2023年高考数学复习 立体几何（解析版）

专题10立体几何

知识建构

自检自测

1.平面的基本性质

公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.

公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面.

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

2.空间点、直线之间的位置关系

直线与直线

图形

平行语言

关系符号

a//h

语言

图形

相交语言

关系符号

aC\h=A

语言

图形,/b

独有语言/

关系符号

a,b是异面直线

语言

3.空间两条直线的位置关系

(1)相交直线——同一平面内，有且只有一个公共点.

(2)平行直线——同一平面内，没有公共点.

(3)异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点.

4.异面直线所成角、平行公理及等角定理

(1)异面直线所成的角

①定义：设"，方是两条异面直线，经过空间中任一点。作直线标//a,h'〃儿把标与b,所成的锐角

或直角叫做异面直线。与人所成的角.

②范围：(0,?

(2)平行公理

平行于同一条直线的两条直线平行.

(3)等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

5.直线与平面平行的判定与性质

判定

性质

定义定理

a--b--a--弋

图形一目L__/

aUa,Ma,a//a,aU£，

条件6zAa=0a〃a

〃〃一_aCB=b_

结论allab//aa//b

6.面面平行的判定与性质

判定

性质

定义定理

/k/

b

/37b/%//

图形

%7/77X7

_a〃£,aC尸干，

条件一an6=0一a〃4，°u夕

=P,aha,b"a6n尸儿

结论a//pa//pa//ba//a

重要结论：

1.垂直于同一条直线的两个平面平行，即“若a邛,则a〃夕’.

2.垂直于同一个平面的两条直线平行，即“若b±a,则a〃〃’.

3.平行于同一个平面的两个平面平行，即“若a〃夕，p//y,则a〃7.

7.直线与平面垂直

(1)直线与平面垂直

①定义：若直线/与平面a内的任意一条直线都垂直，则直线/与平面a垂直.

②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直今线面

垂直).即：aUa,bua,IVa,lA.b,aC6=P=/J_a.

③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.即：a_La,bLa=^a//b.

(2)直线与平面所成的角

①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角.

若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为0,若直线与平面垂直，直线与平面所成角为

n

2-

TT

②线面角。的范围：。q0,I.

8.平面与平面垂直

(1)二面角的有关概念

①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两

射线所成的角叫做二面角的平面角.

③二面角。的范围：。《[0,it].

(2)平面与平面垂直

①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.即：aUa,a邛0a邛.

③性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.即：aLp,“Ua,aC。

=b,aJ_ga_L£.

重要结论

1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

2.若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线（证明线线垂直的一个重要方法）.

3.垂直于同一条直线的两个平面平行.

4.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直.

常见题型

1.平面概念

2.线线、线面、面面位置关系

3.线面、面面平行

4.线面、面面垂直

5.线线、线面所成角

6.二面角

7几何体

实战突破

考点一平面概念

例1.（2014年河南对口高考）三个平面最多把空间分成部分.

【答案】8

【解析】当两个平面相交，第三个平面同时与两个平面相交时，可以把空间分成8部分，所以空间中的三

个平面最多把空间分成8部分.

例2.空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（C）

A.0B.1

C.1或4D.无法确定

［解析］当四个点在同一平面时，则确定一个平面；若四点不共面，由基本性质2可判断，任意不共线的三

点都可以确定一个平面，故有4个.

【变式探究】下面是一些命题的叙述语（A,B表示点，。表示直线，«,£表示平面）：

（l）VAGa,BGct,（2）VASa,A&p,：.aH^=A；

⑶；A住a,aUa,'.A^a；（4）"."A^a,a<la,@a.

其中命题和叙述方法都正确的个数是（B）

A.0B.1C.2D.3

［解析］（3）正确.（1）错，其中的ABCa应为A8Ua.（2）错，其中a,尸应该交于一条过A点的直线.（4）错，

因为点A可能是直线〃与平面a的交点.

