《高等数学上册 第2版》习题及答案汇 蒋国强 第1-6章

PAGEPAGE29习题解答习题1.11．求下列函数的定义域：(1)；(2)(3)；(4)；(5)．解（１）要使函数有定义，必须，即，故函数的定义域为．（２）要使函数有定义，必须，解之得，故函数的定义域为．（３）要使函数有定义，必须，解之得或，故函数的定义域为．（４）要使函数有定义，必须，即且，故函数的定义域为．（５）要使函数有定义，必须，解之得，故函数的定义域为．2．判断下列各组中的两个函数是否相同，并说明理由：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，．解（１）这两个函数不同．因为它们的定义域不同，前者的定义域为，而后者的定义域为．（２）这两个函数相同．因为，所以它们的定义域与对应法则均相同．（３）这两个函数不同．因为，所以它们的对应法则不同．（４）这两个函数相同．因为它们的定义域与对应法则均相同．3．下列函数哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．解(1)所给函数是偶函数．(2)所给函数是奇函数．(3)所给函数是非奇非偶函数．(4)所给函数是偶函数．(5)所给函数是奇函数．(6)所给函数是奇函数．4．求下列函数的反函数：(1)；(2)；(3)．解(1)由得，．故所给函数的反函数为．(２)由得，．故所给函数的反函数为．(３)由得，．故所给函数的反函数为．5．设，求．解因为，故．于是，．6．设，求，及．解．7．设，求及．解8．已知的定义域为，求下列复合函数的定义域：(1)；(2)；(3)．解(1)函数的定义域为．(2)函数的定义域为．(3)函数的定义域为．9．在下列各题中，求由所给函数复合而成的复合函数，并求对应于所给自变量值的函数值：(1)；(2)；(3)．解(1)，；(2)，；(3)，，．10．某厂生产某种产品1000吨，每吨定价为130元，销售量在700吨以内时，按原价销售，超过700吨时超过的部分打九折出售．试将销售总收益与销售量的函数关系用数学表达式表出．解设用表示销售量，用表示销售总收益，根据题意可得销售总收益R与销售量x的函数关系如下：11．假设某种商品的需求量是价格（单位：元）的函数：；商品的总成本是需求量的函数：；每单位商品需要纳税2元．试将销售利润表示为单价的函数．解根据题意，销售利润与单价的函数关系为：．习题1.21．观察下列数列的变化趋势，指出是收敛还是发散．如果收敛，写出其极限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．解(1)收敛于．(2)收敛于0．(3)收敛于1．(4)发散．(5)收敛于．(6)发散．2．根据数列极限的定义证明：(1)；(2)．证(1)对于任意给定的正数，要使，只要，即．于是，取正整数，则当时，总有．据数列极限的定义，得．（2）对于任意给定的正数，由于，故要使，只要，即．于是，取正整数，则当时，总有．据数列极限的定义，得．3．证明：若，则．证由于，，所以因为，所以据数列极限的定义，对于任意给定的正数，存在正整数，当时，有，从而．再据数列极限的定义，有．习题1.31．根据函数极限的定义证明：(1)；(2)．证（1）对于任意给定的正数，由于，故要使，只要，即．于是，取正数，则当时，就有．据函数极限的定义，得．（２）对于任意给定的正数（不妨设），由于，故要使，只要，即．于是，取正数，则当时，就有．据函数极限的定义，得．2．根据函数极限的定义证明：(1)；(2)．证(1)对于任意给定的正数，由于，故要使，只要．于是，取正数，则当时，就有．据函数极限的定义，得．(2)对于任意给定的正数，由于，故要使，只要．于是，取正数，则当时，就有．据函数极限的定义，得．3．证明：函数当时极限为零．证，，因为，所以．4．求下列函数当时的左、右极限，并说明他们当时的极限是否存在：（1）（2）．解(1)，．因为，所以存在．(２)，．因为，所以不存在．习题1.41．下列函数在其自变量的指定变化过程中哪些是无穷小？哪些是无穷大？哪些既不是无穷小也不是无穷大？(1)，当时；(2)，当时；(3)，当时；(4)，当时；解(1)当时，函数为无穷大．(2)当时，函数为无穷小．(3)当时，函数为无穷小．(4)当时，函数既不是无穷小也不是无穷大．2．下列函数在自变量的哪些变化过程中为无穷小？在自变量的哪些变化过程中为无穷大？(1)；(2)．解(1)当或时为无穷小，当时为无穷大．(2)当时为无穷小，当或当时为无穷大．3．利用无穷小的性质求下列极限：(1)；(2)；(3)；(4)．解(1)因为，且，所以．(2)因为是有界函数，且，所以．(3)因为是有界函数，且，所以．(4)因为，所以．

习题1.51．求下列极限：(1)(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12)；(13)；(14)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．(7)．(8)．(9)．(10)．(11)．(12)．(13)．(14)．2．求下列极限：(1)；(2)；(3)；(4)．解(1)．(2)．(3)．(4)．3．设，若已知：(1)；(2)；(3)，试分别求这三种情形下常数与的值．解．(1)由得，故．(2)由得，故，．(3)由得，故，为任意实数．4．已知存在且等于，求常数与的值．解因为，故．另一方面，，故．于是．习题1.61．求下列极限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．(7)．(8)．2．求下列极限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．3．利用极限夹逼准则证明：(1)；(2)．证(1)因为，而且，，故由夹逼准则得．(2)因为，而且，，故由夹逼准则得．习题1.71．当时，与相比，哪一个是高阶无穷小？解因为,所以当时，是比高阶的无穷小.2．当时，无穷小与下列无穷小是否同阶？是否等价？(1)；(2)；(3)．解(1)因为,所以当时，无穷小与同阶但不等价．(2)因为,所以当时，无穷小与同阶且等价．(3)因为,所以当时，无穷小与同阶但不等价．3．设当时，与是等价无穷小，求常数及正整数．