北京市海淀区清华附中2021-2022学年九年级下学期月考数学试题（含答案解析）

北京市海淀区清华附中2021-2022学年九年级下学期月考数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）

2.为庆祝首个“中国农民丰收节”，十渡镇西河村举办“西河稻作文化节”活动.西河水

稻种植历史悠久，因“色白粒粗，味极香美，七煮不烂”而享誉京城.已知每粒稻谷重约

0.000035千克，将0.000035用科学记数法表示应为（）

A.35x10-6B.3.5x10-6c.3.5xl05D.0.35x10-4

3.实数a,6,c在数轴上的对应点的位置如图所示.下列式子正确的是（）

1.I：.1：.igl1A

-4-3-2-101234

A.同〉网B.a—b<0C.ac>beD.a<—b

4.若正多边形的一个外角是60。，则该正多边形的内角和为（）

A.360°B.540°C.720°D.900°

5.已知〃=后-2,〃介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（）

A.i<a<2B.2<〃<3C.3VaV4D.4<〃V<5

6.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A从（3,4）出发，绕点。顺时针旋转一周，则

点A不经过（）

A.点MB.点NC.点PD.点Q

ax

7.小明使用图形计算器探究函数y=j斤的图象，他输入了一组的值，得到了下

面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的的值满足O

A.a>0,b>0B.a>0,Z?<0C.a<0,b>0D.a<0,b<0

8.五名学生投篮球，每人投10次，统计他们每人投中的次数.得到五个数据，并对数

据进行整理和分析给出如下信息：

平均数中位数众数

m67

则下列选项正确的是（）

A.可能会有学生投中了8次

B.五个数据之和的最大值可能为30

C.五个数据之和的最小值可能为20

D.平均数m一定满足4.24M45.8

二、填空题

试卷第2页，共8页

9.分解因式：2疗-18=.

10.从甲、乙、丙三名男生和A、8两名女生中随机选出一名学生参加问卷调查，则选

出女生的可能性是—.

11.用一组。，6的值说明命题“若则工>；”是错误的，这组值可以是"=—，

ab

b=.

12.如图，线段A5是；O的直径，弦CDLAB,如果NBOC=70。，那么NCD4=.

13.在正方形网格中，A、B、C、。均为格点，贝!JNBAC—NZM£=

14.公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所

示.它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方

形的面积是40,tanNl=g,则小正方形的面积是.

15.如图，一次函数V=改+。与y=cx+d的图象交于点P.下列结论:①b<0；②acvO；

③当x>l时，ax+b>cx+d；④。+…+"；⑤c〉d.其中，所有正确结论的序号是.

16.汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前

方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始

报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法（如图所示）将报警时间划分为4段，

分别为准备时间办，人的反应时间％,系统反应时间马，制动时间4，相应的距离分别

为4，d2,4，当车速为V（米/秒），且0<vV33.3时，通过大数据统计分析得

到如表（其中系数上随地面湿滑程度等路面情况而变化，1V/W2）.

阶段0.准备1.人的反应2.系统反应3.制动

时间玲tx=0.8秒t2=0.2秒

2

距离4=10米4d4=——米

2320k

（1）当％=1时，请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间的函数关系式为_；

（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速

度应限制在_米/秒以下.

三、解答题

17.计算：V18-^+4sin30°+|&—l|

18.下面是小明设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.

已知：如图，直线/及直线/上一点尸.

求作：直线P。，使得产。，/.

作法：如图，

试卷第4页，共8页

1

---P-------4PF1

图1图2

①以点尸为圆心，任意长为半径作弧，交直线/于点A,B-,

②分别以点48为圆心，大于!的同样长为半径作弧，两弧在直线/的同侧交于点

2

。；

③作直线PQ.

直线PQ就是所求作的直线.

根据小明设计的尺规作图的过程，

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接Q4,QB.

"：QA=,PA=PB,

APQ^l（）（填推理的依据）.

19.已知X2+8X-7=0,求(x+2)(x-2)—4X(X-1)+(2X+1)2的值.

20.关于尤的一元二次方程N+（m+4）x-2m-12=0,求证：

（1）方程总有两个实数根；

（2）如果方程的两根相等，求此时方程的根.

