2024年河北省石家庄市长安区中考数学一模试卷

2024年河北省石家庄市长安区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共16个小题.1-6小题每小题3分，7-16小题每小题3分，共38分.在

每小题给出的四个选项中，只有--项是符合题目要求的）

1.（3分）-2比2（）

A.小2B.大2C.小4D.大4

2.（3分）一艘轮船在P处向M处的海上巡逻艇呼叫救援，根据如图所示，巡逻艇从"处

去P处实施救援，其航行的路线为（）

B.沿南偏西50°方向航行

C.沿北偏东40°方向，航行30海里

D.沿南偏西40°方向，航行30海里

3.（3分）为纪念我国著名数学家苏步青所做的卓越贡献，国际上将一颗地球2.18亿千米的

行星命名为“苏步青星”，将2.18亿用科学记数法表示为2.18X10",贝ijw=（）

A.8B.6C.4D.2

4.（3分）若使用如图所示的a,b两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝

折成两段（）

4cm

b

A.a,都可以B.a,Z?都不可以

C.只有。可以D.只有匕可以

5.（3分）整式A=x-1,-x,下列结论：

结论一：A9X=B.

结论二：A,B的公因式为x.

下列判断正确的是（）

A.结论一正确，结论二不正确

B.结论一不正确，结论二正确

C.结论一、结论二都正确

D.结论一、结论二都不正确

6.（3分）如图，将由6个棱长为1的小正方体组成的几何体在桌面上逆时针旋转90°后,

主视图的面积为（）

正而

A.3B.4C.5D.6

7.（2分）在课堂上老师给出了一道分式化简题:化简

22

a-ba-b

丙、丁四位同学的变形过程：

22

甲：原式丑；

a-bb

乙：原式=至曰._^；

22

a-ba-b

丙：原式

22

2山a-b

22

T：原式=生工业一四.；

a-bb

其中正确的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

8.（2分）如图，/1=70°,/2=150°（)

B

A.20°B.30°C.40°D.50°

9.（2分）如图，数轴上有①，②，③，④四部分，b,c,且a<0,abc>0（）

①②®④

—»一—.,"~,—

A.段①B.段②C.段③D.段④

10.（2分）如图，四边形A8CZ）中，点区F、G、H分别是线段A&CD、AC,8。的中

A.只与48、CO的长有关

B.只与A。、BC的长有关

C.只与AC、2。的长有关

D.与四边形ABC。各边的长都有关.

11.（2分）班主任邀请甲、乙、丙三位同学参加圆桌会议.如图，班主任坐在。座位，三

位同学随机坐在A、B、C三个座位（）

班主任

A.2B.Ac.AD.A

3342

12.（2分）如图，在正方形纸片ABC。上进行如下操作：

第一步：剪去长方形纸条AEFD；

第二步：从长方形纸片3CFE上剪去长方形纸条CBG8.

若长方形纸条AEFD和CFGH的面积相等，则的长度为（）

A.30cmB.15cmC.16cmD.90cm

13.（2分）刘阿姨早晨从家里出发去公园锻炼，匀速走了60加〃后回到家（中间不休息）.如

图表示她出发后离家的距离s（km）（min）之间的函数关系图象.则下列图形中可以大

致描述刘阿姨行走路线的是（

As(km)

o

A.家B.家

14.（2分）对于题目“已知。。及圆外一点P,如何过点尸作出。。的切线？”甲、乙的

A.甲和乙的作法都正确

B.甲和乙的作法都错误

C.甲的作法正确，乙的作法错误

D.乙的作法正确，甲的作法错误

15.（2分）如图，直线y=2x+2及反比例函数y支（*>0）的图象与两坐标轴之间的阴影

部分（不位括边界）（横、纵坐标都为整数），则左的取值可能是（）

16.（2分）如图，矩形ABC。中，点E,F,G,CD,A。上，GF,EC折叠，。恰好都落

在点。处，点8落在点次处.以下结论:

I；若点）落在EP上，则G尸〃EC.

II：若点B'与点0重合，则A8=AO.

下判判断正确的是（）

c.只有I正确D.只有n正确

二、填空题（本大题有3个小题，共10分.17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）

17.（2分）计算：74-79=.

18.（4分）规定一种新运算：a^b=ab+a-b,如2+3=2X3+2-3=5.

（1）计算：（3a）/=；

（2）如果（2尤-3）=3/-2,则x的值为.

