2024届黑龙江省齐齐哈尔市高三下学期二模考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE3黑龙江省齐齐哈尔市2024届高三下学期二模考试数学试题一、选择题1.已知为整数集，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为.故选：D．2.若，则（）A. B.1 C.2 D.4〖答案〗A〖解析〗，.故选：A．3.样本数据16，20，21，24，22，14，18，28的分位数为（）A.16 B.17 C.23 D.24〖答案〗C〖解析〗由小到大排列为14，16，18，20，21，22，24，28，一共有8个数据，，所以分位数为.故选：C．4.在中，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由正弦定理可得，，又，所以，不妨设，所以由余弦定理得．故选：D．5.是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成．如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为1，为正多边形的顶点，则（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗如图所示，连接，，由对称性可知，，取的中点，则，，又因为正六边形的边长为1，所以，所以，故选：B．6.早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗不妨设，，则，，所以，当且仅当时取等号，即，当且仅当时取等号，所以，（）所以当时，取得最小值，故选：D．7.已知函数的最小值为，则的最小值为（）A B. C.0 D.1〖答案〗B〖解析〗因为，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，，故选：B．8.数列满足，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，，，，所以，同理可得，，．，因为，所以，则，因为，所以，故选：A．二、选择题9.已知函数，则（）A.为偶函数B.曲线的对称中心为C.在区间上单调递减D.在区间上有一条对称轴〖答案〗BD〖解析〗由题意可得：，对于选项A：因为，所以为奇函数，故A错误；对于选项B：令，解得，所以曲线的对称中心为，，故B选项正确；对于选项C：因为，即，即在内不是单调递减，故C错误；对于选项D：因为，则，且在内有且仅有一条对称轴，所以在区间上有且仅有一条对称轴，故D选项正确；故选：BD．10.已知为坐标原点，抛物线的焦点在直线上，且交于两点，为上异于的一点，则（）A. B.C. D.有且仅有3个点，使得的面积为〖答案〗ACD〖解析〗因为抛物线的焦点在直线上，故代入得，所以，A选项正确；设，将抛物线与直线联立，得，即.所以由韦达定理得，，，B选项错误；由直线的斜率为，知其倾斜角为，故，所以，C选项正确；设的坐标为，到直线的距离为，则的面积.从而的面积为当且仅当.另一方面，直线的方程是，由点到直线的距离公式，知到直线的距离.所以当且仅当，即.而我们有.故满足条件恰有三个：.所以有且仅有3个点，使得的面积为，D选项正确.故选：ACD．11.已知函数的定义域为，设为的导函数，，，，则（）A. B.C.是奇函数 D.〖答案〗ABD〖解析〗函数，对任意，，对于A，令，得，而，则，A正确；对于B，令，得，则，两边求导得，，即，因此关于对称，，B正确；对于C，由，得，令，得，两边求导得，即，因此，函数是偶函数，C错误；对于D，由，得，则，因此函数的周期为4，，D正确.故选：ABD.三、填空题12.已知为坐标原点，，为圆上一点且在第一象限，，则直线的方程为______．〖答案〗〖解析〗根据题意，作图如下：易知点在圆上，由可知，，所以，又因为，所以，则直线斜率，故直线的方程为．故〖答案〗为：.13.某工厂为学校运动会定制奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，已知奖杯的底座是由金属片围成的空心圆台，圆台上下底面半径分别为1，2，将一个表面积为的水晶球放置于圆台底座上，即得该奖杯，已知空心圆台（厚度不计）围成的体积为，则该奖杯的高（即水晶球最高点到圆台下底面的距离）为______．〖答案〗〖解析〗如图所示，设水晶球的半径为，则，解得，设圆台的高为，则，解得，又因为水晶球球心到圆台上底面的距离，所以该奖杯的高为．故〖答案〗为：.14.设为双曲线的一个实轴顶点，为的渐近线上的两点，满足，，则的渐近线方程是______．〖答案〗〖解析〗根据题意，作图如下：依题意，为的角平分线，且，设，由角平分线定理可得：，则；在中，由余弦定理；中，由余弦定理可得，，即，解得.故，，所以的渐近线方程是．故〖答案〗为：.四、解答题15.