

乙EB'D=/.AB'D-乙AB'B=135°-|-90°+f=45°,

•••DE1BB',

乙EDB'=乙EB'D=45°,

.•.△DEB'是等腰直角三角形，

陛=g

DEv

•••四边形ABCD为正方形，

普=/I，乙BDC=45°,

.-BD=--DB»'

CDDE

・・•乙EDB'=乙BDC,

・•・乙B'DB=乙EDC,

・•.△B'DBs^EDC,

:.—=—=7乙,

CECDv

(1)中的两个结论不变，依然成立；

②若以点B',E,C,。为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论:

第一种：以CD为边时，则CO〃B'E,

此时点8'在线段B4的延长线上，如图3所示：

此时点E与点4重合，

BE=CD=B'E,

BE_.

“苑=L

第二种：当以CD为对角线时，如图4所示：

•••四边形CB'OE是平行四边形，

B'F=EF=aB'E,点、F为CD中点,

BC=CD=2CF,

■：DE1BB',

•••CB'1BB',

■■Z.BB'C=ACB'F=90°,

vZ.BCF=90°,

乙BCF=LCB'F=乙BB'C,

,:4CBF=Z-B'BC,Z.BFC=/.CFB',

•••△BCFSACB'FS&BB'C,

BC_CB'_BB'_c

"CF=FF=CB7=

•••BB'=4B'F,

；.BE=6B'F,B'E=2B'F,

.BE_6B'F_

"WE=5F7=s'

综上所述，黑的值为3或1.

⑴由正方形的性质得NBDC=45。，黑=军^BAD=90°,AB=AD,由旋转的性质得力B=A9,

BD2

/.BAB'=60°,推出△ABB'为等边三角形，/.B'AD=30°,4AB'B=60°,Z-AB'D=75°,/.DB/E=45°,

易证△DEB'为等腰直角三角形，得出NBDC=NB'DE=45。，再证△CDE,即可得出

DB2

结果;

(2)①由旋转的性质得4B=AB',4BAB'=a,推出乙4夕8=90。一*/.AB'D=135°-f,乙EB'D=

45。，易证AOEB'是等腰直角三角形，得出器=心，由正方形的性质得整=，2,4BDC=45。，再证明

△B'DBSAEDC,即可得出结论；

②若以点B',E,C,D为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论：第一种以CD为边时，则

CD//B'E,此时点夕在线段的延长线上，此时点E与点4重合，BE=CD=B'E,即可得出结果；第二种

以C。为对角线时，由平行四边形的性质得B'F=EF="夕凡点尸为C。中点，证明△BCFSACB'Fs4

BB'C,得出保=隽=需=2,则BB'=4B'F,BE