2024届高考物理复习讲义：万有引力定律及应用

万有引力定律及应用

学习目标1.了解开普勒行星三定律，会用开普勒第三定律进行相关计算。

2.理解万有引力定律，知道其内容、公式及适用范围。3.掌握计算天体质量和密

度的方法。

必备知识

1.

轨道—所有的行星绕太阳运动的轨道都是迤圆，太阳处

开定律「在椭圆的一个焦点上

普

勒面积—行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面堡

定律「相等

定

律周期所有行星的轨道的半长轴的三次方与它的公转周

定律「版的二次方的比值都相等

2.

自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在

同^¥＞它们的连线上,引力的大小与物体的质量叫和叫

「的乘积成正比,与它们之间距离r的二次方成反比

万

有

引袤因F=G四"1,G是比例系数，叫作引力常量，G=

力式一产

n22

定6.67xlO-N-m/kg

律

(1)公式适用于质息间的相互作用，当两个物体

一

—厂间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视

适用—为质点

条件

9一[_(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心

一间的距离

1.思考判断

⑴围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。(V)

(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。(x)

(3)只有天体之间才存在万有引力。(x)

(4)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离,就可以由E=计算物

体间的万有引力。(x)

(5)地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心。(V)

2.火星的质量约为地球质量的5,半径约为地球半径的;，则同一物体在火星表

面与在地球表面受到的引力的比值约为（）

A.0.2B,0.4C.2.0D.2.5

答案B

研透胸

考点一开普勒三定律的理解和应用

1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。

2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。

3.开普勒第三定律＜=左中，左值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体上

一

值不同。但该定律只能用在同一中心天体的星体之间。

例1（多选）如图1所示，两质量相等的卫星48绕地球做匀速圆周运动，用&

7、瓦、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫

过的面积。下列关系式正确的有（）

图1

A.TA>TBB.EkA>-EkB

n*Rl

C.SA=SBIj—=—

飞Ti

答案AD

2

解析根据开普勒第三定律知，A、D正确；由黑驾二乙和后女二乙机正可得Ek

RR2

=怨=因此＞心,ma=mB,则&＜入，B错误；根据开普勒第二定律知，

2R

同一轨道上的卫星绕地球做匀速圆周运动，与地心连线在单位时间内扫过的面积

相等，对于卫星Z、B,S/不等于SB,C错误。

跟踪训练

1为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P,其轨道半径约为地球半

径的16倍；另一地球卫星。的轨道半径约为地球半径的4倍。尸与。的周期之

比约为()

A.2:1B.4:1C.8：1D.16:1

答案C

解析由开普勒第三定律得指=左，故养c正确。

考点二万有引力定律的理解和应用

1.万有引力与重力的关系

地球对物体的万有引力/表现为两个效果：一是物体的重力机g,二是提供物体

随地球自转的向心力尸向，如图2所示。(设地球质量为〃)

图2

(1)在赤道上:

=mgi+mco2R。

(2)在两极上：=mgio

⑶在一般位置：万有引力G蟹等于重力加g与向心力尸向的矢量和。越靠近南

北两极g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似

等于重力，即£署=机g。

2.星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)

(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg=G^,得8=繁。

⑵在地球上空距离地心厂=氏+〃处的重力加速度g'：mg'=GMm得g=

(R+h)2

2

GM所以,(R+h)

(R+h)2R2

3.万有引力的“两个推论

推论1：在匀质球壳空腔内的任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零,

即£/引=0。

推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点（⑼受到的万有引力等于球体内半径

为r的同心球体（M）对其的万有引力，即尸=咚=

例2（2022•全国乙卷，14）2022年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在

离地球表面约400km的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一

堂精彩的科学课。通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”