19.（4分）图1是一种拼装玩具的零件，它可以看作是底面为正六边形的六棱柱，其内部

挖去一个底面为正方形的长方体后得到的几何体，正方形48C。的两个相对的顶点A,C

分别在正六边形一组平行的对边上，。在正六边形内部（包括边界），点E

己知正六边形的边长为2,正方形边长为a.

（1）连接跖，E尸的长为；

（2）a的取值范围是.

EA

图1图2

三、解答题（本大题有7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

20.（9分）琪琪准备完成题目：计算：（-9）X（1_■）-33.发现题中有一个数字

2

被墨水污染了.

（1）琪琪猜测被污染的数字”■”是2,请计算（-9）X（1-2）-33；

323

（2）琪琪的妈妈看到该题标准答案的结果等于-9,请通过计算求出被污染的数字

21.（9分）某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式：

第1个等式：152=15X15=225=（1X2）X100+25；

第2个等式：252=25X25=625=（2X3）X100+25；

第3个等式：352=35X35=1225=（3X4）X100+25；

按照以上规律，解决下列问题：

（1）填空：752=75X75==；

（2）已知1W尤W9且"为整数，猜想第〃个等式（用含w的等式表示），并证明.

22.（9分）鱼塘承包户小李在春天往鱼塘投放了2000条鱼苗，打算在中秋节前全部售出，

据统计，将每条鱼称重后得到的质量作为一个样本，然后把鱼又放回鱼塘.统计结果如

图所示.

（1）求样本的中位数和平均数；

（2）已知这种鱼的售价为25元/像，利用样本平均数，估计小李售完鱼塘里的这种鱼的

总收入.

所捕捞鱼的质量统计图

23.（10分）某中学举行校庆活动，使用了两架小型无人机进行现场拍摄，1号机所在高度

yi（m）与上升时间尤（s）的函数图象如图所示；2号机从6机高度，两架无人机同时起

飞，设2号机所在离度为”（机）.

（1）求1号机所在高度口与上升时间尤之间的函数表达式（不必写出x的取值范围）,

并在图中画出2号机所在高度y2（m）与上升时间尤（s）的函数关系图象;

（2）在某时刻两架无人机能否位于同一高度？如果能，求此时两架无人机的高度；如果

24.（10分）如图1,某玩具风车的支撑杆OE垂直于桌面MN,点O为风车中心，风车在

风吹动下绕着中心O旋转，叶片端点A,B,C,已知。。的半径为10cm.

（1）风车在转动过程中，当NAO£=45°时，点A在OE左侧，求点A到桌面的距

离（结果保留根号）;

（2）在风车转动一周的过程中，求点A到桌面的距离不超过21。”时，点A所经过的路

径长（结果保留TT）；

（3）连接CE,当CE与O。相切时，求切线长CE的值，C两点到桌面MV的距离的

）；C

—NM__ENM\E

②若矩形PMQN的两个顶点落在△PCA的同一条边上，直接写出AC在矩形PMQN内部

的线段长.

图1图2备用图

2024年河北省石家庄市长安区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共16个小题.1-6小题每小题3分，7-16小题每小题3分，共38分.在

每小题给出的四个选项中，只有--项是符合题目要求的）

1.（3分）-2比2（）

A.小2B.大2C.小4D.大4

【解答】解：由题意得：

2-（-2）

=2+2

=4,

-8比2小4,

故选：C.

2.（3分）一艘轮船在P处向M处的海上巡逻艇呼叫救援，根据如图所示，巡逻艇从加处

去P处实施救援，其航行的路线为（）

B.沿南偏西50°方向航行

C.沿北偏东40°方向，航行30海里

D.沿南偏西40°方向，航行30海里

【解答】解：航行的路线为沿南偏西40°方向，航行30海里，

故选：D.

3.（3分）为纪念我国著名数学家苏步青所做的卓越贡献，国际上将一颗地球2.18亿千米的

行星命名为“苏步青星”，将2.18亿用科学记数法表示为2.18X10",则"=（）

A.8B.6C.4D.2

【解答】解：：2.18亿=218000000,2.18亿用科学记数法表示为7.18X1（A

・・・〃=8.

故选：A.

4.（3分）若使用如图所示的a,b两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝

折成两段（）

5cm-J

-a-

dem»।

b

A.a,6都可以B.a,b都不可以

C.只有。可以D.只有b可以

【解答】解：三角形两边之和大于第三边，两根长度分别为5cm和4c机的细木条做一个

三角形的框架.

理由：5>4,满足两边之和大于第三边.

故选：C.