解因为当时，与是等价无穷小，所以,由此得:，.4．利用等价无穷小代换法求下列极限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．(7)习题1.81．研究下列函数在指定点处的连续性：(1)；(2)；(3)，．解(1)因为，，且，所以，从而在点处连续．(2)因为，所以在点处连续．(3)因为在点处无定义，所以在点处不连续．因为，，所以，从而在点处不连续．2．讨论下列函数的连续性，若有间断点，指出其类型：(1)；(2)；(3)；(4)解（1）为初等函数，其定义域为．由初等函数的连续性知，函数在其定义区间内连续，而点及为间断点．因为，所以是的第一类间断点，且是可去间断点．因为，所以是的第二类间断点，且是无穷间断点．（2）为初等函数，其定义域为．由初等函数的连续性知，函数在其定义区间内连续，而点及为间断点．因为，所以是的第二类间断点，且是无穷间断点．因为，，所以是的第一类间断点，且是跳跃间断点．（3）为初等函数，其定义域为．由初等函数的连续性知，函数在其定义区间内连续，而点为间断点．因为不存在（也不存在），所以是的第二类间断点．（4）为分段函数．显然在区间内连续．因为，，所以是的第一类间断点，且是跳跃间断点．因为，，所以是的第一类间断点，且是跳跃间断点．3．求函数的连续区间，并求．解为初等函数，其定义域为．由初等函数的连续性知，函数的连续区间为．．．．4．求下列极限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．5．求常数a的值，使函数在点处连续．解，，要使在点处连续，只要，所以．6．设函数在内连续，求常数k．解，．由于在内显然连续，故要使在点内连续，只要使在点处连续，即使得，所以．习题1.91．证明方程至少有一个介于与之间的实根．证令，则在上连续，且，故据零点定理，函数在开区间内至少有一个零点，即方程至少有一个介于与之间的实根．2．证明方程至少有一个小于的正根．证令，则在上连续，且，据零点定理，函数在开区间内至少有一个零点，即方程至少有一个小于的正根．3．证明方程()至少有一个不超过的正根．证令，则在上连续，且，，据零点定理，函数在区间内至少有一个零点，即方程()至少有一个不超过的正根．4．设函数在闭区间上连续，且，证明：至少存在一点，使得．证因为函数在闭区间上连续，且，所以在闭区间上连续．于是，据最值定理得，在上取得最大值与最小值，从而．再据介值定理得，至少存在一点，使得．

总习题11．选择题(1)下列命题中错误的是（）．(A)两个偶函数的复合函数仍是偶函数(B)两个奇函数的复合函数仍是奇函数(C)两个单调增加函数的复合函数仍是单调增加函数(D)两个单调减少函数的复合函数仍是单调减少函数(2)若存在，不存在，则下列命题正确的是（）．(A)与都存在(B)与都不存在(C)必不存在，而可能存在(D)可能存在，而必不存在(3)当时，下列四个无穷小中，比其它三个更高阶的无穷小是（）．(A)(B)(C)(D)(4)设函数在上连续，且，函数在上有定义且有间断点，则必有间断点的函数是（）．(A)(B)(C)(D)(5)函数的连续区间是（）．(A)(B)(C)(D)解(1)应选Ｄ．例如：与均为单调减少函数，但它们的复合函数是单调增加函数．(2)应选C．必不存在．因为如果存在，则由及存在，得存在．这与题设矛盾．当，时，存在，不存在，而是未定式，可能存在．(3)应选A．因为当时，，，，，所以当时，与其它三个无穷小相比，无穷小的阶最高．(4)应选D．因为函数在上连续，如果函数在上连续，则函数也在上连续，与题设矛盾．(5)应选B．因为为初等函数，其定义域为．由初等函数的连续性知，函数的连续区间为．2．填空题(1)设都是常数，若，则，．(2)设函数是当时的无穷小，则常数，．(3)设当时，与是等价无穷小，则常数，．解(1)应填．因为，所以＝0，从而．于是，．(2)应填．因为由题设得，所以，，即，．(3)应填．因为由题设得，所以，，．3．求下列极限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．4．设，当常数为何值时，(1)是函数的连续点？(2)是函数的可去间断点？(3)是函数的跳跃间断点？解，，，(1)当，即，时，是函数的连续点．(2)当，即，时，是函数的可去间断点．(3)当，即，为任意实数时，是函数的跳跃间断点．5．求函数的间断点，并判别间断点的类型．解显然，在内连续．因为，；因为，，所以与均为的第一类间断点，且为跳跃间断点．6．已知三次方程有三个实根，试指出这三个根所在的区间（每个区间的长度都必须小于1）．解令，则在上连续，且，，，，，，据零点定理，函数在开区间，，内分别至少有一个零点，即方程在开区间，，内分别至少有一个实根．又方程有三个实根，故这三个实根所在的区间分别为，，．习题解答习题2.11．设是常数），试按定义求．解．2．证明：．证．3．设，试按定义求．解．4．求函数在点处的左、右导数，并说明在点处是否可导．解；．因为，所以在点处不可导．5．利用幂函数的导数公式求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．(7)．6.已知物体的运动规律为（单位为m），求这物体在s和s时的速度．解；．7．讨论下列函数在点处的连续性与可导性：(1)；(2)(3)解(1)因为，所以函数在点处连续．因为，，所以，从而函数在点处不可导．(2)因为，函数在点处连续．因为，所以函数在点处可导．(3)因为，函数在点处连续．因为不存在，所以函数在点处不可导．8．设函数在点处可导，证明：．证因为函数在点处可导，所以．9．求曲线在点处的切线方程与法线方程．解因为，所以切线斜率为，法线斜率为．于是，所求切线方程为；所求法线方程为．10．求曲线在点处的切线方程与法线方程．解因为，所以切线斜率为，法线斜率为．于是，所求切线方程为，即；所求法线方程为，即．11．在曲线上求一点，使该点的切线平行于直线．解设所求点为，则由题设知，，从而．故所求之点为．12．证明双曲线上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为定值．证设为双曲线上任一点，则双曲线在该点处的切线斜率为．于是，切线方程为，即．