高中一轮复习数学讲义第五章平面向量

第五章平面向量

第一节平面向量的概念及其线性运算

1.向量的有关概念

名称定义备注

既有大小又有方向的量:向量的大小

向量平面向量是自由向量

叫做向量的长度（或称慢）

零向量长度为小的向量；其方向是任意的记作0

单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为*

1al

方向相同或相反的非零向量（又叫做共

平行向量0与任一向量壬后或共线

线向量）

两向量只有相等或不等，不能比较大

相等向量长度相等且方向相同的向量

小

相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量运算定义法则（或几何意义）运算律

（1⑴交换律：a+b=b+a；

三角形法则

加法求两个向量和的运算(2)结合律：(a+b)+c=a

+(b+c)

a.*

平行四边形法则

/Zh

求a与b的相反向量bZ\a-

减法-b的和的运算叫做a—b=a+(­b)

a

a与b的差三角形法则

（l）|^a|=mia|；

（2）当时，4a的方

A(JUSL)=(24)a;(2+4)a

求实数2与向量a的向与a的方向相同；当

数乘ra；

积的运算4Vo时，7a的方向与a

U(a+b)==a+7b

的方向相反;当2=0

时，2a=0

3.共线向量定理

向量a(aNO)与b共线，当且仅当有唯一一个实数3使得b=2a.

［小题体验］

1.下列四个命题中，正确的命题是()

A.若a/7b,则a=bB.若|a|=|b|,贝!)a=b

C.若|a|=|b|,则a〃bD.若2=1),则|a|=|b|

答案：D

2.m//n,n//k,则向量/n与向量《()

A.共线B.不共线

C.共线且同向D.不一定共线

答案：D

3.若。是△A5C的边A5上的中点，则向量而等于()

A.~~BC+^BAB.-^C—^BA

C.~BCD.BC+yBA

答案：A

4.已知a与b是两个不共线的向量，且向量a+北与一(b-3a)共线，贝!M=.

答案：—g

1.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错

误.

2.在向量共线的重要条件中易忽视“a70”，否则/可能不存在，也可能有无数个.

3.要注意向量共线与三点共线的区别与联系.

［小题纠偏］

1.若菱形A3C。的边长为2,CB+CD|=.

解析：IAB--CB+CD|=|AB+BC+CD|=|AD|=2.

答案：2

2.已知a,b是非零向量,命题p：a=b,命题q：|a+b|=|a|+|b|,则p是q的

条件.

解析:若a=b,则|a+b|=|2a|=2|a|,|a|+|b|=|a|+|a|=2|a|,即p今q.

若|a+b|=|a|+|b|,由加法的运算知a与b同向共线，

即a=2b,且Z>0,故q0/p.

；・P是4的充分不必要条件.

答案：充分不必要

考点一平面向量的有关概念（基础送分型考点——自主练透）

［题组练透］

1.设a。为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a=|a卜a。；②若a

与a。平行，则a=|a|ao；③若a与a。平行且|a|=l,则a=a（）.假命题的个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：选D向量是既有大小又有方向的量，a与|a|ao的模相同，但方向不一定相同，

故①是假命题；若a与ao平行，则a与ao的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向

时a=-|a|ao,故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.

2.下列说法中错误的是（）

A.有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段

B.若向量a和b不共线，则a和b都是非零向量

C.长度相等但方向相反的两个向量不一定共线

D.方向相反的两个非零向量必不相等

解析：选C选项A中向量与有向线段是两个完全不同的概念，故正确；选项B中零

向量与任意向量共线，故a,b都是非零向量，故正确；选项C中是共线向量，故错误；选

项D中既然方向相反就一定不相等，故正确.

3.（易错题）给出下列命题：

①若a=b,b=c,贝!）a=c；

②若A,B,C,。是不共线的四点，则7方=方不是四边形A5C0为平行四边形的充

要条件；

③a=b的充要条件是|a|=|b|且a〃b；

④若a〃b,b〃c,贝!）a〃c.