5.（3分）整式A=x-1,B=j?-x,下列结论：

结论一：A*x=B.

结论二：A,8的公因式为x.

下列判断正确的是（）

A.结论一正确，结论二不正确

B.结论一不正确，结论二正确

C.结论一、结论二都正确

D.结论一、结论二都不正确

【解答】解：-x=x（x-1）,

则A,8的公因式是（x-6）,

那么结论一正确，结论二不正确，

故选：A.

6.（3分）如图，将由6个棱长为1的小正方体组成的几何体在桌面上逆时针旋转90°后，

主视图的面积为（）

正面

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：主视图如图所示，

:由6个棱长均为1的正方体组成的几何体，

...主视图的面积为2X12=5,

故选：A.

7.（2分）在课堂上老师给出了一道分式化简题：化简—，以下是甲乙、

2

a-ba-b2

丙、丁四位同学的变形过程：

22

甲：原式-'；

a-bb

乙：原式=至曰._^；

22

a-ba-b

丙：原式:江之

22

a-ba-b

22

T：原式二支工业.a-b；

a-bb

其中正确的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【解答】解：（-一-1）+J

a-ba2-b6

=a-（a-b）b

a-b°a2-ib2

22

a-a+b.a-b

=----,

a-b--b

所以只有选项。符合题意，选项A、选项C都不符合题意.

故选：D.

8.(2分)如图，Zl=70°,Z2=150°()

B

D

2

A

A.20°B.30°C.40°D.50°

【解答】解:延长AB,CD交于点E

AZ£CA=180°-Z3=110°，/EAC=180°-N2=30°，

.,.ZE=180°-(ZECA+ZEAC)=180°-(110°+30°)=40°.

故选：C.

9.（2分）如图，数轴上有①，②，③，④四部分，b,c,且a<0,abc>0（

①②@④

—'「一A

ab

A.段①B.段②C.段③D.段④

【解答】解：'：a<0,

原点在。的右侧，故段①排除;

假设：当原点在段②时，b>0,。＜4,故原点不在段②;

假设：当原点在段③时，b<0,。＜0,故原点在段③;

假设：当原点在段④时，b<3,。＜0,故原点不在段④;

综上，原点落在段③,

故选：C.

10.（2分）如图，四边形ABCD中，点£、F、G、H分别是线段A3、CD、BD的中

点（)

A.只与A3、CO的长有关

B.只与A。、8C的长有关

C.只与AC、8。的长有关

D.与四边形A8CD各边的长都有关.

【解答】解：：点E、F、G、H分别是线段A3、AC,

yAD^BC-t^-BC^AD

四边形EGFH的周长=FG+GE+EH+FH==AD+BC-

故选：B.

11.（2分）班主任邀请甲、乙、丙三位同学参加圆桌会议.如图，班主任坐在D座位，三

位同学随机坐在A、B、C三个座位（)

班主任

A.2B-3C-4D.1

32

【解答】解:画树状图如下:

开始

甲

乙BCA

共有6种等可能的结果,其中甲，即AB、BC,

...甲、乙两位同学座位相邻的概率为匡上,

63

故选：A.

12.（2分）如图，在正方形纸片ABCD上进行如下操作:

第一步：剪去长方形纸条AE/叫；

第二步：从长方形纸片BCFE上剪去长方形纸条CFGH.

若长方形纸条AEFD和CFGH的面积相等，则AB的长度为（)

15cmC.16cmD.90cm

【解答】解：设正方形A8CD的边长为就",

由题意，得5a=6（a-5）.

解得a=30.

故选：A.

13.（2分）刘阿姨早晨从家里出发去公园锻炼，匀速走了60加〃后回到家（中间不休息）.如

图表示她出发后离家的距离s（km）（min）之间的函数关系图象.则下列图形中可以大

致描述刘阿姨行走路线的是（）

As（km）

【解答】解：A、行走路线应该是闭合的，不符合题意;

8、行走路线（中间曲线）与距家距离恒定不变;

C、行走路线与图象信息一致；

。、行走路线与距家离中间最短，不符合题意.

故选：C.

14.（2分）对于题目“已知。。及圆外一点P,如何过点尸作出。。的切线？”甲、乙的

作法如图.

