（理科）（解析版）-【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（全国卷专用）

备战2024年高考数学模拟卷（全国卷专用）01（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合和集合，根据并集的定义求解即可.【详解】，，，，.故选：C.2．复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】应用复数模的求法、乘方和除法运算化简，即可确定对应点所在象限.【详解】由题设，对应点为在第四象限.故选：D3．下列结论正确的有（

）①是的充要条件②的最小值为2③命题“，”的否定是“，”④关于x的不等式有解，实数a的范围是或.A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．③④【答案】B【分析】由充分、必要性定义判断①；由基本不等式及最值取值条件判断②；由特称命题的否定：存在改任意并否定原结论判断③；根据一元二次不等式有解得求参数范围判断④.【详解】①由，即同号，故；由，即同号，故，对；②由，显然，即不成立，最小值不为2，错；③由特称命题的否定为全称命题,则，，对；④由题设，可得或，对.故选：B4．（河北省石家庄市2023届高三三模数学试题）已知函数同时满足性质：①；②对于，，则函数可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函数奇偶性和单调性的定义进行辨析即可.【详解】由函数奇偶性的定义，若函数满足，则函数为奇函数，由函数单调性的定义，若函数满足，，则函数在区间上单调递增，选项中四个函数定义域均为，，都有对于A，，故为奇函数，满足性质①，∵与均在上单调递增，∴在上单调递增，满足性质②；对于B，由指数函数的性质，为非奇非偶函数，在上单调递减，性质①，②均不满足；对于C，，故为奇函数，满足性质①，令，，解得，，∴的单调递增区间为，，故在不单调，不满足性质②；对于D，由幂函数的性质，为偶函数，在区间单调递增，不满足性质①，满足性质②.故选：A.5．在直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，，则AM与CN所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以为原点，以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，令，利用向量法求线线角即可.【详解】直三棱柱中，，如图，以为原点，以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，令，则，，.令与所成角为.则.故选：C.

6．2023年3月5号是毛泽东主席提出“向雷锋同志学习”60周年纪念日，某志愿者服务队在该日安排4位志愿者到两所敬老院开展志愿服务活动，要求每所敬老院至少安排1人，每个志愿者都要参加活动，则不同的分配方法数是（

）A．8 B．12 C．14 D．20【答案】C【分析】根据分组分配问题，结合排列组合即可求解.【详解】将4名志愿者分配到两所敬老院，则由以下两种分配方案：①一所敬老院1名志愿者，另外一所3名，则有种，②两所敬老院各安排两名志愿者，则有种，故共有种方案，故选：C7．某同学将函数的部分图象进行平移后，得到（其中）的部分图象如图所示，则这种平移可能是（

）

A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位【答案】D【分析】根据图象的特点及三角函数图象变换计算验证即可.【详解】若向左平移个长度单位得，显然当时，，与图象不符，即A错误；若向右平移个长度单位得，显然当时，，与图象不符，即B错误；若向左平移个长度单位得，显然当时，，与图象不符，即C错误；若向右平移个长度单位得，显然当时，，当时，，与图象相符，即D错误；故选：D8．某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段比赛中，如果一支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参加，若甲通过每个阶段比赛的概率均为，乙通过每个阶段比赛的概率均为，丙通过每个阶段比赛的概率均为，且三人每次通过与否互不影响，则这支队伍进入决赛的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】队伍进入决赛是指通过初赛和复赛阶段，又每个阶段至少一人通过则队伍通过，三人均未通过则该阶段队伍未通过.结合对立事件的概率与相互独立事件的乘法公式求解即可.【详解】设某个阶段甲、乙、丙三人通过比赛分别记为事件，由题意知，，设队伍通过某个阶段为事件，至少一人通过该阶段比赛则队伍通过，则其对立事件为三人均未通过该阶段比赛，即，且三人每次通过与否互不影响，则.设这支队伍进入决赛为事件，则队伍在初赛和复赛两个阶段都通过，由题意知，队伍通过每个阶段的概率都相等，则.故选：B.9．我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知，，，若P，Q的余弦距离为，，则Q，R的余弦距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题设得利用向量夹角公式求得，根据新定义及正余弦齐次运算可求目标函数值.【详解】由题意得则，又，∴，∴，，，故选：10．函数在区间的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】判断函数的奇偶性可说明C错误；判断函数的单调性结合选项中图象可判断D错误；判断函数的周期性可判断A，B。【详解】由于，，故，即为奇函数，图像关于原点对称，故C中图象错误；令，由于在上单调递增，故在上单调递增，同理推得在上单调递增，故在上单调递增，D错误；由于的最小正周期依次为，故的最小正周期为，故在上的图象和在上的图像平移后应该重合，B中图象不满足，故B错误，只有A中图象符合函数满足的上述性质，A正确，故选：A11．已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点，使得过点所作的圆的两条切线，切点为、，且，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】连接、、，则，，设点，则，分析可得，可得出的取值范围，由可求得的取值范围.【详解】连接、、，则，，由切线长定理可知，，又因为，，所以，，所以，，则，设点，则，且，所以，，所以，，故，故选：B.12．，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，构造函数，借助导数探讨函数单调性比较大小即得.【详解】依题意，，令，求导得，因此函数在上单调递增，，即，则；令，求导得，因此函数在上单调递增，，即，则，所以.故选：B第II卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且A，E，C三点共线，实数．【答案】【分析】利用三点共线，得到向量的线性关系，列出相应的方程组，解出的值，即得答案.【详解】，，，，，三点共线，存在，使得，，,,是平面内两个不共线的非零向量，，解得，实数的值为.故答案为：.14．双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点，若，则的面积为.【答案】【分析】由双曲线方程可得焦点坐标和渐近线方程，进而为等腰直角三角形，进而可得面积.【详解】由双曲线，则，渐近线方程为，所以，又，所以是以为底的等腰直角三角形，所以，所以，故答案为：.15．在中，，，，的角平分线交于，则．【答案】【分析】由余弦定理求得，然后由角平分线定理求得，，再由余弦定理利用，求得．【详解】中，由余弦定理得，解得（舍去），是角平分线，则，所以，，又由余弦定理得：，，而，因此，，，．故答案为：．

