专题15 【五年中考+一年模拟】二次函数综合题-备战2023年浙江杭州中考数学真题模拟题分类汇编（解析版）

专题15二次函数综合题1．（2022•杭州）设二次函数，是常数）的图象与轴交于，两点．（1）若，两点的坐标分别为，，求函数的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数的表达式可以写成是常数）的形式，求的最小值．（3）设一次函数是常数），若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图象经过点，时，求的值．【答案】见解析【详解】（1）二次函数过点、，，即．抛物线的对称轴为直线．（2）把化成一般式得，．，．．把的值看作是的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，当时，的最小值是．（3）由题意得，．函数的图象经过点，，．，或．即或．2．（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数，是常数，．（1）若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；（2）写出一组，的值，使函数的图象与轴有两个不同的交点，并说明理由．（3）已知，当，，是实数，时，该函数对应的函数值分别为，．若，求证：．【答案】见解析【详解】（1）由题意，得，解得，所以，该函数表达式为．并且该函数图象的顶点坐标为．（2）例如，，此时，，函数的图象与轴有两个不同的交点．（3）由题意，得，，所以，由条件，知．所以，得证．3．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数，，是实数，．（1）若函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求函数的表达式．（2）若函数的图象经过点，其中，求证：函数的图象经过点，．（3）设函数和函数的最小值分别为和，若，求，的值．【答案】见解析【详解】（1）由题意，得到，解得，函数的图象经过，，解得或，函数或．（2）函数的图象经过点，其中，，，即，是方程的根，即函数的图象经过点，．（3）函数和函数有最小值分别为和，，，，，，，，，．4．（2019•杭州）设二次函数，是实数）．（1）甲求得当时，；当时，；乙求得当时，．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含，的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过和两点，是实数），当时，求证：．【答案】见解析【详解】（1）当时，；当时，；二次函数经过点，，，，，当时，，乙说的不对；（2），当时，是函数的最小值；（3）二次函数的图象经过和两点，，，，，，，不能取到，．5．（2018•杭州）设二次函数，是常数，．（1）判断该二次函数图象与轴的交点的个数，说明理由．（2）若该二次函数图象经过，，三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．（3）若，点，在该二次函数图象上，求证：．【答案】见解析【详解】（1）设△方程有两个不相等实数根或两个相等实根．二次函数图象与轴的交点的个数有两个或一个（2）当时，抛物线不经过点把点，分别代入得解得抛物线解析式为（3）当时①②①②相加得：6．（2022•上城区一模）如图1用一个平面截取圆锥，得到的图形可能是圆、椭圆、双曲线，而当平面与圆锥的母线平行，且不过圆锥顶点时，所截得的图形为抛物线，即图2中曲线为抛物线的一部分，交母线于点，交底面于点，，垂直于底面的直径，垂足为点．已知底面的半径为5，．（1）求弦的长．（2）若以所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系如图3，当时，求经过点，，的抛物线的函数表达式．（3）若图3的抛物线上有一点，求的值．【答案】见解析【详解】（1）如图2，连接，垂直于底面的直径，垂足为点，，底面的半径为5，，，；（2），，，，，设抛物线的解析式为：，则有：，解得；抛物线的解析式为：；（3）抛物线上有一点，，解得，的值为2或．