九年级(下)数学模拟卷(附答案) (五)

九年级（下）数学模拟卷（附答案）

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.（3分）在-3,-1,0,1四个数中，比-2小的数是（）

A._3B.-1C.0D.1

2.（3分）我国作家莫言获得诺贝尔文学奖之后，他的代表作品《蛙》的销售量就比获奖之

前增长了180倍，达到2100000册.把2100000用科学记数法表示为（）

A.0.21X108B.21X106C.2.1X107D.2.1X106

3.（3分）如图有5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示,则它的左视图是（）

A.I।"।I

C.

4.（3分）不等式-Xx+1>3的解集是（)

2

A.x<-4B.x>-4C.x>4D.x<4

5.（3分）下列运算，结果正确的是（)

2.1

A224

A.m+m=mB.2mn-^-—mn=4m

2

C.(3mn2)2=6m2«4D.(m+2)2=m2+4

6.（3分）如图，将矩形A8CD绕点A顺时针旋转到矩形A夕CD'的位置，旋转角为a

(0°<a<90°).若Nl=112°,则Na的大小是()

A.68°B.20°C.28°D.22°

7.（3分）如图，A、B、。、。四个点均在上，ZAOD=50°，AO//DC,则N5的度

数为（）

B

C.60°D.65

8.（3分）如图，平面直角坐标系中，矩形A8C£）的边AB：BC=3：2,点A（3,0）,B（0,

6）分别在x轴，y轴上，反比例函数y=K的图象经过点。，则左值为（）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9.（3分）计算（-L?%）3=.

2

10.（3分）三个小伙伴各出资a元，共同购买了价格为b元的一个篮球，还剩下一点钱,

则剩余金额为元（用含4、b的代数式表示）

11.（3分）如图，直线a〃b,ZP=75°，Z2=30°,则/1=.

12.（3分）如图，在△ABC中，DM垂直平分AC,交BC于点D,连接AD,若NC=28

13.（3分）如图，在△ABC中，90°，ZB=60°,AB=12,若以点A为圆心,

AC为半径的弧交AB于点E,以点8为圆心，BC为半径的弧交A3于点。，则图中阴影

部分图形的面积为（保留根号和n）

14.（3分）如图，矩形ABC。的边A2在x轴上，AB的中点与原点。重合，AB=2,AD=

1,点E的坐标为（0,2）.点尸（尤，0）在边A8上运动，若过点E、F的直线将矩形A8C。

的周长分成2：1两部分，则尤的值为.

三、解答题（本大题共10小题，共计78分）

15.（6分）先化简再求值：支二L+（_1_-1）,其中X=J_.

x+2x+23

16.（6分）水果店老板用600元购进一批水果，很快售完；老板又用1250元购进第二批水

果，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元，问第一批水果每件进价

多少元？

17.（6分）有4张正面分别标有数字-1,2,-3,4的不透明卡片，它们除数字外其余全

部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从4张卡片中随机摸出一张不放回，将该卡片上的

数字记为“3在随机抽取1张，将卡片的数字即为加

（1）请用列表或树状图的方式把（加，〃）所有的结果表示出来.

（2）求选出的Cm,n）在二、四象限的概率.

18.（7分）如图，分别以线段两端点A,8为圆心，以大于工42长为半径画弧，两弧

交于C,。两点，作直线CD交于点M,DE//AB,BE//CD.

（1）判断四边形AC3。的形状，并说明理由；

（2）求证：ME=AD.

19.（7分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解

程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不

完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

扇嗾相翱统十图

（1）接受问卷调查的学生共有人,扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形

的圆心角为度；

（2）请补全条形统计图；

（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知

识达到“了解"和''基本了解”程度的总人数.