中，航天员可以自由地漂浮，这表明他们（）

A.所受地球引力的大小近似为零

B.所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零

C.所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等

D.在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小

答案C

解析航天员在空间站中所受的地球引力完全提供做圆周运动的向心力，飞船对

其作用力等于零，所受地球引力大小不为零，故A、B错误，C正确；根据尸=

G等可知，他们在地球表面上所受引力的大小大于在飞船中所受的万有引力大

*

小，因此在地球表面所受引力大小大于其随飞船运动所需向心力的大小，故D

错误。

例3（2022•山东卷，6）“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图

3所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂

直。卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面2点正上方，恰好绕地球

运行〃圈。已知地球半径为民自转周期为T,地球表面重力加速度为g,则“羲

和号”卫星轨道距地面高度为（）

%2勺］

A.12〃2兀2J3-RB.12〃2兀2万

修2勺］

(3.14〃2兀213一R

答案C

解析地球表面的重力加速度为g,根据牛顿第二定律有窜2=Mg,

可得GM=gR2

根据题意可知，卫星的运行周期为7=1

n

根据牛顿第二定律，万有引力提供卫星运动的向心力,

而七GMm',4TI2,,

则有EP二机布便D+外

联立以上式子解得仁魂0R

故C正确。

跟踪训练

2.某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转的原因，其表面“赤道”处

的重力加速度为gl,“极点”处的重力加速度为g2,若已知自转周期为T,则该

天体的半径为（）

.4兀24711

A.…BRg27

gi『

2

(g2-gi)FD(gl+g2)T

C.

4兀24兀2

答案C

解析在“极点”处机g2="%在其表面“赤道”处"P-mgi=m

Ri

解得R=52一:）尸,故C正确

4版

考点三天体质量和密度的计算

天体质量和密度的计算方法

类型方法已知量利用公式表达式备注

中m4兀24712r3

r、TG—；--m~~rr

*T中GF

中加展ru2只能得

质r、VG—；--m——掰中二----

2

利用运rrG到中心

量

行天体天体的

「m中掰握

的G.-加一，

产r以

KT质量

计机中=一

中m4兀22nG

G—!—=

算r2T1

利用天体表面Gm中加

g、R叫-RZm中=一——

重力加速度G

利用近

_3兀/

中m4兀2P_GPM

G--；--m~~rr地卫星

密*T1

利用运行天体八T、R当r=R时，只需测

度m中="'3兀7?3

3兀出其运

的，=GF

行周期

计

Gm中加

算利用天体表面mg=氏2，机

P="——

g、R〃4nGR

重力加速度4》

中

角度II重力加速度法

例4宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二

者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为〃处下落，经时间/落到月球表面。

已知引力常量为G,月球的半径为凡求：(不考虑月球自转的影响)

(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；

(2)月球的质量

⑶月球的密度A

答案噂⑵警⑶盛

解析（1）月球表面附近的物体做自由落体运动,

有仁;gl

月球表面的自由落体加速度大小8月=?。

r

（2）不考虑月球自转的影响，有=月

得月球的质量/二?华。

Gt2

2hR2

（3）月球的密度p=^=y=2^。

V勺室2nRGt-

3

角度因环绕法

例5（2021・广东卷）2021年4月，我国自主研发的空间站天和核心舱成功发射并

入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列

物理量能计算出地球质量的是（）

A.核心舱的质量和绕地半径

B.核心舱的质量和绕地周期

C.核心舱的绕地角速度和绕地周期

D.核心舱的绕地线速度和绕地半径

答案D

解析根据万有引力提供核心舱绕地球做匀速圆周运动的向心力得"凸=

m一,解得机地=一,D正确；由于核心舱的质量在运算中被约掉，故无法通过

rG

核心舱的质量求解地球质量，A、B错误；已知核心舱的绕地角速度，由包丁

02r32兀

=mat2r得机地=丁，且①=不，r约不掉，故还需要知道核心舱的绕地半径,

（j1

才能求得地球质量，C错误。

跟踪训练

3.（多选）已知引力常量G,地球表面处的重力加速度g,地球半径凡地球上一个

昼夜的时间Ti（地球自转周期），一年的时间力（地球公转周期），地球中心到月球

中心的距离心，地球中心到太阳中心的距离你能计算出（）

A.地球的质量m地=巧~

_4兀汨

B.太阳的质量m太二

一GTi

_4兀2"

