《高等数学下册 第2版》-蒋国强 习题及答案 第9章习题答案

PAGEPAGE36习题解答习题9.11.．设一平面薄板占有面上的闭区域D，其上点处的面密度为，其中在D上连续，试用二重积分表达该薄板的质量M．解由二重积分的定义可知，质量．2.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小：（1），其中；解区域的面积=，区域的面积=，所以：；（2），其中D是顶点分别为的三角形闭区域；解对区域D上的任意点，都有：，，所以：；（3），其中D是由直线围成的闭区域．解对区域D上的任意点，都有：，，所以：．3.利用二重积分的性质，估计下列积分的值：（1）其中；解积分区域D的面积，在D上，的最大值和最小值分别为，由性质6，得；（2）其中；解积分区域D的面积，在D上，的最大值和最小值分别为，由性质6，得；（3）其中D是两坐标轴与直线围成的闭区域．解积分区域D的面积，在D上，的最大值和最小值分别为，由性质6，得．习题9.21.计算下列二重积分：（1）其中；解；（2），其中D是由两坐标轴及直线所围成的闭区域；解；（3），其中D是顶点分别为的三角形闭区域；解；(4)，其中．解．2.画出积分区域，并计算下列二重积分：（1）其中D是由两条抛物线所围成的闭区域；解图略；（2），其中D是由所围成的闭区域；解图略；（3），其中；解图略；（4），其中D是由直线所围成的闭区域．解图略．3.化二重积分为二次积分（分别给出两种不同的积分次序），其中积分区域D分别为：（1）由两坐标轴及直线所围成的闭区域；解图略或；（2）由及所围成的闭区域；解图略或（3）由及所围成的闭区域．解图略或4.略．5.交换下列二次积分的次序：（1）；解图略；（2）；解图略；（3）；解图略；（4）；解图略；（5）．解图略．6.交换积分次序，证明：．证：交换积分次序，得．7.证明：．证：交换积分次序，立得．8.设平面薄片所占的闭区域D由直线和x轴所围成，它的面密度，求该薄片的质量．解由习题9.1第1题知，所求薄片的质量．9.计算由四个平面所围成的柱体被平面及截得的立体的体积．解记，则．10.求由平面及抛物面所围成的立体的体积．解记，则．11.画出积分区域，把积分表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D是：（1）；解图略；（2）；解图略；（3）；解图略；（4）；解图略；（5）．解图略．12.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：（1）；解图略；（2）；解图略；（3）；解图略；（4）．解图略．13.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：（1）；解图略；（2）；解图略；（3）；解图略．（4）．解图略．14.利用极坐标计算下列二重积分：（1），其中D由圆周所围成的闭区域；解图略；（2），其中；解图略；（3），其中D由圆周及直线所围成的在第一象限内的闭区域；解图略；（4），其中解图略．15.选用适当的坐标计算下列各题：（1），其中D是由直线所围成的闭区域；解图略；（2），其中；解图略；（3）其中D是由直线及曲线所围成的闭区域；解图略；（4），其中D是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域．解图略．16.求曲面与平面围成立体的体积．解记，则．17.求圆柱面被平面及抛物面截得的立体的体积．解记，则．习题9.31.求抛物面含在圆柱面内部的那部分面积．解记，由得：．2.求半球面被平面截得的上半部分的面积．解记，由得：．3.求球面含在圆柱面内部的那部分面积．解记，由得：．4.求下列均匀薄板的质心，其中薄板所占的闭区域D如下：（1）D由围成；解闭区域关于x轴对称，所以质心必位于x轴上，于是．闭区域D的面积：；而，故薄板的质心为．（2）D由围成；闭区域D的面积：；而，故薄板的质心为．（3）D是介于两个圆之间的闭区域．解闭区域关于y轴对称，所以质心必位于y轴上，于是．闭区域D的面积（两个圆面积之差）：；而，故薄板的质心为．5.设平面薄板所占的闭区域D是由所围成，在处的密度，求此薄板的质心．解，，，故薄板的质心为．6.设均匀薄片（面密度为常数1）所占的闭区域D如下，求指定的转动惯量：（1）D由围成，求和；解，．（2），求、和；解；（3）边长为a和b的矩形薄片对两条边的转动惯量．解建立图示坐标系，，．习题9.41.化三重积分为三次积分，其中积分区域分别是：（1）；解图略；（2）由锥面及平面所围成的闭区域；解图略；（3）由双曲抛物面及平面所围成的闭区域．解图略．2.设有一物体，占有空间闭区域，在点处的密度，求该物体的质量．