【MODFLOW】第二讲-地下水流-热-质(或污染物、示踪剂)迁移数学模型

地下水流-热-质迁移

数学模型

提纲1.地下水流动基本方程连续性假设及渗流理论达西定律基本方程2.含水层中溶质（示踪剂、污染物）迁移方程溶质对流弥散机理Fick定律基本方程3.含水层中地热迁移规律控制方程热对流扩散机理Fourier定律基本方程2一、地下水运动基本方程3连续性假设达西定律水均衡原理地下水是环境、资源、地矿、城建等领域重要的研究对象，因此，对其进行定量化的评价具有十分重要的科学与实际意义。在多孔介质中，地下水受固体边界的约束，只能在孔隙中流动，由于固体边界的几何形状十分复杂，是空隙中的地下水运动要素变化无常，若从微观水平上研究地下水的运动规律，会给问题的求解带来许多困难，目前主要从宏观的角度研究地下水流动规律。主要内容承压含水层平面二维流微分方程潜水平面二维地下水流动基本微分方程三维流基本微分方程控制方程总结定解条件例子:河间地块承压水流模型4一、地下水运动基本方程1、承压含水层平面二维流微分方程5考虑一底面边长为⊿x,⊿y的承压含水层柱体。X方向流入-流出y方向流入-流出单位时间侧向静流入量+垂向流入量=单元内储层变化量两边除以，并取极限，得一、地下水运动基本方程1、承压含水层平面二维流微分方程（续1）6由达西公式，有µe－弹性储水系数，无量纲K－渗透系数，m/dM－含水层厚度，mH－地下水水头值，mε－垂向补给强度，m3/(d.m2)=m/d将上式代入连续性方程，得到一、地下水运动基本方程2、潜水平面二维地下水流动基本微分方程7在Dupuit假定下，忽略垂向水流，可以导出潜水二维流微分方程。考虑一底面边长为dx,dy的潜水含水层柱体，计算侧向静流入量和垂向补给量，分别有：X方向流入-流出y方向流入-流出单位时间侧向静流入量+垂向流入量=单元内储存量的变化量一、地下水运动基本方程8两边除以，并取极限，得由达西公式，有µd－重力给水度，无量纲Z－潜水含水层地板到基准面的距离，mw－垂向补给强度，m3/(d.m2)=m/d2、潜水平面二维地下水流动微分方程（续）一、地下水运动基本方程3、三维流基本微分方程9取右图所示得微小六面体。设与x,y,z,方向对应得主渗透系数分别为Kx,Ky,Kz；建立均衡期t时段内，微小均衡六面体的水量守恒方程。一、地下水运动基本方程3、三维流基本微分方程（续1）10同理，y、z-方向流入—流出分别为:x方向流入—流出分别为:

t时段内，六面体水量变化量为：一、地下水运动基本方程3、三维流基本微分方程（续2）11六面体内地下水储存量的变化为一、地下水运动基本方程由水均衡原理，得方程两端除以Δt，并取Δｘ→０,Δｙ→０,Δｚ→０和Δｔ→０，则3、三维流基本微分方程（续3）12一般密度的空间变化率很小，故于是有由达西定律有（2）水流连续性方程左端项都很小，可以忽略。一、地下水运动基本方程3、三维流基本微分方程（续4）13上式为非均质各向异性承压含水层的偏微分方程。均质各向异性非稳定流均质各向异性稳定流得到地下水三维流动微分方程[1/L]一、地下水运动基本方程4、微分方程小结14数学模型一、地下水运动基本方程5、定解条件15微分方程定解条件边界条件初始条件已知t=0时的因变量，H(x,y,z,0)=H0(x,y,z)已知水头边界(I类边界)H(x,y,z,t)=f(x,y,z,t)(x,y,z)B1特例：定水头边界H(x,y,z,t)=C已知流量边界特例：隔水边界数学模型地下水运动的数学模型结构一、地下水运动基本方程6、例子:河间地块承压水流模型16设两条河流平行、完全切割乘压含水层，含水层等厚、均质各向同性,无垂向补给或排泄，对于如图所示的坐标系，已知某时刻的含水层各处的水头为20米，自该时刻后，河水位分别为如图所示的函数。试根据条件作合理简化建立其数学模型。一、地下水运动基本方程6、例子:河间地块承压水流模型（续）17（1）模型概化由所述水文地质条件，可以概化为一维承压水流问题。（2）建立坐标系（如图）取x-轴原点位于左端河，右侧为正向，设两河流间距为L.