C.月球的质量m月=

-G乃

D.太阳的平均密度〃==

Crli

答案AB

解析设地球表面的一个物体的质量为机°,有机陪=3^9°,所以地球质量机

T，故A正确；地球绕太阳运动，有丫”臂,则叫二看,

故B正确；月球绕地球运动，能求出地球的质量，无法求出月球的质量，故C

错误；由于不知道太阳的半径，不能求出太阳的平均密度，故D错误。

4.（多选）（2023•山东临沂模拟）中国新闻网宣布：在摩洛哥坠落的陨石被证实来自

火星。某同学想根据平时收集的部分火星资料计算出火星的密度，再与这颗陨石

的密度进行比较。下列计算火星密度的公式正确的是（引力常量G已知，忽略火

星自转的影响）（）

火星的小档案

直径d=6794km

质量/=6.4219x1023kg

表面重力加速度go=3.7m/s2

近火卫星周期T=3.4h

A.”5B.”西

2兀Gd3兀d

c3兀66M

C.〃=一二；D.p=--

口GF"兀屋

答案ACD

解析设近火卫星的质量为机，火星的质量为对近火卫星，火星的万有引力

GMm2/3

提供其做匀速圆周运动的向心力，则有回2=呈2］，可得”=（却，可得火

日T'22GP

M

星的密度为"二句|3=祟，将/=累代入上式可得"二黑；又火星对近火卫

Mm

星的万有引力近似等于近火卫星的重力，则有mgo=G”,解得〃=案,因此

M盘R

火星的密度为"=03=49=3：，A、c、D正确，B错误。

虱2J九2兀Gd

36

养虚力（限时：35分钟）

A级基础对点练

对点练1开普勒三定律的理解和应用

1.（2023•福建厦门模拟）1970年4月24日，中国第1颗人造地球卫星东方红一号

发射成功，拉开了中国人探索宇宙奥秘，和平利用太空、造福人类的序幕，因此

4月24日定为“中国航天日”。52年过去了，东方红一号仍然在太空飞行，运

行在近地点441千米，远地点2286千米的椭圆轨道上，卫星质量173千克，运

行周期114分钟。贝1］（）

图1

A.东方红一号在近地点的运行速率比远地点小

B.东方红一号在近地点受到地球的万有引力比远地点小

C.地球位于东方红一号椭圆轨道的一个焦点上

D.东方红一号的运行周期大于同步卫星的运行周期

答案C

解析根据开普勒第二定律知东方红一号与地球的连线在相等时间内扫过的面

积相等，则东方红一号卫星在近地点的运行速率大于在远地点的运行速率，A错

误；根据尸=G町，因为近地点到地心的距离小于远地点到地心的距离，则东

方红一号在近地点受到地球的万有引力比远地点大，B错误；东方红一号绕地球

在椭圆轨道上运动，则地球位于东方红一号椭圆轨道的一个焦点上，C正确；根

据开普勒第三定律，东方红一号轨道的半长轴小于同步卫星轨道的半径，则东方

红一号的运行周期小于同步卫星的运行周期，D错误。

2.（多选）如图2所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，尸为近日点，。为远日点,

〃、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为To,若只考虑海王星和太阳之间的

相互作用，则海王星在从尸经过〃、。到N的运动过程中（）

海王星--一MI一、、

N

图2

A.从P到〃所用的时间等于？

B.从0到N阶段，机械能逐渐变大

C.从尸到0阶段，速率逐渐变小

D.从/到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功

答案CD

解析由行星运动的对称性可知，从产经/到0点的时间为;To,根据开普勒

第二定律可知，从产到川运动的速率大于从/到0运动的速率，可知从尸到河

所用的时间小于选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，

故机械能守恒，选项B错误；根据开普勒第二定律可知，从尸到0阶段，速率

逐渐变小，选项C正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从〃到N阶段，万

有引力对它先做负功后做正功，选项D正确。

3.（2021•全国甲卷，18）2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测

器在成功实施三次近火制动后,进入运行周期约为L8x105s的椭圆形停泊轨道，

轨道与火星表面的最近距离约为2.8x105m。已知火星半径约为3.4x106m,火

星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2,则“天问一号”的停泊轨道与火

星表面的最远距离约为（）

A.6xIO5mB.6x106m

C.6x107mD.6x108m

答案C

解析在火星表面附近，对于绕火星做匀速圆周运动的物体，有机g^二机景火,

。近+27?火+/q?

