2024届上海市南汇中学高考适应性考试数学试卷含解析

2024届上海市南汇中学高考适应性考试数学试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知AABC的内角A,瓦C的对边分别是a,b,c,且+"：1：矿"=2c?,若。为最大边，则”幺的取值范围

a2+b2c

B.(1,73)

2.尸是正四面体ABC。的面ABC内一动点，E为棱4。中点，记OP与平面成角为定值。，若点P的轨迹为

一段抛物线，贝！Jtane=（）

A.72B.正V2

D.2A/2

,-2丁

3.已知数列｛4｝的前"项和为S,,q=l,%=2且对于任意〃＞1,〃6"满足色+1+邑_]=26+1）,则（）

A.%=7B.516=240C.qo=19D.520=381

4.已知s“是等差数列｛4｝的前“项和，若5,018＜邑020＜邑019,设2=44+14+2,则数列」的前〃项和T“取最

大值时〃的值为()

A.2020B.2019C.2018D.2017

5.若xG(0,1),a=lnx,b=W,c=elnx,则a,b,c的大小关系为()

A.b>c>aB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

6.如图，在正方体ABCD—A4G。中，已知E、F、G分别是线段4G上的点，且4石=石尸==GC].则下

列直线与平面入出。平行的是（）

A.CEB.CFC.CGD.eq

7.小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居

住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（）

1433

A.—B.—C.—D.一

2584

8.一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40。的方向直线航行，30分钟后到达5处，在C处有一座

灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70。，在3处观察灯塔，其方向是北偏东65。，那么比C两点间的距离

是（）

A.6近海里B.66海里C.80海里D.海里

9.某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40）,[40,60）,[60,80）,[80,100],

若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是（）

020406080100成篇分

A.45B.50C.55D.60

10.如图，AA5C内接于圆0,A5是圆。的直径，DC=BE,DC//BE,DC工CB,DCLCA,AB=2EB=2,则

三棱锥E-ABC体积的最大值为（）

11.设厂为双曲线C：当-与=1（«＞0,》＞0）的右焦点，0为坐标原点，以。尸为直径的圆与圆，+炉=。2交于产、

a-b2

。两点.若|尸。|=|0尸I，则C的离心率为

A.72B.73

C.2D.75

12.已知数列｛4｝是公比为q的等比数列，且％,%，a2成等差数列，则公比q的值为（）

101一1

A.一一B.-2C.一1或一D.1或一—

222

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列｛%,｝的前〃项和公式为S，=2〃2-〃+1,则数列｛qj的通项公式为__

14.在面积为理的AA5C中,

ABAC=25若点M是AB的中点，点、N满足AN=2NC，则BN.CM的最

2

大值是.

15.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件4=｛抽到一等品｝,事件5=｛抽到二等品｝,事件C=｛抽到三等品｝,

且已知P（A）=0.65,尸（为=0.2,P（C）=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为

16.在ABC中，a=49Z?=5,c=6,贝！IcosA=,ABC的面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数/（X）二。一'+e'+ax,aeR.

（1）讨论了（%）的单调性；

X12

⑵若/（九）存在两个极值点X],%，证明：/（x1）-/（x2）＜（fl-2）（e-e"）.

18.（12分）如图，在直三棱柱A3C—4用。1中，AB=AC=J5，3。="=2,。为的中点，点〃在线

段AA上，且平面CBM.

(1)求证：AM-A^M•

（2）求平面MOB1与平面CB^所成二面角的正弦值.

19.（12分）已知函数/'（X）=，-6!%+；必，其中4>一1.

（I）当。=1时，求函数/（尤）的单调区间；

（II）设/z（x）=/（X）+at-gx2-Inx,求证：h（x）>2；

（III）若+%+8对于恒成立，求人―Q的最大值.

20.（12分）有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单制成4元；乙公司

无底薪，40单以内（含40单）的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元.现从这两家公司各

随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：

送餐单数3839404142

甲公司天数101015105

乙公司天数101510105

（1）从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；

（2）假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：

①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；

②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你

的理由.

21.（12分）如图所示，在三棱柱ABC—A4G中，AABC为等边三角形，ZBAB^ZBB^,A51cA8=0,CO，

平面ABB^,D是线段AC上靠近A的三等分点.

(1)求证：ABLAAX.

（2）求直线8与平面AACG所成角的正弦值.

