2024届安徽省合肥市肥西县中考数学四模试卷含解析

2024届安徽省合肥市肥西县中考数学四模试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.某微生物的直径为0.000005035m,用科学记数法表示该数为（）

A.5.035x106B.50.35x105C.5.035xl06D.5.035x105

2.有两组数据，A组数据为2、3、4、5、6；B组数据为1、7、3、0、9,这两组数据的（）

A.中位数相等B.平均数不同C.A组数据方差更大D.B组数据方差更大

3.已知矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E为BC的中点，以点B为圆心，BA的长为半径画圆，交BC于点F,再

以点C为圆心，CE的长为半径画圆，交CD于点G,贝！|Si&=（）

EFC

9

C.12--7112——n

44

4.下列计算正确的是（）

A.6x6=瓜B.百+后=逐C.=—2D.V2+V2=2

5.已知二次函数7=4，+加什（?（存0）的图象如图所示，则下列结论：①abcVO；②2a+Z>=0;③方2—4ac<0；④9a+3b+c

>0;⑤c+8a<0.正确的结论有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

对于非零的两个实数。、b,规定。区6=7-一，若1位（％+1）=1,则x的值为（

ba

2

2

7.如图，已知△ABC中，ZABC=45°,F是高AD和BE的交点，CD=4,则线段DF的长度为（)

A.2夜B.4C.3A/2D.4A/2

8.如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A(-2,4),B(4,2),直线y=kx-2与线段AB有交点，则K的

值不可能是()

9.2017年，全国参加汉语考试的人数约为6500000,将6500000用科学记数法表示为()

A.6.5X105B.6.5X106C.6.5xl07D.65xl05

10.下列说法正确的是()

A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形

B.对角线互相平分的四边形是正方形

C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形

D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形

11.点A(4,3)经过某种图形变化后得到点B(-3,4),这种图形变化可以是()

A.关于x轴对称B.关于y轴对称

C.绕原点逆时针旋转90D.绕原点顺时针旋转90

12.如果J(a—2)2=2-a，那么()

A.x<2B.x<2C.x>2D.x>2

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2-14x+48=0的根，则该三角形的周长为

14.计算：

3b°

(1)(―)2=

a

10ab5a

(2)

c~4c

15.有三个大小一样的正六边形，可按下列方式进行拼接:

方式1：如图1；

方式2：如图2；

若有四个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长是.有〃个边长均为1的正六边

形，采用上述两种方式的一种或两种方式混合拼接，若得图案的外轮廓的周长为18,则〃的最大值为.

16.如图，在△ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=4,以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分

别以点B和点D为圆心，大于^BD的长为半径作弧，两弧相交于点E,作射线CE交AB于点F,则AF的长为.

2

17.一元二次方程x（x-2）=x-2的根是.

18.若|a|=2016°,贝！Ja二.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，已知。是AABC的外接圆，圆心。在AA5C的外部，AB=AC=4,BC=4后,求，。的半

径.

20.（6分）如图，一次函数y=—X+4的图象与反比例函数y=K（左为常数，且左W0）的图象交于A（1,a）、B

x

两点.

求反比例函数的表达式及点B的坐标；在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,

求满足条件的点P的坐标及4PAB的面积.

21.（6分）在平面直角坐标系中，抛物线y=（x-h）2+上的对称轴是直线x=L若抛物线与x轴交于原点，求上的

值；当时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求左的取值范围.

22.（8分）已知直线（机邦，且，"，”为常数）与双曲线>=七（4<0）在第一象限交于A,8两点，C,D

x

是该双曲线另一支上两点，且4、B、C、。四点按顺时针顺序排列.

（1）如图，若m=-3,n=~,点3的纵坐标为3,

222

①求k的值；

②作线段C。，使CZ>〃A3且。=AB,并简述作法；

（2）若四边形ABC。为矩形，A的坐标为（1,5）,

①求m9n的值；

②点尸（a,b）是双曲线第一象限上一动点，当以心生24时，则a的取值范围是

23.（8分）已知AB是。O的直径，PB是。。的切线，C是。。上的点，AC/7OP,M是直径AB上的动点，A与直

线CM上的点连线距离的最小值为d,B与直线CM上的点连线距离的最小值为f.

（1）求证：PC是。O的切线；

3

(2)设OP=—AC,求NCPO的正弦值；

2

(3)设AC=9,AB=15,求d+f的取值范围.

