2023-2024学年广东省深圳市八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年广东省深圳市福田区莲花中学北校区八年级（下）月

考数学试卷（3月份）

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

2.若x<y,则下列式子不成立的是（）

Xy

D-<-

A.%—l<y—1B.-2x<—2yC.%+3<y+322

3.若关于％的不等式（1—a）%>3的解集为％</，贝b的取值范围是（）

A.a<B.a>1C.aW1D.a<—1

4.如果点P（l-%-3）在平面直角坐标系的第三象限内，那么％的取值范围在数轴上可表示为（）

5.如图，将△ABC绕点/顺时针旋转一定的角度得到△ZB'C',此时点夕恰

在边/C上，若48=2,AC，=5,则BC的长为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

6.如图，RtATlBC的斜边48的垂直平分线MN与AC交于点M,乙4=

15°,BM=2,则AAMB的面积为（）

A.1

B.2

C.4

D.5

7.下列说法中，正确的结论有个.（）

①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；

②三角形三条边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等；

（3）“对顶角相等”的逆命题是真命题；

④反证法证明“一个三角形中最小角不大于60。”应先假设这个三角形中最小角大于60。.

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.如图，已知正比例函数为=ax与一次函数%=+b的图象交于点P.

下面有四个结论：①a<0；@b<0；③当x>0时，>0；④当无<

-2时，为>为■其中正确的是（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

9.如图，在平面直角坐标系xOy中，己知△OAB是以点4为直角顶点的等腰直角

三角形，点B在y轴正半轴上，点4（-1,1）,将△208沿x轴正方向平移得到△

DCE,若点E恰好落在直线y=上，则此时点。的坐标为（）

A.(2,1)B.(3,1)C.(4,1)D.(5,1)

10.如图，在AABC中，AB=6,将△力BC绕点8按逆时针方向旋转30。

后得到△4/6,则阴影部分的面积为（）

A.6

B.6/3

C.973

D.9

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.与点P(3,-4)关于原点。中心对称的点的坐标为.

12.如果关于x的不等式组产:5无解，那么根的取值范围是.

13.如图，在△48C中，NR4c=80。，将△ABC绕点2逆时针旋转110。得到△

ADE,点B的对应点。恰好落在BC的延长线上，则NE的度数为°.

14.如图，已知乙4。8=60。，点P在边04上，OP=16,点M、N在边。8上,

PM=PN,若MN=2,则。M=

15.如图，已知AABC中，^ACB=90°,ABAC=30°,BC=2,AB=4,AC=

2/3,点。为直线4B上一动点，将线段CD绕点C顺时针旋转60。得到线段CE,连接

ED、BE,点F在直线4F上且。F=8C,则BE最小值为.

三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题7分)

解不等式(组)，并把(2)的解集在数轴上表示出来.

(l2)Yy-—^1<1;

r4x—6<3(%—1)

(^)3+31+1%

->

-5—4—3—2—102345

17.(本小题7分)

若关于x,y的二元一次方程组［；；；；=3a+J的解都是正数.

(1)求a的取值范围；

(2)若此方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和底边的长，且这个等腰三角形的周长为12,求a的值.

18.(本小题7分)

如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△48C的三个顶点的坐标分别为

4(-1,3),5(-4,0),C(0,0).

(1)将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△&&G，画出并直接

写出点&的坐标；

⑵△ABC绕原点。逆时针方向旋转90。得到△&4。，按要求作出图形；

(3)如果△⑸殳。，通过旋转可以得到△414C1，请直接写出旋转中心P的坐标.

19.(本小题7分)

如图，在AABC中，4D平分ABAC,ZC=90°,DE14B于点E,点F在4c上，BD=DF.

(1)求证：CF=EB.

(2)若力B=12,AF=8,求CF的长.

20.(本小题9分)

某超市准备购进4、B两种商品，进3件力，4件B需要270元；进5件42件B需要310元；该超市将4种商品

每件的售价定为80元，B种商品每件的售价定为45元.