其中正确命题的序号是.

解析：①正确.；a=b,...a,b的长度相等且方向相同，

又b=c,Ab,c的长度相等且方向相同，

：.a,c的长度相等且方向相同，故@=以

②正确.VAB=DC,/.|AB|=\DC|JLAB//~DC,

又A,B,C,。是不共线的四点，

二四边形ABCD为平行四边形；

反之，若四边形A3C。为平行四边形，

则瓦声〃万度且|工百|=|万表|,因此，AB=DC.

③不正确.当a〃b且方向相反时，即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a〃b

不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件.

④不正确.考虑b=0这种特殊情况.

综上所述，正确命题的序号是①②.

答案：①②

［谨记通法］

向量有关概念的5个关键点

(1)向量：方向、长度.

⑵非零共线向量：方向相同或相反.

(3)单位向量：长度是一个单位长度.

(4)零向量：方向没有限制，长度是0.

(5)相等相量：方向相同且长度相等.如“题组练透”第3题易混淆有关概念.

考点二向量的线性运算(基础送分型考点——自主练透)

［题组练透］

1.(2018•武汉调研)设M为平行四边形ABC。对角线的交点，。为平行四边形43。

所在平面内的任意一点，则示+,+加+诟等于()

A.~OMB.2OM

C.3OMD.4OM

解析：选D因为M是平行四边形ABC。对角线AC,BD的交点、,所以亩+加=

2OM,~dB+~dD=2OM,所以市+区+友+访=4而.

2.(2018•温州模拟)在等腰梯形ABCD中，二蠡=一2CD,知为8c的中点，则N法=()

1―>1―>3—>1―>

A.2AB+2^^B.+5AD

C^AB+；ADD.^AB

解析：选B因为其=一2而，所以前=2方君又M是5c的中点，所以笳=［(前

+AC)=|(AB+AD+DC)=^AB+说+!AB)=艮/+^AD.

3.设。，E分另I」是△A5C的边A3,6C上的点，AD=^ABf若万克=为/咨

+不就(九，为实数)，则为+勿的值为.

解析:万方=万五+笳=^AB+\BC=^AB+^(BA+AC)=~^AB+^AC，所以九

/J/JOJ

121

=一不^2=3,即力+22=2・

pg1

答案：不

［谨记通法］

1.平面向量的线性运算技巧

(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.

(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向

量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解.

2.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路

(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置.

(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式.

(3)比较、观察可知所求.

考点三共线向量定理的应用(重点保分型考点——师生共研)

［典例引领］

1.在△ABC中，点。在线段5c的延长线上，且/=3正方，点。在线段上(与

点C,。不重合)，若就=£运+(1—x)•就，则x的取值范围是()

c.(T0)

解析：选D设员=y就，VAO=AC+~CO=AC+yBC=AC+y(AC~~AB)=

-JAB+(1+J)就，I•近=3而，点。在线段CZ＞上(与点C,O不重合)，.力七(0,I),

V~AO=XAB+(1-X)AC,0

2.设两个非零向量a与b不共线，

(l)^AB=a+b,初=2a+8b,CD=3(a-b),

求证：A,B,。三点共线；

⑵试确定实数鼠使左a+b和a+如同向.

解：(1)证明：VAB=a+b,元=2a+8b,CD=3a-3b,

/.BD=-BC+CD=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB.

/.AB,说共线，又；它们有公共点8,：.A,B,。三点共线.

(2)Vfca+b与a+fcb同向，

・••存在实数，2>0),使总+b=，a+Ab),

Rl7A：a+b=Aa+^Ab.・\(k——4)a=(Ik—l)b.

Va,b是不共线的两个非零向量,

左一2=0,\k=lf\k=—l9

解得或

U*-i=o,U=iU=-i,

又••力0,:・k=l.

［由题悟法］

共线向量定理的3个应用

(1)证明向量共线：对于向量a,b,若存在实数九使2=北，则a与b共线.

