人教版高中数学选修二5.3.1函数的单调性（解析版）

专题5.3.1函数的单调性知识储备1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，(1)若f′(x)>0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数；(2)若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递减函数；(3)若恒有f′(x)＝0，则f(x)在区间(a，b)内是常数函数．讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.2.常用结论汇总——规律多一点(1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．能力检测注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单选题1．（2020·全国高二课时练习）设函数的图象如图所示，则导函数的图象可能为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵在，上为减函数，在上为增函数，∴当或时，；当时，．故选：C．2．（2020·全国高二专题练习）设奇函数在R上存在导函数，且在上，若，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，即，构造函数，由题意知：在上，，故在上单调递减，为奇函数，，即为奇函数，故在R上单调递减，因此原不等式可化为：，即，解得.故选：D．3．（2020·全国高二课时练习）函数为的导函数，令，则下列关系正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，，，解得，所以．所以，所以为减函数．因为，所以，故选：B．4．（2020·全国高二课时练习）若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设导函数的图象与x轴交点的横坐标从左到右依次为，其中，故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在单调递增．故选：D．5．（2020·全国高二课时练习）若函数恰好有三个不同的单调区间，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意得，函数恰好有三个不同的单调区间，有两个不同的零点，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故选：D.6．（2020·全国高二课时练习）函数的单调递减区间为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意得，函数的定义域为，．令，得，解得，故函数的单调递减区间为．故选：D7．（2020·江苏南通市·高三期中）设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为满足，，令，则，所以在R上是增函数，又，则，不等式可化为，即，所以，所不等式的解集是，故选：C8．（2020·洛阳理工学院附属中学高三月考（理））已知奇函数的定义域为，其图象是一段连续不断的曲线，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】设，则当时，有成立，此时所以在上单调递增.又为奇函数，则，则为奇函数，又则在上单调递增，所以在上单调递增.当，恒有可化为，即，由在上单调递增，所以故选：A二、多选题9．（2020·全国高二课时练习）（多选）已知函数的定义域为R，其导函数的图象如图所示，则对于任意，下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】由题中图象可知，导函数的图象在x轴下方，即，且其绝对值越来越小，因此过函数图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得的大致图象如图所示．A选项表示与异号，即图象的割线斜率为负，故A正确；B选项表示与同号，即图象的割线斜率为正，故B不正确；表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，表示当和时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有，故C不正确，D正确．故选:AD．10．（2020·全国高二课时练习）（多选）如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（）A．在上是增函数 B．在上是减函数C．在上是增函数 D．当时，取得极小值【答案】CD【解析】的图象在上先小于0，后大于0，故在上先减后增，因此A错误；的图象在上先大于0，后小于0，故在上先增后减，因此B错误；由图可知，当时，，所以在上单调递增，因此C正确；当时，，当时，，所以当时，取得极小值，因此D正确．故选：CD．11．（2020·全国高二课时练习）(多选)已知函数，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】当时，，函数的定义域为，，令，得，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，故当时，函数取得极小值，也是最小值，，则，故选项A正确；当时，，则，故，故选项B正确，选项C错误；因为，所以，使成立，因此选项D正确.故选：ABD.12．（2020·广东揭阳市·高三期中）下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】对于A，既不是奇函数也不是偶函数，且单调递增，故A错误；对于B，的定义域为，且，是奇函数，又恒成立，故是减函数，故B正确；对于C，的定义域为，且，是奇函数，，故是减函数，故C正确；对于D，的定义域为，且，是奇函数，又是减函数，故D正确.故选：BCD.三、填空题13．（2020·全国高二课时练习）已知函数与的图象如图所示，则函数的单调递减区间为___________．【答案】、【解析】由图象可知，不等式的解集为，，，由，可得，解得.因此，函数的单调递减区间为、．故答案为：、.14．（2020·山西高三期中（理））已知在单调递减，则的取值范围为______．【答案】【解析】在单调递减，在恒成立，又是开口向上的二次函数，为使在恒成立，只需，即，则.故答案为：.15．（2020·全国高二单元测试）设是函数在的导函数，对，，且，，．若，则实数的取值范围为__．【答案】，【解析】，，令，，函数为奇函数．时，．时，，故函数在上是增函数，故函数在上也是增函数，由，可得在上是增函数．，等价于，即，，解得．故答案为：，．四、双空题16．（2020·江苏省太湖高级中学高二期中）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则与的关系为_______(用表示)，若函数在区间上单调递增，则的最大值等于______.【答案