趋势外推法教材

4.2趋势外推法概述一、趋势外推法概念和假定条件趋势外推法概念：

当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降趋势，没有明显的季节波动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就可以用趋势外推法进行预测。趋势－时间序列最基本的成分趋势预测主要采用曲线配合的方法，然后进行时间外推。设给出时间序列数据x1，x2，…，xn,把点（txt）(t=1,2,…,n)画在平面直角坐标系中（散点图），观察xt和t之间的关系，用一条适当的曲线xt＝f(t)近似地描述这种关系。曲线xt＝f(t)称为趋势曲线；时间t称为趋势变量趋势曲线反映了历史数据变化的规律，我们假定这种规律在未来时间也是成立的，因此只要把t=n+1,n+2,…，代入趋势方程，就可以外推到xn+1,xn+2,…，的趋势预测值。

趋势外推法的两个假定：（1）假设事物的发展过程没有跳跃式变化；（2）假定事物的发展因素也决定事物未来的发展，其条件是不变或变化不大。

二、趋势模型的种类

（一）多项式曲线外推模型：一次（线性）预测模型：二次（二次抛物线）预测模型：三次（三次抛物线）预测模型：一般形式：

（二）指数曲线预测模型：一般形式：

修正的指数曲线预测模型：（三）对数曲线预测模型：（四）生长曲线预测模型：1.皮尔曲线预测模型：2.龚珀兹曲线预测模型：

L－变量yt的极限值；b－常数；t－时间

三、趋势模型的选择

1.图形识别法：

这种方法是通过绘制散点图进行的，即将时间序列的数据绘制成以时间t为横轴、时序观察值为纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类函数曲线模型的图形进行比较，以便选择较为合适的模型。某家用电器厂1993～2003年利润额数据年份19931994199519961997199819992000200120022003利润额yt2003003504005006307007508509501020某商场某种商品过去9个月的销量数据某商场过去9年市场需求量统计数据

2.差分法：利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平稳序列。一阶向后差分可以表示为：二阶向后差分可以表示为：

K阶向后差分：计算时间序列的差分并将其与各类模型差分特点比较，可以选择适宜的模型。时序（t)yt=a+bt一阶差分（yt-yt-1)1a+b—2a+2bb3a+3bb4a+4bb………t-1a+(t-1)bbta+tbb一次（线性）模型差分计算表时序（t)yt=b0+b1t+b2t2一阶差分

（yt-yt-1)二阶差分

(yt-yt-1)-

(yt-1-yt-2)1b0+b1+b2

——2b0+2b1+4b2b1+3b2—3b0+3b1+9b2b1+5b22b24b0+4b1+16b2b1+7b22b2

…

…

……t-1b0+(t-1)b1+(t-1)2b2b1+(2t-3)b22b2tb0+b1t+b2t2b1+(2t-1)b22b2二次（抛物线）模型差分计算时序yt=aebt一阶比率(yt/yt-1)1aebeb2ae2beb3ae3beb4ae4beb……

…t-1ae(t-1)bebtaetbeb指数曲线模型差分计算表时序（t)yt=a+bct一阶差分

（yt-yt-1)一阶差的一阶比率1a+bc

——2a+bc2bc(c-1)—3a+bc3bc2(c-1)c4a+bc4bc3(c-1)c…………t-1a+bct-1bct-2(c-1)cta+bctbct-1(c-1)c修正指数曲线模型差分计算表

差分法识别标准：差分特性使用模型一阶差分相等或大致相等一次线性模型二阶差分相等或大致相等二次（抛物线）模型三阶差分相等或大致相等三次线性模型一阶差比率相等或大致相等指数曲线模型一阶差分的一阶比率相等或大致相等修正指数曲线模型直线趋势外推法适用条件：时间序列数据（观察值）呈直线上升或下降的情形。该预测变量的长期趋势可以用关于时间的直线描述，通过该直线趋势的向外延伸（外推），估计其预测值。处理方式：拟合直线方程例题：

某家用电器厂1993～2003年利润额数据资料如表所示。试预测2004、2005年该企业的利润。年份19931994199519961997199819992000200120022003利润额yt2003003504005006307007508509501020

