湖南省长沙市2022-2023学年高一年级上册期末模拟数学试题(学生版+解析)

综合模拟测试1

一、单选题（共40分）

.-3x?+220

1.命题“L”的否定是()

A.3XG^0,+O?),X3-3X2+2<0B.VXG(^X),0),X3-3X2+2>0

C3xe(-oo,0),x3-3x2+2<0D.VxG|^0,+«?),x3-3x2+2<0

2.已知集合4=卜|1。82%<1}，5={y|y=3'+l},则AB=()

A.[1,2]B.（1,2]C.P2

3.下列说法正确是（）

A.若a>b，贝!la/〉/?/B.若-2v。<3/vZ?<2则—3<Q—Z?<1

...7入…mm

C若a>Z?,c>d,则ac>仇/D.右a>b>0,切>0,则—<—

ab

sinI—+6：\-cos(7r-a

4.已知角。终边上一点P（l,2）,则)

一sin(2〃+a

A2B.-2C.0D.-

3

5.函数/（x）=[l-占卜nx的图象大致形状是（）

6.若正数x、y满足x+2y=2孙，若不等式x+2y2zn的恒成立，则机的最大值等于（）

g

A.4B.-C.4夜D.8

7.已知函数/（%）=sin兀。九一JWcos兀。尤（0>0）在[0,1]内恰有3个最值点和4个零点，则实数。的取值

范围是()

(10231023、17131723

C.D.

63

8.已知定义在R上的函数y=/(x)对于任意的X都满足了(x+2)=/(x),当—L,X<1时，/(x)=d,若

函数g(x)=/(x)-log“|x|至少有6个零点，则a的取值范围是()

A.(0,1]o(5,+oo)B.(0,1)u[5,+oo)

C.(y,—)U(5,7)D.(y,—)o[5,7)

二、多选题(共20分)

9.下列说法中，正确的是()

A.集合A={1,2}和6={(1,2)}表示同一个集合

B.函数/(x)=，3+2x—f的单调增区间为(—1,1)

b+3

C.若log23=a,log27=Z;,则用a,6表示log4,56=-------

-a+b+\

D.已知〃龙)是定义在(―8,0)U(0,+»)上的奇函数，当x>0时，/(x)=x2+--l,则当x<0时，

/(%)=-%2--+1

X

10.下列说法不正确的是()

A.函数y=/_x_2零点是(—1,0)和(2,0)

119

B.正实数a,6满足a+b=l,则不等式一+―的最小值为一

a4b4

x2+3

C.函数y=的最小值为2

，尤2+2

D.三<1的一个必要不充分条件是0<x<l

11.已知函数/(x)=Asin(0x+0)(其中A>0,0>0,—的部分图象如图所示，则下列结论正

确的是()

B.要想得到y=2cos2x的图象，只需将/(x)的图象向左平移g个单位

(JTJT\

C.函数y=/(x)在区间［也一+(左ez)上单调递增

D.函数y=/(x)在区间胃,兀上的取值范围是［-6,1］

|lgx|,O<x<10

12.已知函数/'(%)=<若方程/(%)—机=。有三个不同的解”,仇c,且a<6<c,则下列说

2%-25,%>10

法正确的是()

A.—<a<\B.1</?<10C.12.5<abc<13D.0<m<l

10

三、填空题(共20分)

7T

13.函数/(x)=3sin(0x+§)的最小正周期/=兀，则①=.

14.函数/(%)=J九一1一]的值域为.

15.已知cosa=2,,sin[3=~~~,且则a+〃的值是.

16.若函数/(尤)与g(x)对于任意石,毛e［c,d］,都有/(石)道(X2)2加，则称函数/(%)与g(x)是区

间［c,d］上的“机阶依附函数”.己知函数〃x)=3x-l与g(x)=*—依―。+4是区间［1,2］上的“2阶依

附函数”，则实数。的取值范围是.

四、解答题(共70分)

17.已知函数/(无)=lg(x-l)+J匚1的定义域为A,g(x)=3*+l(xe［0,2］)的值域为8.