(1)2种商品每件的进价和8种商品每件的进价各是多少元？

(2)商店计划用不超过1560元的资金购进4B两种商品共40件，其中4种商品的数量不低于B种商品数量的

一半，该商店有几种进货方案？

(3)端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件4种商品售价优惠机(10＜根＜20)元，B种商品售价

不变，在(2)的条件下，请设计出小的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案.

21.(本小题9分)

如图，在平面直角坐标系中，已知点4(0,6),AAOB为等边三角形，P是x轴上一个动点(不与原点。重合

(1)求点B的坐标；

(2)在点P的运动过程中，乙4BQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由.

(3)连接。Q,当0Q〃/1B时，求点P的坐标.

22.(本小题9分)

探究题：(1)特殊情景：

图⑴图(3)

如图(1),在四边形48CD中，AB^AD,以点4为顶点作一个角，角的两边分别交BC,CD于点E,F,且

^EAF=^BAD,连接EF,若NB4D=NB=ND=90。，探究：线段BE,DF,EF之间的数量关系为:

(提示：延长CD到H,使。"=BE,链接4从)

(2)类比猜想：类比特殊情景，在上述⑴条件下，把“/BAD=Z5=ZD=90°”改成一股情况“乙B+

=180。，”如图(2),小明猜想：线段BE,DF,EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明结

论.

(3)解决问题：如图(3),在△ABC中，^BAC=90°,AB=AC=4,点、D,E均在边8C上，且=

45°,若80=V2,计算。E的长度.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：4不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

8.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

。.既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D.

根据把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心

对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图

形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.

此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重

合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原来的图形重合.

2.【答案】B

【解析】解：由x<y,

可得:x—1<y—1,—2.x>—2y,x+3<y+3,

故选：B.

各项利用不等式的基本性质判断即可得到结果.

此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解本题的关键.

3.【答案】B

【解析】解：由关于x的不等式(1-a)x〉3的解集为得

1—a<0,

解得a>1,

故选：B.

根据不等式的性质3,不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案.

本题考查了不等式的解集，利用了不等式的性质3,不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方

向改变.

4.【答案】D

【解析】解：♦.■尸（1一%,%—3）在平面直角坐标系的第三象限内,

C1—%<0

••L-3<0，

解得：1<x<3,

在数轴上表示为：

故选：D.

根据点的位置得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项.

本题考查了点坐标特点、一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集等知识点，能求出不等式组的

解集是解此题的关键.

5.【答案】B

【解析】解：•••将△ABC绕点4顺时针旋转一定的角度得到

•••AB=AB',AC=AC,

AB=2,AC=5,B'C=AC-AB'=5-2=3,

故选:B.

由旋转的性质可得48==2,AC=AC=5,即可求解.

本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键.

6.【答案】A

【解析】解：••・&△ABC的斜边48的垂直平分线MN与AC交于点M,N/1=15。，BM=2,

：.AM=BM=2,^ABM=N4=15°,

.­.乙BMC=z.A+^ABM=30°,

1i

BC==/2=1,

1i

SMMB=2aM-BC=-x2x1=1.

故选：A.

先根据线段垂直平分线的性质得出AM=BM,AABM==15°,再根据三角形外角的性质求出N8MC的

度数，根据含30。角的直角三角形的性质求出BC的长，根据三角形的面积公式进而可得出结论.

本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答

此题的关键.

7.【答案】C

【解析】解：①在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，说法正确；

②三角形三条边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，说法正确；

③“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，则这两个角为对顶角，此命题为假命题，本小题说法错

误；

④反证法证明“一个三角形中最小角不大于60。”先应假设这个三角形中最小角大于60。，说法正确；

故选：C.

根据角平分线的性质，垂直平分线的性质、命题及逆命题的判断、反证法判断即可.

本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质、命题及逆命题的判断、反证法，解题的关键在于能

够熟练掌握相关知识进行求解.

8.【答案】B

【解析】解：由yi=ax图象可知，a<0,故①正确；

由乃=2%+b的图象可知，b>0,故②不正确；

,；yi=ax中，为随着久增大而减小，二当x>0时，<0,故③不正确；

由图象可知，当久<一2时，>y2,故④正确.

故选:B.