？

？x=12345678910111213………………代入相应的x，得出预测值y………………解例3.1

某家用电器厂1993~2003年利润额数据资料如表3.1所示。试预测2004、2005年该企业的利润。年份19931994199519961997199819992000200120022003利润额2003003504005006307007508509501020年份利润额yt199320019943001995350199640019975001998630199970020007502001850200295020031020xt1234567891011xt2149162536496481100121xt*yt2006001050160025003780490060007650950011220预测值y191273.7356.4439.1521.8604.5687.2769.9852.6935.31018∑66506650649000对于时间序列，xt

的取值为1到n,即自变量xt的取值等于其下标t。采用正负对称编号法可简化计算。特别，当n为奇数时，取其中位数的编号为0，可使

拟合直线方程法的特点

拟合直线方程的一阶差分为常数（一阶导数为常数）

只适用于时间序列呈直线上升（或下降）趋势变化。对时间序列数据，不论其远近都一律同等看待。用最小二乘原理拟合的直线方程消除了不规则因素的影响，使趋势值都落在拟合的直线上。基本过程如下图:拟合直线方程法预测步骤图开始多项式曲线预测模型的一般形式：k=1直线模型k=2二次多项式模型k=n为n次多项式模型4.3多项式曲线趋势外推法

一、二次多项式曲线模型及其应用二次多项式曲线预测模型为：回总目录回本章目录设有一组统计数据，，…，，令即：解这个三元一次方程，就可求得参数。回总目录回本章目录年份200620072008200920102011201220132014销售量（万件）10.018.025.030.535.038.040.039.538.0例4-2：某商店某种产品的销售量如表所示试预测2006年的销售量，并要求在90％的概率保证下给出的预测置信区间。

第一步，确定预测模型

1、画散点图，初步确定预测模型产品的销售量基本符合二次多项式模型yt10.018.025.030.535.038.040.039.538.0一阶差分

—8.07.05.54.53.02.0-0.5-1.5二阶差分

—

—-1.0-1.5-1.0-1.5-1.0-2.5-1.02、计算差分二阶差分波动范围在－2.5~-1.0之间综合散点图和差分分析，确定选用二次曲线模型来预测年份时序（t)ytt2t4tyt2y2006-41016256-401602007-318981-541622008-225416-501002009-130.511-30.530.52010035000020111381138382012240416801602013339.5981118.5355201443816256152608合计0274607082141613.5第二步，求模型的参数b0＝35.05，b1＝3.57，b2＝－0.69预测模型为

第三步预测2015年的销售量，t=5

＝35.05+3.57×5－0.69×52

＝52.9－17.25=35.65（万件）α＝0.10tα(6)=1.943SE=0.32（万件）(35.65－1.943×0.3235.65+1.943×0.32)(35.0336.27)

趋势外推时预测的超前时间超前时间小于或等于具有的可靠的统计数据的时间超前时间小于或等于占有数据时间的1/3随着预测超前时间的增加，预测精度下降

二、三次多项式曲线预测模型及其应用

三次多项式曲线预测模型为：回总目录回本章目录

设有一组统计数据，，…，，令即：解这个四元一次方程，就可求得参数。回总目录回本章目录时序（t)yt=b0+b1t+b2t2+b3t3一阶差分

（yt-yt-1)二阶差分

三阶差分1b0+b1+b2+b3

——-2b0+2b1+4b2+8b3b1+3b2+7b3—-3b0+3b1+9b2+27b3b1+5b2+19b32b2+12b3-4b0+4b1+16b2+64b3b1+7b2+37b32b2+18b36b3

…

…

……t-1b0+(t-1)b1+(t-1)2b2+(t-1)3b32b2+6(t-1)b36b3tb0+b1t+b2t2+b3t3b1+(2t-1)b2+（3t2-3t+1）b32b2+6tb36b3三次多项式曲线模型差分计算年份2008200920102011201220132014棉布产量252340374379375385430一阶差分88345-41045二阶差分-54-29-91435三阶差分25202321【例4-3】棉布产量情况，试预测2016年的棉布产量4.4指数曲线趋势外推法

一、指数曲线模型及其应用指数曲线预测模型为：回总目录回本章目录对函数模型做线性变换，得：令，则这样，就把指数曲线模型转化为直线模型了。回总目录回本章目录年份200620072008200920102011201220132014总需求量（万件）16527045074012202010312054609000例：某商品2006～2014年投入市场以来，社会总需求量统计资料如表所示，试预测2015年社会总需求。第一步，选择预测模型1、画散点图，初步确定选用指数曲线预测模型总需求量（万件）16527045074012202010312054609000一阶比率

