甘肃省2023-2024学年高三年级上册1月高考诊断考试数学试题

甘肃省一月份高考诊断考试•数学

本试卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

参考公式：锥体的体积公式：V=^sh（其中s为锥体的底面积，〃为锥体的高）.

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1.已知集合A={x[y=7^^1},3={无|炉_，2X-3<0},则Ac5=（）

C.(3,+oo)D.(-L+°°)

2.若复数z满足（3-i）z=l-2i,其中i是虚数单位，则复数z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.在等差数列中，。2，。8是方程X2—8=0的两根，若。4+。6=。；+1，则"2的值为（）

A.-6B.-2C.2D.6

4.众数、平均数、中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图所示的分布

形态中，平均数、众数和中位数的大小关系是（）（由小到大排列）

A.众数〈中位数〈平均数

B.平均数<众数<中位数

C.中位数〈平均数〈众数

D.众数〈平均数<中位数

x+2%,用,0,

5.已知函数/'（%）=<1m；若函数g（x）=/（x）-机有3个零点，则机的取值范围为（）

——,x>0,

IX

c.*

D.

若点P是边AZ)的中点，AQ=3QB,直线AC与P。相交于点M,则比=

6.已知平行四边形ABC。,

AC

1133

A.-B.-C.—D.-

65105

.兀.4E.(c71

7.已知sincc—-sincr=—,则sin12a-q)

I36

772424

A.—B.——C.—D.------

25252525

8.设函数/(x)满足矿(x)-/(x)=xln%,了，若为>0,则/(x)()

A.有极大值，无极小值

B.有极小值，无极大值

C.既有极大值又有极小值

D.既无极大值也无极小值

二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9.已知函数/(x)=Asin(20x+0)(A>O,o>O,O<°<7i)在一个周期内的图象如图所示，图象与>轴的交

Aj(x)的最小正周期为兀

B./(x)的最大值为2

c.直线X=三是图象的一个对称轴

D./（x）在区间-g,0上单调递增

10.已知。＞0力＞0,若。+2》=1,贝！I（）

A.ab的最大值为工8./+/的最小值为1

8

21

C.一+：的最小值为8D.2"+4”的最小值为2行

ab

11.已知直线I过抛物线C:/=4%的焦点F，且与抛物线C交于4（%,%）,%）两点，点M为。的

准线与x轴的交点，则下列结论正确的是（）

A.若药+工2=5,贝I]|AB|=7

B.过C的焦点的最短弦长为4

7T

C.当AF=2EB时，直线/的倾斜角为1

D.存在2条直线/,使得斗忸闾=忸斗|4/成立

12.已知直三棱柱45。一4四。1内接于球O,A4=8,A3LAC,A3=AC=4,点。,E为AB,AC的中点，

点。为侧面3CG用上一动点，且4。=4,则下列结论正确的是（）

O

A.点A到平面\BC的距离为§

B.存在点。，使得C。，平面ADE

C.过点。作球的截面，截面的面积最小为4兀

D.点。的轨迹长为2夜兀

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知/（力=彳丁+机（。＞1）是奇函数，则m=.

14.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高

相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为兀，则该模型中圆

柱的表面积为.

2222

15.如图，点片,心是双曲线G：j—a=1（。〉01〉0）的左、右焦点，同时也是双曲线。2：；-j=1

的左、右顶点，过点片的直线交双曲线G的左、右两支分别于A8两点，交双曲线。2的右支于点M（与点

不重合），且，血；心与,A9；的周长之差为6,则双曲线a的方程为.

16.某学校有A,8两个餐厅，已知同学甲每天中午都会在这两个餐厅中选择一个就餐，如果甲当天选择了某

个餐厅，他第二天会有60%的可能性换另一个餐厅就餐，假如第1天甲选择了A餐厅，则第九天选择A餐

厅的概率与为.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）已知，ABC的内角A,氏C的对边分别为瓦c,且ocos5+Z?cosC=-2acos7?.

