海南省海口市2024届高三摸底考试数学试题（含答案解析） (二)

海南省海口市2024届高三摸底考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若集合/=何一2Vx<3},8={x|2TV1},则Nn8=()

A.{x|x>-2}B.{x|-2<x<0}

C.1x|0<x<3}D.{尤|-2<尤40}

2.已知复数z满足z(l-i)=2i,则彳=()

A.1+iB.1-i

C.-1+iD.-1-i

3.已知向量讶=(2,加)石=(l*-2),若(午+2可，兀则向=()

A.2A/5B.2MC.4A/5D.40

4.一个近似圆台形状的水缸，若它的上、下底面圆的半径分别为25cm和15cm,深度为

18cm,则该水缸灌满水时的蓄水量为()

B.4900兀(cm，

D.2205071(cm3

5.在党的二十大报告中，习近平总书记提出要发展“高质量教育”，促进城乡教育均衡

发展.某地区教育行政部门积极响应党中央号召，近期将安排甲、乙、丙、丁4名教育专家

前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少安排1名专家的

概率为()

48

A.B.一D.—

99ci27

6.已知函数“X)的定义域为R,/卜+；1

为偶函数，/(2-x)+/(x)=0,f

2

1

A.B.一C.0D.

23

7.三相交流电是我们生活中比较常见的一种供电方式，其瞬时电流i(单位：安培)与

试卷第1页，共6页

时间f（单位：秒）满足函数关系式：://05（就+%）（其中，为供电的最大电流，单

位：安培；。为角速度，单位：弧度/秒；例为初始相位），该三相交流电的频率/（单

位：赫兹）与周期T（单位：秒）满足关系式/=（.某实验室使用10赫兹的三相交流

电，经仪器测得在f=0.025秒与/=0.5秒的瞬时电流之比为百，且在7=0.8秒时的瞬时

电流恰好为1.5安培.若%则该实验室所使用的三相交流电的最大电流为（

A.1安培B.百安培C.2安培D.3安培

22

8.已知椭圆C:5+《=l（a>6>0）的左、右焦点分别为耳，耳，尸为C上一点，满足

PFJPF],以C的短轴为直径作圆。，截直线尸耳的弦长为扬，则C的离心率为（）

A.旦B.叵C.1D.—

3233

二、多选题

9.下列说法正确的是（）

A.数据2,1,3,4,2,5,4,1的第45百分位数是4

B.若数据再,%2，%3,…，％”的标准差为$，则数据2再,2姑,2X3,…的标准差为为

31

C.随机变量X服从正态分布N（l,2）,若尸（X>0）=j,则尸（0<X<2）=Q

Q77

D.随机变量X服从二项分布以4,p）,若方差。（X）=9,则尸（X=2）=三

4128

10.已知首项为正数的等差数列｛%｝的前〃项和为S“，若（几一凡）（几—几）〈0，则（）

A.%3+。14〉。

B.与〈几〈几

C.当”=14时，S“取最大值

D.当S“<0时，〃的最小值为27

11.已知OC:（x-铲+/=4,42是。C上的两个动点，且|/8|=2百.设4（网,必）,

B（x2,y2）,线段43的中点为则（）

71

A.ZACB=-

3

B.点M的轨迹方程为（X-4）2+J?=I

C.再遍+必%的最小值为6

试卷第2页，共6页

D.|西-乂+1|+,2-%+1］的最大值为10+百

12.设函数/(x)=xlnx+(l-x)ln(l-x),则()

A./(x)=/(l-x)

B.函数/(x)有最大值-ln2

C.若玉+%=1,则占〃了2)+工2/(再)，-也2

D.若西+工2<1,且则/(%)</(国)

三、填空题

13.在(x+2y)(x->)6的展开式中//的系数为.

14.已知直线了二-ex+a是曲线y=|hu|的一条切线，则。=.

15.已知cos(a+2〃)=，,tan(a+夕)tan尸=-4,写出符合条件的一个角a的值

为.

