2024中考数学备考复习 三角形的性质与判定（原卷版）

三角形的性质与判定

目录

题型特训-精准提分

题型01三角形的三边关系

题型02与三角形有关线段的综合问题

题型03三角形内角和定理与外角和定理综合问题

题型04三角形内角和与外角和定理的实际应用

题型05线段垂直平分线和角平分线综合

题型06特殊三角形的性质与判定

题型07勾股定理、勾股定理逆定理与网格问题

题型08与三角形有关的折叠问题

题型09赵爽弦图

题型10利用勾股定理解决实际问题

题型11求最短距离

题型12勾股定理逆定理的拓展问题

题型13判断图形中与已知两点构成等腰三角形的点的位置

题型14判断图形中与已知两点构成直角三角形的点的位置

■中考逆袭-高效集训

（时间：60分钟）

题型特训-精准提分

题型01三角形的三边关系

1.（2023•广东广州•广州市越秀区明德实验学校校考模拟预测）等腰三角形的一边长是3,另两边的长是关

于x的方程/-10%+k=0的两个根，则上的值为（）

A.21B.25C.21或25D.20或24

2.（2021•甘肃兰州•模拟预测）如图，在AA8C中，AB=4,AC=2,点。为8c的中点，则的长可能是

)

A.1B.2C.3D.4

3.（2023・河北•统考模拟预测）已知一个三角形的第一条边长为3a+b,第二条边长为2a-6

（1）求第三条边长小的取值范围；（用含a,b的式子表示）

（2）若a,b满足|a-5|+（匕-2）2=0,第三条边长机为整数，求这个三角形周长的最大值

4.（2023•广东江门•二模）已知关于x的方程口+（3）-2）x-6k=0.

（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；

（2）若等腰三角形△ABC的一边a=6,另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.

题型02与三角形有关线段的综合问题

1.（2023•浙江杭州•统考二模）如图,在RtZkABC中，AABC=90°.

A

（1）若NC=32。，求Nd的度数.

（2）画N4BC的平分线BD交4C于点D,过点。作DE14B于点E.若4B=3,BC=4,求OE的长.（画图工

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具不限）

2.（2023•陕西西安•一模）（1）请在图中过点4画一条直线，将△ABC分成面积相等的两部分;

（2）如图，在平行四边形2BCD中，请过顶点力画两条直线将平行四边形4BCD的面积三等分，并说明理由;

（3）如图,农博园有一块四边形A8CD空地，其中AB=60m,BC=80m,CD=100m,XD=120m,=90°,

点P为边力。的中点.春天到了，百花齐放，农博园设计部门想在这片空地上种三种不同的花卉，要求三种

花卉的种植面积相等，现规划，从入口P处修两条笔直的小路（小路的面积忽略不计）方便游客赏花，两条

小路将这块地的面积三等分，请通过计算、画图说明设计部门能否实现规划，若能，请确定小路尽头的位

置；若不能，请说明理由.

3.（2023・湖北武汉•校考一模）如图，已知△力BC,M为边4C上一动点，AM=mMC,。为边BC上一动点,

BD=nDC,8M交4。于点N.

（1）【问题提出】三角形的三条中线会相交于一点，这一点就叫做三角形的重心，重心有很多美妙的性质,

请大家探究以下问题

若m=n=1,则黑=______（直接写出结果）

MN

（2）【问题探究】若血=1,猜想黑与〃存在怎样的数量关系？并证明你的结论

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A

（3）【问题拓展】若m=l,n=2,则=______（直接写出结果）

S四边形CDNM

题型03三角形内角和定理与外角和定理综合问题

1.（2022.安徽•一模）将两个直角三角板如图摆放，其中NBC71=4EDF=90。，Z.E=45°,乙4=30°,BC与

DE交于点P,AC与。尸交于点。.^ABWEF,贝UNDPC—NDQC=（）

A.40°B.32.5°C.45.5°D.30°

2.（2022•安徽合肥•二模）如图是一款手推车的平面示意图,其中A8〃C£),Z3=15O°,zl=30°,贝此2的

C.80°D.90°

3.（2023・广东广州•统考一模）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得

到的N1与N2的和总是一个定值.则Nl+Z2=度.