考点二线线、线面、面面位置关系

例3.（2018年山西）设直线m平行于平面a,直线n垂直于平面0,而且a,p,n《a则必有（）

A.m//nB.m±nC.m±pD.n//a

答案：D

例4.（2021年山西）下列说法不正确的是（）

A.两条相交的直线确定一个平面B.垂直于同一直线的两条直线互相垂直

C.平行于同一条直线的两条直线互相平行D.不在同一直线上的三点确定一个平面

答案：B

【变式探究】1.若a,b是异面直线，直线"/〃，则。与〃位置关系是（）

A.异面B.平行C.相交D.相交或异面

【解析】由题意可得，直线“，b是异面直线，又c〃a,则c与b的位置关系可能是相交，也可能是异面，

综上所述，故选：D；

2.点M、N是正方体ABC£）-4BiCid的棱A|4与AiBi的中点，尸是正方形ABC。的中心，则A/N与平面

PCBi的位置关系是（A）

A.平行B.相交

C.MNU平面PCSD.以上三种情形都有可能

［解析］如图，：历、N分别为4A和AH中点,

：.MN//ABi,

又•.•尸是正方形A8C。的中心,

：.P.A,C三点共线，

平面PBiC,

；MNQ平面PBiC,

〃平面PB\C.

考点三线面、面面平行

例5.（2018年河南对口高考）下列命题中，错误的是（）

A.平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行

B.平行于同一平面的两个平面平行

C.若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行

D.若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面

【答案】C

【解析】若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线不一定互相平行，所以C选项错误，故选C.

例6.（2018年四川省）设a/是两个不同的平面，“为两条不同的直线，给出下列三个命题：

①.若/_La,m_La,则l//m.

②.若a〃夕，/〃a,机〃夕，则/〃帆

③.若/〃肛/〃a,〃夕，则a〃K

则下列命题中的真命题是（）

A.OB.lC.2D.3

答案：B

【变式探究】L（2019湖南对口升学高考）下列命题中，正确的是（）

A.垂直于同一条直线的两条直线平行

B.垂直于同一个平面的两个平面平行

C.若平面外一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行

D.一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直

［答案］D

［分析］根据直线与平面垂直的判断定理可知选项D正确，故选D.

2.（2018湖南对口升学高考）下列命题中，错误的是（）

A.平行于同一个平面的两个平面平行

B.平行于同一条直线的两个平面平行

C.一个平面与两个平行平面相交，交线平行

D.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交

［答案］B

［分析］找反例即可

B项平行于同一条直线的两个平面可以相交，故B错

考点四线面、面面垂直

例7.（2016年河南对口高考）在空间中垂直于同一条直线的两条直线一定是（）

A.平行B.相交C.异面D.前三种情况都有可能

【答案】D

【解析】在空间中垂直于同一条直线的两条直线可能相交，也可能平行，也可能异面，故选D.

例8.（2015年河南对口高考）垂直于同一个平面的两个平面（）

A.互相垂直B.互相平行

C.相交D.前三种情况都有可能

【答案】D

【解析】垂直于同一个平面的两个平面有可能互相垂直，也有可能互相平行，也有可能相交，故选D.

【变式探究】1.（2019年安徽省）如图，在正方体ABC。一为与GQ中，点色厂分别是棱8片,OC的中

点，则下列结论箱送的是（）

A.AEA.DtFB.DE工D】FC.AE±BCD.DEA.BC

答案：D

2.如图，在四面体。一ABC中，若48=CB,AD=CD,E是AC的中点，则下列正确的是（C）

A.平面A8C_L平面

B.平面A8C_L平面BDC

C.平面A8C_L平面8QE,且平面AQC_L平面B3E

D.平面4BC_L平面A£>C,且平面AOCJ_平面8DE

［解析］'：AB=CB,且E是AC的中点，.,•8E_LAC,同理有OE_LAC,于是4cL平面8£>E.；AC在平

面ABC内，二平面A8C1■平面又ACU平面4c。，.•.平面ACOJ_平面8。区故选C.

考点五线线、线面所成角

例9.（2014江苏）在正方体-中，异面直线4C与BG所成角的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

例10.如图正方体ABCD/iBiC/i中，直线BO】与平面4140。1所成角的正切值为（）

A.—B.—C.lD.V2

32

［答案］B

［分析］找出垂线与线面角求出直角边长即可

［详解］如图连接AD】

因为BA_L平面&/0D1,

所以ZAD1B为BDi与平面&/0D1所成的角

在RtaABDi中，设正方体边长为a

AB=aADX=>/2a

ABa0

tanZLAD-IB===--

1gy［2a2

【变式探究】1.在正方体ABC。-4181cl劣中，异面直线力为与BG所成角的大小为（）

A.90°B.45°C.60°D.30°

［答案］C

［分析］线线平行平移至相交

连接AD血DgBCJ/ADi

•••NDIABI为异面直线ABX与BCi所成的角

AABDi为等边三角形

:.NDIABI=60°

2.（2014年江西）若e是直线与平面所成的角，则，的取值范围是.