16.已知直线办-了+1=0过抛物线C:d=2眇(0>0)的焦点，且与C交于43两点.过

48两点分别作C的切线，设两条切线交于w点，线段的中点为N.若。=1,则

\MN\=；4ABM面积的最小值为.

四、解答题

17.已知函数尸㈤是高斯函数，其中［x］表示不超过尤的最大整数，如［0.8］=0,［1.5］=1.

若数列｛0“｝满足。1=2,且a“+a“+i=2〃+3,记6“

试卷第3页，共6页

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列抄,｝的前2024项和.

18.一次跳高比赛中，甲同学挑战某个高度，挑战规则是：最多可以跳三次.若三次都

未跳过该高度，则挑战失败；若有一次跳过该高度，则无需继续跳，挑战成功.已知甲

成功跳过该高度的概率为:，且每次跳高相互独立.

(1)记甲在这次比赛中跳的次数为X,求X的概率分布和数学期望；

(2)已知甲挑战成功，求甲第二次跳过该高度的概率.

19.已知四棱锥尸-48CD的底面为矩形，AD=2AB=2,过CD作平面a,分别交侧棱

P4,PB于M,N两点、,且

试卷第4页，共6页

p

B

(1)求证：CD1PD；

(2)若AP/O是等边三角形，求直线PC与平面a所成角的正弦值的取值范围.

20.记的内角48,C的对边分别为a,6,c,已知4=一,。是边BC上的一点,

6

口sinZBADsinZCAD3

bc2a

(1)证明：AD=^a-

Q)若CD=2BD,求cos//DC.

试卷第5页，共6页

22

21.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:♦-与=l(a>0/>0)的左顶点为A,离心

率为焦点到渐近线的距离为2.直线/过点尸«,0)(0<f<2),且垂直于x轴，过户的

直线/'交C的两支于G,〃两点，直线分别交/于两点.

(1)求C的方程；

⑵设直线的斜率分别为配质，若质=；,求点p的坐标.

22.已知函数/(x)=ei+xlnx+冽.

⑴若/(%)的最小值为1,求加；

22

(2)设。,6为两个不相等的正数，且4-4=3山0-2皿，证明：a+b>2.

eeee

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.c

【分析】解指数不等式得到8={x|x20},根据交集的概念求出答案.

【详解】B={x\rx<2°}=[x\x>0},

故Nc8={x|-2(尤<3}c{x|x20}={x|0Wx<3}.

故选：C

2.D

【分析】计算出z,即可得出I的值.

【详解】由题意，z(I)=2由

2i2i(l+i)2i+2i22i-2,.

z—......=---------------=--------=--------=—1+1

1-i(l-i)(l+i)1-i22'

故选：D.

3.B

【分析】利用向量垂直的性质和模长求出即可.

【详解】由已知可得万+25=(4,加=4),

因为+,

所以4—2，(加—4)m=6,

所以2=(2,6),

所以向二，2?+62二2&5,

故选：B.

4.C

【分析】根据圆台的体积公式，准确计算，即可求解.

【详解】由题意，圆台形状的水缸的上、下底面圆的半径分别为25cm和15cm,深度为18cm,

根据圆台的体积公式，可得忆=：加(252+152+乃春行)x18=7350兀(c亩).

故选：C.

5.B

答案第1页，共19页

【分析】分别求出“甲、乙、丙、丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法”和

“每个地区至少安排1名专家的安排方法”的种数，再由古典概型的计算公式求解即可.

【详解】甲、乙、丙、丁4名教育专家到三个地区指导教育教学工作的安排方法共有：34=81种;

每个地区至少安排1名专家的安排方法有：C；A；=36种；

由古典概型的计算公式，每个地区至少安排1名专家的概率为：各36=24.

819

故选：B.

6.A

【分析】根据题目条件推出函数的一个周期T=2,从而得到,再根据

和1(x-l)+/(x)=0得至U答案.