22.（10分）已知函数/（x）=x+a«+lnx（。为常数）

（I）当a=—5时，求/（尤）的单调区间；

（II）若/（尤）为增函数，求实数”的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

由+01=2c2,化简得到cosC的值，根据余弦定理和基本不等式，即可求解.

a2+b2

【详解】

由,=2/,可得（/+叱+:一//=2e

a~+b2a2+b"

22_02)+。282

可得/+/一。2C(<7+b-

a2+b~

(«2+b--c2)(c2-a--b2)+a-b-

通分得—0,

a2+b7

整理得(4+尸—02)2=/从，所以=£>

lab4

因为C为三角形的最大角，所以cosC=-L,

2

又由余弦定理/=a2+/-2abcosC=a2+b2+ab=(a+b)2-ab

2(a+b)2—(=2)2=g(a+b)2,当且仅当q=b时，等号成立，

24

所以c〉走(a+与，即”2V拽，

2c3

又由a+b>c,所以竺的取值范围是(1,亚］.

c3

故选：C

【点睛】

本题主要考查了代数式的化简，余弦定理，以及基本不等式的综合应用，试题难度较大，属于中档试题，着重考查了

推理与运算能力.

【解析】

设正四面体的棱长为2,建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面的法向量，设P的坐标，求出向量。尸，

7t

求出线面所成角的正弦值，再由角。的范围0,-,结合。为定值，得出sin。为定值，且尸的轨迹为一段抛物线，

所以求出坐标的关系，进而求出正切值.

【详解】

由题意设四面体ABC。的棱长为2,设。为8C的中点，

以。为坐标原点，以。4为x轴，以08为y轴，过。垂直于面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系

O-xyz,

y

则可得OB=OC=1,OA=^X2=B取。L的三等分点G、尸如图,

2

in2-AG2=^~,EF,DG=

则OG=—。4=>一，AG=OE=—。4=V6

333327'

[百c2的12也屈

所以5(0,1,0)、C(0,-l,0),A、D---Ec，U,—

3333

77

V3

由题意设尸（羽"0）,DP=X—T5

•ABD和ACO都是等边三角形，E为AD的中点，.CE±AD,

BECE=E9..AD，平面5c石，.•.AO=1--1-,0,为平面BC£的一个法向量,

3y

IT

因为。尸与平面5c石所成角为定值6,则0£0,-,

由题意可得

c、2

2百73If276

-------xX-

ADDP\33、3,

sin0=|cos<AD,DP>|=]J

AD|.|DP|(2指丫

2x+y2+IF

3y

卜+四x2++3

—也氐-归氐+

J(3—1『+3_/+82+3/—2+92+3/-29'

因为P的轨迹为一段抛物线且tan。为定值，则sin8也为定值,

2y/3x%23,可得3y2=8A/§X,此时sin。=则cos9=^^,tan0-

3y2—2岳一3X2~933cos02

故选：B.

【点睛】

考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题.

3、D

【解析】

利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可.

【详解】

当九.2时，S用+S32(5"+1)nS^-Sn=S“-S”-+2n%=«„+2.

1,H=1

所以数列｛0｝从第2项起为等差数列，。C

2n-2,n..2

所以，%=6,%()=18.

5“=<+(%+?(〃-1)=根〃_1)+1,si6=16x15+1=241,

S20=20x19+1=381.

故选：D.

【点睛】

本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

4、B

【解析】

；〉0,

根据题意计算的019〉。,“2020<。，^2019+^2020>°，计算T<°，〉0,得到答案.

=2018^2019%18%19

【详解】

s〃是等差数列｛4｝的前〃项和，若52018<S2020<52019,

11

99

故“2019>°,"2020<0“2019+。2020>。，bn=故~7~一

°n4A+I"〃+2

1111

<0,>0,

当“W2017时，7->0,

2“2018^2018^2019^2020“2019〃2019a2020‘2021

1111

“2019+42020〉Q

---------1---------=-----------------------H------------------------

“2018”2019^2018^2019^2020^2019^2020^2021^201842019”2020”2021

当〃》2020时，；<。，故前2019项和最大.

b“

故选：B.

【点睛】

本题考查了数列和的最值问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.

5、A

【解析】

利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.

【详解】

VxG(0,1),

.,.a—lnx<0,

b=(—),nx>(—)°=1,

22

0<c=e/n-v<e°=l,

'•a,b,c的大小关系为b>c>a.

故选：A.

【点睛】

本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

6、B

【解析】

连接AC,使AC交6。于点。，连接a。、CF,可证四边形4OCE为平行四边形，可得利用线面平

行的判定定理即可得解.