24.(10分)对几何命题进行逆向思考是几何研究中的重要策略，我们知道，等腰三角形两腰上的高线相等，那么等

腰三角形两腰上的中线，两底角的角平分线也分别相等吗？它们的逆命题会正确吗？

(1)请判断下列命题的真假，并在相应命题后面的括号内填上“真”或“假”.

①等腰三角形两腰上的中线相等;

②等腰三角形两底角的角平分线相等；

③有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形；

(2)请写出“等腰三角形两腰上的中线相等”的逆命题，如果逆命题为真，请画出图形，写出已知、求证并进行证明，

如果不是，请举出反例.

1L

25.(10分)(1)计算:(-2)-2+-cos60°-(73-2)°；

2

(2)化简：(a-工)十矿一2。+1.

aa

26.(12分)如图，以A3边为直径的。O经过点P,C是。。上一点，连结PC交A5于点E,且NACP=60。，PA=PD.试

判断PD与。。的位置关系，并说明理由；若点C是弧45的中点，已知45=4,求CE・CP的值.

P

27.(12分)如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，。为BD的中点，PO的延长线交BC于Q.

(1)求证：OP=OQ；

⑵若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动(不与D重合).设点P运动时间为t秒,

请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、A

【解析】

试题分析：0.000005035m,用科学记数法表示该数为5.035xl(T6,故选A.

考点：科学记数法一表示较小的数.

2、D

【解析】

分别求出两组数据的中位数、平均数、方差，比较即可得出答案.

【详解】

A组数据的中位数是：4,平均数是：(2+3+4+5+6)35=4,

方差是：[(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2]+5=2;

5组数据的中位数是：3,平均数是：(1+7+3+0+9)35=4,

方差是:[(1-4)2+(7-4)2+(3-4)2+(0-4)2+(9-4)2]+5=12;

二两组数据的中位数不相等，平均数相等，3组方差更大.

故选D.

【点睛】

本题考查了中位数、平均数、方差的计算，熟练掌握中位数、平均数、方差的计算方法是解答本题的关键.

3、D

【解析】

根据题意可得到CE=2,然后根据S1-S2=S矩形ABCD-S扇形ABF-S扇形GCE,即可得到答案

【详解】

解：・・・BC=4,E为BC的中点,

/.CE=2,

9O.»X3290*71x22137r

ASi-S=3X4-------------=12

2360360--------4

故选D.

【点睛】

此题考查扇形面积的计算，矩形的性质及面积的计算.

4、A

【解析】

原式各项计算得到结果，即可做出判断.

【详解】

A、原式=j2x3=#，正确；

B、原式不能合并，错误；

C、原式=’(-2)2=2,错误；

D、原式=2夜，错误.

故选A.

【点睛】

此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

5、C

【解析】

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴

交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【详解】

b

解：抛物线开口向下，得：a<0；抛物线的对称轴为x=丁=1,则b=・2a,2a+b=0,b=-2a,故b>0；抛物线交y轴

2a

于正半轴，得：c>0.

abc<0,①正确；

2a+b=0,②正确；

由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2・4ac>0,故③错误；

由对称性可知，抛物线与x轴的正半轴的交点横坐标是x=3,所以当x=3时，y=9〃+38+c=0,故④错误；

观察图象得当x=・2时，y<0,

即4a-2b+c<0

■:b=-2a,

:.4a+4a+c<0

即8a+c<0,故⑤正确.

正确的结论有①②⑤，

故选:C

【点睛】

主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的表达式求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换,

根的判别式的熟练运用.

6、D

【解析】

试题分析：因为规定。区〃=!—1,所以l(8)(x+l)=l-——=1,所以x=-=，经检验x=-二是分式方程的解，

bax+122

故选D.

考点：1.新运算；2.分式方程.

7、B

【解析】

求出AD=BD,根据NFBD+NC=90。，ZCAD+ZC=90°,推出NFBD=NCAD,根据ASA证△FBD义Z\CAD,

推出CD=DF即可.

【详解】

解：VAD±BC,BE_LAC,

，ZADB=ZAEB=ZADC=90°,

AZEAF+ZAFE=90°,ZFBD+ZBFD=90°,

ZAFE=ZBFD,

:.ZEAF=ZFBD,

VZADB=90°,ZABC=45°,

:./BAD=45°=NABC,

；.AD=BD,

ACAD=ZDBF

在4ADC和小BDF中|A。=3。，

ZFDB=ZADC

.♦.△ADC丝△BDF,

/.DF=CD=4,

故选：B.