7．（2022•拱墅区一模）在直角坐标系中，设函数，是常数，．（1）已知函数的图象经过点和，求函数的表达式．（2）若函数图象的顶点在函数的图象上，求证：．（3）已知点，在函数的图象上，且．当时，求自变量的取值范围．【答案】见解析【详解】（1）函数的图象经过点和，．，．．（2）．顶点坐标为，．抛物线的顶点在的图象上，，．．．（3）点，在函数的图象上，．，，．当时，或．，，抛物线开口向上．时，或．8．（2022•西湖区一模）已知二次函数为常数，．（1）当时，求二次函数的对称轴．（2）当时，求该二次函数的图象与轴的交点个数．（3）设，，，是该函数图象上的两点，其中，当时，都有，求的取值范围．【答案】见解析【详解】（1）时，，二次函数的对称轴为直线．（2）令，则△，当时，，抛物线与轴有没有交点．（3），，，是该函数图象上的两点，，，，，，，，，，且．9．（2022•钱塘区一模）已知二次函数是常数，．（1）当时，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．（2）若此函数图象对称轴为直线时，求函数的最小值．（3）设此二次函数的顶点坐标为，当时，求证：．【答案】见解析【详解】（1）解：当时，，即，函数的表达式为，函数图象的顶点坐标为；（2）解：，当时，即，解得：，，此函数图象与轴的交点坐标为，，，此函数图象对称轴为直线，，解得：，，，函数图象开口向上，当时，函数有最小值，此时．函数的最小值为；（3）证明：，当时，即，解得：，，此函数图象与轴的交点坐标为，，，此二次函数的顶点坐标为，，，，，．10．（2022•淳安县一模）在平面直角坐标系中，设二次函数是实数）．（1）当时，若点在该函数图象上，求的值．（2）小明说二次函数图象的顶点在直线上，你认为他的说法对吗？为什么？（3）已知点，都在该二次函数图象上，求证：．【答案】见解析【详解】（1）当时，，在函数图象上，；（2）小明说法正确；由题意得，顶点是，当时，，顶点在直线上．故小明说法正确；（3），都在二次函数的图象上，对称轴是直线，，，，．11．（2022•富阳区一模）在直角坐标系中，点和点在二次函数的图象上．（1）若，，求二次函数的表达式及图象的对称轴．（2）若，试说明二次函数的图象与轴必有交点．（3）若点，是二次函数图象上的任意一点，且满足，求的取值范围．【答案】见解析【详解】（1）把点和点代入中得，解得，二次函数的表达式为，二次函数图象经过和，二次函数图象的对称轴为直线．（2）把点和点代入中，得，，即，，二次函数图象与轴必有交点．（3）点，是二次函数图象上的任意一点，且满足，二次函数图像开口向下，即，顶点坐标为，对称轴为直线，即，，，．12．（2022•临安区一模）设二次函数是常数）．（1）当时，求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）试判断二次函数图象与轴的交点情况；（3）设二次函数的图象与轴交于点，当时，求的最大值．【答案】见解析【详解】（1）当时，二次函数．该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为．（2）令，△，该一元二次方程无解，二次函数图象与轴无交点；（3）令，，函数的对称轴为直线，，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，当时，；当时，，当时，．的最大值为10．13．（2022•钱塘区二模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．（1）求抛物线的解析式及点的坐标；（2）点是抛物线上的动点，当时，求点的坐标；（3）若点是抛物线上的动点，过点作轴与抛物线交于点，点在轴上，点在坐标平面内，以线段为对角线作正方形，请写出点的坐标．【答案】见解析【详解】（1）把、两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为，，；（2）如图1，过作轴于点，连接，设，则，，，，，，，，，，，，，当点在轴上方时，有，解得或（舍去），此时点的坐标为；当点在轴下方时，有，解得或（舍去），此时点的坐标为；综上可知点的坐标为或；（3）如图2，设对角线、交于点，点、关于抛物线对称轴对称，且四边形为正方形，点为抛物线对称轴与轴的交点，点在抛物线的对称轴上，设，则坐标为，点在抛物线的图象上，，解得或，满足条件的点有两个，其坐标分别为或．