2024届高考数学拓展：隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形 解析版

隐圆、蒙日圆与阿基米德三角形

22

题目—若椭圆+幺=l（a>0）的蒙日圆为/+才=6,则a等于（）

Q+2Q

A.1B.2C.3D.4

【答案】8

题目区）（2023•烟台模拟）过抛物线y2=4x的焦点厂作抛物线的弦,与抛物线交于A,B两点,分别过

两点作抛物线的切线。相交于点的面积S的最小值为（）

4L

A.年B.2C.4D.4V2

O

【答案】C

[题目|Ti已知在平面直角坐标系。^中，4-2,0）,动点河满足|M4|得到动点河的轨迹是

阿氏圆。.若对任意实数M直线=l）+b与圆。恒有公共点，则b的取值范围是（）

A.[—V5,V5^]B.[—V69A/6]C.[—-x/7,V7]D.[—2V2,2A/2]

【答案】。

遒1口抛物线上任意两点4口处的切线交于点尸，称△PAR为“阿基米德三角形”，当线段AB经过

抛物线的焦点尸时，△P4B具有以下特征：

①P点必在抛物线的准线上;②PF_LAB.

若经过抛物线y2=4x的焦点的一条弦为“阿基米德三角形”为且点P的纵坐标为4,则

直线的方程为（）

A.3―2g—1=0B.2力+g—2=0C.3+2g—1=0D.2%—g—2=0

【答案】A

题目回（多选）（2023•廊坊模拟）如图，△P4B为阿基米德三角形.抛物线/=2py（p>0）上有两个不

同的点4（电，%）,8（/2,纺），以人，口为切点的抛物线的切线P4,相交于点P.给出如下结论，其

中正确的为（）

A.若弦AB过焦点，则△ABP为直角三角形且AAPB=90°

B.点P的坐标是红，号1）

C./\PAB的边AB所在的直线方程为（xi+x^x—2pg—工&2=0

D.△P4B的边48上的中线与夕轴平行（或重合）

【答案】ACD

【解析】由题意设人（伤，合），

B（^X2,言）,Xi<x2,

由x?=2pn,得夕=告—，则y'=—,

2Pp

所以k=—,kpB=—,

PAPP

若弦AB过焦点，设AB所在直线为

g=far+5，联立力2=2py,

得/—2pkx—p2=0,

则力避2=一。）

所以kpA*PB==-1,

P

所以P4LPB,故A正确；

以点人为切点的切线方程为"一①=电3—为），以点B为切点的切线方程为0一三=生（，一电）,

2pp2pp

联立消去“得工=0贤，

将力=符1代入"—¥=&（,—，），

22pp

所以p（当学,竽），故B错误；

设N为抛物线弦AB的中点，N的横坐标为XN=?曹，因此直线PN平行于。轴（或与4轴重合），即

平行于抛物线的对称轴（或与对称轴重合），故。正确；

设直线AB的斜率为

冠X1

k_V2-V1_药_药_g+12

X2—XiX2—Xi2p'

故直线AB的方程为•••

£1+^2

y-（①-力i）,

2P2P

化简得(g+g)2—2py—力便2=0,故C正确.

题目区〔(多选)已知椭圆C：4+当=l(a>b>0)的离心率为卓，用，耳分别为椭圆的左、右焦点，

ab2

A,8为椭圆上两个动点.直线Z的方程为近+ay—a?—/=().下列说法正确的是()

A.C的蒙日圆的方程为"+才=3b2

B.对直线2上任意一点P,且I两>0

C.记点A到直线I的距离为d,则d-\AF,\的最小值为

D.若矩形MNGH的四条边均与。相切，则矩形MNGH面积的最大值为6/

【答案】AD

【解析】对于>1,过Q(a,6)可作椭圆的两条互相垂直的切线c=a,y=b,

：.Q(a,b)在蒙日圆上，

蒙日圆方程为x2+y2=a^+b2,

由e=《=「=粤得，=阴

C的蒙日圆方程为x+y2=3b2,A正确;

对于由Z方程知Z过P(b,a),又P满足蒙日圆方程，

P(b,a)在圆/+才=3&2上，当A,8恰为过P作椭圆两条互相垂直切线的切点时，苒;.屈=0,B

错误；

对于C,•••7!在椭圆上，

\AF]_\+\AF2\=2a,

d—|4E|=d—(2a—1247*11)

=d+|—2a;

当用4，Z时，d+剧取得最小值，最小值为E到直线I的距离，

又E到直线Z的距离

”\-bc-(^-b2\|-b2-2b2-b2\

a=----.----=---------7=-------

V3b

...(d—以网)min=¥b—2a,。错误；

o

对于。，当矩形MNGH的四条边均与C相切时，蒙日圆为矩形MNGH的外接圆，

2

/.矩形MNGH的对角线为蒙日圆的直径,设矩形MNGH的长和宽分别为巩夕，则/+/=12b,

矩形MNGH的面积S=阴/W缶”=6b2（当且仅当工="=限时取等号），即矩形MNGH面积的

最大值为6b2,。正确.