切线在两坐标轴上的坐标分别为与，故切线与两坐标轴围成的三角形的面积为．习题2.21．求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)(11)；(12)；(13)；(14)；(15)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．(7)．(8)．(9)．(10)．(11)．(12)．(13)．(14)．(15)．2．求曲线上横坐标为的点处的切线方程和法线方程．解因为，所以切线斜率为，法线斜率为．于是，所求切线方程为，即；所求法线方程为，即．3．曲线上哪一点的切线与直线平行？解设为曲线上的一点，则曲线在该点处的切线斜率为．令，得，故所求点为或．4．求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)(7)；(8)；(9)；(10)(11)；(12)；(13)；(14)；(15)；(16)；(17)；(18)；(19)；(20)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．(7)．(8)．(9)．(10)．(11)．(12)．(13)．(14)．(15)．(16)．(17)．(18)．(19)．(20)．5．求下列函数在指定点处的导数：(1)，求；(2)，求；(3)，求．解(1)，．(2)，．(3)，．6．设为可导函数，求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．解(1)．(2)．(3)．习题2.31．求下列函数的二阶导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．(7)；(8)；(9)；(10)；(11)．解(1)，．(2)，．(3)，．(4)，．(5)，．(6)．(7)，．(8)，．(9)，．(10)，．(11)，．2．设，求．解，，，．3．设二阶可导，求下列函数的二阶导数：(1)；(2)．解(1)，．(2)，．4．验证函数（是常数）满足关系式：．解因为，，所以．5．求下列函数的阶导数：(1)（都是常数）；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．解(1)．(2)，，，，一般地，．(3)，，，，一般地，．(4)，，，，一般地，．(5)，，，，一般地，．(6)，，，，一般地，．

习题2.41．求下列方程所确定的隐函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．解(1)方程两边对求导，得，从而．(2)方程两边对求导，得，从而．(3)方程两边对求导，得，从而．(4)方程两边对求导，得，从而．2．求曲线在点处的切线方程与法线方程．解方程两边对求导，得，从而．于是，切线斜率为，法线斜率为．故所求切线方程为，所求法线方程为．3．求曲线在点处的切线方程与法线方程．解方程两边对求导，得，从而．于是，切线斜率为，法线斜率为．故所求切线方程为，所求法线方程为．4．求下列方程所确定的隐函数的二阶导数：(1)；(2)；(3)．解(1)方程两边对求导，得，从而．于是，．(2)方程两边对求导，得，从而．于是，．(3)方程两边对求导，得．从而．于是，．5．用对数求导法求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．解(1)两边取对数，得，上式两边对求导，得，于是，．(2)两边取对数，得，上式两边对求导，得，于是，．(3)两边取对数，得，上式两边对求导，得，于是，．(4)两边取对数，得，上式两边对求导，得，于是，．6．求下列参数方程所确定的函数的导数：(1)(2)(3)解(1)．(2)．(3)．7．求曲线在相应的点处的切线方程与法线方程．解参数对应于点．，所求切线的斜率为，所求法线的斜率为．故所求切线方程为，所求法线方程为．8．求曲线在点处的切线方程与法线方程．解点对应于参数．，所求切线的斜率为，所求法线的斜率为．故所求切线方程为，所求法线方程为．9．求下列参数方程所确定的函数的二阶导数：(1)(2)(3)解(1)，．(2)，．(3)，．

习题2.51．设函数的图形如图2-5所示，试在图2-5(a)、(b)、(c)、(d)中分别标出点处的、及，并说明其正负．解(a)，，；(b)，，；(c)，，；(d)，，．2．已知函数，求：（1）该函数在处的微分；（2）该函数在处当时的微分．解(1)．(2)．3．求下列函数的微分：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6);(7)；(8)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．(7)．(8)．4．将适当的函数填入下列括号内使等式成立：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)．(6)．(7)．(8)．5．扩音器插头为圆柱形，截面半径为0.15cm，长度为4cm．为了提高它的导电性能，必须在这圆柱的侧面镀上一层厚为0.001cm的纯铜，问约需多少克的纯铜？解，，故大约需要纯铜（g）.6．设扇形的圆心角，半径，如果不变，减少，问扇形的面积大约改变了多少？又如果不变，增加，问扇形的面积大约改变了多少？解.(1)如果不变，则（cm2）．故扇形的面积约减少．(2)如果不变，则（cm2）．故扇形的面积约增加．7．计算下列各式的近似值：(1)；(2)．解(1)令，，，则．(2)令，，，则．习题2.61.某工厂每日产品的总成本C（单位：元）是日产量Q（单位：公斤）的函数，（1）求当日产量为900公斤时的总成本和平均单位成本；（2）求当日产量为900公斤和1000公斤时的边际成本．解（1）当日产量为900公斤时的总成本为（元）；平均单位成本为（元）．（2）由于边际成本函数为，所以当日产量为900公斤时的边际成本为（元）；当日产量为1000公斤时的边际成本为（元）．2.某产品的总成本C关于产量Q的函数为，求：（1）产量为100时的总成本、平均单位成本；（2）生产100单位和225单位产品时的边际成本，并解释其经济意义．