已知不透明的袋子中装有6个大小质地完全相同的小球，其中2个白球，4个黑球，从中无放回地随机取球，每次取一个．（1）求前两次取出的球颜色不同的概率；（2）当白球被全部取出时，停止取球，记取球次数为随机变量，求的分布列以及数学期望．解：（1）设事件为“前两次取出的球颜色不同”．设事件为“第一次取出了黑球，第二次取出了白球”，则，事件为“第一次取出了白球，第二次取出了黑球”，则，因为事件与不能同时发生，故它们互斥．所以，所以前两次取出的球颜色不同的概率为；（2）依题意，的取值为2，3，4，5，6，若第二次取出了全部白球，则只有两种取法（取决于2个白球取出的先后顺序），故，若第三次取出了最后一个白球，则最后取出的白球有2种可能，另一个白球的位置有2种可能，取出的那个黑球有4种可能，故．若第四次取出了最后一个白球，则最后取出的白球有2种可能，另一个白球的位置有3种可能，取出的另外2个黑球有种组合，它们又有2种排列方式，故，若第五次取出了最后一个白球，则最后取出的白球有2种可能，另一个白球的位置有4种可能，取出的另外3个黑球有种组合，它们又有种排列方式，故，若第六次取出了最后一个白球，则最后取出的白球有2种可能，另一个白球的位置有5种可能，取出的另外4个黑球只有1种组合，它们有种排列方式，故．所以的分布列为23456所以数学期望．16.如图，在四棱锥中，平面，，，是等边三角形，为的中点．（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：由于是等边三角形，为的中点．故是等边的中线，所以，又因为平面，在平面内，所以，由于和在平面内，且交于点，，，所以平面；（2）解：取的中点，连接，则由是的中点，知是三角形的中位线，故平行于.因为平面，平行于，所以垂直于平面，即三线两两垂直.以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则由，，，，，知，，，所以，．设平面的法向量为，则，即，令，则，，故．显然平面的一个法向量为.而，故平面与平面夹角的余弦值为．17.设数列的前项和为．（1）求数列的通项公式；（2）在数列的和项之间插入个数，使得这个数成等差数列，其中，将所有插入的数组成新数列，设为数列的前项和，求．解：（1）当时，，所以，当时，，即，所以，当时，符合，所以；（2）依题意，，，，︙．所以，即，①则，②由①②可得，，所以．18.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，证明：．（1）解：当时，，则，又，所以，即，所以在点处的切线方程为，即；（2）证明：设（），则，，设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，恒成立，由可知，所以（），设（），则，，所以当时，，单调递增，，所以单调递增，，所以．19.已知椭圆的左顶点为，过且斜率为的直线交轴于点，交的另一点为．（1）若，求的离心率；（2）点在上，若，且，求的取值范围．解：（1）如图所示，由题意知，，设，由，可知，代入椭圆方程，可得，因为，所以，又，解得，所以离心率；（2）如图所示，设点，直线方程为，联立直线方程与椭圆方程可得，整理可得，解得，所以，将替换为，同理可得，，由，可得，整理得，由，解得或，，即，解得或，故解集为.综上所述，的取值范围为．黑龙江省齐齐哈尔市2024届高三下学期二模考试数学试题一、选择题1.已知为整数集，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为.故选：D．2.若，则（）A. B.1 C.2 D.4〖答案〗A〖解析〗，.故选：A．3.样本数据16，20，21，24，22，14，18，28的分位数为（）A.16 B.17 C.23 D.24〖答案〗C〖解析〗由小到大排列为14，16，18，20，21，22，24，28，一共有8个数据，，所以分位数为.故选：C．4.在中，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由正弦定理可得，，又，所以，不妨设，所以由余弦定理得．故选：D．5.是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成．如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为1，为正多边形的顶点，则（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗如图所示，连接，，由对称性可知，，取的中点，则，，又因为正六边形的边长为1，所以，所以，故选：B．6.早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若，则的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗不妨设，，则，，所以，当且仅当时取等号，即，当且仅当时取等号，所以，（）所以当时，取得最小值，故选：D．