【点睛】

此题主要考查了全等三角形的判定，关键是找出能使三角形全等的条件.

8、B

【解析】

当直线y=kx-2与线段AB的交点为A点时，把A(-2,4)代入y=kx-2,求出k=-3,根据一次函数的有关性质得到当

kW-3时直线y=kx-2与线段AB有交点；当直线y=kx-2与线段AB的交点为B点时，把B(4,2)代入y=kx-2,求出

k=l,根据一次函数的有关性质得到当k>l时直线y=kx-2与线段AB有交点，从而能得到正确选项.

【详解】

把A(-2,4)代入y=kx-2得,4=-2k-2,解得k=-3,

...当直线y=kx-2与线段AB有交点，且过第二、四象限时，k满足的条件为k£3；

把B(4,2)代入y=kx-2得，4k-2=2,解得k=L

当直线y=kx-2与线段AB有交点，且过第一、三象限时，k满足的条件为k".

即k£3或kNL

所以直线y=kx-2与线段AB有交点，则k的值不可能是2

故选B.

【点睛】

本题考查了一次函数y=kx+b(后0)的性质：当k>0时，图象必过第一、三象限，k越大直线越靠近y轴；当kVO

时，图象必过第二、四象限，k越小直线越靠近y轴.

9、B

【解析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动

了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.

【详解】

将6500000用科学记数法表示为：6.5x106.

故答案选B.

【点睛】

本题考查了科学计数法，解题的关键是熟练的掌握科学计数法的表示形式.

10、D

【解析】

分析：根据菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，进行判定，即可解答.

详解：A、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故错误；

B、四条边相等的四边形是菱形，故错误；

C、对角线相互平分的四边形是平行四边形，故错误；

D、对角线相等且相互平分的四边形是矩形，正确；

故选D.

点睛：本题考查了菱形，正方形，平行四边形，矩形的判定定理，解决本题的关键是熟记四边形的判定定理.

11、C

【解析】

分析：根据旋转的定义得到即可.

详解：因为点A（4,3）经过某种图形变化后得到点B（-3,4）,

所以点A绕原点逆时针旋转90。得到点B,

故选C.

点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后两个图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段

的夹角等于旋转角.

12、B

【解析】

<2（<2>0）

试题分析：根据二次根式的性质』/=同=0（。=0）,由此可知2-aK）,解得aW2.

故选B

点睛：此题主要考查了二次根式的性质，解题关键是明确被开方数的符号，然后根据性质值=问=0（。=0）可求

-tz（a<0）

解.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、13

【解析】

利用因式分解法求出解已知方程的解确定出第三边，即可求出该三角形的周长.

【详解】

方程x2-14x+48=0,

分解因式得：(x-6)(x-8)=0,

解得：x=6或x=8,

当x=6时，三角形周长为3+4+6=13,

当x=8时，3+4<8不能构成三角形，舍去，

综上，该三角形的周长为13,

故答案为13

【点睛】

此题考查了解一元二次方程-因式分解法，以及三角形三边关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

【解析】

(1)直接利用分式乘方运算法则计算得出答案；

(2)直接利用分式除法运算法则计算得出答案.

【详解】

4

小,3b\29b

(1)(——)

aa

4

故答案为OA咚；

a

/、IQab5a10a。4cSb

(2)——十一=——x—=—.

C4cc~5ac

.8b

故答案为st一.

c

【点睛】

此题主要考查了分式的乘除法运算，正确掌握运算法则是解题关键.

15、181

【解析】

有四个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，利用4n+2的规律计算；把六个正六边形围着一个正六边按照方式2

进行拼接可使周长为8,六边形的个数最多.

【详解】

解：有四个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长为4x4+2=18；

按下图拼接，图案的外轮廓的周长为18,此时正六边形的个数最多，即”的最大值为L

故答案为：18；1.

【点睛】

本题考查了正多边形和圆，以及图形的变化类规律总结问题，根据题意，得出规律是解决此题的关键.

16、1；

【解析】

分析：根据辅助线做法得出CF1AB,然后根据含有30。角的直角三角形得出AB和BF的长度，从而得出AF的长度.

详解：••,根据作图法则可得：CF1AB,；NACB=90。，ZA=30°,BC=4,

；.AB=2BC=8,VZCFB=90°,NB=10。，.•.BF=-BC=2,

2

/.AF=AB-BF=8-2=1.