（1）求角8的大小，

（2）若A的角平分线交边5C于点。，且AD=®c=近,求边小

18.（12分）如图，在四棱锥P-A5CD中，底面A3CD为正方形，侧棱底面A3CD,且

Q4=A3，点E,尸分别为尸的中点.

（1）若平面平面K4D=/,证明：/J_平面Q43；

（2）求平面A印与平面上43夹角的余弦值.

19.（12分）第18届亚洲杯将于2024年1月12日在卡塔尔举行，该比赛预计会吸引亿万球迷观看.为了了解

某校大学生喜爱观看足球比赛是否与性别有关，该大学记者站随机抽取了100名学生进行统计，其中女生喜

爱观看足球比赛的占女生人数的工,男生有10人表示不喜欢看足球比赛.

（1）完成下面2x2列联表，试根据小概率值£=0.001的独立性检验，判断能否认为喜爱观看足球比赛与

性别有关联？

男女合计

喜爱看足球比赛

不喜爱看足球比赛

合计60

（2）在不喜爱观看足球比赛的观众中，按性别用分层随机抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取2人

参加校记者站的访谈节目，设抽到的男生人数为X，求X的分布列和期望.

2_n(ad-bc)2

其中〃=a+》+c+d.

"-(a+))(c+d)(a+c)伍+d)

a0.10.050.010.0050.001

2.7063.8416.6357.87910.828

20.（12分）已知数列｛4｝的前几项和为S“，且S"=2a〃—2,｛aj4｝是首项为1,公差为2的等差数列.

（1）求｛%,｝,｛4｝的通项公式；

（2）若数列也｝的前〃项和为北，且不等式几.“（3—7；）对一切“eN*恒成立，求实数4的取值范围.

21.（12分）已知函数/（%）=（x+a）ln（x+l）.

（1）当a=2时，求曲线”X）在点（0,/（0））处的切线方程;

（2）若函数“九）-%在（0,+"）单调递增，求。的取值范围.

22.（12分）已知椭圆C：W+/=1（。〉人〉0）的离心率6=孝，短轴长为2.

（1）求椭圆。的方程；

（2）过点（4,2）且斜率不为;的动直线/与椭圆C交于两点，点P是直线y=gx上一定点，设直线

的斜率分别为匕,网,若左的为定值，求点P的坐标.

甘肃省一月份高考诊断考试-数学参考答案

1.选AA=卜|y=A/4X-1x\x...—，由12一2%-3<。，

4

解得—lvxv3,即5=(—1,3),所以AcB=(x|：,,x<31=；,3.故选A.

l-2i(l-2i)(3+i)3+i-6i-2i211.

2.选D因为(3—i)z=l—2i,所以----1

(3-i)(3+i)-W22

则复数z在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选D.

3.选B因为外,为是方程A：?+mx—8=0的两根，所以。2+。8=—m,a2a8=-8,A=m~+32>0.在等差数

列｛4｝中，出+/=。4+。6=2%，又4+。6=。；+1，所以2%=。；+1，所以%=1，所以

-m-2a5-2,所以机=一2.故选B.

4.选A众数是最高矩形的中点横坐标，因此众数在第二列的中点处.因为直方图在右边拖尾，所以平均数大

于中位数，在第三、四列的位置，因此有众数〈中位数〈平均数.故选A.

5.选B当％,0时，/(x)=f+2x,

当xe(—。，―1)时，/(x)单调递减；

当xe(—1,0)时,/(x)单调递增.

所以当用,0时，/(xU=/(-1)=-1.

、“ci、lux、1-lnx

当%>。时，/(%)=,则/(%)=J-'

XX

当xe(0,e)时,/,(%)>0,函数/⑴单调递增；

当x«e,+8)时，/,(%)<0,函数/(X)单调递减.

所以当尤>0时,/(%)max=/(e)=—=-.

ee

画出函数/(x)的图象如图所示:

因为函数g(x)=/(x)-机有3个零点，

所以y=7%与y=/(%)的图象有3个交点,

由图可知一1＜根＜一.

e

所以机的取值范围为［-1,：］.故选B.

4

6.选C设AP=a,AQ=Z?,则AC==2a+—Z?,PQ=b—a.