20.（7分）美丽的甬江宛如一条玉带穿城而过，数学课外实践活动中，小林在甬江岸边的A,

8两点处，利用测角仪分别对西岸的一观景亭。进行测量.如图，测得NZMC=45°,

NDBC=65°,若AB=114米，求观景亭£＞到甬江岸边AC的距离约为多少米？

（参考数据:sin65°-0.91,cos65°~0.42,tan65°—2.14）

21.（8分）周末，甲、乙两名大学生骑自行车去距学校6000米的净月潭公园，两人同时从

学校出发，以。米/分的速度匀速行驶，出发4.5分钟时，甲同学发现忘记带学生证，以

1.5a米/分的速度按原路返回学校，取完学生证（在学校取学生证所用时间忽略不计），

继续以返回时的速度追赶乙，甲追上乙后，两人以相同的速度前往净月潭，乙骑自行车

的速度始终不变，设甲，乙两名大学生距学校的路程为s（米），乙同学行驶的时间为f

（分），5与/之间的函数图象如图所示.

（1）求0,万的值；

（2）求甲追上乙时，距学校的路程；

22.（9分）【感知】如图①，四边形A3CD、CEFG均为正方形.可知

【拓展】如图②，四边形ABC。、CEFG均为菱形，且求证：BE=DG.

【应用】如图③，四边形ABC。、CEFG均为菱形，点E在边上，点G在延长

线上.若AE=2ED,ZA=ZF,ZkEBC的面积为8,则菱形CEFG的面积为.

23.（10分）己知：如图1,抛物线的顶点为M,平行于x轴的直线与该抛物线交于点A,B

（点A在点8左侧），根据对称性恒为等腰三角形，我们规定：当为直角

三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”.

（1）①如图2,求出抛物线y=f的“完美三角形"斜边的长；

②抛物线y=7+l与的“完美三角形”的斜边长的数量关系是；

（2）若抛物线y=a7+4的“完美三角形”的斜边长为4,求a的值；

（3）若抛物线＞=7/+2彳+"-5的"完美三角形"斜边长为n,My=mx2+2x+n-5的最

大值为-1,求加，〃的直

24.（12分）如图，在口A8CD中，AB=4,AO=5,tanA=_l,点尸从点A出发，沿折线

3

AB-8C以每秒1个单位长度的速度向中点C运动，过点P作尸。，48,交折线

于点Q,将线段PQ绕点P顺时针旋转90°,得到线段PR,连接QR.设△PQR与口ABCD

重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为r（秒）.

（1）当点R与点2重合时，求t的值；

（2）当点尸在8c边上运动时，求线段PQ的长（用含有f的代数式表示）；

（3）当点R落在口ABC。的外部时，求S与f的函数关系式；

（4）直接写出点尸运动过程中，△PC。是等腰三角形时所有的f值.

DC

0

RB

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.（3分）在-3,-1,0,1四个数中，比-2小的数是（）

A.-3B.-1C.0D.1

【分析】利用两个负数，绝对值大的其值反而小，进而得出答案.

【解答】解：V|-3|=3,1-21=2,

...比-2小的数是:-3.

故选：A.

【点评】此题主要考查了有理数比较大小，正确把握两负数比较大小的方法是解题关键.

2.（3分）我国作家莫言获得诺贝尔文学奖之后，他的代表作品《蛙》的销售量就比获奖之

前增长了180倍，达到2100000册.把2100000用科学记数法表示为（）

A.0.21X108B.21X106C.2.1X107D.2.1X106

【分析】科学记数法的表示形式为aXIO"的形式，其中”为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值＞1时，”是正数；当原数的绝对值＜1时，”是负数.

【解答】解：2100000=2.1X106,

故选：D.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10〃的形式，其

中lW|a|＜10,"为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

3.（3分）如图有5个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（）

【分析】找到从左面看所得到的图形即可.

【解答】解：从左面看，得到左边2个正方形，右边1个正方形.

故选：c.

【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图.

4.（3分）不等式-工什1>3的解集是（）

2

A.x<-4B.x>-4C.x>4D.x<4

【分析】不等式移项合并，把尤系数化为1,即可求出解集.