—1.641.671.641.651.651.551.751.652、计算一阶比率结合散点图和一阶比率，确定选用指数曲线模型第二步，求模型参数年份200620072008200920102011201220132014时序（ｔ）－４－３－２－１０１２３４Yt＝㏑yt5.115.606.116.617.117.618.058.619.11∑t=0∑t2=60∑Y=63.92∑tY=29.91≈0.5a=e7.10=1211.97所求指数模型为第三步，预测2015年需求量此时t=5＝1211.967e0.5t=1211.967e0.5×5=14764.78（万件）

二、修正指数曲线模型及其应用修正指数曲线预测模型为：回总目录回本章目录abc=?待定参数应用分组法，把整个时间序列分成相等项数的三个组，以三个组的变量总数联系起来求导。

时间序列3n项分成3组第一组变量综合

Ⅰyi第二组变量综合

Ⅱyi第三组变量综合

ⅢyiⅠyi

＝na+b+bc+bc2+…+bcn-1

＝na+b(1+c+c2+…+cn-1)

＝na+bⅡyi＝na+bcn+bcn+1+bcn+2+…+bc2n-1

＝na+bcn(1+c+c2+…+cn-1)

＝na+bcn

Ⅲyi＝na+bc2n+bc2n+1+bc2n+2+…+bc3n-1

＝na+bc2n(1+c+c2+…+cn-1)

＝na+bc2

n

Ⅱyi－

Ⅰyi＝na+bcn

－na－b

＝b

b＝（∑Ⅱy-∑Ⅰy）

Ⅲyi－

Ⅱyi＝na+bc2n

－na－bcn

＝bcn

＝cn）c=（Ⅰyi＝na+b

a＝

（∑Ⅰ－b

)年份200620072008200920102011201220132014销售量（万吨）50.060.068.069.671.171.772.372.873.2例：某商品2006～2014年销售量资料如表所示，试预测2015年的销售量？第一步，选择模型1、画散点图，初步确定模型由散点图可以初步选定修正指数曲线预测模型＝a+bct

（0＜c＜1b＜0）进行预测yt50.060.068.069.671.171.772.372.873.2一阶差分—1081.61.50.60.60.50.4一阶差分的一阶比率—

—0.80.20.940.41.00.830.82、计算一阶差分的一阶比率确定选用修正指数曲线模型进行预测年份时序(t)销售量(yi)1997050.01998160.01999268.0∑Ⅰy－178.02000369.62001471.12002571.7∑Ⅱy－212.42003672.32004772.82005873.2∑Ⅲy－218.3第二步，求模型参数c＝0.5556b＝-22.272a＝73.174预测模型为第三步，进行预测

＝73.174－22.272×0.55569

＝73.06（万吨）4.5生长曲线趋势外推法指数曲线预测不能预测接近极限值时的特性值，因为当趋近极限值时，特性值已不按指数规律增长。如果考虑极限值的影响，就会发生事物经历发生、发展到成熟的过程，因为这条曲线形状近似于S，所以称为S曲线。一、龚珀兹曲线模型二、皮尔曲线模型

一、龚珀兹曲线模型及其应用多用于新产品的研制、发展、成熟和衰退分析。工业产品寿命一般分为四个时期：一是萌发期，二是畅销期，三是饱和期，四是衰退期。龚珀兹曲线特别适用于对处于成熟期的商品进行预测，以掌握市场需求和销售的饱和量。

龚珀兹曲线预测模型为：

对函数模型做线性变换，得：

Y=K+Abt→修正指数曲线

龚珀兹曲线对应于不同的lga与b的不同取值范围而具有间断点。曲线形式如下图所示。(1)lga<00<b<1(2)lga<0b>1(3)lga>00<b<1(4)lga>0b>1kkkk(1)lga<00<b<1k

