2024年中考数学最值和路径练习-垂线段最短模型

垂线段最短模型

（一）基本模型

已知:点P是直线1外一点,PH11.垂足为点H,点A,B,C在直线1上比较线段PH,PA,PB,PC的

ABHC结论：PH最短，即直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.

（二）结论推导

垂线段最短是基本事实，不需要证明.

（三）满分策略

在垂线段最短模型中，确定动点的直线轨迹是解决问题的关键，确定动点的运动轨迹为直线的方法有：①动点到定

直线的距离不变；②动点与定线段的一个端点连接后的夹角不变；③动点的坐标以某个字母的代数式表示；且可以化为

一次函数；④动点在直线上运动从而带动另一个点位似变换（见模型25主从联动模型）

二、典型例题

例1如图,NMON=45。,OP平分NMON,点A为射线OM上一点,0A=4,点E,F分别为射线OPQM上的动点,连接AE,E

F,贝！］AE+EF的最小值为___.N

考点分析：全等三角形的判定与性质、垂线段最短.

思路点拨:在ON上截取OG=OF,连接EG,过点A作AH±ON于点H,将AE+EF的最小值转化为垂线段AH的长.

例2如图,在^ABC中,NBAC=9（T,NC=60。,AB=6,点D是BC边上一动点,过点D作DE_LAD,交AB于点E,则线段AE长

度的最小值为____.

DC

考点分析：直角三角形的性质、垂线段最短.

思路点拨:取AE的中点F,连接DF,过点F作FG±BC于点G,由垂线段最短可知DFNFG,当DF±BC时DF最小.AE最小.

例3如图，△ABC是边长为5的等边三角形，ADCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F,将4DCE

绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是.

AC

例3

考点分析：等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、垂线段最短、勾

股定理.

思路点拨:设BF与AC交于点G,过点C作CHLBF于点比证^ACE^ABCD.AAFGS/\BCG显然.当NDBC最大时,AG

最小,BG最大,AF最小.当CD_LBD时NDBC最大，此时△CDF^ACEF,可求出EF的长,从而得到AF的最小值.

三、提分必练

(-)基础

1.如图.等边△ABC的边长为4,点D,E分别在边AB,AC上,将△ADE沿DE折叠,使点A落在BC边上的点F处，则CE的

最大值为___.

BFC

第1题

2如图，在RtAABC中,ZBAC=90。,AB=3,BC=5,点P为BC边上一动点，连接PA,以PA,PC为邻边作平行四边形PAQC,连

接PQ,则PQ的最小值为一.

第2题

3.如图,在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点,将^CDE沿CE翻折得△CME点M落在四边形ABCE内，点N为

线段CE上的动点,过点N作NP〃EM交MC于点P,则MN+NP的最小值为一.

第3题

4.如图1,在RtAABC中,NACB=90。,AC=2,BC=4,点D,E分别是AC,BC的中点，连接DE,^ADEC绕点C旋转，在旋转

过程中，直线AD与BE相交于点H,如图2,则AH的最大值为_.

图1图2

第4题

5.如图,在△ABC中,AB=AC,NBAC=120。,点D为BC边上一动点,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转120。得到AE,

连接DE交AC于点F,求为勺最小值.

FC

第5题

（二）提升

1.如图,正方形ABCD和RtAAEF,AB=5,AE=AF=4,连接BF,DE,将^AEF绕点A旋转，当ZABF最大时,△ADE的面积为

2.如图.在RtAABC中,NACB=90。,AC=3,BC=4,点D为BC上一点ZDAC=30°,点E为射线AD上一点,以BE,BC为边

作平行四边形BCFE,连接BF,则BF最小值为一.

第2题

3.如图,正方形ABCD的边长为4,将正方形ABCD折叠,使点B落在AD边上点P处，点C落在Q处折痕为EF，则四边形

EFQP的面积的最小值为一.

第3题

4.如图，在△ABC中,NB=90o,AB=8,BC=10,点D是斜边AC的中点,点E是AB边上一动点，将△ADE沿DE翻折得到4

A'DE,A'E交BC边于点F.则BF的最大值为一.

第4题

5.如图，在RtAABC中,."=90。,乙4=30°,BC=2,,点D为AC边上一动点，过点D作DE_LBD交AB于点E.当点D

从点A运动到点C时，AE的最大值为_点E运动的路径长为一.

D.

第5题

6如图.四边形ABCD是正方形,△DEF是等腰直角三角形，AB=4,DE=DF=2,乙EDF=90°,△DEF绕点D旋转,直线

AE与CF相交于点G.在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值为

第6题

7.如图.在△ABC中,AB=AC,NA=90。,点P是BC边上的动点,连接PC,点D,E分别是BC,PC的中点，过点E作BC的垂线，分

别交BC.AC于点F,G,连接DG交PC于点H.求潸勺最大值.

CE

第7题

8.如图，在等边△ABC中，点D是AC边上一动点，点E在BC的延长线上，DE=AB=2g,连接DE,以DE为边向上

作等边△DEF,当点D从点A运动到点C时，点F经过的路径长为一.

第8题

9.如图.NAOB=60。,点P是射线OA上一点,OP=4,点M,N分别线段OP和射线OB上的动点（点N在点M的右侧）,且MN

=28,当点M从点P运动到点O时，点N经过的路径长为—.

A

第9题

10.如图,在正方形ABCD中,AB=4,点E为对角线AC上一动点，过点E作EF_LDE,交正方形的边于点F,当点E从点A运

动到点C时，点F经过的路径长为一.

第10题

1L如图，等边△ABC的边长为2,点E,F分另U是边AB,BC上的动点(点F在点E的右侧)，且EF=但以EF为底边向右作等腰

△DEF,/EDF=12O。,当点E从点A运动到点B时,点D运动的路径长为

第11题

12.如图.NMAN=60。,点B,C分别在AM,AN上.AB=AC,点D在/MAN内部、△4BC外部,连接AD,BD,CD.下列结论:

@BD+CD>AD;②SBDC<-CD;③若BD=m,CD=①则S