【详解】因为/[x+£|为偶函数，所以+=+

所以/(—x+2)=/(x—l),

因为/(2-x)+/(x)=O,故/(l)+/(x)=O,

即),所以/(x-l)=-〃x-2),

故/(x)=f(x-2),

故函数的一个周期7=2,

/■(x_l)+/(x)=O中，令x=；得,

故选：A

7.D

【分析】根据周期得。=20兀，进而根据U0.025秒与"0.5秒的瞬时电流之比为百，可得

JT

%=-p进而可根据f=0.8秒的电流求解乙=3.

【详解】由题意可得了=』=10,所以7，故。=20兀，

T10co

答案第2页，共19页

所以i=/,“cos（20m+%）,

进而可得（“cos（20^x0.025+。。）"5+%]-sin%：

Imcos（20TTx0.5+（Po）cos/cos%

因此tan%=-百，由于%£[-,,（））,所以%=一1,

因止匕7'=/"户05120向一弓],

则当”0.8时，z=/,Hcosf207ix0.8-^=1/,„=1.5,故，=3,

因此最大电流为/叫=3,

故选：D

8.A

【分析】利用中位数定理，结合截直线尸耳的弦长为标求出|尸瓦卜方，再结合椭圆定义和

勾股定理得到。力,c的关系，从而得解.

【详解】

x

»

如上图，取弦25的中点。，连接OD,则即。D,P片

因为尸斗，尸巴，所以OD//PB，

因为。为《耳的中点，所以。是尸片的中点，所以2|。0=|尸"

因为尸片，尸与，所以OD垂直平分弦

因为r=b,|8C|=gb，所以|。口=卜二gb=jb,所以忸用=6,

由椭圆定义可得归用+|尸闾=2W因用=2c,

答案第3页，共19页

J(2«-/?)2+ZJ2=4c23,6

所以।Cl——b,c=­b，

a72=b~9+c2722

所以离心率为好，

3

故选：A.

【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的

取值范围)，常见有两种方法：

①求出a，c,代入公式e=£；

a

②只需要根据一个条件得到关于a/,c的齐次式，结合〃=/一/转化为的齐次式，然后

等式(不等式)两边分别除以“或/转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e

的取值范围).

9.BCD

【分析】根据百分位数的计算方法，可判定A错误；根据方差的性质，可判定B正确；根

据正态分布曲线的对称性，可判定C正确；根据二项分布性质和概率的计算公式，可判定D

正确.

【详解】对于A中，数据从小到大排列为",2,2,3,4,4,5,共有8个数据，

因为8x45%=3.6,所以数据的第45分位数为第4个数据，即为2,所以A不正确；

对于B中，数据演,乙户3,…,x”的标准差为s,

由数据方差的性质，可得数据2天,2马,…,2x”的标准差为在/=2s，所以B正确；

对于C中，随机变量X服从正态分布N(l,2),且尸(X>O)=a，

根据正态分布曲线的对称性，可得尸(0<X<2)=2尸(X>O)-1=g,所以C正确；

对于D中，随机变量X服从二项分布3(4,p),且。(X)=j

313

可得42(1—P)=:，解得或夕=:，

444

11177

当P时，可得尸(X=2)=C：(RJ(l-/=加；

444IZo

当P=可得尸(X=2)=C怜、意，

444IZo

97

综上可得，P(X=2)=—,所以D正确.

故选：BCD.

答案第4页，共19页

10.ABD

【分析】由等差中项的性质判断AB；由A和等差数列的前〃项和判断C；由等差数列的前

n项和和等差中项判断D.

【详解】A：首项为正数的等差数列｛%｝的前〃项和为S.，

以615—（S］5—S%）—（“15+%4+413+”12）3。［4—6。］4（q4+^13）<。，

若。14>。，则％4+。13一定大于零，不符合题意，

所以用4<。，％4+。13>°，故A正确;

B：由A可矢口S15-S”=。15+%4+。13+%2=2（。14+43）>0。E5>8",

S15_S12-3〃14〈0D耳5（S12,故B正确；

C：由A可知，因为％4<0，44+。13>0，可知〃13>°，故〃=13,s〃取最大值，故C错误;

D：S”=27（；+%）=27。"<0,S26=26（"［“劣）=13+%3）〉0，故D正确.