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4.（2022.河北秦皇岛•统考一模）如图，用铁丝折成一个四边形ABCZX点C在直线8。的上方），且NA=70。,

ZBCD=120°,若使/ABC、NAOC平分线的夹角NE的度数为100°,可保持NA不变，^ZBCD（填

“增大"或‘减小”）

5.（2022.江西吉安.统考二模）如图，在AABC中，N4BC的平分线8。交NACB的平分线CE于点0.

图2

⑴求证：Z-BOC=+90°.

（2）如图1,若44=60。，请直接写出BE,CD,的数量关系.

⑶如图2,ZA=90°,尸是瓦＞的中点，连接P0.

①求证：BC-BE-CD=2OF.

②延长/。交BC于点G,若。尸=2,AOE。的面积为10,直接写出。G的长.

6.（2023•山东青岛•统考一模）【阅读理解】

三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于180。.

如图②，在△力BC中，有41+乙48。+4。=180。，点。是48延长线上一点.由平角的定义可得Z71BC+

乙CBD=180°,所以NCBD=乙4+NC.从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻

的两个内角的和.

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A

AAA

图①图②图③图④

【初步应用】

如图③，点。，E分别是△4BC的边力B,4c延长线上一点，

(1)若N4=60。，ZCBD=110°,则ZACB=°；

(2)若NA=60°,乙CBD=110°,贝UNCBD+乙BCE=°；

(3)若NA=m°,贝！UCBD+乙BCE=°.

【拓展延伸】

如图④，点。，E分别是AABC的边力B,4C延长线上一点，

(4)若乙4=60。，分别作NCBD和N8CE的平分线交于点O,则NBOC=°；

(5)若N4=60。，分另1］作NCBD和NBCE的三等分线交于点O,MzCBO=|zCBD,乙BCO=三乙BCE,贝l|

ZBOC=°；

(6)若NA=771。，分另!J作NCBD和NBCE的〃等分线交于点O,MzCSO=-^CBD,^BCO=-ABCE,贝U

nn

乙BOC=°.

题型04三角形内角和与外角和定理的实际应用

1.(2023•江西吉安•模拟预测)苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的.随着研究的不断深入，发

现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等(如图1),组成了一个

完美的六边形(正六边形)，图2是其平面示意图，贝”1的度数为()

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C.110°D.60°

2.（2023・山西太原•模拟预测）绿色出行，健康出行，你我同行.某市为了方便市民绿色出行，推出了共享

单车服务.图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中ZB,CD都与地面平行,

/.BCD=68°,ABAC=52°.已知AM与CB平行，贝”MAC的度数为（）

图1图2

A.70°B.68°C.60°D.50°

3.（2024.陕西西安.一模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心。的

光线相交于点P,点F为焦点.若乙1=155。，Z2=30°,则43的大小为（)

A.45°B.50°C.55°D.65°

题型05线段垂直平分线和角平分线综合问题

1.（2023•浙江杭州•二模）如图，AABC中，^BAC=70°,48的垂直平分线与NB4C的角平分线交于点。,

则乙4B。的度数为（）

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A

A.35°B.30°C.25°D.20°

2.（2023•山东枣庄•一模）如图，在RtAABC中，乙4cB=90。，^LABC=30°,CD平分N4CB.边4B的垂直

平分线DE分别交CD,4B于点。，E.下列结论中正确的有（）个

①4871c=60。；②CD<2BE；®DE=AC；®y[2CD=BC+^AB.

3.（2023・山西吕梁•模拟预测）如图：在△力BC中,

（1）实践与操作：利用尺规作ZBHC的角平分线交BC于点。，作线段4。的垂直平分线EF,交边48于点E,交

边4C于点F,交4D于点。（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）

（2）猜想与证明：连接DE.试猜想线段DE与4F的数量及位置关系，并加以证明.

4.（2023•江苏连云港•二模）“关联”是解决数学问题的重要思维方式.角平分线的有关联想就有很多……

【问题提出】

⑴如图①，PC是APAB的角平分线，求证：咎=箓

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小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点8作BDIIP4交PC的延长线于点。，利用“三角形相似”.

小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等“，过点C分别作CD1P4交P4于点D,作CE1PB交

PB于点E,利用“等面积法”.

请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明.