【解答】解：不等式整理得：-L>3-1,

2

解得：x<-4,

故选：A.

【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

5.（3分）下列运算，结果正确的是（）

nnAn

A.m+m—mB.2mn-i--mn=4m

2

C.（3mn2）2=6m2n4D.（m+2）2=m2+4

【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题.

【解答】解：mW=2m2,故选项A错误，

2m2n-T--mn=4m,故选项B正确，

2

（3m«2）2=9机2/,故选项C错误，

（m+2）2=m2+4m+4,故选项。错误，

故选:B.

【点评】本题考查合并同类项、整式的除法、积的乘方、完全平方公式，解答本题的关

键是明确它们各自的计算方法.

6.（3分）如图，将矩形ABC。绕点A顺时针旋转到矩形AB'C1。'的位置，旋转角为a

A.68°B.20°C.28°D.22°

【分析】先根据矩形的性质得/54。=/42。=/4。。=90°,再根据旋转的性质得/

BAB'=a,/B'AD'=ZBAD=9Q0,Z.D'=/。=90°,然后根据四边形的内角和

得到N3=68°,再利用互余即可得到Na的大小.

【解答】解：•••四边形A8CD为矩形，

ZBAD=ZABC=ZADC=90°,

♦..矩形ABC。绕点A顺时针旋转到矩形AB'CD'的位置，旋转角为a,

：.ZBAB'=a,ZB'AD'=N8A£)=90°,ZAD'C=/A£)C=90°,

VZ2=Z1=112°,

而=90°,

；./3=180°-Z2=68°,

：.ZBAB'=90°-68°=22°,

即Na=22°.

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所

连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.

7.（3分）如图，A、B、C、。四个点均在上，NAO£）=50°,AO//DC,则的度

【分析】首先连接AD,由A、B、C、。四个点均在。。上，ZAOD=10°,AO//DC,

可求得NA。。与/OOC的度数，然后由圆的内接四边新的性质，求得答案.

【解答】解：连接4D,

•：OA=OD,ZAOD^50°,

N4£>0=180。_/A0D=65°.

2

"：AO//DC,

：.ZODC^ZAOC^50°,

ZADC=ZADO+ZODC=115°,

.".ZB=180°-ZADC=65°.

【点评】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、平行线的性质以及等腰三角

形的性质.此题比较适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.

8.(3分)如图，平面直角坐标系中，矩形ABC。的边AB：BC=3：2,点A(3,0),B(0,

6)分别在无轴，y轴上，反比例函数y=K的图象经过点。，则上值为()

【分析】过点。作。无轴于点E,由同角的余角相等可得出/。54=/胡。，结合/

AOB=ZDEA=90°可得出△AOBs△£＞族1,根据相似三角形的性质结合点A、B的坐标,

即可得出AE、OE的长度，进而可得出点。的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标

特征即可求出左值，此题得解.

【解答】解：过点。作。E_Lx轴于点E,如图所示.

ZOAB+ZOBA=ZOAB+ZEAD=90°,

：.ZOBA=ZEAD.

又•.,NAO3=NOEA=90°,

AAOBsADEA,

•••D—E=AE=.A一D.

AOBOBA

;四边形ABC。为矩形，点A(3,0),B(0,6),AB；BC=3：2,

.♦.£）£=240=2,AE=2BO=4,

33

.•.0E=O4+4E=3+4=7,

.•.点。的坐标为（7,2）.

•反比例函数y=K的图象经过点D,

x

.•#=7X2=14.

故选：B.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及相似三角形的判

定与性质，利用相似三角形的性质找出点D的坐标是解题的关键.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

63

9.（3分）计算（-1/2匕）3=-Lab.

2一旦

【分析】根据积的乘方的运算方法：Qb）n=anbn,求出（-2/匕）3的值是多少即可.

2

3

【解答】解：（-工/6）3=（上）.（/）3./=_1^3.

2'2'8

故答案为：-2小川.