⑵证明三点共线：若存在实数人使前=4就，则A,B,C三点共线.

(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.

［提醒］证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.

［即时应用］

1.已知向量ei与e2不共线，且向量4方=ei+“ze2,AC=nei+e2,若A,B,C三点

共线，则实数，小”满足的条件是()

A.mn=lB.mn=­l

C.m+n=lD.m-\-n=—l

解析：选A因为A,5,C三点共线，所以一定存在一个确定的实数九使得方'=7就,

［1=心

所以有£1+帆02=〃"1+笈2,由此可得J所以根〃=1.

m=A,

2.如图，在△A5C中，D,尸分别是5C,AC的中点，~AE=fAD,~AB=a,~AC=

b.

(1)用a,b表示向量而，AE,~AF,IBE,~BF；

(2)求证：B,E,尸三点共线.

解：

(1)延长AD到G,

使4d

连接5G,CG,得到口AbGC,

所以AG=a+b,

AD=TAG=l(a+b),

/乙

—>2—>1

AE=§(a+b),

AF=1AC=gb,

BF=AF—AB=^b—a=^(b—2a).

,―>2—♦

(2)证明：由(1)可知尸，

又因为锭，笳有公共点5,

所以8,E,尸三点共线.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1.在平行四边形48c。中，对角线AC与50交于点O,若前+标=焉方，贝!H

=（）

A.1B.2

C.4D.6

解析：选B根据向量加法的运算法则可知，AB+AD=AC=2A0,故7=2.

2.在△4BC中，~AD=2DC,'BA=a,BD=b,'BC=c,则下列等式成立的是（）

A.c=2b—aB.c=2a—b

C.c=1a—D.c=|b—

解析：选D依题意得说一京=2（旅一说），

即=^~BD—^~BA=|b—1a.

3.在四边形ABC。中，N9=a+2b,就=-4a-b,CD=-5a-3b,则四边形ABC。

的形状是（）

A.矩形B.平行四边形

C.梯形D.以上都不对

解析：选C由已知，得说=1+就+而=-8a-2b=2（-4a-b）=2就，故而

//~BC.

又因为无？与方不平行，所以四边形4BCD是梯形.

4.（2018•扬州模拟）在△A5C中，N是AC边上一点且京=宗不，尸是BN上一点，

若=蒜则实数7"的值是.

----A1----A----A----A1----A

解析：如图，因为AN=jNC,P是5N上一点.所以AN=wAC,.

LJ个

P

Bc

~AP=mAB+^AC=mAB+1A2V,因为B,P,N三点共线，所以忆+；=1,则

答案：1

5.已知口A3。的对角线AC和8。相交于。，且亩=a,~OB^b,则万不=

BC=.（用a,b表示）

解析：如图，DC=AB=OB-OA=b-a,~BC=~0C~~OB=

—OA—OB=—a~b./

答案：b—a—a—b

二保高考，全练题型做到高考达标

1.已知向量a,b,且75=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三

点是（）

A.A,B,DB.A,B,C

C.B,C,DD.A,C,D

解析：选A说=■+近+Z^=3a+6b=33.因为方'与罚有公共点A,所以

A,B,。三点共线.

2.已知向量a,b不共线，且c=4a+b,d=a+(27—l)b,若c与d共线反向，则实数

2的值为()

A.1B.—T

C.1或一JD.-1或一；

解析：选B由于c与d共线反向，则存在实数k使c=kd(k<d),于是2a+b=

fc[a+(22—1)6],

整理得^a+b=fca+(22A-*)b.

=

2,kf

由于a,b不共线，所以有,

2Ak—k=l,

整理得船2-2—1=0,解得；1=1或;1=一).