题目巨〔抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常称为阿基米德三角形，因为阿基米德

最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面

积的已知4—2,1）,8⑵1）为抛物线C：/=4y上两点，则在A点处抛物线C的切线的斜率为

O

；弦人8与抛物线所围成的封闭图形的面积为.

【答案】-14

O

题目|8〔（2023•赣州模拟）已知两动点在椭圆。：才=1屹>1）上，动点P在直线34+4U—

a

10=0上，若乙4PB恒为锐角，则椭圆。的离心率的取值范围为.

【答案】（0,?）

【解析】根据题意可得，圆力2+才=.2+1上任意一点向椭圆。所引的两条切线互相垂直,

因此当直线3立+旬-10=0与圆2：2+y2=a2+i相离时，NAPB恒为锐角，

/lO+O-lOlV4

故a~+l<'V32+42)

解得1<£?<3,

从而离心率e=^/1—\e（0,

:题目叵〕（2023•开封模拟）如图，过点P（m,力作抛物线C：x2=2py（p>0）的两条切线P4PB,切点分

别是8,动点Q为抛物线。上在48之间的任意一点,抛物线。在点Q处的切线分别交P4,PB

于点、M,N.

⑴若AP,BB,证明：直线人口经过点（0,马；

（2）若分别记A4BQ的面积为Si，S2,求善的值.

【答案】（1）证明：设AQI,gj,B（X2,统），直线AB的方程为y—kx+b,

由y=2如

[y=kx-\-b9

2

消去g并整理得x—2pkx—2Pb=0,有x1x2=—2pb,

2

令抛物线C:x=2Pg在点4处切线方程为y—yx=t{x—x^),

南\y-yi=t{x-x^,

%2=2py,

2

消去g并整理得x—2ptx+2ptxl—2py1=0,

22

则有A=4p1—4(2ptx—2py)=4p¥—4(2pta;1—rci)=0,解得t=—,

rrP

同理，抛物线。：/2=2Pg在点B处切线斜率为Bl,

P

因为4P_LPB,

则有色a=W=T,

ppp

解得b=卷,

所以直线AB:g=kc+或•恒过定点(0,£•).

⑵解由(1)知，切线P4的方程为y—y——(re—,

xP

整理得y=-x—7/i,

P

同理切线PB的方程为y=-x—y,

P2

设点Q(&,%),则切线MN的方程为y——x—y,

PQ

而点P(m,ri),

即有n=9m—n］，n=^m—n2,

PP

因此直线48的方程为y=-x—n,

P

有MB=Ji+\xi-x2\,

点Q(g,y。)到直线AB的距离是

藁/。一尚一九

d2=

则$2=、~山一—xo—yo—n,

2P

由(py=xGx-pyQ,

\py=W-PVi,

解得点河的横坐标力.=叁瞥

同理点N的横坐标狈=号生，

t\MN\=J1+(三了山/，，点p(m,n)到直线上W的距离

-J1+信)2，

则S尸(山一沟|(/厂队一八,

所以曾=♦

b?2

［题目|io］已知圆。：/+才=5,椭圆：5+/=i(a>b>0)的左、右焦点分别为E，E，过E且垂直于

立轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和2鼻.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)如图，P为圆上任意一点，过P分别作椭圆两条切线与椭圆相切于4B两点.

①若直线PA的斜率为2，求直线PB的斜率；

②作于点Q,求证：©El+IQ网是定值.

a2=fe2+c2,

【答案】⑴解：由题意得,2述二^=22，

2bi

、a=1'

解得a=2,b=l,c=V3,

所以椭圆的标准方程为——F/=1.

(2)①解设P(g,班)，则过P的切线方程为y-y0=k{x—rc0),

且城+若=5,

由仔

、y-yo=k(x-x0),

222

化简得(1+4k)x+8k{y0—kx0)x+4(y0—AJT0)—4=0,

2

由A=0,得(4-x^)k+2x0y0k+1-*=0,

设切线的斜率分别为kltk2,

则k«2=上空=—八=—1,又直线PA的斜率为2,则直线的斜率为一《.

4—就4—(5—%)2

②证明当切线P4,PB的斜率都存在时，设？!(◎,%),3(比2,纺)，

切线PA,PB的方程为y—y{=k^x—◎),i=1,2并由①得

(4一冠)居+209见+1—蟾=0,i=l,2,(*)

又点A,口在椭圆上，

得着+婿=1,i=l,2代入(*),

得(2%2+4)=0,

即a=—卢,i=12

4yt

切线PA,PB的方程为2^+y,ty=1,i=1,2,

又切线过P点，

XtX

则0+yty=1,i=1,2,

40

所以直线AB的方程为竽+班沙=1,

由PQ，得直线PQ方程为

y-Vo=—[x-g),

联立直线AB方程^+yoy=l,

A”於4aMi+3%)4

解侍项=届+16%=铲°'

_%(1+3诵=工

武―V+16需—5yo,

由就+%=5得Q点轨迹方程为工^+5/=1,且焦点恰为&&

16

故IQEI+IQ网=2x嚏=嗅=手，

V5V55

当切线P4,的斜率有一个不存在时，如P8斜率不存在,

则风2,0),P(2,l),4(0,1),直线AB的方程为y=-x+1，

PQ的方程为g—1=23—2),可解得q(y,y),

Q点也在椭圆7^~/+5才=1上,

16

若8(—2,0),同理可得.