解（1）产量为100时的总成本为；平均单位成本为（元）．（2）由于边际成本函数为，所以生产100单位单位产品时的边际成本，（元），其经济意义为：当产量为100时，再多生产一个单位产品，总成本就增加元；生产225单位产品时的边际成本，（元）．其经济意义为：当产量为225时，再多生产一个单位产品，总成本就增加元．3.设某产品生产Q单位的总收益R为，求生产50单位产品时的总收益和边际收益．解生产50单位产品时的总收益为．因为边际收益函数为，所以生产50单位产品时的边际收益为．4.设某商品的价格关于产量Q的函数为，求边际收益函数及和时的边际收益，并解释所得结果的经济意义．解因为总收益函数为，所以边际收益函数为，从而当和时的边际收益分别为，．其经济意义为：当产量为时，再多生产一个单位产品，总收益增加个单位；当产量为时，再多生产一个单位产品，总收益减少个单位．5.求函数在点处的弹性．解因为，所以．6.设某商品的需求函数为，求时的需求弹性．解因为，所以当时的需求弹性为；当时的需求弹性为．7.设某商品的需求函数为，（1）求时的需求弹性；（2）在时，若价格上涨1%，总收益是增加还是减少？将变化百分之几？解（1）因为，所以当时的需求弹性为．（2）因为总收益，，所以，即在时，若价格上涨1%，总收益增加0.67%．习题2.61.某工厂每日产品的总成本C（单位：元）是日产量Q（单位：公斤）的函数，（1）求当日产量为900公斤时的总成本和平均单位成本；（2）求当日产量为900公斤和1000公斤时的边际成本．解（1）当日产量为900公斤时的总成本为（元）；平均单位成本为（元）．（2）由于边际成本函数为，所以当日产量为900公斤时的边际成本为（元）；当日产量为1000公斤时的边际成本为（元）．2.某产品的总成本C关于产量Q的函数为，求：（1）产量为100时的总成本、平均单位成本；（2）生产100单位和225单位产品时的边际成本，并解释其经济意义．解（1）产量为100时的总成本为；平均单位成本为（元）．（2）由于边际成本函数为，所以生产100单位单位产品时的边际成本，（元），其经济意义为：当产量为100时，再多生产一个单位产品，总成本就增加元；生产225单位产品时的边际成本，（元）．其经济意义为：当产量为225时，再多生产一个单位产品，总成本就增加元．3.设某产品生产Q单位的总收益R为，求生产50单位产品时的总收益和边际收益．解生产50单位产品时的总收益为．因为边际收益函数为，所以生产50单位产品时的边际收益为．4.设某商品的价格关于产量Q的函数为，求边际收益函数及和时的边际收益，并解释所得结果的经济意义．解因为总收益函数为，所以边际收益函数为，从而当和时的边际收益分别为，．其经济意义为：当产量为时，再多生产一个单位产品，总收益增加个单位；当产量为时，再多生产一个单位产品，总收益减少个单位．5.求函数在点处的弹性．解因为，所以．6.设某商品的需求函数为，求时的需求弹性．解因为，所以当时的需求弹性为；当时的需求弹性为．7.设某商品的需求函数为，（1）求时的需求弹性；（2）在时，若价格上涨1%，总收益是增加还是减少？将变化百分之几？解（1）因为，所以当时的需求弹性为．（2）因为总收益，，所以，即在时，若价格上涨1%，总收益增加0.67%．总习题21．选择题(1)设函数在点处可导，则下列四个极限中等于的是（）．A．B．C．D．(2)设则函数在点处（）．A．左、右导数都存在但不相等B．左、右导数都存在且相等C．左导数存在、右导数不存在D．左导数不存在、右导数存在(3)已知在区间内可导且，则下述结论正确的是（）．A．不一定存在B．在不一定可微；C．D．(4)设函数可导，且，则n阶导数（）．A．B．C．D．(5)设，则（）．A．B．C．D．解(1)应选A．因为．(2)应选Ｃ．因为，，所以函数在点处左导数存在、右导数不存在．(3)应选Ｄ．因为在点处可导，所以在点处连续，从而．(4)应选A．因为，，，，一般地，．(5)应选B．因为，故．2．填空题(1)设，则．(2)设，则．(3)已知，，则．(4)设，则．(5)设曲线与都通过点，且在该点有公共切线，则，，．解(1)应填．因为，所以．(2)应填．因为，所以．于是，，从而．(3)应填．因为，所以．(4)应填．因为．(5)应填．因为由题设知，，即，解之得．3．求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．解(1)．(2)．(3)．(4)．(5)两边取对数，得，上式两边对求导，得，于是，．4．求下列方程所确定的隐函数的导数：(1)；(2)．解(1)方程两边对求导，得，从而．(2)方程两边取对数，得，上式两边对求导，得，从而．5．设函数由方程所确定，求与．解方程两边对求导，得，①将，代入①式，得．①式两边对求导，得②将，，代入①式，得．6．求下列参数方程所确定的函数的一阶导数与二阶导数：(1)；(2)（存在且不为零）．解(1)，．(2)，．7．设函数在点处连续且可导，求常数a，b的值．解由在点处连续得，，故，即．于是，，．由在点处可导得，，故．8．若为偶函数，且存在，证明．证因为为偶函数，且存在，所以，从而．9.生产某产品，每日固定成本为100元，每多生产一个单位产品，成本增加20元，该产品的需求函数为，试写出日总成本函数和总利润函数，并求边际成本函数和边际利润函数．解日总成本函数为，日边际成本函数为．由得，．于是，日总利润函数为．日边际利润函数为．10.某商品的需求量Q为价格的函数．（1）求时的边际需求，并说明其经济意义；（2）求时的需求弹性，并说明其经济意义；（3）求时，若价格下降2%，总收益变化百分之几？是增加还是减少？解（1）因为边际需求函数为，故当时的边际需求为，其经济意义为：当价格为6时，再上涨一个单位价格，需求将减少24个单位．（2）当时的需求弹性为，其经济意义为：当价格为6时，再上涨1%，需求将约减少1.85%．（3）因为总收益，，，所以当价格为6时，价格再下降2%时，总收益将约增加1.69%．习题解答习题3--11.验证罗尔定理对函数在区间上的正确性。解：因为在区间上连续在内可导且,所以由罗尔定理知至少存在一点使得。由得因此确有使2.证明对函数在区间上应用拉格朗日中值定理时所求得的总是位于该区间的中点。