【理解应用】

(2)如图②，在RtaZBC中，4c=90。，。是边BC上一点.连接4。，将△4CD沿2D所在直线折叠，使点C

恰好落在边48上的E点处，落AC=1,AB=2,则DE的长为.

②

【深度思考】

(3)如图③，AABC中，AB=6,AC=4,2。为N84C的角平分线.2D的垂直平分线EF交BC延长线于点尸,

连接力F,当BD=3时，力尸的长为.

【拓展升华】

(4)如图④，PC是AP/1B的角平分线，若4C=3,BC=1,贝必P4B的面积最大值是

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p

5.（2022•浙江温州.模拟预测）已知：如图，NM4V为锐角，2。平分NM4V,点、B,点C分别在射线4M和AN

上，AB=AC.

备用图1备用图2

（1）若点E在线段C4上，线段EC的垂直平分线交直线AD于点八直线BE交直线AD于点G,求证：乙EBF=

^CAG；

（2）若（1）中的点E运动到线段C4的延长线上，（1）中的其它条件不变，猜想NEBF与NC4G的数量关系并

证明你的结论.

题型06特殊三角形的性质与判定

1.（2023•陕西西安•高新一中校考一模）如图，在AABC中，NB=45。，NC=30°,则第的值为（）

,I。

A-TB-1c-TD-1

2.（2024・上海普陀•一模）如图，△力BC和ADCB都是直角三角形，ABAC=/.BCD=90°,AB=AC,AC.

BD相交于点0,如果ND8C=30。，那么。C:4C的值是（）

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D

B.2-V3D.V3-1

3.(2022・四川绵阳•东辰国际学校校考模拟预测)如图，在RtAABC中，乙4cB=90。，斜边48=8,AB经

过原点。，点C在y轴的正半轴上，AC交x轴于点。，且CD:4D=4:3,反比例函数y=三的图象经过A、B

两点.

(1)求反比例函数的解析式.

(2)点尸为直线4C上一动点，求BP+OP的最小值.

4.(2023•山西•模拟预测)如图1,在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点。在边AC上，CD±DE,且

CD=DE,连接BE,取BE的中点F,连接。

(1)请直接写出ZADF的度数及线段AD与DF的数量关系；

(2)将图1中的△COE绕点C按逆时针旋转，

①如图2,(1)中尸的度数及线段与。P的数量关系是否仍然成立？请说明理由；

②如图3,连接AF,若AC=3,CD=1,求SAADP的取值范围.

5.(2021・福建厦门・厦门市第H^一中学校考二模)如图，\ABC.AADE均为等边三角形，BC=6,2。=4.将

△4DE绕点4沿顺时针方向旋转，连接BD、CE.

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℃//\X\

VA/T£—\£

g*----VwX*-/----------A---

ffl（i）阳②

⑴在图①中证明A2DBa^AEC^

（2）如图②，当NE4C=90。时，连接CD,求ADBC的面积；

（3）在AADE的旋转过程中，直接写出AD8C的面积S的取值范围.

6.（2021.江苏南京.南师附中树人学校校考一模）如图1,若△。跖的三个顶点Z）,E,尸分别在△ABC各边

上，则称△OEF是△ABC的内接三角形.

（1）如图2,点。，E,尸分别是等边三角形A8C各边上的点，且AO=8E=CF,则△DE尸是AABC的内

接.

A.等腰三角形

B.等边三角形

C.等腰三角形或等边三角形

D.直角三角形

（2）如图3,己知等边三角形ABC,请作出△ABC的边长最小的内接等边三角形DEE（保留作图痕迹，

不写作法）

（3）问题：如图4,△ABC是不等边三角形，点。在边上，是否存在△ABC的内接等边三角形。EB?

如果存在，如何作出这个等边三角形？

①探究1：如图5,要使△£）£/是等边三角形，只需/EDF=60。，DE=DF.于是，我们以点。为角的顶点

任作N£DF=60。，且。E交8C于点E,DF交AC于点F.

我们选定两个特殊位置考虑：位置1（如图6）中的点尸与点C重合，位置2（如图7）中的点E与点C重

合.在点E由位置1中的位置运动到位置2中点C的过程中，DE逐渐变大而。尸逐渐变小后再变大，如果

存在某个时刻正好DE=Z）R那么这个等边三角形。所就存在（如图8）.理由：是等边三角形.