解物体的质量．3.利用直角坐标计算下列三重积分：（1），其中为平面所围成的闭区域；解．（2），其中是由平面与三个坐标面所围成的四面体；解；（3）其中为球面及三个坐标平面所围成的在第一卦限内的闭区域．解．4.利用柱面坐标计算下列三重积分：（1）其中是由曲面及所围成的闭区域；解；（2）其中是由圆锥面与平面所围成的闭区域．解.5.利用三重积分求由下列曲面所围成的立体的体积：（1）及；解；（2）及；解；（3）及．解．6.利用三重积分计算曲面与平面所围立体的质心（设密度）．解显然，质心在z轴上，故．由于，所以，从而质心为．7.均匀圆锥体（密度）由、围成，求其对圆锥中心轴的转动惯量．解．习题9.51.计算下列对弧长的曲线积分：（1），其中L为圆周；解=；（2），其中L为直线段；解；（3），其中L为由直线及抛物线所围成的区域的整个边界；解；（4），其中L为及y轴所围成的区域的整个边界；解；（5），其中L是以为顶点的三角形的周界．解2.设圆周L：上任一点处的线密度等于该点纵坐标的平方，求圆周L的质量．解线密度，圆周L的质量为．习题9.61.计算下列对坐标的曲线积分：（1），其中L为抛物线上从点到的一段弧；解；（2），其中L为抛物线及所围成的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；解；；（3），其中L为自点至点，再到点的折线段；解；（4），其中L为圆周（按逆时针方向绕行）；解；(5),其中L为摆线上从到的一段弧．解．2.计算，其中L是：（1）曲线上从点到点的一段弧；（2）从点到点的直线段；（3）曲线上从点到点的一段弧．解（1）；（2）；（3）．3.一力场由沿横轴正方向的恒力F所构成．试求当一质量为m的质点沿圆周按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所作的功．解，．习题9.71.利用格林公式计算下列曲线积分：（1），其中L是沿圆周，逆时针方向；解；（2），其中L是以点为顶点的三角形区域的正向边界；解；（3），其中L是由不等式所确定的闭区域的正向边界；解；（4），其中L是由点到点再到点的折线段；解补曲线，则;而，所以．（5），其中L是在曲线上由点到点的一段弧．解补曲线，则，而，所以．2.利用曲线积分，求下列曲线所围成的平面图形的面积：（1）圆；解面积；（2）椭圆．解将改写为参数式得：面积．3.证明下列曲线积分在整个面内与路径无关，并计算积分值：（1）；证记，则P，Q在整个xOy面上有一阶连续偏导数，且，故曲线积分与路径无关．现选取有向折线计算．；（2）．证记，则P，Q在整个xOy面上有一阶连续偏导数，且，故曲线积分与路径无关．现选取有向折线计算．．4.计算曲线积分，其中L是在曲线上由点到点的一段弧．解证记，则P，Q在整个xOy面上有一阶连续偏导数，且，故曲线积分与路径无关．现选取直线段计算．．总习题91.选择题（1）若闭区域D由圆周围成，则（）．A.B.C.D.解；即选项C正确．（2）设平面闭区域，，则有（）．A.B.C.D.解由于积分区域关于x轴、y轴都对称，而是关于x、y的偶函数，故；即选项D正确．（3）设函数连续，则（）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解由于积分区域是由围成的，故；即选项C正确．*（4）设函数有一阶连续偏导数，则曲线积分与路径无关的条件为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解记，则曲线积分与路径无关的条件为，即，得．即选项B正确．2.填空题（1）设，则根据重积分的几何意义可得：．解表示以为底，以半球面为顶的曲顶柱体体积，故．（2）设，函数在D上连续，则根据二重积分的中值定理可得：．解，其中，所以．（3）将化为极坐标下的二次积分，得．解记，则*（4）设L为椭圆，L的长度记为，则对弧长的曲线积分．解．3.交换下列二次积分的次序：（1）；解．（2）．解．4.计算．解．5.计算下列二重积分：（1），其中；解．（2），其中D是由圆周所围成闭区域；解．（3），其中D是由直线所围成闭区域．解．6.求平面被三坐标面所割出的有限部分的面积．解由得，．7．求由抛物线及直线所围成的均匀薄片（面密度为常数1）对于直线及的转动惯量．解对于直线的转动惯量为；对于直线的转动惯量为．*8.计算下列三重积分：（1），其中是由与所围成的区域；解．（2），其中是由曲线绕z轴旋转一周而成旋转面与平面所围成的闭区域．解绕z轴旋转一周而成旋转面的方程为，．*9.化三次积分为柱面坐标形式，并求I的值．解．*10.计算下列曲线积分：（1），其中L是取正向的圆周；解；（2），其中L为从点沿曲线到点．解添加一段从