根据一次函数中k和6的符号可以判断①②；根据函数增减性可以判断③，根据图象可以判断④.

本题考查了一次函数的性质，仔细观察图象经过的象限、图象的增减性是解决本题的关键.

9.【答案】B

【解析】解：•••点4的坐标为(-1,1),

OA=7(-1-0)2+(1-0)2=72,

•■•A04B是以点4为直角顶点的等腰直角三角形，

AB=y[2OA=2,

.・•点B的坐标为(0,2).

,・,点E是点8向右平移得到的点，

.••点E的纵坐标为2.

当y=2时，=2,

解得：x=4,

.・•点E的坐标为(4,2),

.・•点E是点B向右平移4个单位长度得到的点,

点。是点a向右平移4个单位长度得到的点,

.・•点。的坐标为(3,1).

故选：B.

由点力的坐标，可得出。4的长，结合等腰直角三角形的性质，可得出4B的长，由平移的性质，可知点E的

纵坐标为2,利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点E的坐标，结合点B的坐标，可得出点E是点B向

右平移4个单位长度得到的点，进而可得出点。是点2向右平移4个单位长度得到的点，再结合点2的坐标，

即可得出点。的坐标.

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及坐标与图形变化-平移，利用平移的性质

及一次函数图象上点的坐标特征，找出点E的坐标是解题的关键.

10.【答案】D

【解析】解：在ATIBC中，AB=6,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30。后得到△2/G，

•••A^B—AB=6,

・•.△A/4是等腰三角形，^ArBA=30°,

如图，过七作148于D,则①。=豹/=3,

又S阴影=S^A1BA+S^A1BC1-S“BC,

SAABQ-SAABC，

S阴影=SA4]B4=9.

故选：D.

根据旋转的性质得到AABC之△a/Q,AXB=AB=6,所以△&B4是等腰三角形，依据N&B4=30。得

到等腰三角形的面积，由图形可以知道S切影=SAA1BA+S^A1BC1-S“BC=S^A1BA,最终得到阴影部分的面

积.

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；

旋转前、后的图形全等.运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键.

11.【答案】(一3,4)

【解析】解：根据中心对称的性质，可知：点P(3,-4)关于原点。中心对称的点的坐标为(-3,4).

故答案为：(-3,4).

根据平面直角坐标系中任意一点PQ,y),关于原点的对称点是(-居-y),然后直接作答即可.

本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图

形.

12.【答案】m>5

【解析】解：,•・关于x的不等式组产：5无解,

m>5,

故答案为：m>5.

根据找不等式组解集的规律得出即可.

本题考查了解一元一次不等式组和不等式的解集，能熟记找不等式组解集的规律是解此题的关键.

13.【答案】65

【解析】解：■.•将AABC绕点4逆时针旋转110。得到AADE,

AAB=AD,乙BAD=110°,乙iCB=乙E,

•••4ABC=35°,

•••4BAC=80°,

NACB=65°=NE,

故答案为：65.

由旋转的性质可得4B=AD,/.BAD=110°,^ACB=4E,由等腰三角形的性质可求乙4BC=35°,由三

角形内角和定理可求解.

本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键.

14.【答案】7

【解析】解：过点P作PH10B于点H,/A

则NP”。=90°,/K

•••PM=PN,MN=2,/<\

MH=NH=1,/'\

/町/I\

•••乙AOB=60°,OMHNB

：.AOPH=30°,

1

OH=^OP,

•••OP=16,

OH=8,

■.OM=OH-MH=8-17,

故答案为：7.

过点P作PHI。8于点H,根据等腰三角形的性质可得MH=NH,根据含30。角的直角三角形的性质可得

OH=^OP,再根据OM=OH-MH求解即可.

本题考查了等腰三角形的性质，含30。角的直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键.

15.【答案】/3

【解析】解・.•/-ACB=90°,^BAC=30°,

•••乙ABC=60°,即NBDC+乙BCD=60°,

由旋转可知：CD=CE,LDCE=60°=Z.BCE+乙BCD,

・•.Z.BDC=(BCE,

在^CDF^AECB^,

DF=BC

乙FDC=乙BCE,

CD=CE

••.△C0%ZkEC8(S/S),

CF=BE,则当CF1AO时，C尸最小,即BE最小,

•；BC=2,AB=4,AC=2<3,^ACB=90°,

.••点。到的距离为专注=空等=<3,

/ID4

BE的最小值为，3,

故答案为：V-3.