21.小宇观看奥运会跳水比赛，对运动会每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查

阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为：

a.每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H；

b.每次试跳都有7名裁判进行打分（0-10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去

掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p；

c.运动员该次试跳的得分人=难度系数"X完成分px3.

在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为

难度系数裁判1234567

3.5打分7.58.54.09.08.08.57.0

（1）甲运动员这次试跳的完成分?=_.得分生一

（2）若按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分,得到的完成分为玲，那么与（1）

中所得的脩比较，年一隼.（填或“<"）；

(3)在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员13.1分，已知乙最后一次试跳

的难度系数为3.6,若乙想要在总分上反超甲，则这一跳的完成分七至少要达到一分.

22.如图，E是平行四边形ABCD的对角线AC上一点，连接8E并延长至点k使EF

=BE,交CD于点G,连接。尸.

(1)求证：AC//DF；

(2)若8尸垂直平分CDBF=AE=2也,求BC的长.

13

23.在平面直角坐标系xOy中，已知点A是直线y=5x+5上一点，过点A分别作X轴,

y轴的垂线，垂足分别为点B和点C,反比例函数y=~的图象经过点A.

⑴若点A是第一象限内的点，且AB=AC,求左的值；

⑵当AB>AC时，直接写出左的取值范围.

24.如图，AB为。的直径，BE=CE，CD，AB于点。，交BE于F,连接CB.

⑴求证：BC=CF；

⑵己知CB=5,DF=1,求8E的值.

25.如图，在ABC中，ZABC=90°,ZC=40°,点。是线段BC上的动点，将线段AD

绕点A顺时针旋转50°至AD',连接BD'.已知AB=2cm，设8。为无cm,BD'为Km.小

明根据学习函数的经验，对函数y随自变量尤的变化而变化的规律进行了探究，下面是

小明的探究过程，请补充完整.(说明：解答中所填数值均保留一位小数)

(1)通过取点、画图、测量，得到了尤与y的几组值，如下表:

试卷第6页，共8页

x/cm00.50.71.01.52.02.3

y/cm1.71.31.1-0.70.91.1

（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图

象.

（3）结合画出的函数图象，解决问题：线段的长度的最小值约为_cm；若BDNBD,

则8。的长度尤的取值范围是一.

26.在平面直角坐标系xOy中，点〃（4y）在二次函数>="2-2%-1的图象上，点

。（々，％）在一次函数>=彳+。一6的图象上，其中0<玉<2,x2<0.

⑴求二次函数的顶点坐标（用含a的代数式表示）；

⑵若对于任意须，总存在毛，使得%>%，求a的取值范围.

27.如图，己知/MON=90。，A为射线上一点（点A不与点。，〃重合），将线段

0A绕点A顺时针旋转。（45。<«<90。）得到线段BA,再将线段BA绕点A逆时针旋90°得

到线段C4,连接BC,并延长5c交射线ON于点。，连接AD.

0N

⑴依题意补全图形；

（2）用等式表示线段CD,8。和AD的数量关系，并证明；

（3）已知CD=1,BC=2,平面内是否存在点E,使得/OEC=：/OAC,ZA£D=90°,

若存在，直接写出。E的长；若不存在，说明理由.

28.ABC中，D、E分别是ABC两边AB、AC的中点，若经过。、E的，：M与ABC

有“个公共点（相切算一个公共点），则称［M为，ABC关于£）、E的“中兀点圆”.例如，

图1中的圆是:ABC关于。、E的“中4点圆”.

BC

图1图2

⑴①如图1,则ABC的“中"点圆"中"可以取的值为(写所有可能的值)；

②在所给图1中画出一个“中3点圆”；

(2)如图2,在平面直角坐标系立制中，己知点A(a,6),点8(0,0),C(4,0),M为ABC

的“中”点圆

①当。=0,〃=4时，求圆心M纵坐标的取值范围.

②若〃=3时，圆心加总在ABC外，直接写出。的取值范围.

试卷第8页，共8页

参考答案：

1.D

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可.

【详解】A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此项不合题意；

D.既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，

图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图

重合.

2.C

【分析】科学记数法的表示形式为aX10〃的形式，其中lW|a|<10,"为整数.确定〃的值

时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值21时，〃是正数；当原数的绝对值<1时，〃是负数.

【详解】0.000035=3.5X105.

故选C.