故选：ABD.

11.BC

【分析】A选项，由垂径定理得到3|=1,从而得到//CM=/8CM=60。，ZACB=y.

B选项，由|。/=1得到点M的轨迹为以。为圆心，半径为1的圆，得到轨迹方程；C选项,

由极化恒等式得到次.砺=|两『-瓯『=两上3,结合点M的轨迹方程，得到

归-%+[+卜-%+1|

*2+7跖=p叫L3的最小值;D选项，转化为点到直线的距离问题,

272

可看作点M到直线x-y+l=0的距离，结合点M的轨迹方程，求出最大值，得到答案.

【详解】A选项，由题意得C（4,0）,半径为r=2,

由垂径定理得CWL/8,

则|CM「+［四］=4,解得

I2J

由于1^=,，则//CM=Z8CM=60。,

r2

2兀

故A错误；

答案第5页，共19页

B选项，由A选项可得，|CM|=1,

故点M的轨迹为以。为圆心，半径为1的圆，

故点M的轨迹方程为(x-4)2+j?=i,B正确；

C选项，由题意得9+05=2)?，OA-OB=2BM>

两式分别平方后相减得，刀•砺=快7(-向『=颐，-3,

其中OAOB=xxx2+yxy2,

又点"的轨迹方程为0-4)2+/=1,

所以|万用的最小值为|OC|-1=4-1=3,

故X]/+必%=-3的最小值为9一3=6,C正确;

|龙2一y2+U

可看作点B到直线X-y+1=0的距离,

同理,72

故：可看作点M到直线…+「。的距离,

点M的轨迹方程为(x-4)2+y2=1,

故点M到直线x7+l=O的距离最大值为圆心到》7+1=0的距离加上半径,

J4-0+1I541

区/十1十1,

V1+12

|西一必+1|+上-%+

故LA

答案第6页，共19页

所以lx】i必+H—%+11W1。+2&,

故最大值为10+2尬，D错误.

故选：BC

【点睛】关键点睛：向量恒等式|方+可~+归一彼「=2,2+庐)，及归+役「一归一可？=4小行是常

用等式，要学会合理利用这两个式子解题.

12.ACD

【分析】根据/(x)的解析式直接求解〃1-力可对A判断；利用导数求最值方法可对B判

断；结合给出的已知条件并利用A、B中的结论可对C、D判断求解.

【详解】对A：由题意知f(x)=3nx+(l-x)ln(l-x),所以

/(l-x)=(l-x)ln(l-x)+xln^=/(x),故A正确；

对B：由题意知/(x)的定义域为(0,1),

1Y

广⑺=Inx+xxIn(1-x)-1=Inx-In(1-x)=In,

当xe(0,£|,r(x)<0,当xegj,f'(x)>0,所以/'(x)在/，单调递减，在

单调递增，

所以当x=g时，取到极小值也是最小值/g]=-ln2,故B错误；

对C：当无1+%=1时，可得再=1一%=1，由A知/=

所以不/(工2)+工2/(再)=(1-工2)/(工2)+//(1一X2)=(1-X2)/(工2)+々/(工2)=/(工2)，

由B知/(无丝-ln2恒成立，所以「(X2)2-In2,故C正确；

对D：当国+/<1时，得又因为g<X2<l,所以;<1一毛<1,

由B知/(X)在&,11上单调递增，所以/优)</(1-芭)，又由A知〃占)=/(1-玉)，

所以/口2)</(须)，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：灵活运用已知条件占+%=1，占+迎<1,并结合f(x)的对称性和单调

性进行求解.

答案第7页，共19页

13.24

【分析】把(x-4按照二项式定理展开，可得(&+2田(尤->)6的展开式中//的系数.