又因为Y0,所以；IV0,故;1=一今

3.如图，已知|万？|=|而|=1,示与万济的夹角为120。，员与近5

的夹角为30。，若加=/亩+"而Q,〃GR),则言于()

O

R空

B・3

号D.2

解析：选D过C作OB的平行线交。4的延长线于点£）.由题

意可知，NCOD=30°,ZOCD=9Q°,

：.OD=2CD,5L'：~OD=AOA,1)C=^OB,：.A\OA\=2fi\OB

I,即2=2",故）=2.

4.（2018•遂昌期初）已知a,b是两个不共线的非零向量，且起点在同一点上，若a,fb,

；（a+b）三向量的终点在同一直线上，则实数t的值为（）

A.2B.1

C,3D,2

解析：选D由题可设：（a+b）=2a+wb,因为a,Zb,g（a+b）三向量的终点在同一直

12121

线上，所以有2+4=1.所以工=九"=£,所以工=示，解得£=3.

5.设。在△A5C的内部，。为的中点，且亩+笳+2万d=0,则△45C的面

积与△AOC的面积的比值为（）

A.3B.4

C.5D.6

解析：选B为的中点，

则访=1（万X+苏），

又下Z+而+2送=0,

：.~OD=-~OC,；.0为CD的中热,

又,。为A5中点，

SAABC

则=4.

SAAOC

6.在qlBCD中，焉=a，茄=b,~AN=3NC,M为BC的中点，则苏=（用

a,b表示).

解析：由A点=3Nd,得A??=孤+"AM=a+^b,所以—4才=

永a+b)-(a+，)=-1a+|b.

答案：-1a+|b

7.设点M是线段3c的中点，点A在直线5c外，就2=16,咨+就|=|工咨一就

I，则面面=.

解析：由|成+就|=|7/一就|可知，AB±AC,

则AM为RtAABC斜边3c上的中线，

因此，漏|=)猊1=2.

答案：2

8.已知。，E,尸分别为△48C的边BC,CA,的中点，且就=a,~CA=b,给

出下列命题：®AD=^a—b；®BE=a+^b；(3)CF=—^a+^b；®AD+BE+CF=0.

其中正确命题的个数为.

解析：BC=a,CA=b,AD=kcB+AC=—la—b,故①错；

B京=36?+，cZ=a+gb,故②正确；

CF=T(CB+~C4)=T(—a+b)=-^a+^b,故③正确；

AD+BE+CF=—b—1a+a+|b+Tb—^a=0,故④正确.

正确命题为②③④.

答案：3

9.设e”e2是两个不共线的向量，已知前=2ei—8e2>~CB=ei+3e2，CD=

2d一。2・

(1)求证：A,B,。三点共线；

(2)若万声=3ei-ke2J且3,D,歹三点共线，求左的值.

解：(1)证明：由已知得初=而一,=(2ei-e2)-(ei+3e2)=ei-4e2,

VAB=2ei—8e2,

：JAB=2BD.

又•；焉与说有公共点B,

：.A,B,。三点共线.

⑵由⑴可知屈D=ei-4e2,

尸=3ei~ke2,且8,D,尸三点共线,

:JBF=IBDQGR),

即3ei~ke2=%ei—44e2,

解得上=12.

10.已知尸为△ABC内一点，且377+4^+57芦=0,延长AP交BC于点O,若

AB=a,AC=b,用a,b表示向量AP,AD.

解：'：^P=AP-AB=AP-a,^CP=AP-AC=AP-\i,

又3K+4而+5T?=0,/.3AP+4(AP-a)+5(AP-b)=0,AAP=|a+^b.

设A户昨R),则^^=}a+为b.①

•5_L/

又设诟=4次(AGR),由同=就一前=b-a,

得BD=^(b—a).

而益=AB+BD=a+BD.

/.AD=a+A(b—a)=(l—旬a+Ab.②

ri

y=r4

由①②得〈u解得t=X

Jjt=k,

代人①得=^a+|b.

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1.如图，在△A5C中，AD=DB,AE=EC,CD与BE交于点F,

设AB=a,AC—Y>,AF=xa+jb,贝！J（x,了）为（）

解析：选C令BF=，BE,

—ju)AC.