设AM=AAC,PM="PQ,

八4

则AM=2Aa+—2Z?,

3

PM-/jb-i^a.

因为AM=AP+PM=a+jub-jua-二（1一〃"+W,

22=1-〃，

所以14.解得4=一,

-2=zz,10

13尸

QAIAM

所以AM=3AC,即学\4~=\一\3

=—•故选c.

10ACAC

DC

AQB

7.选B因为sin（（z+m）—sintz=11,（吟4

-cosa——sini=cosa+—=一，

2I6j5

兀712a+7

所以sin12i-£)=sin=-cos2a+—=l-2cosf~

62I625

8.选D

由/(尤)=xg(x),得/'(x)=g(x)+xg'(x)=g(x)+lnx,f"(x)=g'(x)+-=1^^.

/"(x)<O,/'(x)单调递减；当xe、,+”)时，/"(x)>OJ'(x)单调递增.所以

当时,

+1/=0,所以/(力..0,所以/(x)在(0,+“)上单调递增，所以“X)既无

e

极大值也无极小值.

9.选ABD设/(x)=Asin(2ox+0)(A>O,0>O,O<0<7i)的最小正周期为T，

7兀兀I

由图象可知-------=-T,解得T=7i,A正确;

12122

因为。>0,所以2。=7=2,解得。=1,

故/(X)=Asin(2x+。).

将(三,A〕代入解析式得Asin(2+°]=A,

因为0<(p<Tl,所以夕=].

因为函数“X)经过点倒,、可，所以Asing=JL

故A=2，/(x)的最大值为2,8正确；

由上述分析知/(x)=2sin(2x+四],当x=建时，2%+乌=2兀,

V3；63

点|葛,0)是函数/(%)的对称中心，

直线％=—不是对称轴，C错误；

6

7C7C7C7C

当工£一彳，。时，2%+彳£——，

L3J3133」

JTJT

因为y=sinz在一§,§上单调递增，

故/（x）在区间-1,0上单调递增，。正确.故选ABD.

10.选ACD对于A，由2ab=小2"，（巴!丝]=；,

即当且仅当a=2Z?,且a+2Z?=l,即。=L,。二^■时，取等号，所以A正确；

824

对于B，因为4+/=（1―2坊2+/=5片—4）+1=5（万一|）+：,当且仅当匕=g时，/+/取至I」最

小值g,所以B错误；

对于C,由2+：=（a+2Z?）（2+!）=4+竺+/..4+24=8,当且仅当竺=9,且。+2》=1,即

ab\abJabab

a=—,b=—时，取等号，所以C正确；

24

对于D,2"+4。.2万不=2"商'=2J5，当且仅当。=%，且。+2》=1,即。=g,b=；时，取等

号，所以D正确.故选ACD.

11.选AB由抛物线的定义可得|/网=|”|+忸同=%+9+0=5+2=7,故A正确；

当过抛物线C的焦点且与x轴垂直时弦长最短，此时弦长为4,故8正确；

设直线/的方程为工=切+1,

x=my+l,.

由〈2:得厂―4根丫一4=0,于是得力+%=474%%=-4,

[K=4X,

当A，=2£B时，%=-2%，而,+上=4根，乂%=一4，解得％=±0，5[3，±0），左=±20，

7T

倾斜角不是一，故c错误;

3

由^(1,O),M(-1,O),则|AF|=-1)2+y；=J®%+1一以+%2=J(]+m2,

2

忸司=+式=y/(my2+l-l)+y^=J(1+也y；，

\AM\^J(xi+l『+y：=J(，冲i+l+1『+*=和+疗)才+47盯+4,

\BM\=Jd+iJ+l=J(叼2+i+i『+£=和+，叫4+4吵+4,

(1+m2)y；+4/zzy；+4

由|小卜|5河|=|族卜|朋4,则可得斗=,化简可得

(1+m2)y；+4my^+4

(7孙%+%+%)(M-％)=。,

由%彳%，则加%为+%+%=°，将%+%=4根，

%%=-4代入，则T772+4机=0恒成立，故。错误.故选AB.