【详解】结合题意可得：

(x+2y)(x-y)6=(x+2y)(Cy-C^5y+Cyy2-Cyy3HC>74-C^y5+C>6,)

所以x?了$的系数为-C：+2C：=24.

故答案为:24.

14.2

【分析】分尤21和0<x<l两种情况，舍去切点，由导数的几何意义得到切点坐标，从而代

入y=-ex+a,求出答案.

lnx,x>1

【详解】y=|liu|=

-Inx,0<x<1

当时，y=Inx,yr=—,

x

设切点为(加,In加)，则切线斜率为0<1，故切线斜率不可能为Y,舍去，

m

当0<x<l时，y=-inx,y',

X

设切点为(加,Tnzw),则切线斜率为令-，=-e

mm

解得a=5,则切点为g,l1,

将代入了=.ex+a中得，-ex|+a=l,

解得a=2.

故答案为：2

2兀

15.y(答案不唯一)

17

【分析】根据题目条件得到cos(a+夕)cos尸=%和sin(a+£)sin/?=-：,从而求出

121

cosa=cos[(a+4)一=/—§=—§,进而求出角二的值.

【详解】cos(a+2/?)=cos[(a+£)+〃]=cos(a+/?)cos"-sin(a+尸)sin万,

5

故cos(a+/?)cos/?一sin(a+/?)sin/?

6

答案第8页，共19页

sin(a+£)sin尸4

tan(a+/?)tan,=-4即

cos(a+尸)cosp

故sin(a+〃)sin〃=—4cos(a+〃)cos〃,

即

故5cos(a+/?)cos/3=—cos(a+/?)cos£=:

6

则sin(a+尸)sin/=-4cos(a+/?)cos尸=——,

则cos<7=cos[(a+/?)-/?]=cos(a+〃)cos0+sin(a+/7)sin/3

_j__2

==,

632

—FA2兀

可令a.

2兀

故答案为：y

16.44

【分析】第一空求出抛物线焦点，直曲联立，再结合导数的几何意义解出两直线方程，求出

两点坐标，最后求出距离；第二空设出/（£,%）,8@4，乂），结合导数意义写出直线

方程，再求出点结合韦达定理求出弦长|/耳，再由点到直线的距离求出力最

后求出面积的最小值.

所以0、+l=0np=2,所以抛物线C:/=4y,

当。=1时，直线为x-y+1=0,

y+1—0

联立<2A，解得12_4%-4=0,A=16+16=32>0,

[x=4y

答案第9页，共19页

%=2+2^2、x2=2-2yf2

解得：V或＜

/=3+20一%=3-2亚

所以线段月8的中点为N（2,3）,

又因为KM=丁]=J6kBM=^^2=1+，

联立直线方程可得

y-（3-2V2）=（1一拒,一

<

y_（3+2@=（l+①].一

解得N（2,T）,

所以|MV|=3+1=4.

设/@3，%）,8（匕/4）,

由X?=4了得y=,

,•^AM=~X3^BM=,4,

2

x1

A直线⑷1的方程为y-子=1x3(x-x3),

同理直线双的方程为＞=;1一:看，②

fx2=4y

由，消歹得一一4ax-4=0,

[ax-y+l=0

x3+x4=4。,％3%4=-4，

由①-②得2X(X3-X4)=(X3-X4)(X3+X4),

而X3W%4，故有X=/=2a，

由①+②得2〉=一(%3+%4)、-丁,

n/nx7

即点M(2a,-1),

答案第10页，共19页

22

/.\AB\=yjl+a,J(%3+x4)-4X3X4

=J1+Q2.J16/+16，

点M（2a,T）至IJ直线依-y+1=0的距离d=竿萼

71+a

12a幺+2|3

•q=.d=4jl+02.JI6a?+16•¥~~=J4a?+4〔2/+21=4年+甲,

…Q"BM

211271W11V'

■：a2>0,

当”=o,即。=0时，S4/BM有最小值4.

故答案为：4；4.