⑴求A和2；

(2)若［a,a+l］口AcB,求。的最大值.

18.已知函数/(x)=2sin2-cos2cox+m(0<6><l)的图象关于点号,2卜寸称.

(1)求0,根的值；

(2)将/(%)的图象向左平移5个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到

函数g(x)的图象，求g(x)在［0,3句上的值域.

2光一Z7

19.己知函数/'(x)=r—是定义在［-U］上的奇函数.

(1)判断函数/(X)的单调性并用定义加以证明；

(2)求使/(加—1)—/。—2m)<0成立的实数掰的取值范围.

20.如图，风景区的形状是如图所示的扇形042区域，其半径为4千米，圆心角为60。，点C在弧AB上.现

在风景区中规划三条商业街道。E、CD、CE,要求街道QC与。4平行，交OB于点、D,街道。£与。A垂

直(垂足E在。A上).

(1)如果弧BC的长为弧CA长的三分之一，求三条商业街道围成的ACDE的面积；

(2)试求街道CE长度的最小值.

21.用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度(血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度，单位:

1-2~k,其函数图象如图所示，其中加0为药

物进入人体时的速率，左是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值.此种药物在人体内有效治疗效果的浓度

在4mg/ml到15mg/ml之间，当达到上限浓度时(即浓度达到15mg/ml时)，必须马上停止注射，之后

血药浓度随时间变化的函数符合。2«)=。,2一，其中c为停药时的人体血药浓度.

血药浓度(mg/ml)

18

16

14

12

10

。|48121620时间(小时)

(1)求出函数G«)的解析式；

(2)一病患开始注射后，最多隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注

射？(结果保留小数点后一位，参考数据：1g2ao.3,Igl5aLi8)

22.设函数〃尤)的定义域为，若存在/e。，使得/［)=%0成立，则称％为/(尤)的一个“不动点”,

也称/⑴在定义域D上存在不动点.已知函数/⑴=log2(#—a2”+2).

(1)若函数/(%)在区间［0』上存在不动点，求实数a的取值范围；

(2)设函数g(x)=27,若V%,X2«T，°］，都有|/(七)一8(无2)|«2成立，求实数a的取值范围.

综合模拟测试1

一、单选题（共40分）

人"VxeTo,+oo),x3-3x2+2>0,

1.命题“L”的否定B是()

ABxe|^0,+oo),X5-3x2+2<0B.Vxe(fo,0),%3一3*+220

C.3xe(^x),0),x3-3x2+2<0D.VxG|^0,+OO),X3-3x2+2<0

【答案】A

【解析】

【分析】根据全称命题的否定理解判断.

【详解】命题“Vxe[0,+R),V-3之+220”的否定是«Bxe[0,+<x>),x3-3x2+2<0".

故选：A.

2.己知集合4={邓082%<1},3=卜»=3*+1},则AB=()

A.[1,2]B.(1,2]C.p2D.

【答案】B

【解析】

【分析】解对数不等式求出集合A,再求出指数函数的值域即可求出集合B,进而根据交集

的概念即可求出结果.

【详解】因为logzXWl,即0<xW2,所以A={x|0<x<2},

而由于3，>0,则y>l,即3={y|y>l}

所以A5=（1,2].

故选：B.

3.下列说法正确的是（）

A.若a>b,则〃，>灰2B.若一2V"<3/vZ?<2贝！j

—3<ct—b<1

mm

C.若c〉d,则ac>D.若a>b>0,切>0,则一<一

ab

【答案】D

【解析】

【分析】利用不等式的性质、结合特例法逐一判断即可.

