《高等数学下册 第3版》 课件 D12-4 高阶线性微分方程

机动目录上页下页返回结束高阶线性微分方程第四节二、线性微分方程解的结构三、二阶常系数齐次线性微分方程

一、二阶线性微分方程举例

第十二章四、二阶常系数非齐次线性微分方程

一、二阶线性微分方程举例上,当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧力作用下作往复运动,解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻

t

物位移为x(t).(1)自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.机动目录上页下页返回结束据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:机动目录上页下页返回结束求电容器两两极板间电压例2.

联组成的电路,其中R,L,C

为常数,所满足的微分方程.提示:

设电路中电流为i(t),∼~‖上的电量为q(t),自感电动势为由电学知根据回路电压定律:设有一个电阻R,自感L,电容C和电源E串极板机动目录上页下页返回结束在闭合回路中,所有支路上的电压降为0串联电路的振荡方程:如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得~‖机动目录上页下页返回结束化为关于的方程:故有n

阶线性微分方程的一般形式为方程的共性

为二阶线性微分方程.例1例2—可归结为同一形式:时,称为非齐次方程;时,称为齐次方程.复习:

一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y机动目录上页下页返回结束证毕二、线性微分方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证:代入方程左边,得(叠加原理)

定理1.机动目录上页下页返回结束说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.机动目录上页下页返回结束定义:是定义在区间I

上的

n个函数,使得则称这

n个函数在I

上线性相关,否则称为线性无关.例如，

在(,)上都有故它们在任何区间I

上都线性相关;又如，若在某区间

I

上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间

I

上都线性无关.若存在不全为

0

的常数机动目录上页下页返回结束两个函数在区间I

上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为0的使(无妨设线性无关常数思考:中有一个恒为0,则必线性相关(证明略)线性无关机动目录上页下页返回结束定理2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则数)是该方程的通解.例如,方程有特解且常数,故方程的通解为(自证)

推论.是

n

阶齐次方程的n

个线性无关解,则方程的通解为机动目录上页下页返回结束是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理3.则是非齐次方程的通解.证:

将代入方程①左端,得②①复习目录上页下页返回结束是非齐次方程的解,又Y中含有两个独立任意常数,例如,

方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而②也是通解.机动目录上页下页返回结束定理4.分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理3,定理4均可推广到n

阶线性非齐次方程.机动目录上页下页返回结束定理5.是对应齐次方程的n

个线性无关特解,给定n

阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解机动目录上页下页返回结束常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意例3.提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)(89考研)机动目录上页下页返回结束例4.

已知微分方程个解求此方程满足初的特解.解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三机动目录上页下页返回结束始条件机动目录上页下页返回结束基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化三、二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入①得称②为微分方程①的特征方程,1.当时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为(r

为待定常数),①所以令①的解为②则微分其根称为特征根.机动目录上页下页返回结束2.当时,

特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,则得因此原方程的通解为机动目录上页下页返回结束3.当时,

特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:

利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为机动目录上页下页返回结束小结:特征方程:实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.机动目录上页下页返回结束若特征方程含k

重复根若特征方程含k

重实根r,则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程:推广:机动目录上页下页返回结束例1.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解为例2.

求解初值问题解:

特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为机动目录上页下页返回结束例3.解:由前述例题知,位移满足质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律立坐标系如图,设t=0时物体的位置为取其平衡位置为原点建因此定解问题为自由振动方程,机动目录上页下页返回结束方程:特征方程:特征根:利用初始条件得:故所求特解:方程通解:1)无阻尼自由振动情况(

n=0)机动目录上页下页返回结束解的特征:简谐振动A:振幅,

:初相,周期:固有频率机动目录上页下页返回结束(仅由系统特性确定)方程:特征方程:特征根:小阻尼:n<k这时需分如下三种情况进行讨论:2)有阻尼自由振动情况大阻尼:n>k临界阻尼:n=k解的特征解的特征解的特征机动目录上页下页返回结束(n<k)

小阻尼自由振动解的特征:由初始条件确定任意常数后变形运动周期:振幅:衰减很快,随时间t

的增大物体趋于平衡位置.机动目录上页下页返回结束(n>k)

大阻尼解的特征:1)无振荡现象;此图参数:2)对任何初始条件即随时间t

的增大物体总趋于平衡位置.机动目录上页下页返回结束(n=k)

临界阻尼解的特征:任意常数由初始条件定,最多只与t

轴交于一点;即随时间t

的增大物体总趋于平衡位置.2)无振荡现象;机动目录上页下页返回结束例4.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解为例5.解:

特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解推广目录上页下页返回结束例6.解:特征方程:即其根为方程通解:机动目录上页下页返回结束例7.解:

特征方程:特征根为则方程通解:机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束1、2、四、二阶常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法机动目录上页下页返回结束1、

为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为为m

次多项式.Q(x)为

m次待定系数多项式机动目录上页下页返回结束(2)若是特征方程的单根

,为m

次多项式,故特解形式为(3)若

是特征方程的重根,是m

次多项式,故特解形式为小结对方程①,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当是特征方程的k重根时,可设特解机动目录上页下页返回结束例1.的一个特解.解:

本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为机动目录上页下页返回结束例2.

的通解.

解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为机动目录上页下页返回结束例3.

求解定解问题解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得机动目录上页下页返回结束于是所求解为解得机动目录上页下页返回结束2、第二步求出如下两个方程的特解分析思路:第一步将f(x)转化为第三步利用叠加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特点机动目录上页下页返回结束第一步利用欧拉公式将f(x)变形机动目录上页下页返回结束

第二步求如下两方程的特解

是特征方程的

k

重根(

k=0,1),故等式两边取共轭:为方程③的特解.②③设则②有特解:机动目录上页下页返回结束第三步求原方程的特解

利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:原方程

均为

m

次多项式.机动目录上页下页返回结束第四步分析因均为

m

次实多项式.本质上为实函数,机动目录上页下页返回结束小结:对非齐次方程则可设特解:其中为特征方程的

k

重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.机动目录上页下页返回结束例4.

的一个特解

.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解机动目录上页下页返回结束例5.

的通解.

解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为机动目录上页下页返回结束例6.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特