点睛：本题主要考查的是含有30。角的直角三角形的性质，属于基础题型.解题的关键就是根据作图法则得出直角三

角形.

17、1或1

【解析】

移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可得答案.

【详解】

X(x-1)=x-1,

x(x-1)-(x-1)=0,

(x-1)(x-1)=0,

x-1=0,x-1=0,

Xl=l,Xl=l,

故答案为：1或L

【点睛】

本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键.

18、±1

【解析】

试题分析：根据零指数塞的性质（。°=1（。/0））,可知|a|=L座椅可知2=±1.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、4

【解析】

已知AABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，作于点则直线为的中垂线，直线AH过

。点，在RtAOBH中，用半径表示出OH的长，即可用勾股定理求得半径的长.

【详解】

A

作AH,3c于点则直线AH为的中垂线，直线AH过。点，

OH=OA-AH=r-2,BH=2超,

OH2+BH-^OB-,

即（一2『+（2时=/,

r=4.

【点睛】

考查垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键.

20、（1）y=-93（3,1）；（2）P|—,S^pAB—.

【解析】

试题分析：（1）由点A在一次函数图象上，结合一次函数解析式可求出点A的坐标，再由点A的坐标利用待定系数

法即可求出反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点B坐标；

（2）作点B作关于x轴的对称点D,交x轴于点C,连接AD,交x轴于点P,连接PB.由点B、D的对称性结合点

B的坐标找出点D的坐标，设直线AD的解析式为y=mx+n,结合点A、D的坐标利用待定系数法求出直线AD的解

析式，令直线AD的解析式中y=0求出点P的坐标，再通过分割图形结合三角形的面积公式即可得出结论.

试题解析：（1）把点A（1,a）代入一次函数y=-x+4,

得：a=-l+4,解得：a=3,

・••点A的坐标为（1,3）.

把点A（1,3）代入反比例函数y=8,

得：3=k,

3

・・・反比例函数的表达式y=-,

y=_%+4

联立两个函数关系式成方程组得：｛3

y二一

x=3

y=l

.•.点B的坐标为（3,1）.

（2）作点B作关于x轴的对称点D,交x轴于点C,连接AD,交x轴于点P,此时PA+PB的值最小，连接PB,如

图所示.

•.•点B、D关于x轴对称，点B的坐标为（3,1）,

.•.点D的坐标为（3,-

设直线AD的解析式为y=mx+n,

m+几=

把A,D两点代入得：L

3m+n=

・・・直线AD的解析式为y=-2x+l.

令y=-2x+l中y=0,贝!)-2x+l=0,

解得：X=g,

2

・••点P的坐标为(*,0).

2

SAPAB=SAABD-SAPBD=—BD»(XB-XA)—BD«(XB-XP)

22

115

=-x[l-(-1)]X(3-1)--X[l-(-1)]X(3--)

222

二•

2

考点：1.反比例函数与一次函数的交点问题；2.待定系数法求一次函数解析式；3.轴对称-最短路线问题.

21、(1)k=-1；(2)当时，抛物线与x轴有且只有一个公共点.

【解析】

(1)由抛物线的对称轴直线可得h,然后再由抛物线交于原点代入求出k即可；

(2)先根据抛物线与x轴有公共点求出k的取值范围，然后再根据抛物线的对称轴及当-l〈x<2时，抛物线与x轴

有且只有一个公共点，进一步求出k的取值范围即可.

【详解】

解：(1)..•抛物线>=Cx-h)2+«的对称轴是直线x=L

把原点坐标代入了=(x-1)2+k,得，

(2-1)2+k=2,

解得左=-1;

(2)•.•抛物线》=(x-1)2+4与x轴有公共点，

.,.对于方程(x-1)2+k=2,判别式b2-4ac=-4k>2,

当x=-1时，y=4+k；当x=2时，y=1+k,

二•抛物线的对称轴为x=l,且当-lVx<2时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，

；.4+k>2且l+k<2,解得-4<k<-1,

综上，当-4V&V-1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点.

【点睛】

抛物线与一元二次方程的综合是本题的考点，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.

m=—1

22、(1)①k=5；②见解析，由此AO交双曲线于点C,延长5。交双曲线于点，线段即为所求；(2)①,；

n=6

②或。>5

【解析】

(1)①求出直线的解析式，利用待定系数法即可解决问题；②如图，由此AO交双曲线于点C,延长50交双曲线于

点。,线段即为所求；

(2)①求出A,5两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；②分两种情形求出ABIC的面积=24时a的值，即可

判断.