②探究2：在BC上任取点E,作等边三角形QEF（如图9）,并分别作出点£与点8、点C重合时的等边三

角形DB〃和。CF'.连接尸尸，FF",证明：FF+FF"=BC.

③探究3：请根据以上的探究解决问题：如图10,ZVIBC是不等边三角形，点。在A8边上，请作出△A8C

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的内接等边三角形。ER（保留作图痕迹，不写作法）

题型07勾股定理、勾股定理逆定理与网格问题

1.（2022•陕西西安•交大附中分校校考模拟预测）如图，在9x5的网格中，每个小正方形的边长均为1,点

A,B,C都在格点上，若8。是/4BC的平分线，则8。的长为（）

C3V10

C.-------D.3V10

2

2.（2021•北京门头沟.统考二模）图所示的正方形网格内，点A,B,C,D,E是网格线交点，那么NEC。+

Z.EDC=

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3.（2022•江苏南通・统考二模）如图，△ABC的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上.

+AACB=.

（2）利用正方形网格，证明（1）中的结论.

4.（2022・吉林长春・统考模拟预测）图①、图②、图③均是5x5的正方形网格，每个小正方形的边长为1,

每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中，以

为边画三角形.按下列要求作图：

（2）在图②中，画一个直角三角形△AB。，使其面积为

（3）在图③中，画一个△ABE,使其面积为至，且N8AE=45。.

4

题型08与三角形有关的折叠问题

1.（2022•重庆大足•统考一模）如图，在七△A8C中，ZACB=90°,AB=5,AC=3,点。是BC上一动点，

连接AD，将△AC。沿折叠，点C落在点E处，连接。E交于点R当/。仍是直角时，。尸的长为

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c

33

A.5B.3C.-D.-

24

2.（2022・广东汕头・统考一模）如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=8,AB=10,。是AC上一点，且CO

=3,E是BC边上一点,将△OCE沿。E折叠，使点C落在点P处，连接BR则BF的最小值为.

A

3.（2023・广东深圳•模拟预测）在RtAABC中，乙48c=90。，AB=5,BC=12,点。是边BC上一点（不含8、

C两个端点），将△力DC沿4。折叠得到△4DC',当。C'所在的直线与AABC的一边垂直时，点£＞到边4C的距

4.（2023•安徽亳州・三模）如图，在直角三角形纸片ABC中，4ACB=90°,AC=3,BC=4,点。在边48上,

以CD为折痕将ACBD折叠得到ACDF,CF与边4B交于点E,当DF1AB时，BD的长是.

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5.(2023•河南商丘•一模)综合与实践

综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动.

(1)【操作发现】对折AABCaiB>4C),使点C落在边48上的点E处，得到折痕4。，把纸片展平，如图1.小

明根据以上操作发现：四边形2EDC满足力DE=DC.查阅相关资料得知，像这样的有两组邻边分

别相等的四边形叫作"筝形请写出图1中筝形AEDC的一条性质—.

(2)【探究证明】如图2,连接EC,设筝形4EDC的面积为S.若4D+EC=12,求S的最大值；

(3)【迁移应用】在RtATIBC中，乙4=90。，AB=2,AC=1,点、D,E分别在8C,48上，当四边形4EDC是

筝形时，请直接写出四边形力EDC的面积.

6.(2023•河南周口•三模)综合与实践

【问题背景】

数学活动课上,老师将矩形4BCD按如图①所示方式折叠，使点4与点C重合,点B的对应点为夕，折痕为EF,

若小CEF为等边三角形.

(1)请解答老师提出的问题：

试猜想48与4。的数量关系，并加以证明.

【实践探究】

(2)小明受到此问题启发，将AABC纸片按如图②所示方式折叠，使点2与点C重合，折痕为EF,若乙4=

45。,AC=2,

①试判断重叠部分△CEF的形状，并说明理由；

②若点。为EF的中点，连接CD,求CD的长；

【问题解决】

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（3）小亮深入研究小明提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图③，在△ABC中，将AaBC折叠，使点

4与点C重合，点。为折痕所在直线上一点，若力B=AC=®BC=2,UCD=45。，请直接写出线段80的

长.