证明：因为函数在闭区间[ab]上连续在开区间(ab)内可导由拉格朗日中值定理至少存在一点(ab)使得即(pb2qbr)(pa2qar)(2pq)(ba)化简上式得：p(ba)(ba)2p(ba)故3.利用中值定理证明下列不等式：（1）；（2）；（3）； 证明(1)设则f(x)在[ab]上连续在(ab)内可导由拉格朗日中值定理存在(ab)使f(b)f(a)f()(ba)即而所以。（）设f(x)xn则f(x)在[ba]上连续在(ba)内可导由拉格朗日中值定理存在(ba)使f(a)f(b)f()(ab)即anbnnn1(ab)因为nbn1(ab)nn1(ab)nan1(ab)所以nbn1(ab)anbnnan1(ab)（）设则f(x)在以ab为端点的闭区间上连续在以ab为端点的开区间内可导，由拉格朗日中值定理存在介于ab之间，使f(b)f(a)f()(ba)即而所以。4.利用导数证明：（）；证明设f(x)arcsinxarccosx因为（）所以f(x)C其中C是一常数取，得到=；又，因此（）；习题3-21.利用罗必达法则求下列极限：（1）；解：原式===6（2）；解：原式==（3）；解：原式==（4）；解：原式===（5）；解：原式====（6）；解：原式===（7）；解：原式====（8）；解：原式===（9）；解：原式===（10）；解：原式=====（11）；解：原式==，又====，所以，原式==（12）；解：原式==，又===，所以，原式=2.验证极限存在，但不能用罗必达法则计算出来。解：原式==，所以，极限存在。但是=不存在，不能用罗必达法则。习题3-31.将多项式展开成的多项式。解：因为，，，所以按的幂展开的多项式为2.应用马克劳林公式，按的幂展开函数。解：因为，，，，，所以按的幂展开的多项式为3.求函数的带有拉格朗日型余项的阶马克劳林公式。解：因为，，，，，所以，从而4.求函数的带有皮尔诺型余项的5阶马克劳林公式。解：因为，又，所以：习题341.确定下列函数的单调区间：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（）；；（6）；解：（1）函数的定义域为，且，令，得驻点，列表得x(-¥,-1)-1(-1,1)1(1,+¥)y¢0+0y↘↗↘可见函数在(-¥,-1]、[1,+¥)内单调减少,在[-1,1]内单调增加。（2）函数的定义域为，且，令，得驻点，列表得：x(-¥,-1)-1(-1,1)1(1,+¥)y¢0+0y↘↗↘可见函数在(-¥,-1]、[1,+¥)内单调减少,在[-1,1]内单调增加。（3）函数的定义域为，且，令，得驻点，列表得：x(0,2)2(2,+¥)y¢0+y↘↗所以函数在(0,2]内单调减少,在[2,+¥)内单调增加。（4）函数的定义域为，且，令，得驻点，列表得：x(0,1)1(1,2)y¢+0y↗↘所以函数在[0,1]内单调增加,在[1,]内单调减少。（5）因为函数的定义域为，且，令，得驻点，列表得：xy¢0+0-y↘↗↘可见函数在,内单调减少,在内单调增加。（6）函数的定义域为，且，令，得驻点，另外为函数的不可导点。列表得：x(-¥,0)0(0,)(,+¥)y¢+不存在-0+y↗↘０↗可见函数在,内单调增加,在内单调减少。2.证明下列不等式：（1）当时，；（2）当时，；（3）当时，；证明：（1）设,则f(x)在[0,+¥)内连续。因为所以f(x)在(0,+¥)内是单调增加的，从而当x>0时f(x)>f(0)=0,即亦.()（2）设,则f(x)在[1,+¥)内连续。因为所以f(x)在(1,+¥)内是单调增加的，从而当x>1时f(x)>f(1)=0,即亦.()（3）设,则f(x)在[0,+¥)内连续。因为所以f(x)在(0,+¥)内是单调增加的，从而当x>0时f(x)>f(0)=0,即亦.()3.求下列函数的极值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；解：(1)函数的定义域为(-,+),且,驻点为列表x(-,0)0(0,1)1(1,+)y+0-0+y↗7极大值↘6极小值↗可见函数在x=0处取得极大值7,在x=1处取得极小值6.(2)函数的定义域为(-,+),且,驻点为。又。因为y(0)=40,y(-1)=-80,y(1)=-80,所以y(0)=0是函数的极小值,y(-1)=1和y(1)=1是函数的极大值.(3)函数的定义域为(-,+),且。令，驻点为列表x(-,0)0(0,+)y-0+y↘0极小值↗可见函数在x=0处取得极小值0.(4)函数的定义域为(-,+),且。为不可导点列表x(-,1)1(1,+)y-0+y↘2极小值↗可见函数在x=1处取得极小值2.(5)函数的定义域为(-,+),且。令，得驻点为，列表x(-,-1)-1(-1,)(,+)y-0-0+y↘非极值↘极小值↗可见函数在x=处取得极小值.4.问为何值时，函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值。解：,，要使函数在处取得极值,必有,即，.当时,.因此,当时,函数f(x)在处取得极值,而且取得极大值,极大值为.5.求下列函数的最大值或最小值，如果都存在，均求出：（1），；（2），；（3），；（4），；（5），。解：（1），令,得驻点为。计算函数值得y(-1)=1,y(0)=0,y(-2)=-4,y(2)=28,经比较得出函数的最小值为y(-1)=-4,最大值为y(2)=28.（2），令,得驻点为（其中不合）。计算函数值得y(0)=5,y(-1)=-2,y(2)=-11,经比较得出函数的最小值为y(2)=-11,最大值为y(0)=5.（3），令,得驻点为。计算函数值得,,经比较得出函数的最小值为,最大值为.（4），令,得驻点为（其中不合）。列表得x(0,1)1(1,+)y+0-y↗极大值↘所以函数在x=1处取得极大值.又因为驻点只有一个,所以这个极大值也就是最大值,即函数在x=1处取得最大值,最大值为.（5），令,得驻点为。列表得x(-,-2)-2(-2,0)y-0+y↘极小值↗所以函数在x=-2处取得极小值.又因为驻点只有一个,所以这个极小值也就是最小值,即函数在x=-2处取得最小值,最小值为.6.将6分为两数之和，使其立方和为最小。解：设两数中的一数为x则另一数为(6-x),于是立方和为，令,得唯一驻点x=3.因为,所以x=3为极小值点,从而也是最小值点.