【详解】

如图，连接AC,使AC交3。于点。，连接a。、CF,则。为AC的中点，

在正方体ABC。-A4G2中，A4〃CG且M="1，则四边形A4CC为平行四边形,

AG〃AC且4G=AC,

。、厂分别为ac、AG的中点，二4/〃oc且AR=oc，

所以，四边形为平行四边形，则CF〃4。，

•.•CFz平面A#。，A。u平面48。，因此，c尸〃平面450.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题.

7、C

【解析】

设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可.

【详解】

x<y

设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为苍y,以12：00点为开始算起，则有,「在平面直角

坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域,

10?101创010-工仓65R

p—22__■

—1070-8

故选:C

【点睛】

本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力.

8、A

【解析】

先根据给的条件求出三角形A3C的三个内角，再结合A5可求，应用正弦定理即可求解.

【详解】

由题意可知：ZBAC=70°-40°=30o.ZACZ>=110°,/.ZACB=110°-65°=45°,

:.ZABC=180°-30°-45°=105°.又43=24x0.5=12.

BC

在AA5C中，由正弦定理得------

sin450sin30°

12BC

即正—1，：・BC=6亚-

F2

故选：A.

【点睛】

本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属于中

档题.

9、D

【解析】

根据频率分布直方图中频率=小矩形的高x组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量=频会数求出班级人数.

频率

【详解】

根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是（0.005+0.010）x20=0.30,

1Q

...样本容量（即该班的学生人数）是」=60（人）.

0.30

故选：D.

【点睛】

频数

本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=怦日的应用问题,属于基础题

样本容量

10、B

【解析】

根据已知证明班1平面ABC,只要设AC=x,则3C=44—/（0<%<2）,从而可得体积

22

yE-ABc=^^4-x=^x-（4-x）,利用基本不等式可得最大值.

【详解】

因为DC=BE,DC!/BE,所以四边形DCBE为平行四边形.又因为DC±CB,DC±CA,CBr\CA=C,CB平面

ABC,C4u平面ABC,

所以DC,平面ABC,所以BE1平面ABC在直角三角形ABE中，AB=2EB=2,

设AC=x,则5c=,4—尤2（0<x<2）,

所以5土山=：40-80=：1,4—公，所

11,22、2

以匕.WC=%X-j4_x2=%水2（4_%2）.又因为尤2（4_%2）<[厂+；—X],当且仅当

/2A2、2

X2（4-X2）<、*,即x=0时等号成立，

I2J

所以（VE—ABCL。

故选:B.

【点睛】

本题考查求棱锥体积的最大值.解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后设出底面三角形一边长为X,

用建立体积£与边长X的函数关系，由基本不等式得最值，或由函数的性质得最值.

11、A

【解析】

准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率.

【详解】

设PQ与X轴交于点A,由对称性可知轴，

又|PQ|=|B|=c,.•.|PA|=],.1PA为以为直径的圆的半径，

.•公为圆心|。4|=£.

2

又P点在圆犬+/=/上，

222

CC2日nC2e£=2.

------1-------CI9即——Q,

442a

本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾,

运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半

功倍，信手拈来.

12、D

【解析】

由a3,a2成等差数列得2a3+a?,利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q的方程.

【详解】

由题意2a3=a[+22,・\2aiq2=aiq+a],/.2q2=q+l,，q=l或q=-g

故选：D.

【点睛】

本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

-2,"=1

13、a=v

"[4n-3,n>2

【解析】

由题意，根据数列的通项4与前n项和5“之间的关系，即可求得数列的通项公式.

【详解】

由题意，可知当〃=1时，q=S[=2；

当2时，an-Sn-Sn_x=2/一〃一2（〃-1）2+〃一I=4〃一3.

2,n=1

又因为q=l不满足?=4〃—3,所以4=

4n-3,n>2

【点睛】

本题主要考查了利用数列的通项与前n项和S〃之间的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项与

前n项和3之间的关系，合理准确推导是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

14、迪_2痴

3

【解析】

由任意三角形面积公式与A"AC=2百构建关系表示H5IIACI，再由已知与平面向量的线性运算、平面向量数量积

的运算转化BNCM，最后由重要不等式求得最值.

【详解】

由4ABC的面积为如得!\AB\\AC\sinZBAC=—,

222

所以1ABMqsin/5AC=",①

又A5-AC=26,即|A3||4C|COS/BAC=2G，②

由①与②的平方和得：|A3hC|=3A/2，

又点M是48的中点，点N满足AN=2NC，

所以BMC"=（5A+A7V）.（G4+AM）=,A3+gAc）,AC+；A“

4--2-21--2

=-ABAC——AC——AB

332

8A/32,「21.y,800/2A.21.28百°二

3323V323

当且仅当|402=34/n„=子,。|时，取等号，

即BNCM的最大值是为垣-2n.