【点睛】关键点睛：本题关键在于用韦达定理求出弦长，再用交点到直线的距离求出比

17.(\)an=n+\(neN*)

(2)4968

[分析X1）计算出出=3,将两式an+l+a“+2=2〃+5和a“+a„+1=2n+3做差，得出关于an+2,an

的隔项关系式，判断该数列所具有的性质，求得通项即可；

5

（2）由于lgl0=l,lgl00=2,lgl000=3,.......,给出“当IV"V8时，bn=[lg（n+1）]=0............

等结论，分组计算数列｛勾｝的前2024项和即可.

【详解】（1）因为%=2,«[+a2=5,所以出=3,

因为%+a,+i=2n+3,所以an+l+an+2=2〃+5,

将两式。"+1+。"+2=2〃+5和°"+<7"+]=2〃+3相减，得:an+2-an=2,

所以数列｛4｝的奇数项，偶数项分别单独构成等差数列.

下面显而易见：

其中当〃为奇数时，由于。〃+2-。〃=2,得：%=2,%—%=2,.......,且4=2,说明

数列｛与｝的奇数项通项满足以6=2为首项1为公差的等差数列的通项公式，则

an=%+(〃一l)d=2+(〃-1)=〃+1,

答案第11页，共19页

其中当〃为偶数时，由于%+2一%=2,得：a4—a2=2,a6—a4=2,...,且4=3,说明

数列｛〃〃｝的偶数项通项满足以4-1=2为首项1为公差的等差数列的通项公式，

则%=(%—1)+(〃—1)。—(3—1)+(H—1)=〃+1

所以%=n+l(neN*).

(2)设｛£｝的前"项和为年*

当时，bn=[lg(«+l)]=O,

当9V〃W98时，bn=[lg(M+l)]=l,

当99V〃V998时，bn=[lg(«+1)]=2,

当999V〃V2024时，bn=[lg(«+1)]=3,

所以加4=8x0+90x1+900x2+1026x3=4968.

13

18.(1)概率分布见解析，—

【分析】（1）根据题意，得到随机变量X的可能取值为1,2,3,求得相应的概率，列出分布

列，结合期望的公式，即可求解；

（2）设“甲同学挑战成功”为事件5,分别求得尸（8）,尸（凡8），结合条件概率的公式，即可

求解.

【详解】（1）解：记“第i跳过该高度”分别为事件4,，=1,2,3,可得随机变量X的可能取值

为1,2,3,贝l]P（X=l）=尸（4）=g；P（X=2）=P（74）=（1-|）X|=|：

P（X=3）=尸（不）=（1-于=；,

所以随机变量X的概率分布为

答案第12页，共19页

所以，期望为E（X）=lx,7+2xg?+3x,1=1?

（2）解：“甲同学挑战成功”为事件8,

则尸（3）=1-玖444）=1一（1^丫=||;

——222

p（"）=尸（44）=P（4*⑷=（1-^-=

所以p（ai8）=4^=2,所以甲挑战成功，且第二次跳过该高度的概率［.

尸屹）1313

19.（1）证明见解析

【分析】（1）先由//CD证C。〃平面尸48,再由CD_L取和CD_L4D证CD_L平面尸，

即可得到CD1PD；

（2）先建立空间直角坐标系。-刈z,分别求出直线尸。的方向向量和平面。的法向量，求

解即可.

【详解】（1）证明：因为四边形/BCD是矩形，所以N3〃CD.

又/8u平面P48,CD（XPAB,SLABUCD.

所以CD〃平面尸48.

因为COuc,平面尸/8ca=MV,且CD〃平面尸N瓦

所以CDHMN,且"V_LP/,所以C£>_LE4.

因为四边形/BCD为矩形，所以CD，40,

又尸4u平面P4D,40u平面P4D,且尸/c4D=N,CDVPA,CDVAD,

所以CD_L平面P4D,且PDu平面尸

所以CD_LPD.

（2）设中点分别为。E,

因为AP4D是等边三角形，所以尸0_L4D.