12.选ACD设点A到平面ABC的距离为丸，因为%BC=y^-ABC，所以

—S-h=—S-AA7,S=8,AA=8,54“=24,

3./Ai|BZ?CC3AzA>BCCiAAZBJCC7i~/i|Z?C

QQ

所以〃=§,即点A到平面ABC的距离为3,A正确；

以A为原点，43,4。,44所在直线为％%2轴建系（图略），贝|

。（0,4,0）,£＞（2,0,0）,£（0,2,0）,4（。，。，8）,,设。（44—4,〃）,则CQ=（%-％川，平面AQE的法

向量为”=（4,4,1）,CQ与法向量〃不平行，所以不存在点。，使得CQL平面ADE,B错误；

三棱柱的外接球。即为以AB,AC,A4为邻边的长方体的外接球，当O。与过点。的截面垂直时，截面的面

积最小，

球心0（2,2,4）,。0=2逐,40=2几，则过点。作球的截面，截面半径的最小值为

7（2A/6）2-（2A/5）2=2＞所以截面的面积最小为4TI,C正确；

过点A作于H（图略），则A〃=2&，HQ==V16-8=272,

则点。的轨迹是以点H为圆心，2血为半径的一段圆弧，其圆心角为兀，点。的轨迹长即为2②,。正确.

13.解析：由函数〃x)=/^+相，可得力=4一+m=—-^—+m.

%11

因为/(x)是奇函数，所以〃力+/(—%)=0,即J—+机——J—+m=0,解得加=——.

a—1a—12

答案：---

2

14.解析：设球的半径为R,则圆柱的底面半径为H，母线长为2R.

则球的体积为g兀&=4岛，所以R=Q.

所以圆柱表面积为2兀4+2兀RX2R=6成2=18兀.

答案：1871

15.解析：园为..3耳工与ABg的周长之差为6,所以

忸耳|+|耳用H^HA阅=|耳段一伽巴卜3耳|)=2。-2a=6.

22

又点片，鸟是双曲线G：±—册=1的左、右顶点，所以。=2*

所以a=3,c=6,b=3A/3,

22

所以双曲线G的方程为土-L=i.

927

22

答案：L-匕=1

927

16.解析：若甲在第(〃-1)天选择了A餐厅，那么在第九天有40%的可能性选择A餐厅，

若甲在第5-1)天选择了8餐厅，那么在第〃天有60%的可能性选择A餐厅，

所以第九天选择A餐厅的概率

Pn=0.4匕_i+0.6(1—匕_J(九•2,〃eN*),

P,.=一02匕_1+0.6,所以—0.5=-0.2(匕_1—0.5).

又由题意得，1=1,所以｛只—0.5｝是以0.5为首项，-0.2为公比的等比数列，

所以5―0.5=0.5x(—0.2)a,

所以《=0.5+0.5X（—0.2）1.

答案：0.5+0.5义（一0.2）“T

17.解：（1）因为Ae（0,7i）,所以sinA>0.

由正弦定理可得-2cosBsinA=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA,

所以cos3=.

2

又5€（0,兀），故8=寸.

AD_c

（2）在中,

sinBsin/ADB

所以sin^ADB=,

AD2

2兀兀

结合B=—,所以/ADB=—,

34

71

所以/BAD=ZDAC=—,

12

兀

所以==—,

6

所以A3C是等腰三角形，且。=。，

所以b=2acos&=

6

18懈：（1）证明：因为AZ）〃BC,AOuu平面PBC,BCu平面P3C,

所以AD〃平面P3c.

又因为平面QBCc平面PAD=/,ADu平面R4Z）,

所以AD〃/.

因为底面ABCD,AOu平面ABC。，所以AZ），Q4.

又因为ADJ_AB,ABoPA=A,

所以AD_L平面243

所以/，平面Q4B.

(2)由(1)知，AB,A。,AP两两相互垂直，如图，以点A为坐标原点，AB,ARAP所在直线分别为x

轴、》轴、z轴，建立空间直角坐标系.

设AB=2,则4(0,0,0),5(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(l,0,1),F(0,1,1),

AE=(l,O,l),AF=(O,l,l).