8

【点评】此题主要考查了累的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确:

①（*"=（"Z,72是正整数）；②（"）（"是正整数）.

10.（3分）三个小伙伴各出资。元，共同购买了价格为b元的一个篮球，还剩下一点钱，

则剩余金额为（3a-b）元（用含°、b的代数式表示）

【分析】根据题意可以用代数式表示剩余的金额，本题得以解决.

【解答】解：由题意可得，

剩余金额为：（3a-b）元，

故答案为：（3。-6）.

【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式.

11.（3分）如图，直线。〃儿/尸=75°,N2=30°,则Nl=45°

【分析】过尸作PM〃直线。，求出直线。〃根据平行线的性质得出

1=45°,即可求出答案.

【解答】解:过P作〃直线a,

•.•直线。〃6,

直线a〃6〃PM,

VZ2=30°,

：.ZEPM=Z2=30°,

又,：/EPF=15",

：.ZFPM=45°,

.•.N1=NPPM=45°,

故答案为：45°.

【点评】本题考查了平行线的性质的应用，能正确根据平行线的性质进行推理是解此题

的关键，注意：两直线平行，内错角相等.

12.（3分）如图，在△4BC中，DW垂直平分AC,交BC于点、D,连接AD,若/C=28°,

AB=BD,则的度数为68度.

【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=CD,等边对等角可

得NZMC=/C,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出

ZDAC,再次根据等边对等角可得可得/BA。，然后利用三角形的内角和等于

1800列式计算即可得解.

【解答】解：垂直平分AC,

：.AD=CD,

：.ZDAC=ZC=28°,

ZADB=ZC+ZDAC=280+28°=56°,

：.ZADB^ZBAD^56°,

在△ABQ中，ZB=180°-ZBAD-ZAZ）B=180°-56°-56°=68°.

故答案为：68.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的

性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理,

熟记各性质与定理是解题的关键.

13.（3分）如图，在△ABC中，ZACB=90°,NB=60°,AB=12,若以点A为圆心，

AC为半径的弧交AB于点E,以点2为圆心，BC为半径的弧交AB于点。，则图中阴影

部分图形的面积为15--18名（保留根号和TT）

【分析】根据题意可知阴影部分的面积是扇形BCD与扇形ACE的面积之和与AABC的

面积之差，从而可以解答本题.

【解答】解：：在△ABC中，ZACB=90°,ZB=60°,A8=12,

ZA=30°,

：.BC=6,AC=6«,

:以点A为圆心，AC为半径的弧交AB于点E,以点8为圆心，8C为半径的弧交A8于

点D,

・・・阴阴部分的面积为：30X（既）'6°X兀义6?_6乂诉=15Tl-18J5，

3603602

故答案为：157r-185.

【点评】本题考查扇形面积的计算、含30度角的直角三角形，解答本题的关键是明确题

意，利用数形结合的思想解答.

14.（3分）如图，矩形A2C£＞的边A2在x轴上，AB的中点与原点。重合，AB=2,AD=

1,点E的坐标为（0,2）.点尸（尤，0）在边A8上运动，若过点E、F的直线将矩形A8C。

的周长分成2：1两部分，则x的值为±2.

一

【分析】分类讨论：点厂在上和点产在08上两种情况.根据题意列出比例关系式,

直接解答即可得出x得出值.

【解答】解：如图，的中点与原点O重合，在矩形ABCQ中，AB=2,AD=1,

：.A（-1,0）,B（1,0）,C（1,1）.

当点尸在08上时.易求G（三，1）

•••过点E、尸的直线将矩形ABCD的周长分成2：1两部分,

贝（IAF+AD+DG=3+^-x,CG+BC+BF=3-当，

22

由题意可得：3+』=2（3-当），

22

解得X=Z.

3

由对称性可求当点P在OA上时，x=-2.

故答案是：±2.

【点评】本题主要考查了一次函数的综合题，解答要注意数形结合思想的运用，是各地

中考的热点，同学们要加强训练，属于中档题.