14．（2022•西湖区校级一模）在平面直角坐标系内，二次函数为常数）．（1）若函数的图象经过点，求函数的表达式；（2）若的图象与一次函数为常数）的图象有且仅有一个交点，求的值；（3）已知，在函数的图象上，当时，求证：．【答案】见解析【详解】（1）解：函数的图象经过点，，解得：或1，函数的表达式为或；（2）解：若的图象与一次函数为常数）的图象有且仅有一个交点，方程有两个相等的实数根，，△，解得：；（3）证明：，，抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上，和时的函数值相同，由图象可知当时的函数值小于当时的函数值，即：，，，．15．（2022•萧山区校级一模）在平面直角坐标系中，设二次函数是实数）．（1）当时，若点在该函数图象上，求的值．（2）已知，，，从中选择一个点作为该二次函数图象的顶点，判断此时是否在该二次函数的图象上，（3）已知点，都在该二次函数图象上，求证：．【答案】见解析【详解】（1）时，，将代入得．（2），抛物线顶点坐标为，当为抛物线顶点时，，，不符合题意．当为抛物线顶点时，，，不符合题意，当，为抛物线顶点时，，，符合题意，此时，将代入得，在函数图象上．（3），关于抛物线对称轴对称，，解得，，将代入得，．16．（2022•萧山区一模）已知二次函数．（1）若函数图象的对称轴为直线，且顶点在轴上，求的值；（2）若，，点为该二次函数图象在第三象限内的点，请分别求出，的取值范围；（3）若点始终是函数图象上的点，求证：．【答案】见解析【详解】（1）解：函数图象的对称轴为直线，，．二次函数的顶点在轴上，，，，；（2）解：若，，则，，抛物线的顶点坐标为，，抛物线的的开口方向向上，令，则，解得：或1．抛物线与轴交于点和．点为该二次函数图象在第三象限内的点，，；（3）证明：点始终是函数图象上的点，．．，．．，，有最小值，．17．（2022•滨江区一模）二次函数，，是常数，，当时，函数有最小值．（1）若该函数图象的对称轴为直线，并且经过点，求该函数的表达式．（2）若一次函数的图象经过二次函数图象的顶点．①求该二次函数图象的顶点坐标．②若，，是该二次函数图象上的两点，求证：．【答案】见解析【详解】（1）由题意可知，抛物线的顶点为，物线为，经过点，，，抛物线为．（2）①令，整理得，解得，，一次函数的图象经过二次函数图象的顶点，且当时，函数有最小值，抛物线的顶点为，，代入得，，二次函数中，当时，，抛物线顶点为；②抛物线顶点为，对称轴为直线，，，代入得，，，，，，．18．（2022•上城区二模）二次函数的自变量与函数值的对应值如表：012（1）若，求此时函数解析式；（2）当时，对应的函数值．①和在该二次函数的图象上，试比较与大小；②求的范围．【答案】见解析【详解】（1）设，将，，代入得，解得，这个二次函数的解析式为．（2）抛物线经过，，抛物线对称轴为直线，，当时，对应的函数值．图象开口向上，①到对称轴的距离大于点的距离，；②抛物线开口向上，对称轴为直线，，点到对称轴的距离等于点的距离，，，，抛物线为，时，对应的函数值，，，，时，，．19．（2022•余杭区一模）已知二次函数为常数）．（1）若该函数图象经过点试求的值和图象顶点坐标；（2）在（1）的情况下，当时，求的取值范围；（3）当，随的增大而增大，，，，是该函数图象上的两个点，对任意的，，，总满足，试求的取值范围．【答案】见解析【详解】（1），顶点为，把点代入中得：，解得：，抛物线的顶点为，；（2）由（1）得二次函数解析式为，抛物线开口向上，对称轴为直线，当时函数在时取最小值为，在时取最大值为，故的取值范围；（3）由题意得，抛物线开口向上，当，随的增大而增大，对称轴，即，，，时，最小为，时，最大为，所以，解得，综上所述．20．（2022•富阳区二模）设二次函数，其中为实数．（1）若二次函数的图象经过点，求二次函数的表达式；（2）把二次函数的图象向上平移个单位，使图象与轴无交点，求的取值范围；（3）若二次函数的图象经过点，点，设，求的最小值．