设平面A即的一个法向量为勺=(x,y,z),

ff

AE-n,=0,x+z=0,

即《4;则4

AFTL-0,y+z=0.

令％=1,则y=l,z=—l,得用=(1,1,—1),

又平面e钻的一个法向量为%=(o,i,o),

所以平面A即与平面PAB

夹角的余弦值等于卜。、8'%产|端

19.解：(1)由题意得2x2列联表：

男女合计

喜爱看足球比赛501060

不喜爱看足球比赛103040

合计6040100

零假设为H。：喜爱观看足球比赛与性别无关联.

根据列联表中的数据计算得

100x(50x30-10xl0)21225~小。

z2-------------------------—=--a34.028>

60x40x60x4036

10.828=%硼

根据小概率值a=0.001的独立性检验，推断H。不成立，

即认为喜爱观看足球比赛与性别有关联.

(2)按照分层随机抽样的方式抽取8人，其中男生2人，女生6人,

则X的可能取值为0J,2,

尸(x=o)=|h*尸(X=1)=等3

7

「21

p(X=2)=/

28

2

20.解：(1)当〃=1时，〃]=2〃]-2,解得q=2.

当九.2时,Sn=2an—2,=261rl一1一2,

两式相减得册=2an-,

即&=2(〃..2),所以｛4｝是首项、公比均为2的等比数列，故4=2".

an-l

2n-l2n-l

又册,bn=2n—1,故包=

an2n

2n-l1352n-l

(2)bn=—,则7；二—'—+—L①

2272—23T+2,,

11352n-l

2"-22+23+24++h，②

①-②得;北+

_J_+<__12/7-132/7+3

―2+[2"TJ2"+I-22"1'

2n+3

所以<=3一一式一

不等式几.“(3-7；)对一切“eN*恒成立，

2"2+3”

即转化为2..对一切〃eN*恒成立.

T

令/(〃)=2"2：3"("eN)，则/⑻max"

T7”/1\r(\+7zz+52/+3〃—2〃？+〃+5

又/5+1)_/5)=­诃--------『=—万一

当”=1时，/(M+1)-/(M)>0；

当〃..2时，/(«+1)-/(«)<0,

所以〃1)</>⑵>〃3)>〃4)>,

7

则九•4％「，(2)=了

所以实数4的取值范围为：，+e]•

21.解：(1)当。=2时，/(x)=(x+2)ln(x+l),

/'(x)Tn(x+l)+言，

JiIA

/(0)=0，r(0)=2,

所以/(x)在点(o,7(o))处的切线方程为y=2x.

(2)=/(%)-%=(x+a)ln(%+l)-x,

因为g(x)在(0,+s)单调递增，

则g'(x)=ln(%+1)+^^—1..0，即g'(x)=ln(x+l)+

x+1

..0在(0,+8)恒成立,

X+1

n(\14—1x+2—a/\

g(%)=-----------7=-----—,XG(0,+a?),

')x+1(x+1)2(x+1)2V7

当62时,g"(x)>O,g'(x)单调递增，g'(x)>g'(O)=a—L.0,解得a«l,2］；

当a>2时，若xe(O,a—2),则g"(x)<O,g'(x)单调递减,

若xe(a-2,+oo),则g"(x)>O,g'(x)单调递增,

g'OOmin=g'(a-2)=ln(a-l)+*=ln(a-1)+1..0,解得ae(2,+“).

ci-A.

综上，。的取值范围为［L+").

b=l,

c_>/3

22.解：(1)由题意得＜

a1=b'+c2,

解得/=412=1,

故悄圆。的方程为二+y2=i.

4

(2)法一：设〃，

/、y—2%—2

因为点(4,2)与M,N三点共线，所以七1二21二I

%,—4=A(x?—4),、

所以《1；-2=发-2；(其中加RR。),

玉=4尤2+4(1—2),

所以

Ji=%为+2(1-2),

所以［彳/+4(1—九)丁+4［4%+2(1—九)丁=4,

又X；+4货=4,

整理可得（彳-1）（2彳%2+42%-