因为四边形ABCD是矩形，点O,E分别为AD,BC的中点，

所以OE_LQD,旦OEHCD.

由（1）可知，。_1平面己4。，

又尸Ou平面P/D,所以CD_LPO,所以OE.PO.

答案第13页，共19页

以。为原点，瓦，历，砺的方向分别为X轴，了轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系。-孙Z,

则尸(0,0,6),3(1,-1,0),c(l,l,o),z)(o,l,o).

设PAf=2PB(0<4V1),贝!JPA/=(4—尢一),所以M(尢一尢—).

设平面a的一个法向量为J=(x,%2),

又丽=（一1,0,0）,可=卜一1,/一1,百年；1）,PC=（1,1,用,

而k=0,-x=0

由，_.得.

CM-n^O,(A-l)x-(A+l)y+V3(l-A)z=0

不妨取z=2+l,可得平面a的一个法向量为元=（0,6-石44+1）.

设直线PC与平面a所成的角为0,

2A/3A

则sin。=|cosPC,n\=PC-n

HR25J；12-2+1

设"』

因为0<彳41,所以421,所以0</（彳）41,

Z

所以0<sin。W,

5

所以直线尸。与平面。所成角的正弦值的取值范围为（o，W].

答案第14页，共19页

20.(1)证明见解析

13

(z2)—

14

【分析】(1)分别在和"CO中利用正弦定理表示出sin/A4£>,sinND/C,代入已知

等式化简整理即可得到结果;

(2)根据cos乙4Z)8=-cos乙4QC,在△/助和A/CD利用余弦定理可整理得到/一^=2c?;

在中，利用余弦定理可得c=回,进而得到。=，?，代入cos44DC中即可求得结

果.

smZBADBDsmB

【详解】(1)证明：在△/助中，由正弦定理得：=sinZBAD=,

BDADAD

,.…口sinADACsmC.CDsmC

在△4CZ)中，由正弦定理得：-------------=--------=>sinADAC=------------，

CDADAD

abc

在中,

sinABACsinBsinC

-sinZBADsinACADBDsmBCDsinCBDsinABACCDsmABAC

所以——------+---------------------1--------=-----------F-----------

bcbADcADaADaAD

1(5£>+CD)]]

3,

AD-aAD•a2AD2a

所以AD=—a.

21

(2)由CQ=25。，^CD=-a,BD=-a,

33

RD?+AD23—AR2?/72—Qr2

在△/助中，由余弦定理得：cos/4DB=-----------------------=-------；—,

2BD-AD2a2

五r+-ir+iN=十—工用彳目/)+CD~—AC"5a~-9b~

在△/(7/)中，由余弦定理得：cosZ.ADC=------------------------=--------—，

2ADCD4a2

2a2-9c25a2-9b2

•：AADB+AADC=\^°,:.cosZADB=-cosZADC,即：=-:，

2a14/

整理可得：a2-b2=2c\

在443C中，由余弦定理得：cos/=汇土£二三=一走，则一二=一£=一",

2bc22bc2b2

:.c=回,a2-b2=6b2,即0=疗6,

5a2—9b?35b2-9b213

cos/ADC=

4/28〃-14

答案第15页，共19页

⑵*。

【分析】（1）利用给定条件，求出。/,c,即可得解；

（2）设出点G,H,M的坐标及直线G”的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及斜率

坐标公式列式计算得解.

【详解】（1）不妨设双曲线C的焦点坐标为（。,0）,。＞0,渐近线方程为y=

a

a

由题意可得：＜be_2

yla2+b2

c2=a2+b2

解得a=b=2f

所以双曲线C的方程为片一片=1.

44

（2）由题意直线G"的斜率不为0.

设直线GH方程为尤=my+t,

[22

-%---y--=11

由＜:447肖去尤得：(m2-l)j2+2mZy+?2-4=0,

x=my+t

m2—1^0

由产-4,得:(m2-l)(?2-4)<0.

<0

jn2-1

2m4

设G(X],"),"(X2，%),则乂+