即当两数均为3时，两数的立方和为最小.7.一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为时，要使容器的表面积为最小，问底的半径与容器的高的比例应该怎样？解：由V=r2h,得.于是容器表面积为：S=r2+2rh(0x+),.令S=0,得驻点.因为,所以S在驻点处取得极小值,也就是最小值.这时相应的高为.底半径与高的比为。8.已知某厂生产件产品的成本为（元），问：（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元出售，要使利润最大，应生产多少件产品？解：（1）平均成本函数，.令,得驻点.因为,所以在驻点处取得极小值。.因为驻点唯一,所以这个极小值也就是最小值，即当生产1000件产品时，平均成本最小。（2）利润函数，，，令,得驻点.因为,所以在驻点处取得极大值。.因为驻点唯一,所以这个极大值也就是最大值，即当生产6000件产品时，利润达到最大。9.用一块半径为的圆形铁皮，剪去一圆心角为的扇形后，做成一个漏斗形容器，问为何值时，容器的容积最大？解：设漏斗的底周长为l、底半径为r、高为h，那么,.漏斗的容积为(0<<2).，令，得驻点为.由问题的实际意义,V一定在(0,2)内取得最大值,而V在(0,2)内只有一个驻点,所以该驻点一定也是最大值点.因此当时,漏斗的容积最大.10.用三块相同的木板做成一个断面为梯形的水槽（如图3-12），问倾斜角为多大时，水槽的流量最大？最大流量是多少？(设流速为)解：槽的流量与槽的横截面面积有关，横截面面积愈大，流量愈大。因此，求流量最大，也就是求槽的横截面面积最大。设横截面面积为，由于截面为梯形，所以，在直角三角形中，，，又，于是，故令，得和（不合舍去），从而有唯一驻点为。所以当时，横截面面积最大，即水槽的流量最大，最大流量为。12.一房地产公司有50套公寓要出租。当月租金定为1000元时，公寓能全部租出去；当月租金每增加50元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元的维修费，问房租定为多少元时可获得最大收入？解：设房租定为x元,纯收入为R元.当x1000时,R=50x-50100=50x-5000,且当x=1000时,得最大纯收入45000元.当x1000时,.令R=0得(1000,+)内唯一驻点x=1800.因为,所以x=1800为极大值点,同时也是最大值点.最大值为R=57800.因此,房租定为1800元可获最大收入习题3--51.求下列曲线的凹凸区间与拐点（1）；（2）；（3）；（4）； 解：（1）函数的定义域为(-,+),且，.令y¢¢=0,得.列表得x(-¥,)(,+¥)y¢¢-0+yÇ拐点È所以曲线在(-¥,]内是凸的,在[,+¥)内是凹的,拐点为(,).(2)函数的定义域为(-,+),且，.令y¢¢=0,得.列表得x(-¥,-1)-1(-1,1)1(1,+¥)y¢¢-0+0-yÇln2拐点Èln2拐点Ç可见曲线在(-¥,-1]和[1,+¥)内是凸的,在[-1,1]内是凹的,拐点为(-1,ln2)和(1,ln2).(3)函数的定义域为(-,+),且，.当时,不存在。列表得x(-¥,0)0(0,+¥)y¢¢+0-yÈ0拐点Ç可见曲线在(-¥,0]内是凹的,在[0,+¥)内是凸的，拐点为(0,0)。(4)函数的定义域为,且，.令y¢¢=0,得.列表得x(-¥,-1)(-1,2)2(2,+¥)y¢¢--0+yÇÇ拐点È可见曲线在(-¥,-1)和(-1,2]内是凸的,在[2,+¥)内是凹的,拐点为(2,).2.问和为何值时，点是曲线的拐点？解：y¢=3ax2+2bx,y¢¢=6ax+2b.要使(1,3)成为曲线y=ax3+bx2的拐点,必须y(1)=3且y¢¢(1)=0,即a+b=3且6a+2b=0,解此方程组得,.习题3--61.求下列曲线的渐近线：（1）；（2）；（3）；（4）；解：（1），，所以函数有水平渐近线和铅直渐近线（2），所以函数有水平渐近线。（3），所以函数有铅直渐近线。（4），，，所以函数有水平渐近线和铅直渐近线。2.作出下列函数的图形：（1）；（2）；（3）；（4）；解：略习题3--71.求下列曲线在指定点处的曲率及曲率半径：（1），在点处；（2），在任意点处及点处；（3），在点处。解：（1），；,所求曲率为.曲率半径为。（2），；,在任意点所求曲率为.曲率半径为；在任意点所求曲率为，曲率半径为（3）两边对x求导数得,,.,.所求曲率为，曲率半径为。2.曲线上哪一点处的曲率半径最小？求出该点处的曲率半径。解：,.在任意点处的曲率,在任意点处的曲率半径,其导数为.令,得因为当时;当时,,所以是的极小值点,同时也最小值点.当时因此在曲线上点处曲率半径最小最小曲率半径为.习题3--81.证明方程在区间内有唯一的实根，并用二分法求这个根的近似值，使误差不超过。解：设，显然在内连续．又因为，，且在区间内大于零，故方程在内有唯一实根．就是一个根的隔离区间．计算得：，，故，；，，故，；，，故，；，，故，；，，故，；，，于是．即取作为根的不足近似值，取作为根的过剩近似值，其误差都小于．2.证明方程在区间内有唯一的实根，并用牛顿切线法求这个根的近似值，使误差不超过。解：设，显然在内连续．因为，，所以就是一个根的隔离区间，且在区间上，．由于与同号，故取的弧端作切线．应用公式（3-21），得；；；．上述计算到此不能再继续，与相等，说明迭代已经趋于稳定，并且，，于是．因此，以或作为根的近似值，其误差都不超过．3.求方程的近似根，使误差不超过。解：用牛顿切线法.设，显然在内连续．因为，，所以就是一个根的隔离区间，且在区间上，．由于与同号，故取的弧端作切线．应用公式（3-21），得；；；．上述计算到此不能再继续，与相等，说明迭代已经趋于稳定，并且，，于是．因此，以或作为根的近似值，其误差都不超过．总习题31.选择题（1）设在可导，则是在取得极值的（B）（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件（2）设函数可导，且，则对任意常数，必有（A）（A）（B）0（C）（D）（3）设满足方程，且，，则函数在点处（A）（A）取得极大值（B）某个邻域内单调增加（C）取得极小值（D）某个邻域内单调减少（4）下列四个结论中，正确的是（D）（A）若函数在区间内可导且单调增加，则对任意，都有；（B）若函数和都在区间内可导且，则；（C）若函数在处取得极大值，则也在处取得极大值；（D）若函数和都在处取得极小值，则也在处取得极小值。