纵轴为水头。（3）数学模型一、地下水运动基本方程提纲1.地下水流动基本方程连续性假设及渗流理论达西定律基本方程2.含水层中溶质（示踪剂、污染物）迁移方程溶质对流弥散机理Fick定律基本方程3.含水层中地热迁移规律控制方程热对流扩散机理Fourier定律基本方程18二、溶质运移数学模型：绪论19随着经济的快速发展，地下水被污染的程度日益严重，并引起了人们的广泛关注，目前仍然存在很多问题题，迫切需要解决：海（咸）水入侵：地下淡水的过量开采导致沿海地区的地表污（废）水排放和农耕污染造成的硝酸盐污染石油和石油化工产品的污染垃圾填埋场渗漏污染20早在1805年，Fick就提出了分子扩散定律。1905年，Slichter报道了土壤中溶质并不是以相同的速度运移的现象。此后，人们逐渐提出并逐步形成了溶质运移的基本理论——水动力弥散理论。溶质运移方程=Fick定律+质量守恒原理二、溶质运移数学模型1、水动力弥散理论可混溶流体两种或两种以上的流体在同一储集空间中不存在明显的突变界面，见下图。如滨海含水层中海水入侵地下淡水。（示踪剂）不可混溶流体多种（两种或两种以上）的流体在同一储集空间中存在着明显的突变界面，见下图。如油、气、水或其它有机物流体。（多相流体）21二、溶质运移数学模型221、水动力弥散理论（续1）可混溶流体石油污染物在含水层中运移不可混溶流体不同性质溶体之间无明显的突变界不同性质溶体之间有明显的突变界油水污染物水二、溶质运移数学模型23水动力弥散分子扩散机械弥散由浓度高的方向向浓度底的方向运动，趋于均一由于微观多孔介质中流速分布的不均一而引起的示踪剂（水质点）浓度在地下水含水层中不均匀分布的现象。1、水动力弥散理论（续2）两部分二、溶质运移数学模型1、水动力弥散理论：机械弥散原因同一空隙中不同部位的流速分布不均匀不同空隙的流速大小不同固体骨架导致流速分布的不均匀24（1）（2）（3）地下水质点运动速度的差异是产生水动力弥散的根本原因二、溶质运移数学模型25平行于平均流速方向上的弥散垂直于平均流速方向上的弥散纵向弥散横向弥散Fick定律1、水动力弥散理论：机械弥散原因二、溶质运移数学模型描述溶质弥散规律Fick定律2、Fick定律对于上有溶质、溶剂两种组分构成的二元体系，α组分在等温条件（忽略热扩散）相对于质量平均速度的扩散通量26对于低浓度溶液，浓度C的改变并不明显地影响密度，于是密度可视为常量，则：二、溶质运移数学模型273、控制方程：质量守恒定理在多组分组成的流体体系中任取一点P(x,y,z),以P为中心取一微小的质量平衡体，其侧面分别平行与3个坐标面，边长分别为△x、△y、△z。质量守恒原理:在时间△t内，组分α在这个单元体中的净流出（或流出）量（暂不考虑起内部有质量产生和消失），应等于这个单元中α组分的质量变化二、溶质运移数学模型28设分别表示α组分密度、x,y,z方向的速度分量。3、控制方程：质量守恒定理（续1）二、溶质运移数学模型29其中：经过△t时间后，质量均衡体中的变化量。将上式左右两端同除以得：3、控制方程：质量守恒定理（续2）二、溶质运移数学模型30再对方程两端取极限，即令即有：即若微小的质量均衡体内存在着α组分的源汇项，则上式可改写为：多组分流体体系中α组分的质量守恒方程3、控制方程：质量守恒定理（续3）二、溶质运移数学模型31