A.甲和乙的作法都正确

B.甲和乙的作法都错误

C.甲的作法正确，乙的作法错误

D.乙的作法正确，甲的作法错误

【解答】解：对于甲的作法：

由作法得A3垂直平分0P,

：.OG=GP,

.•.点M为以。尸为直径的圆与O。的交点,

AZPMO=90a,

：.OMLPM,

.♦.PM为。。的切线，所以甲的作法正确;

对于乙的作法：

由作法得PO=PO,OD=BC,

'：OM=^-BC,

2

：.PM±OD,

.•.PM为O。的切线，所以乙的作法正确;

故选：A.

15.（2分）如图，直线y=2x+2及反比例函数y=N（x〉O）的图象与两坐标轴之间的阴影

部分（不位括边界）（横、纵坐标都为整数），则上的取值可能是（）

【解答】解：如图，直线y=2x+2一定过点（2,（1,

把（1,7）代入y」L（x>0）得，此时阴影部分（不位括边界）有（1，（3,（1,（2,（6,

x

5个整点

.•水的取值可能是4,

故选：C.

16.（2分）如图，矩形ABCD中，点E,F,G,CD,上，GF,EC折叠，。恰好都落

在点。处，点2落在点2'处.以下结论：

I；若点8'落在E尸上，则GH7EC.

II：若点牙与点。重合，则

下判判断正确的是（）

B.I、II都不正确

C.只有I正确D.只有n正确

【解答】解：若点）落在E尸上，由折叠性质可得:

ZDGF=ZFGO,ZAGE=ZOGE,ZOEC=ZBEC,

：.NFGE=/FGO+NOGE=90°,ZGEC=ZOEG+ZOEC^90°,

.,.ZFGE+ZGEC=180°,

：.GF//CE,故结论I正确；

若点3’与点0重合，如图所示，

设AO=2〃，AB=2b,AE=OE=BE=b,

：.CG=OG+OC=2a,

在RtZXCGE中，Ca=G^+C目,

(3a)2=a5+fe2+fe2+(7a)2,

解得：b=42a,

.\AB=Y/SAD；

故选：c.

DFC

I----X-----------

AEB

二、填空题（本大题有3个小题，共10分.17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）

17.（2分）计算：V4-V9=-1.

【解答】解：原式=2-3

=-3.

故答案为：-1.

18.（4分）规定一种新运算：a^b=ab+a-b,如2^3=2X3+2-3=5.

（1）计算：（3〃）心5=18〃-5；

（2）如果（2x-3）=3/-2,则x的值为［或」.

【解答】解：(1)由题意得：(3a)☆S

=2。・5+3。-6

=15〃+3。-5

=18〃-2,

故答案为：18a-5；

(2)，：2仑⑵-3)=3/-2,

：.2(5尤-3)+2-(7x-3)=3/-2,

整理得：3/-2尤-1=2,

(x-1)(3x+7)=0,

x-1=4或3x+l=2,

x=l或x=-A,

5

故答案为：1或-工.

3

19.（4分）图1是一种拼装玩具的零件，它可以看作是底面为正六边形的六棱柱，其内部

挖去一个底面为正方形的长方体后得到的几何体，正方形A2CZ）的两个相对的顶点A,C

分别在正六边形一组平行的对边上，。在正六边形内部（包括边界），点E

已知正六边形的边长为2,正方形边长为a.

（1）连接EREF的长为_^V3;

（2）。的取值范围是孤WaW6-2S.

图1图2

【解答】解：（1）如图，过点。作。MLERONLCD,连接OE,

则EM=FM=LEF邑CD,

22

,:EF是正六边形的一条对角线，

AZ£OM=360—x—=60°,

62

在RtZXEOM中，0E=2,

：.EM~叵0E=M，

2

:.EF=IEM=2M，

故答案为：873；

（2）如图①，当正方形A8CO的对角线AC在正六边形一组平行的对边的中点上时，

正方形边长。的值最小，AC是正方形的对角线，

：.AC=A'D=2®

•'•a—,

如图②，当正方形ABC。的四个顶点都在正六边形的边上时，AC是正方形的对角线AC,

设A'G,V3）时，

"JOB'LOA',

：.B'(-M，f),

设直线MN的解析式为y=fcc+6,M(.-2,N(-1,-'、/§),

.fk=-V3

Tb=-2«

...直线MN的解析式为y=-Mx-2居

将2,(--.pi，r)代入得t=3-473，

此时，A'B'取最大值，

a=V(3-8V3-*73)6+(V3-3+5V3)2=6-2^3>

正方形边长。的取值范围是：娓WaW6-2遍.

故答案为：-8

AAf

r

CCD

图2①

FC

图1

三、解答题(本大题有7个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

20.(9分)琪琪准备完成题目：计算：(-9)X(1_■)-33.发现题中有一个数字

被墨水污染了.