三、解答题（本大题共10小题，共计78分）

15.（6分）先化简再求值：工0+其中x=L.

x+2x+23

【分析】根据分式的混合运算法则化简，然后代入计算即可.

2

【解答】解：原式=三二L+lzeZ

x+2x+2

=（x+1）（x-1）.x+2

x+2-x-1

=-（X-1）

—1-X,

当彳=工时，原式=2.

33

【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘

除，然后加减，有括号的先算括号里面的.

16.（6分）水果店老板用600元购进一批水果，很快售完；老板又用1250元购进第二批水

果，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元，问第一批水果每件进价

多少元？

【分析】设第一批水果每件进价为尤元，则第二批水果每件进价为（x+5）元，根据用1250

元所购件数是第一批的2倍，列方程求解.

【解答】解：设第一批水果每件进价为尤元，则第二批水果每件进价为（x+5）元，

由题意得，600X2=1250,

xx+5

解得：x=120,

经检验：x=120是原分式方程的解，且符合题意.

答：第一批水果每件进价为120元.

【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出

合适的等量关系，列方程求解，注意检验.

17.（6分）有4张正面分别标有数字-1,2,-3,4的不透明卡片，它们除数字外其余全

部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从4张卡片中随机摸出一张不放回，将该卡片上的

数字记为加，在随机抽取1张，将卡片的数字即为

（1）请用列表或树状图的方式把（m,n）所有的结果表示出来.

（2）求选出的（m,n）在二、四象限的概率.

【分析】（1）画树状图展示所有12种等可能的结果数;

（2）找出点（m,n）在一、三象限的结果数，然后根据概率公式求解.

【解答】解：（1）画树状图为：

-12-3

/N/N/N/1\

24-1-34-124-12-3

共有12种等可能的结果数；

（2）由树状图可知，共产生12种结果，每种结果出现的可能性相同，

其中在二、四象限的有（2,-1）,（4,-1）,（-3,2）,（4,-3）,（-1,2）,（2,-

3）,（-1,4）,（-3,4）共8种，

ACm,n）在二、四现象的概率为：P=A=Z.

123

【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果”,

再从中选出符合事件A或8的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概

率.

18.（7分）如图，分别以线段两端点A,2为圆心，以大于工43长为半径画弧，两弧

2

交于C,。两点，作直线CD交A8于点DE//AB,BE//CD.

（1）判断四边形AC3。的形状，并说明理由；

【分析】（1）根据题意得出即可得出结论；

（2）先证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质得出48加。=90°,证明四

边形AC2D是矩形，得出对角线相等即可得出结论.

【解答】（1）解：四边形是菱形；理由如下：

根据题意得：AC=BC=BD=A。，

四边形ACBD是菱形（四条边相等的四边形是菱形）；

（2）证明：'JDE//AB,BE//CD,

四边形8即M是平行四边形，

•••四边形ACB。是菱形，

：.AB±CD,

：.ZBMD=90°,

四边形ACB。是矩形，

:.ME=BD,

"：AD=BD,

：.ME=AD.

【点评】本题考查了菱形的判定、矩形的判定与性质、平行四边形的判定；熟练掌握菱

形的判定和矩形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键.

19.（7分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解

程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不

完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

扇嗾相翱统十图

（1）接受问卷调查的学生共有人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的

圆心角为90度;

（2）请补全条形统计图；

（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知

识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数.

【分析】（1）由了解很少的有30人，占50%,可求得接受问卷调查的学生数，继而求得

扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角；

（2）由（1）可求得了解的人数，继而补全条形统计图；

（3）利用样本估计总体的方法，即可求得答案.

【解答】解：（1）:了解很少的有30人，占50%,

接受问卷调查的学生共有：304-50%=60（人）；

扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为：1^X360°=90°；

60

故答案为：60,90；

（2）60-15-30-10=5；

补全条形统计图得：

到缩•十图

（3）根据题意得：900X电3=300（人），

60

则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300

人.