47rR3I°I

得力=一」，根据开普勒第三定律，有二=L——三一乙，代入数据解得

g火力明

7

/a-6x10m,C正确。

对点练2万有引力定律的理解和应用

4.（2021•山东卷，5）从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了

由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2

倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和

“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉

兔”所受着陆平台的作用力大小之比为（）

图3

A.9:1B,9：2C.36:1D.72:1

答案B

解析悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小等于它们所受的

Gm火加祝融

万有引力，则£邈=_腔_=”工”迎.41=9x2xU=9,故B正确。

F玉兔G.月加玉兔机月机玉兔H工2

5.（2023・河南联考）假设将来的某一天，宇航员驾驶宇宙飞船，登陆某一行星，该

行星是质量分布均匀的球体。通过测量发现，某一物体在该行星两极处的重力为

Go,在该行星赤道处的重力为0.75G。，则此物体在该行星纬度为30。处随行星自

转的向心力为（）

11

A.火GoB.-GoC.-GoD.AGO

121288

答案C

解析由万有引力定律和重力的定义可知，在两极处有哪2=GO,在赤道上有

力为F=mco2Rcos30。,联立解得尸=^Go,故C正确。

8

6.假设地球是一半径为R质量分布均匀的球体。一矿井深度为%已知质量分

布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之

比为（）

A.1--B.1+-

RR

C.lRJ

答案A

解析如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的

物体引力为零。设地面处的重力加速度为g,地球质量为〃，地球表面的物体机

受到的重力近似等于万有引力，故mg=G^,又M二p与iR3,故g=1QGR；

设矿井底部的重力加速度为g',图中阴影部分所示球体的半径升=火-d,则g'=

3TipG（R-d）,联立解得&=l—g,A正确。

地面

/弃底部

对点练3天体质量和密度的计算

7.中国空间站可供多名航天员巡访、长期工作和生活。如图4所示，空间站的轨

道可视为近地圆轨道，已知引力常量为G,下列说法正确的是（）

图4

A.在空间站工作的航天员因受力平衡而处于悬浮状态

B.若已知空间站的运行周期,可以求得航天员绕地球做圆周运动的动能

C.若已知空间站的运行周期,可以求得地球的密度

D.若已知空间站的运行周期,可以求得地球的质量

答案C

解析在空间站工作的航天员随空间站一起围绕地球做圆周运动，所受合力提供

向心力，受力不平衡，A错误；由于不知道航天员的质量，故无法求出航天员绕

地球做圆周运动的动能，B错误；设地球半径为凡空间站围绕地球做圆周运动,

由万有引力提供向心力得=机岁，则地球质量〃=魔，地球密度

PG乃V

4兀组3

=—c正确；根据/=手£知，要求得地球质量，还需知道地球的

4成3GPG0

3

半径，D错误。

8.（2023•贵州模拟）若空间站天和核心舱和地球同步卫星绕地球的运动均可以看

成匀速圆周运动，分别把它们的周期、轨道半径取常用对数后，在lgT-lgr图

像中将这两点用直线连接，如图5所示。*6为已知量，引力常量为G,则地

球的质量为（)

A•a呼B.小

C*呼D.小

答案C

解析设地球质量为根据牛顿第二定律得，万有引力提供向心力G咤=

机2，解得7=言/\两边取对数并整理得lgT=jlgr-；lg^结合图像有

47r2

=b,解得〃=.乂l()2b,故c正确

G

9.（2021•全国乙卷，18）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观

测，给出1994年到2002年间S2的位置如图6所示。科学家认为S2的运动轨

迹是半长轴约为1000AU（太阳到地球的距离为1AU）的椭圆，银河系中心可能

存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2

所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为“可以推测出该黑

洞质量约为（)

1994

/\1996

/\1997

/A,1998

*1999

Jy2000

8V-.y2001

2002

图6

A.4x104MB.4x106M

C.4x108MD.4x1010M

答案B

解析由万有引力提供向心力有^整理得黑筌,可知M与

虺

Mi

-<

中心天体的质量有关,n已知T地=1年，由题图可知恒星S2绕银

河系运动的周期e=2x（2002-1994）年=16年，解得乂\洞=4x1（）6跖B正确。

B级综合提升练

10.中国空间站天和核心舱绕地球飞行的轨道可视为圆轨道，测得空间站与地球

中心连线在以小于空间站做匀速圆周运动的周期）时间内转过的角度为仇扫过的

面积为S,忽略地球自转的影响，引力常量为G,则地球的质量为（）

ASyj2sdc2S\{2S0

A.；~D.一

GtiGto

cSyj2S02sgs0

'Gt。-Gti

答案D

解析设空间站绕地球做匀速圆周运动的半径为r,则空间站与地球中心连线在

久时间内扫过的面积为5==*兀户="，解得厂=、涔，空间站绕地球做匀速圆

2兀2v0

周运动的角速度0=4由万有引力提供向心力有6粤=侬皿2,联立解得〃=

tor2

2S\^S0…熊

口正确。

11.2021年12月9日，“太空教师”王亚平在我国天宫空间站进行了太空授课，

神舟十三号乘组航天员翟志刚、叶光富参与，让广大青少年领悟到了太空探索的

趣味。已知空间站绕地球做匀速圆周运动的周期为T,地球半径为凡地球表面

重力加速度为g,下列说法正确的是（）

图7

A.王亚平可以像在地面上那样，用天平直接测出待测物体质量m

B.翟志刚在空间站内不能用拉力器锻炼肌肉力量

C.根据题中已知物理量可求得地球质量

3蟀米

D.空间