【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为々X10〃的形式，其

中lW|a|<10,〃为整数，表示时关键要正确确定a的值以及〃的值.

3.B

【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，有理数的运算，绝对值的意义，可

得答案.

【详解】由数轴可知—2VaV-l,2<b<3,0<c<l

A\a\<\b\,故A错误，

a-b<0,故B正确，

ac<bc,故C错误，

d>-b,故D错误.

故本题选B.

【点睛】本题考查了实数与数轴，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，有理数的

运算，绝对值的意义等，熟练掌握是解题的关键.

答案第1页，共22页

4.C

【分析】根据正多边形的外角度数求出多边形的边数，根据多边形的内角和公式即可求出多

边形的内角和.

【详解】由题意，正多边形的边数为"3=6窝0°=6,

其内角和为(〃-2)480。=720。.

故选C.

【点睛】考查多边形的内角和与外角和公式，熟练掌握公式是解题的关键.

5.B

【分析】先估算出后的范围，即可求得答案.

【详解】4<723<5,

.•.2<723-2<3,

后一2在2和3之间，即2ca<3.

故选：B.

【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能估算出后的范围是解题关键.

6.C

【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，逐一判断即可.

【详解】解：连接OA、OM、ON、OP,根据旋转的性质，点A的对应点到旋转中心的距

根据网格线和勾股定理可得：OA=732+42=5-OM=732+42=5*ON=732+42=5>OP=

A/22+42=2A/5>OQ=5

答案第2页，共22页

OA=OM=ON=OQ^OP

/.则点A不经过点P

故选C.

【点睛】此题考查的是旋转的性质和勾股定理，掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离

相等和用勾股定理求线段的长是解决此题的关键.

7.A

【分析】通过本题已知条件可知，本题考查函数的探究拓展，需要根据题目所给图像特点，

选定特殊区间确定参数范围

【详解】由图像可知，当x>0时,（x-byNO,函数值y>。，可知依X）

aX）

由图像可知，在自变量o«2范围内，分子依>0,同时该区间内当x取某一值时，y值

非常大，有且仅当X取值接近于力值时，即分母接近于0,该y值会出现

Ab>0

故本题选A选项

【点睛】本题非常规例题，考查对于函数清晰的理解以及图像信息点抓取能力，作答时为提

升效率可采取试数的方式作答

8.D

【分析】先根据中位数和众数的定义得到7出现的次数是2次，6出现1次，则最大的三个

数分别是6、7、7,据此一一判断选项即可得到答案；

【详解】解：因为中位数是6,众数是7,

则7至少出现2次，因此最大的三个数只能为：6、7、7,

故8不能出现，故A选项错误；

当5个数的和最大时这5个数是：4、5、6、7、7,此时和为：29,故B选项错误；

两个较小的数一定是小于6的非负整数，且不相等，故最小的两个数最小只能是0、1,故

五个数的和的最小是0+1+6+7+7=21,故C选项错误；

当5个数的和最大时这5个数是：4、5、6、7、7,平均数为：4+5+6+7+7,

当5个数的和最小时这5个数是：0、1、6、7、7,平均数为：0+1+6+7+7=42>

故平均数根一定满足4.2VmV5.8,D选项正确；

故选：D.

答案第3页，共22页

【点睛】本题主要考查了中位数、众数、平均数的定义以及相关应用，能根据题目的已知条

件得到这一组数据的特征是解题的关键.

9.2(〃?+3乂〃2-3)/2(7〃-3)(7〃+3)

【分析】原式提取2,再利用平方差公式分解即可.

【详解】解：2m2-18

=2(m2-9)

=2(m+3)(m-3).

故答案为:20+3)0-3).

【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的

关键.

10.-/0.4

5

【分析】根据概率公式直接求解即可.

【详解】解：从甲、乙、丙三名男生和A、2两名女生中随机选出一名学生参加问卷调查共

有5种等可能结果，其中选出女生的有2种结果，

所以选出女生的概率为:，

2

故答案为：—.

【点睛】本题考查了概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键.