【详解】

⑴①n=—,

22

•••直线的解析式为V=-|x+y,

•.•点3在直线上，纵坐标为*,

2

解得x=2

***k=5；

②如下图，由此A0交双曲线于点G延长50交双曲线于点。，线段5即为所求;

(2)①•.,点A(l,5)在y=月上,

X

:・k=5,

•・•四边形A5CD是矩形，

：.OA=OB=OC=OD,

AA,5关于直线y=x对称，

・・・6(5,1),

m+n=5[m=-l

则有：〈，解得《;

5m+n=i[n=6

②如下图，当点尸在点A的右侧时，作点。关于y轴的对称点。，连接AGAC,PC,PC,PA.

VA,。关于原点对称，A(L5),

・・・C(-l,-5),

・・q=q_v

•QPAC2ACC'+°.AC'P.PCC9

当SPAC=24时，

—x2xl0+—xlOx(a-l)--x2x(5+—)=24,

222a

•••5〃—24a—5=0，

a=5或一1(舍弃)，

当点P在点A的左侧时，同法可得a=1,

,满足条件的a的范围为0＜。＜1或。＞5.

【点睛】

本题属于反比例函数与一次函数的综合问题，熟练掌握待定系数法解函数解析式以及交点坐标的求法是解决本题的关

键.

23、(1)详见解析；(2)sinZOPC=—;(3)9＜m＜15

3

【解析】

(1)连接OC,根据等腰三角形的性质得到NA=NOCA,由平行线的性质得到/A=NBOP,ZACO=ZCOP,等量

代换得到NCOP=NBOP,由切线的性质得到NOBP=90。，根据全等三角形的性质即可得到结论；

⑵过O作OD_LAC于D,根据相似三角形的性质得到CD・OP=OC2,根据已知条件得到℃=走，由三角函数

OP3

的定义即可得到结论;

(3)连接BC,根据勾股定理得到BC=JAB2_人。？=12,当M与A重合时，得到d+f=12,当M与B重合时，得

到d+f=9,于是得到结论.

【详解】

(1)连接OC,

VOA=OC,

:.ZA=ZOCA,

VAC#OP,

/.ZA=ZBOP,ZACO=ZCOP,

.\ZCOP=ZBOP,

；PB是。O的切线，AB是。O的直径,

ZOBP=90°,

在APOC与△POB中，

OC=OB

<ZCOP=ZBOP,

OP=OP

.♦.△COP之△BOP,

/.ZOCP=ZOBP=90o,

.••PC是。。的切线；

(2)过O作OD_LAC于D,

•,.ZODC=ZOCP=90°,CD=-AC,

2

VZDCO=ZCOP,

/.△ODC^APCO,

.CD=OC

OCPO

.,.CD«OP=OC2,

3

VOP=-AC,

2

2

/.AC=-OP,

3

1

/.CD=-OP,

3

1,

:.—OP»OP=OC2

3

.PC_y[3

-

"OPV

・•/「DCOC^3

..sinZCPO=-----=-----；

OP3

(3)连接BC,

TAB是。O的直径，

AAC±BC,

VAC=9,AB=1,

.•.BCR.—3=12,

当CM±AB时，

d=AM,f=BM,

Ad+f=AM+BM=l,

当M与B重合时，

d=9,f=0,

/.d+f=9,

；.d+f的取值范围是：9<d+f<l.

【点睛】

本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，圆周角定理,

正确的作出辅助线是解题的关键.

24、(1)①真；②真；③真；(2)逆命题是：有两边上的中线相等的三角形是等腰三角形；见解析.

【解析】

⑴根据命题的真假判断即可；

⑵根据全等三角形的判定和性质进行证明即可.

【详解】

⑴①等腰三角形两腰上的中线相等是真命题；

②等腰三角形两底角的角平分线相等是真命题；

③有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形是真命题；

故答案为真；真；真；

⑵逆命题是：有两边上的中线相等的三角形是等腰三角形；

已知：如图，△ABC中，BD,CE分别是AC,边上的中线，且3O=CE,

求证：AABC是等腰三角形；

证明：连接。E,过点。作。尸〃EC,交3c的延长线于点厂，

,:BD,CE分别是AC,边上的中线，

.♦.OE是AABC的中位线，

J.DE//BC,

,JDF//EC,

，四边形DECF是平行四边形，

:.EC=DF,

'：BD=CE,

:.DF=BD,

：.ZDBF=