首先通过证明△CDF=△ECB(SAS)得到CF=BE,再根据垂线段最短将最小值转化为点C到4。的距离，最

后利用面积法计算即可.

本题考查了全等三角形的判定和性质，面积法，旋转的性质，垂线段最短，知识点较多，解题的关键是能

够通过全等三角形的性质将所求线段转化为其他线段.

16.【答案】解：⑴竽—个W1,

4x-3(3x-1)<6,

4%—9%+3<6,

4%—9%<6—3,

-5%<3,

、

x>--3；

(4%—6<3(%—1)

>l+|x'

解第一个不等式得X<3,

解第二个不等式得x2-2.

故不等式组的解集为-2<x<3,

在数轴上表示出来为：

-5-4-3-2-I012345

【解析】(1)不等式去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1,求出解集即可；

(2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分，表示在数轴上即可.

此题考查了解一元一次不等式(组)，熟练掌握不等式(组)的解法是解本题的关键.

17.【答案】解：(1)解｛3:x—y=2a—5/曰=a—1

-%+2y=3a+3"(y=a+2

•••若关于x、y的二元一次方程组二:二;?的解都为正数，

(CL—1>0

ta+2>0'

解得：a>1；

(2)•・•二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和一条底边的长，这个等腰三角形的周长为12,

*'.2(。-1)+a+2=12,

解得：a=4,

・,•％=3,y=6,

故3,3,6不能组成三角形，

二2(a+2)+a-1=12,

解得：a=3,

%-2>y=5,

故2,5,5能组成等腰三角形，

a的值是3.

【解析】(1)先解方程组用含a的代数式表示x,y的值，再代入有关x,y的不等关系得到关于a的不等式求

解即可；

(2)首先用含m的式子表示x和y,由于x、y的值是一个等腰三角形两边的长，所以％、y可能是腰也可能是

底，依次分析即可解决，注意应根据三角形三边关系验证是否能组成三角形.

主要考查了等腰三角形的性质，方程组的解的定义和不等式的解法.理解方程组解的意义用含小的代数式

表示出x,y,找到关于x,y的不等式并用a表示出来是解题的关键.

18.【答案】解：(1)如图，即为所求.

点4的坐标为(4,4).

(2)如图，△&B2。即为所求.

yjk

(3)如图，连接44，B$2,作4遇2与当殳的垂直平分线，相交于点P,则点P即为△42%。与△4/1G的

旋转中心，

••・旋转中心P的坐标为(3,-2).

【解析】(1)根据平移的性质作图，即可得出答案.

(2)根据旋转的性质作图即可.

(3)连接&&，B/2,利用网格分别作为&，B/2的垂直平分线，两线交于点P,则点P即为△4282。与4

AiZG的旋转中心，即可得出答案.

本题考查作图-旋转变换、平移变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键.

19.【答案】(1)证明：•••2。平分NBAC,ZC=90°,DELAB^-E,

DE=DC.

在Rt△CDF与RtAEDB中，

(DF=DB

iDC=DE'

.­.Rt△CDF出RtAEDB(HL),

CF=EB.

(2)解：设CF=x,贝!ME=12-x,

•••AD平分NB力C,DE1AB,

CD-DE.

在RtAACD马Rt△AED中,

..(AD=AD

'Ie。=ED'

•••RtAACD出RtAAED(HL),

AAC=AE,即8+x=12-x,

解得x=2,即CF=2.

【解析】(1)根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点。到48的距离=点。

至必C的距离即。E=CD,再根据HL证明RtZkCDF义RtAEOB,从而得出CF=EB；

(2)设CF=x,则4E=12—x,再根据题意得出RtAACD/RtAAE。，进而可得出结论.

本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键.

20.【答案】解：(1)设4种商品每件的进价为万元，B种商品每件的进价为y元,

依题意得:朦手工

解得：g：30-

答：2种商品每件的进价为50元，8种商品每件的进价为30元.