【答案】见解析【详解】（1）二次函数的图象经过点，，解得：，，二次函数的表达式为；（2）由二次函数的交点式得二次函数与轴交点横坐标，，二次函数的对称轴为直线，把代入解析式得顶点纵坐标为，将二次函数图象向上平移个单位可得顶点纵坐标为，图象与轴无交点，，；（3）二次函数的对称轴为直线，不妨设，，，，把，代入函数解析式，得，，的最小值为0．21．（2022•西湖区校级模拟）若二次函数的解析式为．（1）当分别取，0，1时对应函数值为，，，请比较，，的大小关系．（2）记二次函数的最小值为，求证：；（3）若函数过点和点，求的取值范围．【答案】见解析【详解】（1）解：二次函数的解析式为，二次函数过和，开口向上，时，随的增大而减小，分别取，0，1时对应函数值为，，，；（2）证明：二次函数的解析式为，一般式为：，对称轴为，函数开口向上，当时，取得最小值，，，；（3）解：设直线与二次函数的交点为，，，，函数过点和点，，联立，可得：，，，，即，，令，，．22．（2022•富阳区一模）已知抛物线．（1）若抛物线过点，求抛物线的解析式；（2）若该抛物线上任意不同两点，、，都满足：当时，；当时，，试判断点在不在此抛物线上；（3）抛物线上有两点、，当时，恒成立，试求的取值范围．【答案】见解析【详解】（1）将代入得，解得，．（2），抛物线与轴交点坐标为，，，抛物线对称轴为直线，时，，时，，抛物线对称轴为值，即，解得，，将代入得，点在抛物线上．（3）抛物线对称轴为直线，点关于对称轴对称的点，，当时，恒成立，抛物线开口向下，即，且，解得．23．（2022•西湖区校级二模）已知二次函数为常数，且．（1）求该二次函数图象与轴的交点坐标；（2）当时，的最大值与最小值的差为4.5，求该二次函数的表达式；（3）若，对于二次函数图象上的两点，，，，当，时．均满足，请直接写出的取值范围．【答案】见解析【详解】（1）取，得，解得或，该二次函数图象与轴的交点为，；（2）的顶点坐标为，①当时，在中，最大值是当时的值，即，最小值是当时的值，即，，，该二次函数的解析式为，②当时，在中，最大值是当时的值，即，最小值是当时的值，即，，，该二次函数的表达式为；（3）由（2）知抛物线的对称轴为，当时，，，由抛物线的对称性知时，，又，，，．24．（2022•西湖区校级模拟）已知抛物线．，为常数，且（1）已知点，，，若该抛物线只经过其中的两点，求抛物线的表达式；（2）点为（1）中抛物线上一点，且，求的取值范围；（3）若抛物线与直线都经过点，设，求证：且．【答案】见解析【详解】（1）抛物线过点，抛物线不经过点．抛物线经过、两点，由题意得，，解得抛物线的表达式为．（2）点在抛物线上，，整理得，．，，，．解得．的取值范围为．（3）抛物线与直线都经过点，，，整理得．，，即．又，．且．25．（2022•下城区校级二模）在平面直角坐标系中，点和点在二次函数的图象上．（1）若，，求二次函数的表达式及图象的对称轴．（2）若点，是二次函数图象上的任意一点且满足，当时，求证：．（3）若点，，在该二次函数的图象上，试比较，的大小．【答案】见解析【详解】（1）解：，，，，把、代入得，解得：，二次函数的表达式为：，其对称轴为；（2）证明：点，是二次函数图象上任意一点，且，可得为最低点，即开口向上，，对称轴，则，根据抛物线的对称性，可知，，，即，，，将代入，得，；（3）解：将点，，代入得：，解得：，，当时，，当时，，，．26．（2022•杭州模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数，其中．（1）若函数的图象经过点，求函数的表达式；（2）若一次函数的图象与的图象经过轴上同一点，探究实数，满足的关系式；（3）已知点，和在函数的图象上，若，求的取值范围．【答案】见解析【详解】（1）函数的图象经过点，得，解得，，当时，函数的表达式，化简，得；当时，函数的表达式化简，得，综上所述：函数的表达式；（2）当时，解得，，的图象与轴的交点是，，当经过时，，即；当经过时，，即；（3）的对称轴为：，当在对称轴的左侧（含顶点）时，随的增大而减小，与关于对称轴对称，由，得；当在对称轴的右侧时，随的增大而增大，由，得，综上所述：，所求的取值范围．解法二：也可以求出函数值，，根据，构建不等式求解即可．27．（2022•江干区校级模拟）在平面直角坐标系中，点