I2

・M--

-V

解

得<

由对应系数相等可得＜l2

^

zm--

-3

所以方=|AB+g就.故选C.

2.在直角梯形ABC。中，ZA=90°,NB=30。，AB=2小,BC=2,点E在线段CO

上，若衣=诟+"前，则"的取值范围是.

解析：由题意可求得40=1,CD=小,所以73=2方才.

•点E在线段CD上，

:JDE=FDC(0WK1).

VAE=AD+DE,

又脑=AD+//AB=AD+2juDC=AD+^DE,

A

:停=1,即

Z.4

•.,0WK1,.•.OW/W

即"的取值范围是［o,1.

答案：［o,I］

3.已知O,A,5是不共线的三点，且为？=加万算(加，"GR).

(1)若利+"=1,求证：A,P,B三点共线;

(2)若A,P,5三点共线，求证：,"+"=1.

证明：⑴若利+"=1,

则而=mOA+(l-m)OB=~0B+m(OA~~OB),

：.~OP~~0B=m(OA~~0B),

即黄=/n五？，而与京共线.

又；BP与BA有公共点、B,

：.A,P,3三点共线.

(2)若A,P,3三点共线，

则存在实数九使而=2亩,

：.~OP-~dB=A(OA-~OB).

又5声=inOA+iiOB.

故有mOA+(n-1)OB=AOA~kOB,

即(山一万或+(ra+/l-l)OB=0.

,：O,A,3不共线，：.~OA,而不共线,

m-i=0,

・••机+〃=L

n+i—1=0,

第二节/平面向量的基本定理及坐标表示

1.平面向量基本定理

如果ei，e2是同一平面内的两个丕共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,W

且只有一对实数为,h，使a=7iei+不e2.

其中，不共线的向量ei,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底一

2.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：

设a=(xi,ji),b=(x2,J2),则

a+b=(xi+*2,力+丫2),a-b=(xi—X2,VL”),

2a—(2xi,^vi),|a|=^/xi+j?.

(2)向量坐标的求法：

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设A(xi,ji),B(X2,yi),则43=(》2一壮，y2一力)，

22

\AB|=^/(X2-XI)+(J2—yi).

3.平面向量共线的坐标表示

设a=(xi,ji),b=(*2,J2)>其中b=0,则a〃bo*iV2—X2Vi=0.

［小题体验］

1.已知a=(4,2),b=(—6,m),若a〃b,则m的值为.

答案：一3

2.(数材习题改编)已知a=(2,l),b=(—3,4),贝！J3a+4b=.

答案：(一6,19)

3.设ei,e2是平面内一组基向量，且2=61+262,b=—ei+e2,则向量ei+e?可

以表示为另一组基向量a,b的线性组合，即e1+e2=a+b.

解析：由题意，设ei+e2=/na+〃B.

因为a=ei+2e2,b=—ei+e2,

所以ei+e2=m(ei+2e2)+«(—ei+e)=(m—n)ei+(2»i+/i)ez.

c2

(-n=lm=y

由平面向量基本定理，得m,'所以<,

2m+n=l,__1

答案：|

4.已知向量a=(2,—1),b=(—Lm)9c=(—1,2),若(a+b)〃c,则机=.

答案：一1

1.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向

量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.

2.若a=(xi,%)，b=(X2,刈)，则a〃b的充要条件不能表示成因为也有

可能等于0,所以应表示为卬2—卬1=0.

［小题纠偏］

1.设ei,e2是平面内一组基底，若九ei+72e2=0,则九+入2=.