11.-11

【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真

即假.要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举

出一个反例即可.通过。取-1,6取1可说明命题“若a<6,则工是错误的.

ab

【详解】解：当。=—1,6=1时，-=1,9=-1,而上<1，

abab

命题“若a<b,则!>!”是错误的

ab

故答案为：T;1.(答案不唯一)

12.55°

【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理、直角三角形的特征，先根据垂径定理得到

BC=BD，然后根据圆周角定理得N8Ar>=；NBOC=35。，根据直角三角形的两锐角互余

答案第4页，共22页

即可求解.熟练掌握垂径定理及圆周角定理是解题的关键.

【详解】解：如图：

CD1.AB,

BC=BD，ZAED=90°，

:.NBAD=-ZBOC」x70。=35°,

22

:.ZCDA=90°-ABAD=55°.

故答案为：55。.

13.450/45度

【分析】在正方形网格中，连接正方形的顶点，作出Rt,.EFO和Rt.EGD,设正方形网格的

,______FGFG

边长为1，则有EG=,FG=1,AG=2,可知言==；，可证AEGFSAAGE,

ACJECJ

可得？EFG2AEG,则可证出？EFG45??E4G,根据作图可知冬FDE,得

Z.BAC=ZDEF,可以求出？及C?DAE45?.

【详解】解：如图，在正方形网格中，连接正方形的顶点，得到RtEED和RtEGD,

设正方形网格的边长为1,则有EG=心+廿=母,FG=\,AG=2,

.EG72FG_1_V2

AG2EG62

.EG_FG

**~EG

Q2EGF2AGE,

\Z^EGF^Z^AGE,

\?EFG?AEG,

\?EFG?EAG?AEG1EAG2EGD45?,

答案第5页，共22页

\?EFG45??EAG,

又；AB=DE=1,ZB=ZD=90°,BC=FD=2,

：.ZsCBA^^FDE,

：.ZBAC=ZDEF,

：.ABAC=NDEF=90°-NEFD=90°-(45°-ZE4G),

即有：ZBAC-ZDAE^45°,

故答案为：45°.

【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质，求得

△EGFSAAGE是解题的关键.

14.16

【分析】根据已知条件可以设三角形的两条直角边为x和2x,求出大正方形的边长，再根

据大正方形的面积求出X,根据小正方形的面积=大正方形的面积-四个三角形的面积可得结

果.

【详解】如图所示：

根据tan/l=g可设AB=x,BC=3x,根据勾股定理可得=屁齐7=屈x,

•.,大正方形的面积是40,

=40,x=2或x=-2（舍去），

；.AB=2,BC=6,

SLAAAABDC=—Qx2x6=6,

...四个三角形的面积之和=4x6=24,

小正方形的面积=40-24=16.

答案第6页，共22页

故答案为16.

【点睛】本题主要通过三角函数的定义进行求解，利用赵爽弦图的特点进行分解，转化成已

知图形的面积求解是关键.

15.②④⑤

【分析】由一次函数图像及其性质可知a,b,c,d的符号情况，从而可判断①②的正确与

否，由两函数图像的交点情况可判断③④正确与否，由y二4+^与工轴交点情况可判断⑤

正确与否，作出选择即可.

【详解】由一次函数6图像可知：a<0,b>0,由一次函数>=cx+d图像可知：

c>0,d>0,所以①错误，

ac<0,故②正确，

观察图像交点情况，交点的横坐标为1,自变量X>1时，y=cx+d图像位于、=依+6图像

上方，即当尤>1时，cx+d>ax+b,故③错误，同时因为交点横坐标为1,代入两解析式可

得o+z>=c+a,故④正确，

由当x=-l时一次函数y=cr+d图像上的对应点在第三象限，即x=-l时，代入y=u+d得:

-c+d<0,即c>d,故⑤正确，

故答案为②④⑤.

【点睛】本题考查了一次函数的图像及其性质，关键是利用数形结合的方法，把图像直观与

代数精确计算综合运用，其中利用点的坐标代入直线方程解决等量关系判断尤为重要.

2

16.J=—+V+1020

20

【分析】(1)根据d=4+4+&+4即可得至!J答案；

(2)由已知得4=上+口+10,要求d<50,即要求工〈当-匕恒成立，根据1麴k2可得

20k20kv2v

-y-->7；；»即可解得答案.

vv20

2

【详解】解：(1)当左=1时，d=—,

320

,v2

:.d=+d[+d?+痣=10+0.8v+0.2v+,

故答案为：d=—+v+10；

20

(2)对任意M掇*2),均要求d<50,

2

.,.10+v+J—<50恒成立,

20k

答案第7页，共22页

口rt1401r_rj_

即--恒成乂,

20kv2v

.•侬2,

•_4_0___1、__1

V2V20

化简整理得1?+20.800<0,

解得T0<v<20,

0<v<20,

•••汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，

故答案为：20.