题型09赵爽弦图

1.（2023•山东济南•统考三模）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦

图”.将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形MNPQ,

记空隙处正方形ABCD,正方形EFGH的面积分别为S「＞S2）,则下列四个判断：①S1+S2=

-S四边形MNPQ②DG=24F；③若NEM”=30。，则S[=3S?；④若点A是线段GF的中点，贝U3s1=4S2,其

中正确的序号是

2.（2023•浙江丽水・统考一模）公元3世纪，我国数学家赵爽巧妙地利用面积关系（后人称“赵爽弦图”）证

明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形

EFGH组成的大正方形.连结BG、DE,设S正方形必。。=S]，S正方形EFGH=S2，S四边形BE0G=S3.

AD

BC

（1）若BE=2DH,则tan/EDH=.

（2）若Si=$2+S3,则If的值是.

3.（2022•福建福州•福建省福州延安中学校考模拟预测）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一

幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）,图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而

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成，记图中正方形4BCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为Si、S2>S3,如果S1+S2+S3=96,

那么S2的值是—.

图1图2

4.(2023・广东深圳•校联考三模)中华文明源远流长，如图①是汉代数学家赵爽在注解倜髀算经》时给出

的图形，人们称之为赵爽弦图，被誉为中国数学界的图腾.2002年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作

了会标，该图有4个全等的直角三角形围成几个大正方形和中间一个小正方形，巧妙的证明了勾股定理.

问题发现：

如图①，若直角三角形的直角边BC=3,斜边力B=5,则中间小正方形的边长CD=,连接BD,△ABD

的面积为.

知识迁移：

如图②，P是正方形力BCD内一点，连接P4PB,PC,当乙BPC=90°,BP=VTU时，△P4B的面积为.

拓展延伸：

如图③，已知NMBN=90。，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交射线BM,BN分别于2,C两点.

(1)已知。为线段力B上一个动点，连接CD,过点B作BE1CD,垂足为点E；在CE上取一点尸，使EF=BE；

过点F作GF1CD交BC于点G,试判断三条线段BE,DE,GF之间的数量关系，并说明理由.

(2)在(1)的条件下，若D为射线BM上一个动点，F为射线EC上一点；当月B=10,CF=2时，直接写

18/32

5.（2023•山东济宁•统考二模）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定

理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定

理，创制了一幅“弦图”（如图1）,后人称之为“赵爽弦图”，流传至今.勾股定理内容为：如果直角三角形

的两条直角边分别为a,b,斜边为c,那么。2+房=。2.

（1）如图2、3、4,以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形

中面积关系满足&+S2=S3的有个；

（2）如图5所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别

为I，S2,直角三角形面积为S3,请判断£,52,S3的关系并证明；

（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这

一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”.在如图7所示的“勾股树"的某部分图形中，设大正方形M的边长

为定值机，四个小正方形A,B,C,D的边长分别为a,b,c,d,已知=42=N3=Na,则当变化时，

回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）

①a?+b2+c2+d2=；

②b与c的关系为,a与d的关系为.

题型10利用勾股定理解决实际问题

1.（2023•河北秦皇岛•统考三模）如图，点P为观测站，一艘巡航船位于观测站P的南偏西34。方向的点A

处，一艘渔船在观测站P的南偏东56。方向的点B处，巡航船和渔船与观测站P的距离分别为45海里、60

海里.现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30海里/小时的速度前去救助，至少需要的时间是（）

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北

A.1.5小时B.2小时C.2.5小时D.4小时

2.（2023・辽宁抚顺・统考三模）如图，4B是斜靠在墙上的长梯，4B与地面夹角为a,当梯顶2下滑2m到4时,

梯脚B滑到B',4B'与地面的夹角为。，若tana=£BB'=2m,贝!Icos^=（）

3.（2023・湖北十堰•统考一模）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子

内，木筷露在杯子外面的部分至少有（）

A.5cmB.7cmC.8cmD.11cm

4.（2023•陕西西安•校考二模）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm,底面周长为10cm,

在容器内壁离容器底部3cm的点8处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3cm的点A处,

则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是—.