【详解】A：当c=0时，显然a。？>5,2不成立，因此本选项说法不正确；

B：\<b<2=>-2<-b<-l,而—2<。<3,所以有T<a—><2,因此本选项说法不

正确；

C：当。=-2,》=一3,。=一4,。=—5时，显然满足a>b,c>d,但是不成立，因

此本选项说法不正确;

nhIImmmm

D：由a>Z7>0nR?>0=>——>——=>—>—,而加>0,所以一>一,即一<一，

ababbabaab

因此本选项说法正确，

故选：D

-COS（万一0

4.己知角a终边上一点P（l,2）,则

一sin（2〃+a）

2

A.2B.-2C.0D.

3

【答案】B

【解析】

【分析】通过坐标点得出角1的正切值，化简式子，即可求出结果.

【详解】解：由题意，

角a终边上一点P（l,2）,

tana=2

2cosa2

=-2,

cosa-sina1一tana

故选：B.

5.函数=nx的图象大致形状是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性可得函数为偶函数，可排除CD,然后根据xe(O,7i)时的函数

值可排除B.

【详解】因为/('=11-五/卜inx=&匚usinx,定义域为R,

"ex-re%—1.

又/'(-%)=sin(-x)=-----sinx=f(x),

ex+l

所以/(X)是偶函数，图象关于y轴对称，故排除CD,

又当工«0,兀)时，三彳〉o,sinx〉O,/(x)>0,故排除B.

故选：A.

6.若正数x、>满足x+2y=2孙，若不等式x+的恒成立，则m的最大值等于

()

g

A.4B.-C.4&D.8

【答案】A

【解析】

11,11

【分析】由已知得出一+h=1,将代数式x+2y与一+丁相乘，展开后利用基本不等式

x2yx2y

可求得x+2y的最小值，即可得出实数加的最大值.

,x+2y11

【详解】已知正数x、y满足x+2y=2盯，可得1=1「=一+「，

2xyx2y

所以x+2y=(x+2y)-+—=2+—+—>2+2/—­—=4,

(x2yx22yx

当且仅当x=2y时，即x=2,y=l时，等号成立，

所以x+2y的最小值为4，

因此，实数冽的最大值为4.

故选：A.

7.已知函数/(%)=5111兀5-685兀53>0)在[。,1]内恰有3个最值点和4个零点，则

实数切的取值范围是()

r10231「10231F1713、

(36JL36)163J

<1723-

不一

【答案】B

【解析】

【分析】数形结合，由第4个正零点小于等于1,第4个正最值点大于1可解.

【详解】/(x)=sin7iGx—J^cos7i〃a=2sinTIGJX--,

71兀71

因为工£[0,1],所以兀“a-—G①Tt------

333

又因为函数/(X)=sin兀ox-J^cos兀。%(。>°)在[°』内恰有3个最值点和4个零点,

r-l1八。a

由图像得：3n<(t)n--<—,解得：一<co<——，

3236

1023

所以实数。的取值范围是—

36

故选：B

8.已知定义在R上的函数y=/(x)对于任意的尤都满足了(%+2)=/(幻，当—L,X<1时,

/(x)=d,若函数g(x)=/(x)-log,|x|至少有6个零点，则a的取值范围是()

A.(0,JD(5,+8)B.(0、)D[5,+8)

C.(|,1)L(5,7)D.(*)55,7)

【答案】A

【解析】

【分析】函数的根转化为两个新函数图像的焦点问题，再对对数函数的。进行分类讨论即可.

【详解】由/U+2)=/(%)知“力是周期为2的周期函数，

函数g(x)=/(x)TogaW至少有6个零点等价于函数y=/(%)与g(x)=log“W的图

象至少有6个交点，

①当a>1时,画出函数y=/(%)与g(x)=k»ga凶的图象如下图所示，

根据图象可得g(5)=k)g05<l,即a>5.

*y=ioga|x|

②当0<a<l时,画出函数y=/(x)与g(x)=logaW的图象如下图所示,

九

A

y=ioga|x|

根据图象可得g(—5)=loga5N—1,即0<a<1.

综上所述，。的取值范围是u(5,+s).