3

故答案为：述一2n

3

【点睛】

本题考查平面向量中由线性运算表示未知向量，进而由重要不等式求最值，属于中档题.

15、0.35

【解析】

根据对立事件的概率和为1,结合题意，即可求出结果来.

【详解】

解：由题意知本题是一个对立事件的概率，

抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，

P(A)=0.65,

•••抽到不是一等品的概率是尸=1—尸(A)=1-0.65=0.35,

故答案为：0.35.

【点睛】

本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，属于基础题.

【解析】

利用余弦定理可求得cosA的值，进而可得出sinA的值，最后利用三角形的面积公式可得出A6c的面积.

【详解】

由余弦定理得cosA="+＞矿=5一+6、4-=』，贝°$缶A=Vl-cos2A=也，

2bc2x5x644

因此，ABC的面积为SARC=—besinA=—x5=.

c2244

故答案为："E.

44

【点睛】

本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)见解析；(2)见解析

【解析】

(1)求得了(X)的导函数/'(%),对。分成a<2,a>2两种情况，讨论/(%)的单调性.

(2)由(1)判断出"的取值范围，根据韦达定理求得和马的关系式，利用差比较法，计算

X1V1

/(^)-/(x2)-(a-2)(e-e^)=fl(e^]-e+2%)，通过构造函数且(。=『+2中>0),利用导数证得

g(/)<0,由此证得a(e』—e』+2xJ<0,进而证得不等式/&)—/(々卜.—2乂炉—巴成立.

【详解】

、(e『ae*+l

⑴(x)=-e〉'-ex+a=--------------------,

当aW2时，f(x)<0,此时/(%)在R上单调递减；

当a>2时，由/(%)=0解得.m匕仆上或.”in”耳三上，?y=e”是增函数，.•.此时〃龙)在

-a+J；心,+op单调递减，在

(2)由(1)知。>2.e$=1,xI+x2^0,占=一々，

x,

不妨设玉〉％,二不>0,f(x1)-f(x2)-(a-2)(e-e^j

=(e-Xl-炉+g)一(e——e马+5)一(a—2)(eX1-b)=a(尸一e"+2%),

令g(/)=e，—e'+>0),

g，«)=—e—‘一e'+2=—[e'+t)+2W—21年.=+2=0,

g⑴在(0,+8)上是减函数，g⑴<g⑼=0,

A1

:.a(ef-e"i+2%)<0,即/(x1)-/(x2)<(«-2)(e-e^^.

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归

与转化的数学思想方法，属于中档题.

18、见解析

【解析】

(1)如图，连接BG，交C4于点N,连接AN,ON,则N为c旦的中点，

因为。为的中点，所以ON//BB、,

又MA//BB、,所以ON〃肋4,,从而。，N,A，以四点共面.

因为0M平面C4A，。/欣匚平面^^加，平面OMI1Ml平面。44=叫，所以OM〃W4,.

又ON//M&,所以四边形OM41M为平行四边形，

所以肱4,=ON=gB3]，所以AM=AM

(2)因为A6=AC,。为BC的中点，所以AOL3C,

又三棱柱ABC—A^iG是直三棱柱，ON//BB、,

所以Q4,OB,ON互相垂直，分别以08，0N＞。4的方向为x轴、V轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间

直角坐标系。-孙z,

因为AB=AC=0，3。=明=2,所以。(0,0,0),4(1,2,0),M(0,l,l),C(-l,0,0),

所以OM=A^=(0,1,1),。耳=(1,2,0),西=(2,2,0).

OMm=0y+z=0

设平面加。用的法向量为机=(羽y,z),贝小,即

OB1•m=0x+2y=0'

令z=l，可得y=T,无=2,所以平面MO4的一个法向量为m=(2,-1,1).

NAn=0b+c=O

设平面C4A的法向量为〃=(a,b,c),贝！|,即

2a+2b=0'

CB1-n=0

令c=l,可得匕=—1,a=l,所以平面C3W的一个法向量为“=(l,-u),

2xl-lx(-l)+lxl42班

所以COS〈》l,"〉=

722+(-1)2+12Jl2+(-l)2+l23忘一3，

所以平面〃。4与平面A所成二面角的正弦值为g.