【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，根据1麴k2得出

40_J_1

20'

17.4A/2-4

【分析】先化简二次根式、负整数指数塞、三角函数、绝对值，再计算即可.

【详解】屈+4sin30°+|^-l|

=3A/2-5+4X-+V2-1

2

=4>/2—4

【点睛】本题考查二次根式化简、负整数指数幕、三角函数、绝对值等知识，是中考常见题

型，解题关键是熟记相关知识，先分别化简求值，在进行合并.

18.（1）见解析；（2）QB,三线合一

【分析】（1）根据要求作出图形即可；

（2）利用等腰三角形的性质解决问题即可.

【详解】解：（1）如图，直线尸。即为所求作.

答案第8页，共22页

(2)理由：连接QB.

"-"QA=QB,PA=PB,

：.PQ±l(三线合一).

故答案为：QB,三线合一.

【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学

知识解决问题，属于中考常考题型.

19.4

【分析】先将原式化简，再将由9+8工-7=0变形得到的X2+8A-=7代入化简所得的式子计算

即可.

［详解］原式=%2-4-4x2+4尤+4N+4x+1

=N+8x-3.

\'x2+8尤-7=0,

N+8x=7.

...原式=7-3=4.

【点睛】“能够熟练的应用整式的相关运算法则和乘法公式把原式化简得到%2+8x-3”是解

答本题的关键.

20.(1)见解析；(2)XI=X2=2.

【分析】(1)由4=(m+4)2-4(-2m-12)=(m+8)2之0知方程有两个实数根；

(2)如果方程的两根相等，则4=(m+8)2=0,据此求出m的值，代入方程求解可得.

【详解】(1)(m+4)2-4(-2m-12)=m2+16m+64=(m+8)2>0,

方程总有两个实数根；

(2)如果方程的两根相等，则4=(m+8)2=0,

解得m=-8,

此时方程为x2-4x+4=0,

答案第9页，共22页

即(x-2)2=0,

解得X1=X2=2.

【点睛】本题考查了一元二次方程ax?+bx+c=0(a/))的根的判别式A=b2-4ac：当△>(),

方程有两个不相等的实数根；当A=0,方程有两个相等的实数根；当A<0,方程没有实数

根.

21.(1)8.0,84；(2)<；(3)9.0.

【分析】(1)7个评委得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值即为P

甲，

(2)计算7个评委打分的平均分，得出P/,比较得出答案;

(3)列方程求解即可.

【详解】解：(1)7个评委得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩的下3个数为7.5,8.0,

8.5,其平均数为8.0,

,完成分P甲=8.0,

?.AT=H・PX3=3.5X8.0X3=84,

故答案为：8.0,84；

4.0+7.0+7.5+8.0+8.5+8.5+9.0

(2)P甲'=-----------------------------=7.5<8.0,

7

.".P甲'<P甲，

故答案为：<;

(3)由题意得,

3.6xP乙x3=84+13.1,

971

解得‘Pj向’

因止匕P乙至少达到9.0,

故答案为：9.0.

【点睛】本题考查平均数的意义和计算方法，理解和掌握完成分P,得分A的计算方法是正

确计算的前提.

22.(1)见解析

(2)3

【分析】(1)连接,交AC于点0,证出OE是ABDF的中位线，得OE//DF,即DF//AC-,

答案第10页，共22页

1i3

(2)求出AB=3,BE=-AE,则CD=3,ZBAE=30°得CG=—CD=—,ZDCE=30°,

222f

再求出3G的长，然后由勾股定理求解即可.