故选：A

二、多选题(共20分)

9.下列说法中，正确的是()

A.集合A={1,2}和5={(1,2)}表示同一个集合

B.函数=43+2x—1的单调增区间为(_1,1)

Z?+3

C.若log23=4,log27=b,则用a,A表示log4256=——--

a+b+1

D.已知是定义在(―8,0)U(0,+8)上的奇函数，当彳>0时，f(x)=x2+--l,则

X

当尤V0时，f(x)=-x2--+1

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A,根据集合的定义即可判断；对于B,利用复合函数的单调性即可判断；对

于C,利用对数的换底公式及运算性质即可判断；对于D,利用函数的奇偶性求对称区间上

的解析式即可判断.

【详解】对于A,集合A={1,2}中元素为数，集合5={(1,2)}为点，可知表示的不是同一

个集合，所以A选项错误；

对于B,根据3+2%—f之o解得函数/(x)=13+2x—四的定义域为[―义3],

令/=3+2x—必则丁=

/=3+2x——为二次函数，开口向下，对称轴为x=l,所以函数r=3+2x—必在区间

(-1,1)上单调递增，在区间(1,3)上单调递减，

函数y=J7为增函数，根据复合函数的单调性可知函数/(力=j3+2x-"的单调增区间

为(—1,1),所以B选项正确；

对于C,因为log23=a,log27=b,根据对数的换底公式可得

log256=log?(7x8)=log27+log28=logzT+logzZ^b+3

log4256=

log242log2(7x6)log27+log26log27+log23+log22a+b+1

所以C选项正确;

对于D,因为当%>0时，/(x)=x2+--1,可令xvO,则r>0,所以

f(-x)=(-x)2+-^--l=x2-1-l

，又因为是定义在(y,0)U(0,+8)上的奇

函数，所以/(力=-〃-力=--+工+1,与题干结果不符，所以D选项错误.

故选：BC.

10.下列说法不正确的是()

A.函数y=Y一.2的零点是(一1,0)和(2,0)

119

B.正实数0,。满足a+b=l,则不等式一+一的最小值为一

a4b4

x2+3

c.函数y=/,的最小值为2

V%+2

D.f<l的一个必要不充分条件是0<x<l

【答案】ACD

【解析】

【分析】A：求出函数的零点即可判断；B：利用±和基本不等式

即可判断求解；C：令"石=/，利用换元法和基本不等式即可判断；D：判断从0<x<l

是否可得必<1，结合充分条件和必要条件的概念即可判断.

【详解】对于选项A：y=O=f—%—2=0=(x—2)(x+l)=0=x=2或一1,

则函数的零点是2或-1,故A错误；

对于选项B：a>O,b>O,a+b=l,

119

——I--------二

a4b4

ba211Q

当且仅当一=弁，即。=2人时，等号成立，故一+弁的最小值为：，故B正确；

a4b3a4b4

对于选项C：令&+2=心2,则X2=R-2,

则函数化为y=_/十)=±_±£=/+1221/」=2,当且仅当/=-,即7=1时等号成

ttt\tt

立，

无2+3

•>N2,故等号不成立，即七=/>2,故C错误；

G+2

对于选项D：若0cx<1,则必<1，即0<x<l是必<1的充分条件，故D错误.

故选：ACD.

11.已知函数/(X)=Asin(azx+0)(其中4>0,。>0,—|<夕<、)的部分图象如图所示,

则下列结论正确的是()

A./(x)=2sin[2x+[J

B.要想得到y=2cos2x的图象，只需将"％)的图象向左平移;个单位

C.函数y=/(可在区间[也一],防1+6｝左€2)上单调递增

D.函数y=/(x)在区间三,兀上的取值范围是

【答案】AC

【解析】

【分析】由图得A、。，点在图象上求得夕及/(%)的解析式可判断A；根据图象

平移规律可判断B；利用正弦函数的单调性可判断C；根据x的范围求得sin[2x+e]可判

断D.