（5）曲线的铅直渐近线的条数是（C）（A）0（B）1（C）2（D）32.填空题（1）函数在区间上使用拉格朗日中值定理成立的e-1。（2）设函数有二阶连续导数，且，根据罗必达法则可得，1。（3）函数的单调减少区间为[0,1)。（4）函数在区间上的最大值与最小值依次为-3、2。3.求下列极限（1）；（2）；（3）；解：（1）原式====（2）原式==（3）原式，又，所以，原式==4.已知函数在点处取得极值，且点是曲线的拐点，求常数的值。解：，，依条件有，即，解之得：。5.求椭圆上纵坐标最大和最小的点。解：方程两边对求导得则。令得到，代入得，即为椭圆方程确定的隐函数的两个驻点。由几何性质知:的最大值、最小值是存在的，因此，对应的最大值、最小值：。从而纵坐标最大和最小的点分别是和。6.证明下列不等式：（1）当时，；（2）当时，；（3）当，时，；证明：（1）设,则f(x)在(0,+¥)内连续。因为，()所以f(x)在(e,+¥)内是单调减少的，从而当时，有。即亦.（2）设,则g(x)在[0,+¥)内连续。因为，()所以g(x)在(0,+¥)内是单调增加的，从而当时，有。即亦.（3）设,则h(x)在(-1,+¥)内连续。因为，，（）令，得为唯一驻点。又，所以为的极大值点,同时也是最大值点。从而当时，有。即亦.7.设函数、均在闭区间上连续，在开区间内可导，且，证明：至少存在一点，使得。证明：令，则在上连续，在内可导，且。由罗尔定理知至少存在一点使得。即8.若函数在内具有二阶导数，且，其中，证明：至少存在一点，使得。证明：由题意知：在和上均满足罗尔定理的条件。由罗尔定理知至少存在一点使得，。这样在上也满足罗尔定理的条件，由罗尔定理知，至少存在一点使得。9.设实数满足，证明方程在内至少有一个实根。证明：作辅助函数，则在上连续，在内可导，且，。所以满足罗尔定理的条件。又，由罗尔定理知至少存在一点使得。即方程在内至少有一个实根。10.将长为的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆，问两段铁丝各为多长时，正方形与圆的面积之和最小。解：设圆的周长为，则正方形的周长为，两图形面积之和为，。令得到唯一驻点，而，故是函数的极小值点，也是最小值点，即当圆的周长为，正方形的周长为时，正方形与圆的面积之和最小。11.甲、乙两地相距km,汽车从甲地匀速地行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本与可变成本组成，其中固定成本为元，可变成本与速度（单位：km/h）的平方成正比，比例系数为。试问汽车应以多大的速度行驶，才能使全程运输成本最小？解：汽车每小时的运输成本为，汽车从甲地到乙地全程运输成本，令得到唯一驻点，而，故是函数的极小值点，也是最小值点，即当汽车以的速度行驶，才能使全程运输成本最小。习题解答习题4－11．求下列不定积分：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）；解；（5）；解；（6）；解；（7）；解；（8）；解；（9）；解；（10）；解；（11）；解；（12）；解；（13）；解；（14）；解；（15）；解；（16）；解；（17）；解；（18）；解；（19）；解；（20）；解；（21）．解．2．已知函数的一个原函数是，求．解．3．已知一曲线通过点，且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．解设所求曲线方程为，则，，由曲线过点，得，即所求曲线方程为．4．一物体由静止开始运动，经秒后的速度为（米/秒），求物体运动的路程与时间的函数关系．解，由，得，所以及．5．证明函数,和都是同一函数的原函数．证因为，，，所以它们都是的原函数．习题4－21．在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）；解；（5）；解；（6）；解；（7）；解；（8）；解．2．利用第一类换元法求下列不定积分：（1）；解；（2）解；（3）；解；（4）；解；（5）；解；（6）解；（7）；解；（8）；解；（9）；解；（10）；解；（11）；解；（12）；解；（13）；解；（14）；解；（15）；解；（16）；解；（17）；解；（18）；解；（19）；解；（20）；解；（21）；解；（22）；解；（23）；解；（24）；解；（25）；解；（26）．解．3．利用第二类换元法求下列不定积分：（1）；解令，则，；（2）；解令，则，；（3）；解令，则，；（4）；解令，则，；（5）；解令，则，；（6）；解令，则，；（7）；解令，则，，；（8）；解令，则，，；（9）；解令，则，，；（10）；解令，则，，；（11）；解；（12）．解．习题4－31．求下列不定积分：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）；解；（5）；解；（6）解；（7）；解；（8）；解；（9）；解；（10）；解；（11）；解；（12）；解；（13）；解，；（14）；解；（15）；解；（16）；解；（17）．解令，则，，．2．已知的一个原函数为，求．解．习题4－41．求下列有理函数的不定积分：（1）；解；（2）；解；（3）；解，通分，得令，得，令，得，比较项系数，得，，；（4）；解；（5）；解；（6）；解；（7）；解，通分，得比较项系数，得，比较项系数，得，解得比较项系数，得，比较常数项，得，；（8）；解；（9）．解．2．化被积函数为有理函数，求下列不定积分：（1）；解令，则，；（2）．解令，则，．总习题41．选择题（1）函数的一个原函数是（）；（A）（B）（C）（D）解因为，所以的一个原函数是，即选项B正确；（2）下列等式中成立的是（）；（A）（B）（C）（D）解因为，所以选项B的等式成立；（3）若是的一个原函数，则下列等式中成立的是（）；（A）（B）（C）（D）解因为，所以选项C的等式成立；（4）设，则（）；（A）（B）（C）（D）解因为，所以选项A正确．2．