7.已知函数的最小值为，则的最小值为（）A B. C.0 D.1〖答案〗B〖解析〗因为，令，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，，故选：B．8.数列满足，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，，，，所以，同理可得，，．，因为，所以，则，因为，所以，故选：A．二、选择题9.已知函数，则（）A.为偶函数B.曲线的对称中心为C.在区间上单调递减D.在区间上有一条对称轴〖答案〗BD〖解析〗由题意可得：，对于选项A：因为，所以为奇函数，故A错误；对于选项B：令，解得，所以曲线的对称中心为，，故B选项正确；对于选项C：因为，即，即在内不是单调递减，故C错误；对于选项D：因为，则，且在内有且仅有一条对称轴，所以在区间上有且仅有一条对称轴，故D选项正确；故选：BD．10.已知为坐标原点，抛物线的焦点在直线上，且交于两点，为上异于的一点，则（）A. B.C. D.有且仅有3个点，使得的面积为〖答案〗ACD〖解析〗因为抛物线的焦点在直线上，故代入得，所以，A选项正确；设，将抛物线与直线联立，得，即.所以由韦达定理得，，，B选项错误；由直线的斜率为，知其倾斜角为，故，所以，C选项正确；设的坐标为，到直线的距离为，则的面积.从而的面积为当且仅当.另一方面，直线的方程是，由点到直线的距离公式，知到直线的距离.所以当且仅当，即.而我们有.故满足条件恰有三个：.所以有且仅有3个点，使得的面积为，D选项正确.故选：ACD．11.已知函数的定义域为，设为的导函数，，，，则（）A. B.C.是奇函数 D.〖答案〗ABD〖解析〗函数，对任意，，对于A，令，得，而，则，A正确；对于B，令，得，则，两边求导得，，即，因此关于对称，，B正确；对于C，由，得，令，得，两边求导得，即，因此，函数是偶函数，C错误；对于D，由，得，则，因此函数的周期为4，，D正确.故选：ABD.三、填空题12.已知为坐标原点，，为圆上一点且在第一象限，，则直线的方程为______．〖答案〗〖解析〗根据题意，作图如下：易知点在圆上，由可知，，所以，又因为，所以，则直线斜率，故直线的方程为．故〖答案〗为：.13.某工厂为学校运动会定制奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，已知奖杯的底座是由金属片围成的空心圆台，圆台上下底面半径分别为1，2，将一个表面积为的水晶球放置于圆台底座上，即得该奖杯，已知空心圆台（厚度不计）围成的体积为，则该奖杯的高（即水晶球最高点到圆台下底面的距离）为______．〖答案〗〖解析〗如图所示，设水晶球的半径为，则，解得，设圆台的高为，则，解得，又因为水晶球球心到圆台上底面的距离，所以该奖杯的高为．故〖答案〗为：.14.设为双曲线的一个实轴顶点，为的渐近线上的两点，满足，，则的渐近线方程是______．〖答案〗〖解析〗根据题意，作图如下：依题意，为的角平分线，且，设，由角平分线定理可得：，则；在中，由余弦定理；中，由余弦定理可得，，即，解得.故，，所以的渐近线方程是．故〖答案〗为：.四、解答题15.已知不透明的袋子中装有6个大小质地完全相同的小球，其中2个白球，4个黑球，从中无放回地随机取球，每次取一个．（1）求前两次取出的球颜色不同的概率；（2）当白球被全部取出时，停止取球，记取球次数为随机变量，求的分布列以及数学期望．解：（1）设事件为“前两次取出的球颜色不同”．设事件为“第一次取出了黑球，第二次取出了白球”，则，事件为“第一次取出了白球，第二次取出了黑球”，则，因为事件与不能同时发生，故它们互斥．所以，所以前两次取出的球颜色不同的概率为；（2）依题意，的取值为2，3，4，5，6，若第二次取出了全部白球，则只有两种取法（取决于2个白球取出的先后顺序），故，若第三次取出了最后一个白球，则最后取出的白球有2种可能，另一个白球的位置有2种可能，取出的那个黑球有4种可能，故．若第四次取出了最后一个白球，则最后取出的白球有2种可能，另一个白球的位置有3种可能，取出的另外2个黑球有种组合，它们又有2种排列方式，故，若第五次取出了最后一个白球，则最后取出的白球有2种可能，另一个白球的位置有4种可能，取出的另外3个黑球有种组合，它们又有种排列方式，故，若第六次取出了最后一个白球，则最后取出的白球有2种可能，另一个白球的位置有5种可能，取出的另外4个黑球只有1种组合，它们有种排列方式，故．所以的分布列为23456所以数学期望．16.如图，在四棱锥中，平面，，，是等边三角形，为的中点．（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：由于是等边三角形，为的中点．故是等边的中线，所以，又因为平面，在平面