5.（2023•北京・北京四中校考模拟预测）一块木板如图所示，已知4B=4,BC=3,DC=12,AD=13,

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NB=90°,求此木板的面积

题型11求最短距离

1.（2023・湖北十堰•一模）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉

一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为12m的半圆，其边缘4B=CD=20m（边缘的宽度

忽略不计），点E在CD上，CE=4m.一滑板爱好者从4点滑到E点，则他滑行的最短距离为（）

CB

A.28mB.24mC.20mD.18m

2.（2021•山东临沂•模拟预测）如图，在RtAOBC中,AACB=90°,AC=10,8C=12,点。是△ABC内的

一点，连接4D,CD,BD,满足N4DC=90。，贝UBD的最小值是（）

D.13

3.（2023・湖北十堰•模拟预测）如图，动点尸在矩形ABCD内运动，AB=7,BC=5,且满足S-BP=10.5,

PA+PB的最小值是.

4.（2023•山东德州•一模）小南同学报名参加了学校的攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，如

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图所示，他根据学过的数学知识准确地判断出：从点A攀爬到点8的最短路径为米.

5.（2022•广东深圳.三模）某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：

直线/同旁有两个定点4、B,在直线，上存在点P,使得24+的值最小.解法：作点4关于直线/的对称点

A',连接4B,贝U48与直线Z的交点即为P,且P2+P8的最小值为AB.

图1图2

请利用上述模型解决下列问题：

（1）几何应用：如图1,等腰直角三角形ABC的直角边长为2,E是斜边4B的中点，P是4C边上的一动点，

则PB+PE的最小值为；

（2）几何拓展：如图2,△ABC中，AB=2,ZSXC=30°,若在AC、4B上各取一点M、N使+MN的

值最小，求这个最小值________;

（3）代数应用：求代数式+1+J（4_x）2+4（0＜x＜4）的最小值_________.

题型12勾股定理逆定理的拓展问题

1.（2022・江苏无锡•二模）已知反比例函数y=|和正比例函数尸"的图像交于点“，N,动点P（加，0）在无

轴上.若为锐角三角形，则根的取值为（）

A.-2＜机＜逐且加#0B.用＜加＜逐且加#0

C.二〈根＜-西或遮＜根＜勺D.-2＜mV-逐或西＜小＜2

22

2.（2020.贵州安顺.中考真题）如图，在4x4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分

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别按下列要求画三角形.

(1)在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；

(2)在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数;

(3)在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数.

3.(2020•山西•二模)综合与实践

问题情境

在综合与实践课上，老师组织同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动.请你解决活动过程中产生

的下列问题.如图1,现有正方形纸片4BCD,先对折得到对角线BD,接着折叠使点C落到BD上的点C'处,

再展开，得到折痕BE,连接CE.

观察计算

(1)在图］中，黑的值是

图1

操作探究

(2)如图2,在图1的基础上，折叠正方形纸片，使点4D分别落到4B,DC边上的点A,E处，再展开，折痕

为GH,则点C'在折痕GH上吗？若在，请加以证明；若不在，请说明理由；

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图2

（3）如图3,在图2（隐去点4和4E）的基础上，折叠正方形纸片，使点4B分别落到点A,E处，再展开,

折痕为MN,折痕与GH交于点P,连接，PB,PE,贝甘B和PE之间有何位置关系？并加以证明；

图3

操作拓展

（4）如图4,该图中所有已知条件与图3完全相同，利用图4探索新的折叠方法（图3中产生折痕MN的方

法除外），找出与图3中点P位置相同的点，该点命名为P',要求只有一条折痕.请在图4中画出折痕和必要

线段，标出点P',并简要说明折叠方法.（不需要说明理由）

4.（2020•内蒙古鄂尔多斯•一模）定义：如图1,点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN,若以AM、MN、

BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段A8的勾股点.已知点M、N是线段AB的勾股点,

若AM=1,MN=2,则8N=—.

（1）【类比探究】如图2,OE是A48C的中位线，M、N是边的勾股点（AM〈MN<NB）,连接CM.

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CN分别交QE于点G、H.求证：G、”是线段。E的勾股点.

（2）【知识迁移】如图3,C,。是线段的勾股点，以C。为直径画。。，尸在。。上，AC^CP,连结

PA,PB,若/A=2NB,求的度数.

（3）【拓展应用】如图4,点P（a,b）是反比例函数y=-（x>0）上的动点，直线y=-久+2与坐标轴

分别交于A、8两点，过点尸分别向尤、y轴作垂线，垂足为C、D,且交线段于E、F.证明：E、尸是

线段A8的勾股点.