I是多组分组成的流体中，单位体积流体在单位时间内，由于化学反应或其它原因所产生（或消失）的α组分的质量。3、控制方程：质量守恒定理（续4）二、溶质运移数学模型32稀释的二元体系中α组分的对流—扩散方程应用条件：1、二元体系；2、等温条件；3、低浓度；3、控制方程：质量守恒定理+Fick定律二、溶质运移数学模型33对于一维流动二维水动力弥散：对于一维流动一维水动力弥散：对流—扩散方程二、溶质运移数学模型3、控制方程源汇项指在单位时间液相体积中由于化学反应、生物化学作用或抽注水等产生减少α组分质量的速率。344、源汇项1）放射性密度与化学、生物化学反应2）吸附与解吸3）抽水与注水二、溶质运移数学模型4、源汇项：放射性、生物化学反应35若研究对象是地下水中某种放射性物质作为示踪剂，则它的浓度分布受对流和弥散的影响外，还将受到其自身的放射性衰变的影响。若由于化学反应或生物化学反应而使示踪剂在单位体积溶液中的消耗速率或产生速率与其浓度成正比，也可以用上述式子表示。二、溶质运移数学模型4、源汇项：吸附与解吸36在一定条件下，溶液中某些溶质在多孔介质的固相表面产生吸附、解吸或者离子交换等物理化学作用。如果这些溶质属于我们的研究对象，则这些作用的结果应该综合到源汇项中，如果固相表面吸附示踪剂，视为汇，否则，称为解吸，视为源，而离子交换即可视为汇也可视为源。二、溶质运移数学模型4、源汇项：吸附与解吸37溶解相Ａ与吸附之间的吸附－解析作用,往往是一个可逆的过程:多孔介质含水率固体骨架密度溶解项A的密度吸附相的密度二、溶质运移数学模型4、源汇项：吸附与解吸38（i）对于非均衡吸附作用：吸附作用常数解析作用常数非均衡吸附作用均衡吸附作用吸附作用二、溶质运移数学模型39对于均衡吸附作用：平衡常数对于饱水多孔介质θ=n=C（孔隙率）4、源汇项：吸附与解吸二、溶质运移数学模型40只是用去除以水动力弥散系数和流速u，由于，因此吸附作用产生的后果，相对于和均减小，起到减缓弥散的作用。所以把称为：减缓因子。4、源汇项：吸附与解吸二、溶质运移数学模型414、源汇项：抽水与注水如果含水层当中有抽水或注水井，含水层中示踪剂的质量就会发生变化，而且抽水与注水导致源汇项的变化不同。当抽水时：假设单位时间内从单位体积含水层中的抽水量为W。孔隙率为抽水点处的溶质浓度表示失去的溶质二、溶质运移数学模型抽水量424、源汇项：抽水与注水当注水时若向含水层中注入含有示踪剂的水（示踪剂浓度C0）二、溶质运移数学模型孔隙率为注水点处的溶质浓度注水量435、初始条件与边界条件水动力弥散方程揭示了溶质在地下水中运移的一般规律，对于一个具体问题，我们必须知道其初始的状态，以及边界条件，才能达到地下水中溶质的空间分布规律及其随时间的变化。初始条件边界条件二、溶质运移数学模型445、初始条件（续）描述综合初始时刻，研究区D内各点（x,y,z)处的浓度分布状态的条件（数学表达式）初始条件确指原始状态；初始时刻可以任意选定，只要已知那一时刻研究区各点的浓度即可。初始条件的如何选取，应该根据研究问题的需要、资料状况及计算与模拟方法等因素确定。例如：t=0时向某区域注入含示踪剂的水，若在此之前研究区D不含该示踪剂，则C（x，y，z）=0。如：在弥散试验时，可将示踪剂注入前浓度分布视为初始状态。又如设计治理地下污水方案时，可将现状污染物分布视为初始条件。二、溶质运移数学模型45边界条件指的是研究区边界上的溶质浓度分布和变化情况或边界上流入（或流出）研究区的浓度分布和变化情况。主要有以下三类情况：第一类、第二类与第三类。第一类边界条件：也叫给定浓度边界，即已知边界上浓分布的边界。为B1上的已知函数为研究区D的第一类边界5、边界条件（续）二、溶质运移数学模型46第二类边界条件：给定弥散通量边界,指已知边界弥散通量随时间变化规律的边界条件，或者称之为Neumann边界条件，为边界B2上某点（x，y，z）处的外法线方向上的单位向量水动力弥散系数研究区上的第二类边界已知函数，定义在B2上二、溶质运移数学模型5、边界条件（续）47第三类边界条件:指已知边界上溶质通量随时间变化规律的边界条件，或称之为Cauchy边界条件。

已知函数孔隙平均流速二、溶质运移数学模型5、边界条件（续）提纲1.地下水流动基本方程连续性假设及渗流理论达西定律基本方程2.含水层中溶质（示踪剂、污染物）迁移方程溶质对流弥散机理Fick定律基本方程3.含水层中地热迁移规律控制方程热对流扩散机理Fourier定律基本方程48三、热对流-扩散数学模型49地下热水既是水资源又是能源，开发利用地下热水资源具有重要的经济效益、社会效益和环境效益，因此，科学合理地评价地热资源具有十分重要的实际意义。地源热泵制热模式1、我国地热资源现状地热资源丰富地热资源的开发利用取得了明显成效浅层地热能开发利用发展迅速50三、热对流-扩散数学模型2、热运移的机理51地源热泵制热模式Fourier（傅立叶）定律是传热学中的一个基本定律，它的文字表述是：在导热现象中，单位时间内通过给定截面的热量，正比例于垂直于该界面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与温度升高的方向相反。热运移方程=“Fourier定律+能量守恒原理”三、热对流-扩散数学模型3、Fourier定律52其中，λ为导热系数，w/(m*k)，T为温度，单位为K，x为在导热面上的坐标，单位为m，q是沿x方向传递的热流密度（严格地说热流密度是矢量，所以q应是热流密度矢量在x方向的分量），单位为W/m^2物体沿x方向的温度梯度，即温度变化率三、热对流-扩散数学模型53热传导弥散分子扩散机械弥散由温度高的方向向浓度底的方向运动，趋于均一由于微观多孔介质中流速分布的不均一而引起的水流温度在含水层中不均匀分布的现象。4、热传导弥散理论两部分三、热对流-扩散数学模型5、热机械弥散原因同一空隙中不同部位的流速分布不均匀不同空隙的流速大小不同固体骨架导致流速分布的不均匀54（1）（2）（3）地下水质