(1)琪琪猜测被污染的数字”■”是2,请计算(-9)X(1_2)-33；

323

(2)琪琪的妈妈看到该题标准答案的结果等于-9,请通过计算求出被污染的数字“

【解答】解：(1)原式=-9X(-1)-27

3

=3-27

2

=.-5--1-.,

2

(2)1-[(-6+33)+(-6)]

2

=A-[(-8+27)+(-9)]

2

[184-(-9)]

3

=1■-(-2)

5

21.(9分)某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式:

第1个等式：152=15X15=225=(1X2)X100+25；

第2个等式：252=25X25=625=(2X3)X100+25；

第3个等式:352=35X35=1225=(3X4)X100+25；

按照以上规律，解决下列问题：

(1)填空：752=75X75=5625=(7X8)义100+25；

(2)已知1W尤W9且w为整数，猜想第八个等式(用含〃的等式表示)，并证明.

【解答】解：⑴5625；

(7X8)X100+25；

(2)(10/1+2)2=〃(77+1)X100+25,(3W”W9

证明：(10〃+5)4=100n2+100n+25

=(z?2+n)X100+25

="(a+8)X100+25,

猜测的算式正确.

22.(9分)鱼塘承包户小李在春天往鱼塘投放了2000条鱼苗，打算在中秋节前全部售出,

据统计，将每条鱼称重后得到的质量作为一个样本，然后把鱼又放回鱼塘.统计结果如

图所示.

（1）求样本的中位数和平均数;

（2）已知这种鱼的售价为25元米g,利用样本平均数，估计小李售完鱼塘里的这种鱼的

【解答】解：（1）•••这20条鱼质量的中位数是第10、11个数据的平均数、11个数据分

别为L4,

这20条鱼质量的中位数是乙4+L7=1.7（kg）,

2

二=1.2X8+1.3X7+1.4X6+65X3+1.6X5+1.'=3425（kg）.

~~20

故这20条鱼质量的平均数为1.425总；

（2）25X1.425X2000X90%=64125（元）.

答：估计小李售完鱼塘里的这种鱼的总收入64125元.

23.（10分）某中学举行校庆活动，使用了两架小型无人机进行现场拍摄，1号机所在高度

yi（m）与上升时间无（s）的函数图象如图所示；2号机从6机高度，两架无人机同时起

飞，设2号机所在离度为”（m）.

（1）求1号机所在高度yi与上升时间尤之间的函数表达式（不必写出尤的取值范围），

并在图中画出2号机所在高度”（相）与上升时间尤（s）的函数关系图象；

（2）在某时刻两架无人机能否位于同一高度？如果能，求此时两架无人机的高度；如果

不能

y/m

36912^/s

【解答】解：（1）由图象知，函数J1经过（0,5）,12）两点.

设yi=fcc+6,将（0,（3

（b=3,

112=9k+b，

解得，k=5,

lb=3

Ayi与上升时间x之间的函数表达式”=x+3；

由题意得：y2—2.5x+6,

当x=7,y—9,

•••在直角坐标系中描点（0,7）,9）,

画得函数”的图象如图：

（2）在某时刻两架无人机能位于同一高度，理由如下:

当泗=了2时，尤+3=4.5x+6,

解得尤=6.

.♦.x+3=6+6=9（m）.

答：此时两架无人机高度为9nl.

24.（10分）如图1,某玩具风车的支撑杆。£垂直于桌面点O为风车中心，风车在

风吹动下绕着中心。旋转，叶片端点A，B,C,已知O。的半径为10c〃2.

（1）风车在转动过程中，当/AOE=45°时，点A在OE左侧，求点A到桌面的距

离(结果保留根号);

(2)在风车转动一周的过程中，求点A到桌面的距离不超过21c时，点A所经过的路

径长(结果保留TT)；

(3)连接CE,当CE与OO相切时，求切线长CE的值，C两点到桌面MN的距离的

备用图备用图

图1

四边形AFEG为矩形,

J.AF^GE.

在RtZ\AOG中，ZAOG=45°,

：.OG^0A>cosZAOG^Wcos45°=5J7(cm),

•：OE=26cm,

；.AF=GE=OE-0G=(26-5&)cm,

答：点A到桌面的距离是(26-4&)cn.

(2)如图2,点A在旋转过程中运动到点A3,A2的位置时，点AI,A3到桌面的距离

均为210n.