【详解】由图得A=2,^T=当一g=型，所以7=&=兀，①=2,

41264co

所以/(x)=2sin(2x+0),因为点[2]在图象上，所以2=2sin12x《+9；

sin[?+0]=l,因为一冷＜夕＜5，所以夕=$,可得/(x)=2sin卜x+,故A正确；

k3)226\6;

对于B,将/(%)的图象向左平移g个单位，得到

y=2sin2(x+g)+e=2sin(2x+1+6)=2sin[2x+葛)的图象，故B错误;

对于C,+kn(kGZ),

所以函数y=/(x)在区间E—；,也+6(左eZ)上单调递增，故C正确;

IT/7l,c7147c1J71LL」•c7111

对于D,xe——,7i时，2x+—e—,所以sm2%+7£—1—,

L12J6L36JI6jL92j

7IT

函数y=/(x)在区间—上的取值范围是[—2』，故D错误.

故选：AC.

0<%«]0

12.己知函数/■(>)={S，-若方程〃力—机=。有三个不同的解风4,,且

2%—25,x>10

a<b<c,则下列说法正确的是()

A.—<a<\B.1</?<10C.12.5<abc<13D.

10

0<m<l

【答案】BC

【解析】

【分析】画出/(X)的图象，结合图象以及对数运算确定正确答案.

-Igx,0<x<1

【详解】由题意可知，/(x)=lgx,l<x<10，作出〃力的图象，如图所示：

2x-25,x>10

因为方程〃力一机=0有三个不同的解a,4C(a<b<c),由图可知0<加<1,故D错误;

且加=-Iga=IgZ?=2c-25,Iga+lgb=lgab=0,ab=1,

所以a=l(T"e=e(l,10],故A错误，B正确；

I,M+25

所以abc=c=--—e(12.5,13],故C正确；

故选：BC

【点睛】关于形如y=|log“x|、y=log“忖等函数图象的画法，可结合绝对值的意义、函

数的奇偶性、函数的单调性进行作图，作图过程中要注意曲线“弯曲”的方向，也要注意函

数定义域的影响.

三、填空题(共20分)

TT

13.函数/(x)=3sin(3x+3)的最小正周期T=兀，则①=.

【答案】±2

【解析】

【分析】根据正弦型函数的周期公式求解.

7T

【详解】因"x)=3sin(0x+§),

2兀

所以T=「=兀，解得力=±2,

\o)\

故答案为：±2.

14.函数/(%)=Jx-1-x的值域为.

(3]

【答案】一8，-二

I4J

【解析】

【分析】利用换元法结合二次函数的性质求值域.

【详解】令t=GT20,则x=『+l，

可得：y=/—(r+1)=—厂+/—1(/20),

,/函数y=-产+/—1的对称轴为/=—>0,

2

.•.当时，函数>=—/+.—1取到最大值Vmx=—[1)+1-1=-|1

(31

即函数/(X)的最大值为-“3故函数”X)的值域为-°0，-1.

、(3一

故答案为：-00,一~-.

I4J

15.已知cosa=2f,sin〃=[母，且ae[。,,],P2^})则二+/的值是

兀

【答案】一

4

【解析】

【分析】由平方关系求得sina,cos尸，再求出cos(a+4)即可得解.

【详解】解：因为cosa=2f，sin/3=»且夕

所以sina=^^,cos/3=，且。+分£(°，兀)，

同/2行3V10非M垃

则cos\a+p]=---x----------x----=，

v75105102

jr

所以&+/=区.

TT

故答案为：—.

4

16.若函数/(无)与g(x)对于任意%，/&［c,d］,都有/(%)超(%)之9,则称函数/(%)

与g(x)是区间［c,d］上的“冽阶依附函数”.已知函数〃力=3x-l与

g(x)=£—依―。+4是区间［1,2］上的“2阶依附函数”，则实数。的取值范围是.

【答案】(-8,2］

【解析】

【分析】由题意得〃力1nhi超(。-22在［1,2］上恒成立,又/(尤)3=2,所以g(x)“

在［1,2］上恒成立，即aW二^在［1,2］上恒成立，令x+l=f"e［2,3］,设/z«)=f+d—2,

x+1t

研究丸(。的最小值即可.