答案：0

2.已知向量a=(2,l),b=(l,-2),若机a+nb=(9,nGR),则机一〃的值

为•

解析：V/na+«b=(2m+n,m—2n)=(9,—8),

2m+n=9,\m=2,

工机一〃=2-5=-3・

m-2n=-8f[n=5f

答案：一3

考点一平面向量基本定理及其应用(基础送分型考点——自主练透)

［题组练透］

1.如图，在三角形ABC中，5E是边AC的中线，。是BE边的中A

点，若/M=a,AC=b,则4方=()/\

A.；a+；bB-p+|b

C.：a+；bD.ja+4b

解析：选D•.•在三角形ABC中，

3E是AC边上的中线，

是3E边的中点,

2.在△ABC中，点M,N满足加=2灰，^N=7^C.^MN=^AB+yAC,则x=

；y=.

解析：；乩=2标，.*.AM=|AC.

VB2V=1VC,AA2V=1(AB+AC),

.\MV=Aiv-AM=1(AB+AC)-|AC

又诉=xK+y就,

.11

••x=5,j=-g-

答案「-I

3.(易错题)如图，以向量ZX=a,万声=b为邻边作口0403,~BM=fBC,~CN=^CD,

用a,b表示苏，~ON,'MN.

解：VBA=~OA-~OB=a-b,

BM=^BA=/a-/b,

/.OM=OB+BM=^a+^b.

V0Z>=a+b,

：.~ON=~OC+^CD

1—>1—>

=2OD+6OD

综上，0M=^a+|b,0iV=|a+|b,M2V=^a—^b.

［谨记通法］

用平面向量基本定理解决问题的一般思路

(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运

算来解决.

(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.另外，要熟练运用平

面几何的一些性质定理，如“题组练透”第3题.

考点二平面向量的坐标运算(基础送分型考点——自主练透)

［题组练透］

1.向量a,b满足a+b=(—1,5),a—b=(5,—3),则b为()

A.(-3,4)B.(3,4)

C.(3,—4)D.(—3,—4)

解析:选A由a+b=(-1,5),a—b=(5,—3),得2b=(—1,5)—(5,-3)=(—6,8),

/.b=1(—6,8)=(-3,4),故选A.

2.已知点拉(5,—6)和向量a=(L-2),若MN=-3a,则点N的坐标为()

A.(2,0)B.(-3,6)

C.(6,2)D.(-2,0)

解析：选AM2V=-3a=—3(1,—2)=(—3,6),

设N(x,j),则就=(x-5,J+6)=(-3,6),

X-5=-39[X=2,

所以J即J

j+6=6,ly=0.

3.已知4(一2,4),3(3,-1),C(-3,-4).设舟=a,BC=b,~CA=c,且扇=

3c,~CN=~2b,

(1)求3a+b—3c；

(2)求满足a=mb+nc的实数m9n；

(3)求N的坐标及向量就的坐标.

解：由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(l,8).

(l)3a+b-3c=3(5,—5)+(—6,—3)—3(1,8)

=(15-6-3,-15—3—24)=(6,-42).

(2)Vmb+nc=(~6zn+«,—3m+8n),

―6m+/i=5,

•«

—3m+8n=-5,

m=—1,

解得।

n=­l.

(3)设。为坐标原点，'：^CM=OM-OC=3c,

.,.而=3c+OC=(3,24)+(—3,-4)=(0,20).

/.Af(0,20).

又•.,^^=苏一加=_2b,

O2V=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),

；.N(9,2),：JMN=(9,-18).

［谨记通法］

平面向量坐标运算的技巧

(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有

向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.

⑵解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.

考点三平面向量共线的坐标表示(重点保分型考点——师生共研)

［典例引领］

1.已知梯形ABC。，其中A3〃C。，S.DC=2AB,三个顶点4(1,2),3(2,1),C(4,2),

则点。的坐标为.

解析：•.•在梯形A5C。中，DC=2AB,AB//CD,.,.虎=2方\设点。的坐标为(x,

y),则方方=(4-x,2-y),AB=(1,一1),

：.(4-x,2-y)=2(l,-1),即(4一%,2一刃=(2,-2),

4—x=2,(x=2,

解得彳故点O的坐标为(2,4).