题型13判断图形中与已知两点构成等腰三角形的点的位置

问题分情况找点画图解法

分别以点A,B

....……..

为圆心，以

AB/\\

以AB长为半径画圆，

1'^'\B

分别表示出点A,B,P

/为腰与已知直线的交1a一/一/

的坐标，再表示出线段

---------1点Pl,P2,P3,

PiP2'>-P3-P4

已知点和直AB,BP,AP的长度，

A,BP4即为所求

线1,在1上求点P,由①AB=AP；②AB=

使APAB为等腰作线段AB的垂直BP；③BP=AP列方程

ZUris

三角形以AB平分线，与己知解出坐标

为底直线的交点P5即

为所求

1.如图，在3x3的网格中，每个网格线的交点称为格点.已知图中4,B两个格点，请在图中再寻找另一

个格点C,使△力BC成为等腰三角形，则满足条件的点C有（）个.

A.6B.8C.10D.12

2.（2020・安徽淮北•统考一模）如图，在矩形4BCD中，AB=4,BC=6,点E是4D的中点，点尸在DC上，且

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CF=1,若在此矩形上存在一点P,使得APEF是等腰三角形，则点P的个数是（）

A.3B.4C.5D.6

3.（2021・广东深圳•统考一模）在平面直角坐标系xOy中，A（0,2）,B（0,6）,动点C在直线y=-尤上，

若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为一.

4.（2022•江苏南京•统考一模）如图，M,N是NAOB的边。4上的两个点（OMCCW）,ZAOB=30°,0M=

a,MN=4.若边02上有且只有1个点P,满足△「阿是等腰三角形，则。的取值范围是.

题型14判断图形中与已知两点构成直角三角形的点的位置

问题分情况找点画图解法

分别过点A,B

以AB作AB的垂线，

分别表示出点A,B,

一为直角与已知直线的

P的坐标，再表示出

4I边交点P1，P4即为

P1尸4线段AB,BP,AP的

所求

已知点A,B和直线

长度，由①AB2=BP2

以的中点

1,在1上求点P,使ABQ

+Ap2；②Bp2=AB2

为圆心，为

△为直角三角QA

PAB+AP2；③AP2=AB2

以为半径作圆，与已

形AB

+BP2列方程解出坐

斜边知直线的交点

标

P2,P3即为所

丫2

求

1.（2022.河北承德・统考二模）如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A,2在格点上.若

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再选择一个格点C,使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1,则符合条件的格点C的个数

是（）

A.2B.4C.5D.6

2.（2019・福建•校联考一模）点A（2,%），B（2,加5）在平面直角坐标系中，点。为坐标原点.若AAB。

是直角三角形，则机的值不可能是（）

A.4B.2C.1D.0

3.（2023•辽宁沈阳•校联考一模）在平面直角坐标系中，已知点4（-6,0）,B（2,0）,若点C在一次函数y=-1+

2的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的C点的个数有一个.

4.（2023•浙江温州•校考二模）在直角坐标系中，我们把横纵坐标都为整数的点叫作整点，顶点都是整点的

三角形称为整点三角形.如图，已知整点4（0,1）,3（4,0）,请在所在的网格区域（含边界）画出符合要求的

整点三角形.

⑴在图1中画一个RtAABC.

（2）在图2中画一个△ABQ,使点。的横纵坐标相等，且的面积等于3.

中考逆袭-高效集训

（时间：60分钟）

一、单选题

1.（2023•山西太原•二模）利用课后服务时间，同学们在操场上进行实地测量.如图，在4处测得建筑物C在

南偏西60。的方向上，在B处测得建筑物C在南偏西20。的方向上.在建筑物C处测得A,8两处的视角NC的度

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数为（）

A.30°B.40°C.60°D.80°

2.（2023・安徽・模拟预测）有一内角是30。的直角三角尺CDE与直尺如图放置，三角尺的斜边与直尺交于点

F.若NCDE的平分线DG平行于直尺的短边贝！J乙4N7的度数是（）

3.（2023•陕西西安・模拟预测）图1为红斑钟螺，壳型为圆锥形.多分布在菲律宾、以及我国台湾垦丁等区

域.