19、(I)函数/Xx)的单调增区间为(0,+8),单调减区间为(—8,0)；(II)证明见解析；(UI)1+-.

e

【解析】

(I)利用二次求导可得广'(尤)=e'+l>0,所以广(x)在R上为增函数，进而可得函数FW的单调增区间为(0,+8),

单调减区间为(-8,0);(II)利用导数可得°(x)=〃(x)=e'-工在区间(0,+8)上存在唯一零点，所以函数/x)在(0,%)

X

递减，在(%,+8)递增，则依x)，7(x0)=*-/啄='-/%,进而可证；(UI)条件等价于d-依-X/对于xeR恒

成立，构造函数g(x)=e=ax-尤，利用导数可得g(x)的单调性，即可得到g(x)的最小值为

g(/〃m+l))=a+l-(a+l)/〃(a+l),再次构造函数9(a)=l-(a+l)Zn(a+l),a>-l,利用导数得其单调区间，进而

求得最大值.

【详解】

(I)当。=1时，f(x)=e"—x+5x",

则_f(x)=eJl+x,所以/'(0)=0,

又因为〃。)="+1>o,所以m在R上为增函数，

因为/'(0)=0,所以当尤>0时，r(x)>0,为增函数，

当*<0时，/'(尤)<0,f(x)为减函数，

即函数f(x)的单调增区间为(0,+8),单调减区间为(-8,0)；

、11

(II)h(x)=ex-ax+—x2~+ax——x2-Inx=e'x-Inx,

22

则令9(x)=〃(x)=e*-工，则。(1)=e-l>0,^(-)=Je-2<0,

x2

所以(P(X)在区间(0,+8)上存在唯一零点，

1员1

设零点为瓦，则/cQ/)，且*=一,

2xo

当xe(0,x())时，h'(x)<0,当无e(尤0,+co),h'(x)>0,

所以函数以x)在(0,%)递减，在(无。，+s)递增，

h(x)..h(x。)=e"—lnx0=——lnx0,

一x0

心11

由*=—,得111%=一%0，所以/7(XO)=XO+—..2,

X。Xo

由于玉1c(g,l),〃(不)>2,从而〃(x)>2；

(III)因为/(x)..gV+x+6对于xeR恒成立，即e*-依-无.2对于xcR恒成立，

不妨令g(x)=ex-ax-x,

因为g'(尤)=/-(〃+1),a>-l,

所以g'(x)=0的解为x=ln(a+1),

则当x>/〃(a+l)时，gr(x)>0,g(x)为增函数,

当x</〃(a+l)时，gr(x)<0,g(x)为减函数，

所以g(x)的最小值为g(ln(a+l))=a+l-(a+l)ln(a+1),

则b—a,1—(a+1)历(a+1),

不妨令。(a)=1-3+1)加3+1),a>—l,

贝！10，(a)=-ln(a+l)-l=O,解得〃=—]+l,

e

所以当a<—1+工时，d(a)>0,(P(a)为增函数，

e

当。>-1+1时，(P'(a)<0,(P(a)为减函数，

e

所以9(«)的最大值为o(-l+3=l+L

ee

则人—a的最大值为1+』.

e

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，以及函数不等式恒成立问题的解法，意在考查学生等价转化思想和数学

运算能力，属于较难题.

20、(1)言29；(2)①分布列见解析，E(X)=238.6；②小张应选择甲公司应聘.

140

【解析】

(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A,可得P(A)的值.

(2)①设乙公司送餐员送餐单数为a,可得当a=38时，X=38x6,以此类推可得：当。=39时，当a=40时，X

的值.当a=41时，X的值，同理可得：当a=42时，X.X的所有可能取值.可得X的分布列及其数学期望.

②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数.可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出.

【详解】

解：(1)由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，

记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A,

29

则尸(A)=0

140

(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为九，日工资为X元，则

当〃=38时，X=38x6=228；当〃=39时，X=39x6=234；当〃=40时，X=40x6=240；

当〃=41时，X=40x6+7=247；当〃=42时，X=40x6+14=254.

所以X的分布列为

X228234240247254

13111

p

51055io

E(X)=228x-+234x—+240x-+247x-+254x—=238.6.

5105510

②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为

38x0.2+39x0.2+40x0.3+41x0.2+42x0.1=39.8,

所以甲公司送餐员的日平均工资为80+4x39.8=239.2元，

因为238.6<239.2,所以小张应选择甲公司应聘.

【点睛】

本题考查了随机变量的分布列与数学期望、古典概率计算公式、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中

档题.

21、(1)证明见解析(2)叵

11

【解析】

(1)由故=所以四边形片为菱形，再通过AC。4gACO5,证得49=30,

所以四边形ABB,A为正方形，得到AB±AA,.