［2-y=-2,ly=4,

答案：(2,4)

2.已知a=(l,0),b=(2,l).

(1)当上为何值时，起一b与a+2b共线；

(2)若AB=2a+3b,BC=a+/«b,且A,B,C三点共线，求m的值.

解：(l)；a=(l,0),b=(2,l),

b=fc(l,0)—(2,l)=(fc—2,-1),

a+2b=(l,0)+2(2,l)=(5,2),

,:ka—b与a+2b共线，

A2(A;-2)-(-l)X5=0,

-k=~2-

(2)AB=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),

-fiC=(1,0)+m(2,l)=(2m+lfm).

VA,B,。三点共线，：.~AB//^C,

,3

J8机—3(2机+1)=0,:.m='.

［由题悟法］

向量共线的充要条件

(l)a〃b=a=2b(b#0)；

(2)a〃b=xij2—wyi=0(其中a=(xi,ji),b=(M,力)).当涉及向量或点的坐标问题时

一般利用⑵比较方便.

［即时应用］

1.(2018•丽水质检)已知a=(L-2),b=(x,l),若(a+b)〃b,则实数％的值为()

A.—2B-2

C.2D.-2

解析：选A因为a=(l,—2),b=(x,l),所以a+b=(x+l,—1).因为(a+b)〃b,

所以x+1—(—x)=2x+l=0,解得x=-T.

2.(2018•贵阳监测)已知向量机“=(2+2,2),若(机+〃)〃(帆一〃)，贝!|2=

解析：因为机+胃=(27+3,3),m—n=(—lf—1),

又(加+")〃(m—n)9

所以(2i+3)X(—1)=3X(—1),解得2=0.

答案：0

3.设向量a,b满足冠|=2出，b=(2,l),且a与b的方向相反，则a的坐标为.

解析：Ta与b方向相反，可设a=ib(^<0),

・・・a=，2,l)=(2九

由闭=啊=2、污，解得2=—2或4=2(舍去)，

故a=(—4,-2).

答案:(-4,-2)

4.若三点4(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab20)共线，贝碍+/的值等于.

解析：AB=(a—2,-2),AC=(-2,b—2),依题意，有(a—2)(b—2)—4=0,即ab

—2a—2b=0,所以

aD2

rg1

答案：2

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1.在平行四边形A5C。中，AC为对角线，若方'=(2,4),AC=(1,3),则下方=()

A.(—2,—4)B.(—3,—5)

C.(3,5)D.(2,4)

解析：选B由题意得说=7万一二三=就一7方=(就一1声)一,=就一2万咨

=(1,3)—2(2,4)=(—3,-5).

2.已知A(—1,-1),B(m,m+2),C(2,5)三点共线，则机的值为()

A.1B.2

C.3D.4

解析：选AAB=(m,/n+2)—(—1,—l)=(»i+l,m+3),

AC=(2,5)-(-l,-1)=(3,6),

VA,B,C三点共线,

/.AB//AC,.,.3(m+3)—6(加+1)=0,

3.如图，在△043中,P为线段A5上的一点万声,

且苏=2万不，贝！］()

.21

A.x=3,J=3

解析：选A由题意知/=万声+而，又而=2百，所以正=前+|京=万算

+|(€)A—0B)=^0A+^0B,所以x=上,j=|.

4.(2015•全国卷口)设向量a,b不平行，向量2a+b与a+2b平行，则实数7=.

解析：'：la+b与a+2b平行，；:a+b=f(a+2b),

即2a+b=£a+2，b,解得，

11=26

1?一2・

1

答案：5

5.已知向量a=(l,2),b=(x,l),〃=a+2b,.=2a—b,且〃〃0,则实数x的值为

解析:因为a=(l,2),b=(x,l),w=a+2b,r=2a—b,

所以w=(l,2)+2(x,l)=(2x+l,4),

己=2(1,2)一(苍1)=(2一苍3).

又因为w〃%