渐近线（k）意味着市场对某类产品的需求

已逐渐接近饱和状态。(2)lga<0b>1k

渐近线（k）意味着市场对某类产品的需求已由饱和状态开始下降。(3)lga>00<b<1k

渐近线（k）意味着市场对某类产品的需求下降迅速，已接近最低水平k

。(4)lga>0b>1k

渐近线（k）意味着市场对某类产品的需求从最低水平k迅速上升。求解参数：分组法1.以3n为时序的数，n为每一组的数据点个数2.式中y值用来代表预测对象所对应于各时序的数值，并将各y值变换为对数3.将第一组n个数据点的各lgy相加求和，第二组相加求和，第三组相加求和4.式中t代表时序的顺序，取t1=05.将有关数据代入下列公式中：ⅢⅡⅡⅠⅡⅠⅠⅠⅠⅡⅡⅢⅢ或【例4-6】某公司2006-2014年的实际销售额资料如表所示，试利用龚珀兹曲线预测2015年的销售额年份时序（t）销售额（万元）ylgy200604.940.6937200716.210.7931200827.180.8561∑Ⅰlgy------2.3429200937.740.8887201048.380.9232201158.450.9269∑Ⅱlgy------2.7388201268.730.9410201379.420.9741201480.241.0103∑Ⅲlgy------2.9254ⅢⅡⅡⅠⅡⅠⅠ预测模型：进行预测：计算可知，市场饱和点的需求量是k=10.73万元，2014年的销售量已达到10.24万元，2015年预测销售量可达9.948万元，产品处于生命周期的成熟阶段最高峰，销售量已无增长前景，并可能在某一时刻转入下降趋势。

对具体商品，总要经过进入市场、销售量快速增长、市场饱和、销售量下降这几个阶段。特别是轻工产品的销售额大部分都遵循“增长缓慢→迅速增加→维持一定水平→逐步减少”的规律发展变化，龚珀兹曲线是预测各种商品市场容量的最佳拟合线。时序（t)yt=kabtLgyt=lgk+btlga一阶差分

（lgyt-lgyt-1)一阶差的一阶比率1kablgk+b1lga——2kab2lgk+b2lgab(b-1)lga—3kab3lgk+b3lgab2(b-1)lgab4kab4lgk+b4lgab3(b-1)lgab……………t-1kabt-1lgk+bt-1lgabt-1(b-1)lgabtkabtlgk+btlgabt(b-1)lgab在选择应用龚珀兹曲线时，应考察历史数据y对数一阶差的一阶比率是否大致相等，若大致相等，可选用该曲线进行预测。

二、皮尔曲线模型及其应用皮尔曲线预测模型为：回总目录回本章目录L－变量yt的极限值；a、b－常数；t－时间皮尓曲线多用于生物繁殖、人口发展统计对产品的生命周期作出分析，尤其适用于处在成熟期的商品的市场需求饱和量的分析和预测。差分法：时间序列倒数的一阶差分的环比。【例4-7】某公司某商品的销售量资料如下表所示，预测该公司第22期的销售量时序t销售量（万件）yt150.87252.03353.33453.35555.09656.76758.42859.61960.581061.151161.571262.171362.551462.851563.101663.521764.251865.321966.262066.872167.161.画出散点图，选择皮尔曲线作为预测模型2.估计模型的参数b,L和a。经变换，得：建立回归方程，得：2.估计模型的参数b,L和a。利用b、L的值估算a值：时序t销售量（万件）yt1/yt1/yt+1（1/yt）×（1/yt+1）（1/yt）2150.870.0196580.019220.0003780.000386252.030.019220.0187510.0003600.000369353.330.0187510.0187440.0003510.000352453.350.0187440.0181520.0003400.000351555.090.0181520.0176180.0003200.000329656.760.0176180.0171170.0003020.00031758.420.0171170.0167760.0002870.000293859.610.0167760.0165070.0002770.000281960.580.0165070.0163530.0002700.0002721061.150.0163530.0162420.0002660.0002671161.570.0162420.0160850.0002610.0002641262.170.0160850.0159870.0002570.0002591362.550.0159870.0159110.0002540.0002561462.850.0159110.0158480.0002520.0002531563.10.0158480.0157430.0002490.0002511663.520.0157430.0155640.0002450.0002481764.250.0155640.0153090.0002380.0002421865.320.0153090.0150920.0002310.0002341966.260.0150920.0149540.0002260.0002282066.870.0149540.014890.0002230.0002242167.160.014890.000222总和0.3356320.3308640.0055880.0056712.估计模型的参数b,L和a。3.写出预测方程并进行预测。皮尔曲线预测方程为：对第22期销售量进行预测，得：4.6曲线拟合优度分析

一、曲线的拟合优度分析如前所述，实际的预测对象往往无法通过图形直观确认某种模型，而是与几种模型接近。这时，一般先初选几个模型，待对模型的拟合优度分析后再确定究竟用哪一种模型。

拟合优度指标：评判拟合优度的好坏一般使用标准误差作

为优度好坏的指标：回总目录回本章目录

例题

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