【详解】因为函数f(x)=3x-l与g(x)=d—妆一。+4是区间［1,2］上的“2阶依附函数”，

所以“力府.g(力血/2在［1,2］上恒成立，

又/(x)=3x-l在［1,2］上单调递增，则•⑴=2,

2.0

所以g(x)—依―a+421在［1,2］上恒成立，即aW土虫在［1,2］上恒成立，

X+1

X2+3_3£±1-+1+4-2

x+1x+1x+1

令尤+1=，，，c[2,3],设=----2,

Af2—4/'LI

h'(t)=l-j=20,则h(t)在[2,3]上单调递增,

所以MOmin=/，(2)=2,

所以a«2.

故答案为：(-8,2].

四、解答题(共70分)

17.已知函数〃x)=lg(x—1)+J匚工的定义域为A,8(％)=3工+1(%«0,2])的值域为

B.

⑴求A和B-,

⑵若[区。+1]£4八5,求。的最大值.

【答案】⑴A为(1,4],8为[2,10]

(2)3

【解析】

%-1>0

【分析】(1)根据函数的解析式有意义，得到满足C，即可求解函数的定义域4

根据g(%)=3、+1(尤e[0,2])在定义域内为增函数，即可求出值域B.

(2)由(1)可知AcB=[2,4],根据集合间的包含关系可求出参数a的范围，则可得出a的

最大值.

【小问1详解】

解：由题意，函数=—+,满足L八，

[4-x>0

解得1<%W4,所以函数/(x)的定义域为(L4],

而函数g(工)=3、+l(xw[0,2])在R上是增函数，

2

g(O)=3°+l=2,g(2)=3+l=10,

所以函数g(%)=3*+1(xe[0,2])的值域为[2,10],

故定义域A为(L4],值域B为[2,10].

【小问2详解】

解：由(1)可知Ac6=[2,4],若[a,a+l]&AcB,

a>2

则<解得2WaW3,

a+l<4

所以。的最大值为3,此时满足[3,4仁[2,4],

故最大值为3.

18.己知函数/(%)=2sin2<z>x-cos2cox+m(0<&><1)的图象关于点对称.

(1)求。，相的值;

(2)将/(力的图象向左平移5个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长到原来的3倍，纵

坐标不变，得到函数g(x)的图象，求g(x)在[0,3句上的值域.

【答案】(1)m=1,啰=;

(2)[2-72,4]

【解析】

【分析】(1)由二倍角公式降幕后，由余弦函数的对称性可求得私加值；

⑵由图象变换得出g(x)的表达式，再由余弦函数值域得结论.

【小问1详解】

/(x)=l-cos2a)x-cos2(ox+m=m+l-2cos2a)x,

依题意可得m+1=2,F=3、k7i,^eZ(0<®<l),

则相=1,CD——.

2

【小问2详解】

由⑴知/(x)=2—2cosx,则g(x)=2—2cos[§+ij.

xnn5〃

当冗E[0,3»]时,—d——e

34n

故g(x)在[0,3句上的值域为[2-点,4].

2光一(1

19.己知函数/■(>)==—是定义在卜1』上的奇函数.

JC+1

(1)判断函数/(X)的单调性并用定义加以证明；

(2)求使/(m—1)—/。—2加)<0成立的实数机的取值范围.

【答案】⑴"力在[一1』上是增函数，证明见解析；

【解析】

【分析】(1)根据奇函数利用/(。)=。求出。，再验证即可，由函数单调性定义证明即可;

(2)根据函数的单调性列出不等式组求解即可.

【小问1详解】

定义在［—1』上的奇函数，所以/(O)=2；2°^a=_a=0

所以。=0,

2x—2x

当。=0时，/(x)=--，满足/(—x)=,、2,=—/(x),故。=0满足题意.

