人教版高中数学选修二第五章 -复习与小结 -A基础练（解析版） 同步练习

第五章复习与小结-A基础练选择题1．（2021·福建莆田一中高二期末）设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A．2 B． C． D．【答案】D【详解】,直线的斜率为-a.所以a=-2,故选D2．（2021·湖北黄石高二期末）若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是()A．[-1，+∞] B．（-1，+∞） C．（-∞，-1] D．（-∞，-1）【答案】C【解析】由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故Ｃ为正确答案．3．（2021·广东湛江高二期末）设，若函数，有大于零的极值点，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则，若函数在x∈R上有大于零的极值点．即有正根，当有成立时，显然有，此时．由，得参数a的范围为．故选B．4．（2021·陕西宝鸡高二期末）已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意的0<a<b，则必有()A．af(b)≤bf(a) B．bf(a)≤af(b)C．af(a)≤f(b) D．bf(b)≤f(a)【答案】A【解析】因为xf′(x)≤－f(x)，f(x)≥0，所以′＝≤≤0，则函数在(0，＋∞)上单调递减．由于0<a<b，则，即af(b)≤bf(a)5．（多选题）（2020·江苏南通市高二期中）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，可在全球范围内为各类用户提供全天候、全天时、高精度、高定位、导航、授时服务，2020年7月31日上午，北斗三号全球卫星导航系统正式开通，北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数近似模拟其信号，则下列结论中正确的是（）A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称C．对任意，都有 D．函数的最小值为-3【答案】BCD【详解】A.因为的周期分别是，其最小公倍数为，所以函数函数的最小正周期为，故错误；B.因为，故正确；C.，故正确；D.,故正确；故选：BCD6．（多选题）（2021·山东泰安一中高二期末）已知函数f(x)=,下列结论中正确的是（）A．,f()=0B．函数y=f(x)的图像是中心对称图形C．若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,）单调递减D．若是f（x）的极值点，则()=0【答案】ABD【解析】由于三次函数的三次项系数为正值，当x→－∞时，函数值→－∞，当x→＋∞时，函数值也→＋∞，又三次函数的图象是连续不断的，故一定穿过x轴，即一定∃x0∈R，f(x0)＝0，选项A中的结论正确；函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x＋m)3＋n(x＋m)＋h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为y＝x3＋nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，选项B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点x1，x2，则极小值点x2＞x1，即函数在－∞到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项C中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然选项D中的结论正确.填空题7．（2018·全国高考）曲线在点处的切线的斜率为，则________．【答案】【详解】解：则，所以故答案为-3.8．（2021·湖南郴州市高二期末）已知函数在区间上存在最小值，则a的取值范围为_______．【答案】【详解】，时，或，当或时，，当时，，所以函数的单调递增区间是和，函数的单调递减区间是，所以函数的极大值点是，极小值点是0，且，那么当，解得：或所以函数在区间上存在最小值，则，解得：.9．（2020·江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________．【答案】【详解】设圆心到直线距离为，则所以令（负值舍去）当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为.10．（2021·福州三中高二期末）设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是________．【答案】【详解】设，，由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，，当时，；当时，.所以，函数的最小值为.又，.直线恒过定点且斜率为，故且，解得，故选D.解答题11．（2021·北京大兴高二期末）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式中即可；（2）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调性求函数的最大值为，从而可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：（1）因为，所以.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（2）设，则.当时，，所以在区间上单调递减.所以对任意有，即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.12．（2021·天津静海中学高二期末）设函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.【解析】试题分析：（1）求函数f（x）的导数，根据，求切线方程；（2）根据导函数判断函数f（x）的单调性，由函数有三个不同零点，求c的取值范围；（3）从两方面必要性和不充分性证明，根据函数的单调性判断零点个数.试题解析：（1）由，得．因为，，所以曲线在点处的切线方程为．（2）当时，，所以．令，得，解得或．与在区间上的情况如下：所以，当且时，存在，，，使得．由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．（3）当时，，，此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．当时，只有一个零点，记作．当