3.2 向量组的线性相关性

3.2向量组的线性相关性

定义3.7若存在不全为零的数x1,x2,…,xm使得

x1

1+x2

2+…+xm

m=0(*)

则称

1,

2,…,

m线性相关；否则，称

1,

2,…,

m线性无关.

特殊情形：

(1)一个向量

：

线性相关

=0

(线性无关

0)；

(2)两个向量

1,

2

：

1,

2线性相关(无关)它们的对应分量(不)成比例.例1n维单位向量组线性无关.证例2含有零向量的向量组线性相关.证

10

+0

1+…+0

m=0设n维向量组

1,

2,…,

n,

A=(

1,

2,…,

n),有不全为零的数

x1,x2,…,xn使

1,

2,…,

n线性相关定理2推论

设有n维向量组

1,

2,…,

n,

A=(

1,

2,…,

n),则下列命题等价：1o

1,

2,…,

n线性相关;2o

AX=0有非零解;3odetA=0.向量个数=向量维数：定理2设有m维向量组

1,

2,…,

n,

A=(

1,

2,…,

n),则下列命题等价：1o

1,

2,…,

n线性相关;2o

AX=0有非零解;

设R(A)=r,2o

3o：AX=0与BX=0

同解.

故，AX=0有非零解

r<n.BX=0有非零解

r<n

思考：向量个数与向量维数对线性相关性的影响？推论2向量个数>向量维数的向量组必线性相关.证设A=(

1,

2,…,

n)

m×n,

n>m,则R(A)≤m<n,

所以

1,

2,…,

n

线性相关.在Rn中，任n+1个向量必线性相关.例3

判断向量组

1=(0,1,1),

2=(1,0,1),

3

=(1,1,0)的线性相关性：解1

所以,

1,

2，

3线性无关.解2

R(A)=3,所以，

1,

2，

3线性无关.例4设

1,

2，

3线性无关，证

1=

1+

2，

2=

2+

3,

3=

3+

1线性无关.证设x1

1+x2

2+x3

3=0,即

x1(

1+

2)+x2(

2+

3)+x3(

3+

1)=0.即

(x1+x3)

1+(x1+x2)

2+

(x2+x3)

3=0.因为

1,

2，

3线性无关，所以只有所以(*)只有零解.故，

1,

2,

3

线性无关.3.2.2线性相关性的基本定理定理3.3若

1,

2,…,

m线性相关，则

1,

2,…,

m,m+1

,…,

n线性相关.

证由

1,

2,…,

m线性相关，知有不全为零的数x1,x2,…,xn使

x1

1+x2

2+…+xm

m=0.

x1

1+x2

2+…+xm

m+0

m+1+…+0

n=0.

x1,x2,…,xm,0,…,0

不全为零，故

1,

2,…,

n线性相关.“部分相关，则整体相关.”“整体无关，则部分无关.”

定理3.4

1,

2,…,

m(m≥2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示.

证充分性不妨设

1可由

2,…,

m线性表示，即有数

x2,…,xm

使得

因-1,x2,…,xm不全为零，故

1,

2,…,

m线性相关.

必要性有不全为零的数k1,k2,…,km使

k1

1+k2

2+…+km

m=0.

1可由

2,…,

m线性表示.因k1,k2,…,km不全为零，不妨设k1≠0，则即“

1,

2,…,

m线性无关其中任一向量都不能由其余向量线性表出.”定理3.5若

1,

2,…,

m线性无关，

1,

2,…,

m，线性相关，则

可由

1,

2,…,

m

线性表示，且表式惟一.有不全为零的数k1,k2,…,km,k使

k1

1+k2

2+…+km

m+k=0.若k=0，则

k1

1+k2

2+…+km

m=0.而k1,k2,…,km不全为零,与

1,

2,…,

m线性无关矛盾.所以k≠0，证下证

由

1,

2,…,

m

线性表出的表式惟一：设所以因

1,

2,…,

m线性无关，所以故表式惟一.解例5分析推论1若向量组

1,

2,…,

r可由

1,

2,…,

s线性表示，且

1,

2,…,

r线性无关，则r≤s.

证为便于书写，不妨设向量均为列向量，设A=(

1,

2,…,

r),B=(

1,

2,…,

s),因

1,

2,…,

r可由

1,

2,…,

s线性表出,所以存在K=(kij

)s×r=(

1,

2,…,

r),使得A=BK.

x1

1+x2

2+…+xr

r

=0则有不全为零的数x1,x2,…,x