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图.关键是根

据列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图.

20.（7分）美丽的甬江宛如一条玉带穿城而过，数学课外实践活动中，小林在甬江岸边的A,

B两点处，利用测角仪分别对西岸的一观景亭。进行测量.如图，测得NZMC=45。，

ZDBC=65°,若AB=114米，求观景亭。到甬江岸边AC的距离约为多少米？

（参考数据：sin65°弋0.91,cos65°20.42,tan65°心2.14）

【分析】过点。作。E，AC,垂足为E,设尤，根据列出方程即可解决问

题.

【解答】解：过点。作DELAC,垂足为E,设8石=尤，

在RtzMJEB中，tan/D8E=股，

EB

VZDBC=65

.".£>£=xtan65

XVZZ）AC=45°,

：.AE=DE.

114+x=xtan65°，

解得x«〃00,

：.DE^214（米）.

观景亭D到甬江岸边AC的距离约为214米.

【点评】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用

所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题

型.

21.（8分）周末，甲、乙两名大学生骑自行车去距学校6000米的净月潭公园，两人同时从

学校出发，以。米/分的速度匀速行驶，出发4.5分钟时，甲同学发现忘记带学生证，以

1.5a米/分的速度按原路返回学校，取完学生证（在学校取学生证所用时间忽略不计），

继续以返回时的速度追赶乙，甲追上乙后，两人以相同的速度前往净月潭，乙骑自行车

的速度始终不变，设甲，乙两名大学生距学校的路程为s（米），乙同学行驶的时间为/

（分），5与1之间的函数图象如图所示.

（1）求a,b的值；

（2）求甲追上乙时，距学校的路程；

（3）当两人相距500米时，求r的值.

s（米;

6000

900---X/\

d4.5b

【分析】(1)根据函数图象中的数据和题意可以求得a、b的值；

(2)根据题意和函数图象中的数据可以求得甲追上乙时，距学校的路程；

(3)由题意和图象可知，存在两种情况使得两人相距500米，从而可以求得f的值.

【解答】解：(1)由题意可得，

a=9004-4.5=200,

6=6000+200=30,

即a的值是200,6的值是30；

(2)设甲追上乙时的时刻为f,

乙加速后的速度是200X1.5=300米/分，

300(/-4.5-=200/,

300

解得，f=22.5,

贝ij200/=200X22.5=4500,

答：甲追上乙时，距学校的路程是4500米；

(3)当两人相距500米时，

300(/-4.5)+200G-4.5)=500,得1=5.5,

或300G-4.5-更9)+500=200/,得r=17.5,

300

即f的值是5.5或17.5.

【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的

条件，利用数形结合的思想解答.

22.(9分)【感知】如图①，四边形ABC。、CEFG均为正方形.可知BE=Z)G.

【拓展】如图②，四边形ABC。、CEFG均为菱形，且求证：BE=DG.

【应用】如图③，四边形ABC。、CEFG均为菱形，点E在边上，点G在延长

线上.若AE=2E£),NA=NR八仍。的面积为8,则菱形CEFG的面积为M

—3—

图②图③

【分析】拓展:由四边形ABC。、四边形CEPG均为菱形，利用SAS易证得△BCE0A

DCG,则可得8E=OG；

应用：由AZ)〃8C,BE=DG,可得SAABE+SACDE=SABEC=SACDG=8,又由AE=2E£>,

可求得△口)£的面积，继而求得答案.

【解答】解：拓展：•..四边形ABC。、四边形CEFG均为菱形，

：.BC=CD,CE=CG,ZBCD=ZA,ZECG=ZF.

'：ZA=ZF,

:.NBCD=NECG.

：.ZBCD-ZECD=/ECG-AECD,

即/BCE=ZDCG.