综上得IQEI+|Q£|=卓，为定值.

：»叵（2023•合肥模拟）已知A是圆/+才=4上的一个动点,过点A作两条直线h,仙它们与椭圆

4+y2=i都只有一个公共点，且分别交圆于点M,N.

O

（1）若4（—2,0）,求直线Z1；Z2的方程；

⑵①求证:对于圆上的任意点4都有成立；

②求△AMN面积的取值范围.

【答案】（1）解:设直线的方程为0=-/+2）,

代入椭圆+y2=1,消去g,

o

可得（1+3k2）x2+12k2x+12k2—3=0,

由△=（）,可得取一1=0,

设的斜率分别为自，k2,

k1=-1,1,

:.直线Zi,1的方程分别为J=—x—2,y=x+2.

（2）①证明当直线5，2的斜率有一条不存在时，不妨设Z1的斜率不存在，

,・・4与椭圆只有一个公共点，・,・其方程为/=±V3,

当。的方程为名=四时，此时。与圆的交点坐标为（四，±1）,

Z2的方程为y—1（或y=—1）,Zi-L勾成立，

同理可证，当。的方程为力=—遍时，结论成立；

当直线1-1,力的斜率都存在时，设点4小，n）且加十九2=4,

设方程为y=k[x—m）+九，代入椭圆方程，

可得（1+3fc2）rr2+6fc（n—krn）x+3（n—fcm）2—3=0,

由△=0化简整理得（3—m2）fc2+2mnfc+1—n2=0,

*.*w?+n=4,

（3—m2）fe2+2mnfc+m2—3=0,

设Zl」2的斜率分别为自，后,

***k1k2==-1,**•hIl/2成9

综上，对于圆上的任意点A,都有/1，，2成立.

②解记原点到直线/i,12的距离分别为&,必，

・・・AM_LNA,・・・MV是圆的直径，

2

\MA\=2d2,\NA\=24,d；+d；=\OA\=49

△AAW面积为S=^-\MA\x\NA\=2（1^,

S2=4就咫=4瑞(4-出)=-4(d?-2)2+16,

笛[1,3],.-.S2G[12,16],

：.SE[2V3,4].

题目区定义椭圆。：与+4=l(a>b>0)的“蒙日圆”的方程为x2+y2=a2+/,已知椭圆。的长轴

ab

长为4,离心率为e=].

(1)求椭圆。的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；

(2)过“蒙日圆”E上的任意一点又作椭圆。的一条切线AM,人为切点，延长AM与“蒙日圆”E交于

点。，O为坐标原点,若直线OM,O。的斜率存在，且分别设为瓦，无，证明：心自为定值.

【答案】⑴解：由题意知2a=4,e=£=

：.c=l,：.b2=3,

八、T2V

椭圆。的标准方程为——I——--1,

4O

“蒙日圆”E的方程为/+/=4+3=7,即rr2+y2=7.

(2)证明当切线AM的斜率存在且不为零时，设切线AM的方程为0=k力+小，

y=kx+m,

则由星上/=]

I4十3，

消去g得(3+4：k^)x2+8mkx+4m2-12=0,

:.A=64m2fc2—4(3+4fc2)(4m2—12)=0,

m2=3+4k2,

由

\x+y=7,

消去"得(1+k^)x2+(2mkx+m2—7=0,

・・・A=4m2fc2-4(l+fc2)(m2-7)=16+12fc2>0,

设y),D(X2,他)，

—2mk

则Xr+X

21+fc2

7n2—7

力便2：

1+fc2

些

・.•儿k]儿k2—

XiX2

_(kx^+m)(kx2+rri)

XiX2

_火力便z+kmQi+g)+馆2

力巡2

病一7

十+km师・-2mk2

1+昭1+fc2+m

馆2—7

1+昭

22

=m-7fc

21-7

m—7

22m3+4fc2-7fc23

m=3+4A;,k1k2=27k

m—73+4/C2-7—4

当切线AM的斜率不存在且为零时，&止2=—1■成立,

:.fcl«fc2为定值.

22

题目叵］已知抛物线C：x=2py(p>Q)的焦点为F,且F与圆M：疗+(y+4)=1上的点的距离的最

小值为4.

⑴求P；

(2)若点P在圆双上，PA,是。的两条切线，4