16．在正方体中，为棱上的动点，为线段的中点.给出下列四个结论：①；②直线与平面的夹角不变；③三棱锥的体积不变；④点到，，，四点的距离相等.其中，所有正确结论的序号为【答案】①③④【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法判断①②④的正确性，根据锥体体积公式判断③的正确性，【详解】对于③，，的面积为定值，到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积不变，所以③正确.以为原点建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体的边长为，设，，，，,，所以，所以①正确.，平面的一个法向量为，设直线与平面的夹角为，则不是定值，所以②错误.，，，，，所以点到，，，四点的距离相等，所以④正确.故答案为：①③④三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别是否有关，随机抽取70名学生，得到如下的列联表：倾向“坐标系与参数方程”倾向“不等式选讲”男生1525女生2010附：．0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828(1)根据表中提供的数据，判断是否有以上的把握认为倾向“坐标系与参数方程”还是“不等式选讲”与性别有关？(2)在倾向“坐标系与参数方程”的学生中，按照性别采用分层抽样的方法抽取7人，再从这7人中任选3人参与问卷调查，记3人中男生人数为，求的分布列及数学期望．【答案】(1)有以上的把握认为倾向“坐标系与参数方程”还是“不等式选讲”与性别有关(2)分布列见解析，【分析】（1）根据卡方的计算公式即可与临界值比较作答，（2）根据超几何分布的概率计算，求解概率，即可求解分布列.【详解】（1）依题意得列联表：倾向“坐标系与参数方程”倾向“不等式选讲”合计男生152540女生201030合计353570所以，（4分）所以有以上的把握认为倾向“坐标系与参数方程”还是“不等式选讲”与性别有关．（6分）（2）在倾向“坐标系与参数方程”的学生中，女生与男生的人数的比值为，所以在倾向“坐标系与参数方程”的学生抽取的7人中男生有3人．所以的取值为，则．（9分）故的分布列为：0123所以．（12分）18．（12分）从①，，成等差数列；②，，成等比数列；③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答下列问题.已知为数列的前项和，，，且________.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)(2)【分析】（1）由可得数列为等比数列，公比为，进而结合等差中项、等比中项、等比数列的前项和公式求解即可；（2）分为奇数和为偶数两种情况结合等差、等比数列的前项和公式分别进行求和，进而求解.【详解】（1）由，，当时，，两式相减得，即，所以数列为等比数列，公比为.（3分）选①，由，，成等差数列，可得，即，解得，所以.（6分）选②，由，，成等比数列，得，即，解得，所以.（6分）选③，由，得，所以.（6分）（2）当为奇数时，，记前项和中的奇数项之和为，则.（9分）当为偶数时，，记前项和中的偶数项之和为，则，故.（12分）19．（12分）如图，在三棱柱中，，，，，且平面．

(1)求证：；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面垂直的性质和判断定理可得平面，从而即可证明；（2）建立以为原点，分别以，，所在直线为，，轴的空间坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，因为，四边形是平行四边形，所以四边形是菱形，所以．（2分）又因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以．（5分）（2）解：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，则，，，，

所以，，，设平面的一个法向量为，则，取，可得，，所以，设平面的一个法向量为，则，取，可得，，所以，（9分）设二面角的大小为，因为，所以，所以二面角的正弦值为．（12分）20．（12分）已知椭圆离心率等于且椭圆C经过点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与轨迹交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．【答案】(1)(2)是定值，理由见解析【分析】（1）根据题意，由条件列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，由弦长公式可得，再表示出点到直线的距离，由三角形的面积公式，即可得到结果.【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为.（3分）（2）

设，联立直线和椭圆方程可得：，消去可得：，所以，即，则，（6分），，把韦达定理代入可得：，整理得，（9分）又，而点到直线的距离，所以，把代入，则，可得是定值1．（12分）21．（12分）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若0是函数的极小值点，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)．【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程；（2）构造函数多次求导，通过分类讨论逐次不同阶段研究导函数的符号与函数的单调性关系，最终还原为原函数的单调性分析，验证在处函数的极大（小）值的情况即可.【详解】（1）由，则，所以，即切线斜率为，又，则切点为.切线方程为，所以曲线在点处的切线方程为．（3分）（2）根据题意得，，则．由0为的极小值点，可知．设，则．（5分）（ⅰ）当时，，所以在上单调递增，又，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以0是的极小值点，符合题意．（7分）（ⅱ）当时，设，则，所以在上单调递增，，，所以存在，使得，所以当时，，单调递减，即单调递减；当时，，单调递增，即单调递增.又，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以0是的极小值点，符合题意．（9分）（ⅲ）当时，，且在上单调递增，所以当时，，单调递减，即单调递减；当时，，单调递增，即单调递增.又，所以，单调递增，不符合题意．（ⅳ）当时，，在上单调递增，，所以存在，使得，所以当时，，单调递减，又，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以0是的极大值点，不符合题意．综上，的取值范围是．（12分）（二）选考题：共10分．请