(2)设购进4种商品a件，则购进8种商品(40-a)件，

50a+30(40-a)<1560

依题意得:

a>(40-a)

z

解得：＜a＜18.

又•••a为整数，

・•.a可以为14,15,16,17,18,

••.该商店有5种进货方案.

(3)设销售这40件商品获得总利润为w元，则w=(80-m-50)a+(45-30)(40一a)=(15-m)a+

600.

若15-机＞0,即时，w随a的增大而增大，

.•.当a=18时，w取得最大值，此时40—a=40-18=22；

若15—m=0,即nt=15时，w的值不变；

若15—m＜0,即15＜小＜20时，w随a的增大而减小，

.•.当a=14时，w取得最大值，此时40-a=40-14=26.

答：当10＜小＜15时，购进4种商品18件，B种商品22件时，销售这40件商品获得总利润最大；当m=

15时，选择各方案销售这40件商品获得总利润相同；当15＜小＜20时，购进4种商品14件，B种商品26

件时，销售这40件商品获得总利润最大.

【解析】(1)设4种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据“进3件4,4件B需要270元；

进5件4,2件B需要310元”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设购进4种商品a件，则购进B种商品(40-a)件，根据“进货总价不超过1560元，且4种商品的数量不

低于B种商品数量的一半”，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，再结合a

为整数，即可得出进货方案的个数；

(3)设销售这40件商品获得总利润为w元，利用总利润=每件商品的销售利润x销售数量，即可得出w关于a

的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题.

本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)

找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；(3)

根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式.

21.【答案】解：（1）如图1,过点B作BClx轴于点C,

•••0A—6,

为等边三角形，

Z-AOB—60°,OB=OA—6,

・•・(BOC=30°,而乙。。8=90°,

-1

BC=?OB=3,OC=3<3,

.,.点B的坐标为(3A/3,3);

(2)N28Q=90。，始终不变.理由如下：

•・・△2PQ、AAOB均为等边三角形，

•••AP=AQ,AO=AB,Z-PAQ=Z.OAB,

•••Z.PAO=Z-QAB,

在△人尸。与△ZQB中，

(AP=AQ

\A.PAO=Z-QAB,

VAO=AB

丝△AQ8(S/S),

・•.Z.ABQ=Z.AOP=90°；

(3)当点P在久轴负半轴上时，点Q在点8的下方，连接。Q,

VAB//OQ,A.ABQ=90°,

.­.乙BQO=90°,乙BOQ=/.ABO=60°.

又•:OB=OA=6,

.­•乙OBQ=30°,

OQ=：OB=3,BQ=VOB2-OQ2=3^3,

由(2)可知，△APO^AAQB,

AOP=BQ=3AA3.

・•・此时P的坐标为(-30);

当点「在刀轴正半轴时，点Q必在第一象限，0Q和4B不可能平行,

综上：点P的坐标为(-3，"5,0).

【解析】(1)过点B作BC1无轴于点C,证明NBOC=30。，OB=6,借助直角三角形的边角关系即可解决

问题；

(2)证明A4P。丝△AQB(SAS),得到N2BQ=NAOP=90。，即可解决问题；

(3)根据点P在x的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果.

本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定及性质以及梯形的性质，注意利用分类讨论得出

是解题关键.

22.【答案】解：(1)8E+OF=EF；

(2)成立.

理由：^BAD=a,贝

如图，将^ABE绕点力顺时针旋转a得到△ADH,

A

・♦・Z-ABE—Z-ADHfZ-BAE=Z.DAH,AE=AH,BE—DH.

•・.AB+^ADC=180°,

・♦・Z-ADH+乙ADC=180°,

・••点C,D,”在同一直线上.

i

，・,Z-BAD-a,Z-EAF=-a,

1

•••Z-BAE+Z.FAD=-a,

1

・•・Z-DAH+Z.FAD=-a,

・・・^FAH=/,EAF,

在尸与△Z”尸中

AE=AH

乙FAH=^EAF

AF=AF

：^AEF^LAHF{SAS},