\)%2+1(-X)+1

2y

〃x)=丁彳在［―1』上是增函数，证明如下:

X十1

设V%,9目一1』且石<当，

2%(%；+1)-2%(X；+1)_2(x-x)(xx-1)

2菁2X2112

则/'⑺-/(9)=2

X；+1%2+1(x；+1)(x；+1)

因为V%,%目一1,1］且西<x2,所以马-%>0,无/2-l<0,(x；+l)(x；+1)>0,

所以/(%)—/(%)<。，所以/(%)</(%2)，所以/(九)在［T』上是增函数;

【小问2详解】

由(1)知/⑺二方—"("在［—1』上是增函数,

x+1

-1<m—l<10<m<2

2

所以—2加<1,即《0<m<l,解得04根v—.

3

m-1<1-2m2

m<—

3

所以实数冽的取值范围是0,g］.

20.如图，风景区的形状是如图所示的扇形048区域，其半径为4千米，圆心角为60。，点

C在弧A8上.现在风景区中规划三条商业街道。E、CD、CE,要求街道DC与OA平行，

交OB于点D,街道。E与。4垂直(垂足E在。4上).

B

(1)如果弧BC的长为弧C4长的三分之一，求三条商业街道围成的ACDE的面积；

(2)试求街道CE长度的最小值.

【答案】(I)］？—4百平方千米

3

⑵2屈-2百千米

3

【解析】

【分析】(1)结合已知角及线段长，利用三角形的面积公式可求；

⑵由已知结合解三角形的知识，利用三角函数恒等变换可表示CE,然后结合正弦函数性

质可求.

【小问1详解】

如下图，连接0C,过。作CRLQ4,垂足为R.当弧的长为弧C4长的三分之一时，

ZCOR=45°,在ACOR中，0C=4,CRLOA,故CR=26，OR=272.在_ODE

中，DE=CR=2®，ZDOR=60。,所以匹=tan60°=百，则。后=哀5,所以

0E3

CD=RE=2近一型J①2娓,可得一CDE的面积

33

124(平方千米)；

S=-CDDE=--.2A/2=~^

2233

【小问2详解】

设NCOA=e(0<e<g),则o?=4sin。，OR=4cos0,DE=CR=4sin0,

又竺=tan60°=JL则OE=S8sin6，所以CD=ER=4cos，—迪sin，.在直

OE33

角三角形COE中,

CE2=CD2+DE2=(4cos6»-sin6»)2+(4sin6»)2=y-|(2招sin20+cos20-sin(26+(p)

,其中tan(p———(0<°<—).因为0<。<一,所以20+<p<――+(p,又0<°<一,

62332

所以当2。+°=工时，CE?有最小值为56—8岳,即CE.,56-8而=2屈-26.综

23"""V33

上，街道CE长度的最小值为汉亘二冬叵千米.

3

21.用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度(血药浓度是指药物吸收后，在血浆内

的总浓度，单位：mg/ml)随时间(单位：小时)变化的函数符合G«)=笥(1—2"),其

函数图象如图所示，其中机0为药物进入人体时的速率，上是药物的分解或排泄速率与当前

浓度的比值.此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在4mg/ml到15mg/ml之间，当达到

上限浓度时(即浓度达到15mg/ml时)，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函

数符合。2心=52"'，其中c为停药时的人体血药浓度.

［血药浓度(mg/ml)

。［二:15142d时(小时)

(1)求出函数q«)的解析式；

(2)一病患开始注射后，最多隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开

始进行第二次注射？(结果保留小数点后一位，参考数据：1g2ao.3,Igl5aLi8)

【答案】⑴q⑺=161-2-4(r>0)

(2)从开始注射后，最多隔16小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔7.7小时后开始进

行第二次注射

【解析】

【分析】⑴根据图象可知，两个点(4,8),(8,12)在函数图象上，代入后求解参数，求q«)；

⑵由⑴求q。)”15中7的范围；求得。2⑺后，再求。2«)-4中f的范围.

【小问1详解】

解：由图象可知点(4,8),(8,12)函数图象上，

旦(1-24)=8

则