填空题（1）如果，则；解因为，所以；（2）设，则；解因为，所以；（3）设，则；解因为，，所以；（4），．解，．3．求下列不定积分：（1）；解；（2）解；（3）；解；（4）；解；（5）；解；（6）；解令，则，；（7）；解令，则，；（8）；解令，则，；（9）；解；（10）；解令，则，，；（11）；解；（12）；解；（13）；解；（14）；解；（15）；解；（16）．解．4．已知的一个原函数为，求，．解；．5．设，求．解．习题解答习题5－11．利用定积分定义计算下列各题：（1）；解对区间作等分，，，；（2）．解对区间作等分，，，，，因为，所以，即．2．利用定积分的几何意义求下列定积分：（1）；解因为表示为一个三角形面积，所以；（2）；解因为表示为一个梯形面积，所以；（3）；解因为表示为一个半圆面积，所以；（4）．解因为表示上曲线与轴围成的平面图形，用轴上方的面积减轴下方的面积，所以．3．设，，，求（1）；解；（2）；解因为，所以；（3）；解；（4）．解；4．证明定积分的性质：（1）（是常数）；证；（2）．证．5．不计算定积分的值，比较下列各对定积分值的大小：（1）与；解因为在闭区间上，，所以；（2）与；解因为在闭区间上，，所以；（3）与；解因为在闭区间上，，所以；（4）与．解因为在闭区间上，，所以．6．估计下列各积分的值：（1）；解因为在闭区间上，是单调增加函数，即，所以；（2）；解设，在闭区间上，，令，解得，由，，，即，所以；（3）；解设，在闭区间上，，即，所以；（4）．解设，在闭区间上，，是单调减少函数，即，所以．习题5－21．计算下列各定积分：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）；解；（5）；解；（6）；解；（7），其中．解．2．计算下列各导数：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）；解；（5）．解．3．求由所确定的隐函数的导数．解，，．4．设，求．解，，．5．求下列各极限：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）．解．6．设求在上的表达式，并讨论在上的连续性与可导性．解当时，，当时，，所以；，，，即，在上连续；，，因为，在处不可导．习题5－31．求下列定积分：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）；解；（5）；解；（6）；解；（7）；解；（8）；解令，则，，由，得，由，得，；（9）；解令，则，由，得，由，得，；（10）；解令，则，由，得，由，得，；（11）；解令，则，由，得，由，得，；（12）．解令，则，由，得，由，得，．2．用分部积分法求下列定积分：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）；解；（5）；解；（6）；解；（7）；解，；（8）；解，；（9）；解；（10）；解令，则，由，得，由，得，；（11）．解令，则，由，得，由，得，．3．计算下列定积分：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）；解；（5）；解；（6）．解．4．证明下列各等式：（1），其中；证令，则，由，得，由，得，；（2），其中在上连续；证令，则，由，得，由，得，；（3）．证令，则，由，得，由，得，；5．设在上连续，且，，，求．解．6．若是连续的奇函数，证明是偶函数；若是连续的偶函数，证明是奇函数．证设，则（令），即是偶函数；设，则（令），即是奇函数．习题5－41．讨论下列反常积分的敛散性，如果收敛，求反常积分的值：（1）；解；（2）；解；（3）；解；（4）；解；（5）；解；（6）；解；（7）；解；（8）；解；（9）；解，发散；（10）．解．2．已知，求常数的值．解，由，解得．3．当为何值时，反常积分收敛？当为何值时，该反常积分发散？又当为何值时，该反常积分取得最小值？解当时，；当时，；设，则，，令，得，且，即在处取极大值，所以取最小值．*4．用函数表示下列反常积分：（1）；解；（2）；解令，则，由，得，由，得，；（3）．解令，则，由，得，由，得，．总习题51．选择题（1）设在上，，，记，，，则（）；（A）（B）（C）（D）解因为，，所以在上单调减少，即，由定积分性质得，即选项B正确；（2）设，，，则（）；（A）（B）（C）（D）解由奇偶函数在对称区间上积分的结论，得，，，即选项D正确；（3）设，，则（）；（A）（B）（C）（D）解，即选项C正确；（4）设是连续函数，，且，则的值（）；（A）依赖于与（B）依赖于、和（C）依赖于、，不依赖于（D）依赖于，不依赖于解，即选项D正确；（5）设，则在区间内（）．（A）有第一类间断点（B）有第二类间断点（C）两类间断点都有（D）是连续的解，，，，即选项D正确．2．填空题（1）设是连续函数，且，则；解，令，得；（2）；解；（3）；解；（4）设是连续函数，为常数，则．解令，则，由，得，由，得，．3．求下列极限：（1）；解；（2）；解；（3），其中连续．解．4.计算下列各题：（1）已知满足，求；解因为所以，即；（2）已知满足，求；解因为，令，得即；（3）设函数求．解令，则，由，得，由，得，；（4）已知，且，求；解,所以；（5）设，求．解令，则，由，得，由，得，所以．5．设在上二阶连续可导，又，证明：．证．6．设在上连续，且，记，证明：（1）；（2）在内有一个且仅有一个实根．证（1）（2）在上连续，由（1）的结论得在上单调增加，且，由零点定理得，在内有且仅有一个实根．7．设是以T为周期的连续函数，证明：（1）（a为任意常数）；（2），并由此计算．证（1），对，令，得，所以；（2），．习题解答习题6－21．求由下列各组曲线或直线所围成的平面图形的面积：（1）与；解，得交点为，，；（2）与及；解；（3）与、及；解；（4）与；解，得交点为，，；（5）摆线,与；解；（6）阿基米德螺线与极轴．解．2．求由抛物线及其在点和处的切线所围成的平面图形的面积．解，在点处，，切线方程：，在点处，，切线方程：，，得交点为，；．3．求由抛物线及其的法线所围成的平面图形的面积．解，在点处，，法线方程：，，解得，．4．求由下列各组曲线所围成的图形公共部分的面积（1）及；解