【详解】(1)证明：连接BO,交AC于点。，如图所示：

四边形ABCD是平行四边形，

BO=DO,

BE=EF,

「.OE是ABO下的中位线，

，OE〃DF,

即。尸〃AC；

(2)解：EF=BE,BF=2上,

BE=y/3,

四边形A5CD是平行四边形，

:.AB=CD,AB//CD,

.-.ZDCE=ZBAE,

3尸垂直平分CD,

：.ZCGE=90°,CG=DG,BF±AB,

:.ZABE^9Q0,

AB=y/AE2-BE2=7(2A/3)2-(73)2=3,BE=^AE,

：.CD=3,ZBAE=30°,

13

:.CG=-CD=-,ZDCE=30°,

22

■.EG=—CG=—,

32

.D/-_DZ7,Z7/O-用、6_3百

..DCJ=BE+EG-yJ3H=,

22

BC=VBG2+CG2=J(乎/+(1)2=3.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、含30。角的直角三

答案第11页，共22页

角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键.

23.（1）9

【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，巧妙地解设交点坐标是解题的第一

步，也是关键的一步.另外，本题涉及到了分类讨论这一重要数学思想，考生一定要根据实

际情况展开必要的分类讨论，这在初中数学阶段是非常重要的.

，13、13

（1）设4点坐标是项5苫+彳，由于点4是第一象限内的点,且9=4。，可得出》=3工+3,

解出X的值，代入反比例函数解析式求上值.

（2）由于A点可能在第一或第二或第三象限，所以要分类讨论，再每个象限建立

13

不等式，即5无+/>国，计算求上值取值范围即可.

:点A是第一象限内的点，且AB=AC,

13,,

:.x=-x+-,解得了=3,

22

即A（3,3）

k

•••点A在函数y=，（ZwO）的图象上，

.,.左=9；

（2）解：因为A（x,gx+|）在反比例函数y住片0）图象上，所以左=：/+|二

1a

①当点A在第一象限时，AB>AC,即不x+5>x（x>0）,解得0<x<3；

13

代入k=—x2+—x得。<左<9.

答案第12页，共22页

i3

②当点A在第二象限时，AB>ACf即—x+—>—x(x<0),解得—l<x<0；代

1Q

入k=—X2H—%得一1<女<0.

22

13

③当点A在第二象限时，AB>AC,即一万1一万>—x(x<0),无解；

综上所述，%的取值范围是-lvk<9且左W0.

答：女的取值范围是—lv左<9且左W0.

24.(1)见解析

5M

⑵一

【分析】(1)连接AE,利用A5为。的直径得NA£B=90。，则/4+/45石=90。，利用

。0，?18点。得/£06=90。，则NAB£+NCFB=90。，再根据RE=CE得NA=NCBb，即

可得出NA=NCFB=NCB尸，从而得证；

(2)延长。/交。于点G,连接C£,利用题干中得数据可直接计算出8、BD、BF,

再利用垂径定理得4c尸=N5EC,从而得出尸S45£C,列比例即可得出答案.

【详解】(1)证明：连接AE,

,•*BE=CE，

：.ZA=ZCBF,

TAB为O的直径，

ZAEB=90°,

JZA+ZABE=90°,

•••CDLA5于点。，

：.ZFDB=90°,

:・ZABE+/CFB=90。,

：.ZA=ZCFB=ZCBF,

：.BC=CF；

(2)解：,:BC=CF=5,

：.CD=CF—DF=4,

在Rt2\CDB中，BD=A/52-42=3.

答案第13页，共22页

在RtABD尸中，BF=E+f=M，

延长Cf■交：O于点G,连接CE,

•；AB1CG,

CB=BG，

：.ZBCF=ZBEC,

：.ABCFsABEC,

.BCBFm5_V10

BEBCBE5

.R口_5如

2

【点睛】本题是圆的性质综合题，涉及到圆周角定理、垂径定理、相似三角形，勾股定理,

解题关键是观察到母子型相似.

25.(1)0.9；

(2)见解析;

(3)0.7,0<x<0.9；

【分析】(1)本题主要考查三角形全等的判定与性质，三角函数，先构造出全等三角形，判

断出OE=3D=y,再利用三角函数求出BC,AC,进而得出CE,进而利用三角函数求出

EF,CF,进而得出Db，最后用勾股定理即可得出结论；

(2)本题考查画函数图像，描点，用平滑的线连接起来即可得到答案；

(3)本题考查函数的性质，利用图象和表格及函数性质即可得出结论；

【详解】⑴解:如图1,

答案第14页，共22页

在AC上取一点E^,AE=AB=2,

由旋转知，AD=AD'-NZMD'=50o=NB4C,

/.ZDAE=ZiyAB,

在〃ZME和DAB中，

AE=AB

•/\NDAE=ZD'AB,

AD=AD'