过点A2作A2”_LMN于贝！！A7H=21cm.作A2D_LOE于点D

:・DE=A2H.

OE=26cm,

：.OD=OE-DE=26-21=5(cm).

在RtAA20D中，OAs=10cm,

COSNA2O£>=°。=_^_=』,

0A2102

ZA4OZ)=60°.

由圆的轴对称性可知，ZA1OA2=4ZA2OD=120°.

j=120冗70=陋(前).

AtA21803

符合条件的点A所经过的路径长为202Lcir.

3

:同是半圆，

，AC为。。的直径，

:直线/切O。于点C，且/经过点£,

J.OCLCE.

在RtZiOCE中，OC=10CH,

CE=VOE2-OC2=V762-602=24(cm)-

答：切线长CE的值为24cm.

过点A作AH±MN于H,过点C作CK1MN于K,

则四边形CLHK是矩形，

：.LH=CK,

是O。的直径，

/.ZA£C=90°,

ZALC^ZOCE,

'：OE//AH,

：.ZCAL=ZEOC,

：.AACL^AOEC,

•AL-ACpnAL一20

0C0E1026

.,.AL=100(cm),

13

即AH-CK=AH-LH^AL=100cm,

13

；.A、C两点到桌面的距离的差为期.

13

25.(12分)图1为某游乐场过山车的一部分滑道设施，为研究过山车沿滑道运动中的数学

知识，小李使用电脑软件将这部分滑道抽象出如图2所示的函数图象(抽象为点)的运

动.线段AB是一段直滑道，点A在y轴上y[x2+bx+c的一部分，在点C(%2),

点、B,。到x轴的距离相等，8GJ_x轴于点G,滑道B-C-。与滑道O-E-歹可看作形

状相同，点尸(12,0).

(1)求抛物线8-C-。和。-£-尸的函数表达式；

(2)当过山车沿滑道从点A运动到点尸的过程中，过山车到x轴的距离为1.5时，求它

到出发点A的水平距离；

(3)点M为B-C上的一点，求点M到3G和到x轴的距离之和(图中M8+MN)的最

大值及此时点M的坐

y

标,图1图2

3

【解答】解：(1)滑道y^lx+bx+c的顶点为点。(4,

•**y=-^-(x-4)2+7即y=>-x6-2x+6,

•・・点B到点A的水平距离为3,

・,•将％=2代入y=^~(乂-4)2+4，

8

19

丫力(2-4)+4=3

.•.点B(2,4).

:点D与点B关于直线x=4对称，

点D(6,4).

•.•滑道B-C-D与滑道D-E-F是形状完全相同、开口方向相反的抛物线,

4

可设抛物线D-E-F的函数表达式为y=-^(x-h)+k.

将点厂(12,0),3)分别代入得：

(32

-V(12-h)+k=5,

:，解得产

-^(3-h)2+k=3h=4

抛物线D-E-F的函数表达式为y=_L(x-8)2+2.

(2)设直线A8的函数表达式为y=kx+b.

将B(2,3),5)代入y=kx+b得：

(b=1，解得，k=l,

I2k+b=2Ib=l

直线AB的函数表达式为y=x+7.

;点C(4,2)为抛物线B-C-D的顶点，

抛物线B-C-D不存在y=2.5的点.

当y—1.1时，L5=x+6.

1.5=-[(X-8)5+4,

解得X=8±VlO.

根据图像可知X=8+JI5，

综上所述，y=L5时

x=3.5或x=8+V10；

⑶设M(x,-|(X-4)6+2)'则Affl=x-2,MN*(X-4)2+2,

9q

MH+MN=X-2-H^(X-4)J+2

4(X-2)2+7,

o

:点/为B-C上一点，

，2WxW4,且MH+MN的值随尤的增大而增大，

当尤=2时，MH+MN=](2-2)2+6=4,

...当x=4时，和MN长度之和的最大值为5.

此时M的坐标为(4,2).

26.（13分）在△ABC中，ZACB=90°,BC=3,点P是AB的中点，〃在AC上（不与

点C重合），在PM的左侧作矩形PMQN.

（1）如图1,当点N在线段BC上时，

①若AM=2,求PN的长；

②求tanZPNM的值.

（2）如图2,当尸N=P射时，

①若矩形PMQN在4ABC内部（包括边界），设写出CQ的长与x的函数关系

式；

②若矩形PMQN的两个顶点落在△PCA的同一条边上，直接写出AC在矩形PMQV内部

的线段长.

图1