在△BCE和△OCG中，

'BC=CD

"NBCE=/DCG，

CE=CG

:.△BCE"ADCG(SAS),

：.BE=DG.(6分)

应用：：四边形ABC。为菱形，

J.AD//BC,

;BE=DG,

SAABE+S△CDE=SABEC=S&CDG=8,

;AE=2ED,

.■.5ACD£,=—X8=—,

33

SAECG—S^CDE+S^CDG—＞

3

S菱形CEFG=2SAECG=^^~.

3

故答案为：@1.（9分）

3

【点评】此题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中，注意掌

握数形结合思想的应用.

23.（10分）已知：如图1,抛物线的顶点为平行于x轴的直线与该抛物线交于点A,B

（点A在点8左侧），根据对称性恒为等腰三角形，我们规定：当为直角

三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”.

（1）①如图2,求出抛物线y=/的“完美三角形"斜边AB的长；

②抛物线y=7+l与y=f的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；

（2）若抛物线y=a/+4的“完美三角形”的斜边长为4,求。的值；

（3）若抛物线＞=7-+2X+〃-5的“完美三角形"斜边长为n,且〉=g2+2工+"-5的最

大值为-1,求m,n的值.

【分析】（1）①①过点8作无轴于N,根据为等腰直角三角形，AB〃x轴，

所以/BMN=NABM=45°,所以NBMN=/MBN,得至I]MN=BN,设B点坐标为（”，

〃），代入抛物线y=f,得〃=〃2,解得〃=1,力=0（舍去），所以2（1,1）,求出

的长度，利用勾股定理，即可解答；

②因为抛物线y=/+l与y=7的形状相同，所以抛物线产/+1与尸7的“完美三角

形”的斜边长的数量关系是相等；

（2）根据抛物线y=/与抛物线y=o?+4的形状相同，所以抛物线与抛物线＞

=/+4的“完美三角形”全等，所以抛物线y=a/+4的“完美三角形”斜边的长为4,

所以抛物线y=一的“完美三角形”斜边的长为4,从而确定B点坐标为（2,2）或（2,

-2),把点5代入>=奴2中，得到&二±g.

(3))根据y=mx1+2x+n-5的最大值为-1,得至|J4m(4-5)-4二化简得mn-4m-1

4m

=0,抛物线y=m?+2x+〃-5的“完美三角形”斜边长为九，所以抛物线>=如2的“完

美三角形"斜边长为n,所以B点坐标为(,，号)，代入抛物线y=mx1,得

2

(―)Pin-_i,-2或〃=0(不合题意舍去)，所以1rp二，所以「二

2243

【解答】解：(1)①过点3作轴于N,如图2,

图2

•：AAMB为等腰直角三角形，

ZABM=45°,

•・・A3〃x轴，

ZBMN=ZABM=45°,

AZMBN=90°-45°=45°,

/BMN=NMBN,

:.MN=BN,

设5点坐标为（九，〃），代入抛物线y=/,

得〃=〃2,

・••九=1,n=0（舍去），

：.B（1,1）

：・MN=BN=1,

,1­MB=V12+12=^）

:.MA=MB=如,

=22=2,

在RtzXAMB中，ABJHB+MA

抛物线y=/的''完美三角形”的斜边AB=2.

②：抛物线y=/+l与尸彳？的形状相同，

，抛物线>=%2+1与、=/的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；

故答案为：相等.

（2）:抛物线y=o?与抛物线>=办2+4的形状相同，

，抛物线>="2与抛物线y=“/+4的“完美三角形”全等，

..•抛物线厂办2+4的“完美三角形”斜边的长为4,

抛物线y=o?的，，完美三角形”斜边的长为4,

.•.8点坐标为（2,2）或（2,-2）,

把点B代入y=a^中，

.,1

..a=±了

（3）・・・>=病+2]+〃-5的最大值为-1,

•4in（n-5）-4.

,,-----------二一1，

4m

mn-4m-1=0,

:抛物线产m?+Zx+a-5的“完美三角形"斜边长为"，

...抛物线>=如2的“完美三角形”斜边长为小

点坐标为管，费），

二代入抛物线y=