.DAE^D'AB(SAS),

：.DE=BD'=y,

在RtZXABC中，AB=2,ZC=40°,

/RAC=50°,AC==---~——=3.13,BC=-=—--®——»2.4,

sinCsin40°0.64tanCtan40°0.84

JCE=AC-AE=3.13-2=1.13,

过点E作EF上BC于尸，

在RtACEF中，砂=CE-sinC=1.13xsin40。“0.72,

CF=CE-cosC=1.13xcos40°«1.13x0.78«0.88,

当x=l时，BD=1,

：.DF=BC-BD-CF=2.40-1-0.88=0.52,

在RtADI卯中，根据勾股定理得，y=DE=yjEF2+DF2a0,9-

故答案为：0.9；

(2)解：函数图象如图2所示，

图2

答案第15页，共22页

(3)解：由图象和表格知，线段8£>'的长度的最小值约为0.7cm,

*.•BD'>BD,

y2x,

由图象知，OVxVO.9,

故答案为：0.7,0<x<0.9.

26.(1)-,---1

\aa)

(2)a#0

【分析】本题是二次函数和一次函数的综合题，考查了二次函数性质，一次函数的性质，函

数与不等式的关系问题，关键是分情况列出不等式.难度较大.

(1)把二次函数的解析式化成顶点式进行解答便可；

(2)先根据一次函数的性质求出％的最大值，再分情况讨论：抛物线开口向上和抛物线开

口向下时，根据在0V网V2范围内，外的最大值大于上的最大值，列出。的不等式进行解

答便可.

【详解】(1)y=办？一2尤一1=---1,

(a)a

抛物线顶点坐标为

\aa)

(2)1/。(9,当)在一次函数y=x+"-6的图象上，

必随巧增大而增大，

,/%2<0,

...%最大值为。-6,

①当a<0时，抛物线开口向下，-<0,

a

0<^<2,

,••当石=0时，%=一1为最大值，

由题意得—1>a—6,

解得av5,

答案第16页，共22页

a<0；

②当。>0时，抛物线开口向上，->0,

a

z)当即。>1时，则玉=2时，X=4a-5为最大值，

a

••4Q—5>Q—6,

解得。〉,

z7)当工之1,即时，贝心=0时，必=—1为最大值，

a

••—1>a—6,

解得a<5,

0<r?<1；

综上，。的取值范围为：a^Q.

27.(1)见解析

⑵BrP+CD?=2AT>2,见解析

⑶存在，噌

【分析】(1)本题考查了等腰三角形性质，勾股定理，画/制C=90。，截取AC=AB,连

接3C交ON于，连接AD；

(2)本题考查了等腰三角形性质，勾股定理，圆周角定理及其推论，作AELBC,表示出AE

和DE,根据勾股定理得人序+乃百:人^,化简求得关系式；

(3)本题考查了等腰三角形性质，勾股定理，圆周角定理及其推论，以A。为直径作圆/,

以A为圆心，为半径作圆，两圆交于点E,建立坐标系,设E(x,y)，根据小=g和AE=后,

2

列出方程组，求得点E坐标，即可得到答案；

图1

答案第17页，共22页

BD2+CD1=2AD',理由如下，

作AE_LBC于E,

•/AB=AC,

：.BE=CE=-BC,

2

•/ZSAC=90°,

AE=-BC,

2

BC=BD-CD,

：.AE=CE=-(BD-CD),DE=CD+CE=-(BD+CD),

22

在Rt^ADE中，由勾股定理得，

AE2+DE2=AD2,

：.-(BD-CD)2+-(BD+CD)2=AD2,

44

•*.BD1+CD1=2AD1■,

存在AE=2叵，理由如下:

5

ZA£»=90°,

...点E在以AD为直径的，/上运动，

以A为圆心，04为半径作。A,与/交于点E,

答案第18页，共22页

贝1J/OEC」NQ4C,

2

以ON为x轴，为y轴建立坐标系,

BD=CD+BC=3,

由(2)知：2AD2=CD2+BD2,

：.2AD2=l2+32,

/.AD=>/5,

OA