（乃）r7]（兀

A.（0,71]B.I0,—2；C.L0,—2jD.I0,一2J

答案：C

考点六二面角

例11.（2013年山西省）右图正方体—中，二面角A—的平面角是（）

A.30°B.45°C,60°D,90°

答案：B

【变式探究】（2016年河北对口高考）已知正方形ABCD所在平面与正方形A跳户所在平面成直二面角,

则NFBD=.

【答案】600

考点七立体几何的综合问题

例12.（2016湖南对口升学高考）（本小题满分10分）

如图1,在三棱柱ABC-AiBiG中，A|A1底面ABC,AAi=V3,AB=AC=1,AB1AC.

（1）证明：BA1平面ACGAi：

（2）求直线BiC与平面ACGAi所成的角的正弦值.

[分析1（1）线面垂直的判定定理（2）线面角

（1）在三棱柱ABC-A^Ci中，

AAX1底面ABC,BAc平面ABC

•••AAt1BA①

B图1

♦・•AB1AC②

AA^nAC=4G)

BA±平面ACC141

⑵连接为C如图所示

BA1平面A/]||4B:.A1B1±平面ACG4

・••乙41cBi就是直线8传与平面4CG4所成的角

vAB=AC=1ABLAC

BC=Vl2+lz=V2

••,AAr=B[B=V3

B[C=JBL+B$2=V5

v力iB]=AB=1：.sinZ.A1CB1——三

例13.(2019湖南对口升学高考)(本小题满分10分)

如图，在三棱柱ABC-AiBiCi中，AAiJ_底面ABC,AB=BC=1,ZABC=90",D为AC的中点.

(1)证明：BDL平面ACCtAi；

(2)若直线BAi与平面ACGAi所成的角为30°,求三棱柱ABC-AiBiG的体积.

[分析](1)线面垂直判定(2)根据线面角求出高

(1)证明：・••48=AC,力为AC的中点

■■.BDLAC.

又•.•4h_L底面ABCBOu底面ABC

.■.BD1.AA].

•••AC和A4是平面ACCA内两相交直线

平面ACC\A\.

(2)连接AiD

•.•80_1平面4(7。4,

.-.BDlAtD,且A\D是BAi在平面ACC\A\的射影

.-.ZBA.0=30°.

在RtAABC中，BD=-AC=-y/AB2+BC2=—.

222

在RtZXA8c中，ZBAiD==30°,ZBD-4i=90°,BAX=2BD=V2.

在Rt^ABAi中，ZBAAi=90",AB=\,=J^-AB2=1.

•••三棱柱ABC-A[B]C,的体积V=S^-=^XBAXBCA=

BCXAA±XAr

Jr---------卡

f\\

/'A-..-.……/..

cG

【变式探究】1.（2020湖南对口升学高考）（本小题满分10分）

如图，四棱雉S-ABCD的底面为正方形，。为4c与BD的交点，SO1底面ABCD.

（1）若E,F分别为S4SC的中点，求证：EF//平面ABCD;

（2）若力B=S4=4,求四棱雉S-4BC0的体积.

[分析]（1）线面平行的判定定理（2）椎体体积公式

解：⑴在NSAC中，•••E,F分别为S4SC的中点EF〃4C.

又丫ACc平面ABCD,EFC平面ABCD

EF//平面ABCD.

（2）•••底面为正方形

AC=五AB=4V2

则AO=^AC=2V2

V0为正方形的中心SO1平面ABCD从而SO1AC

在Rt△AOS中，SA=4,AO=272

则SO=VS/12-AO2=2V2

•••^-XBCD=15XBCD-SO=ix4x4x2V2=^

2.（2021年四川省）（本小题满分12分）如图，B,C为圆锥AO底面圆周上的两点，E,F分别为4B,BC的中点.

⑴证明：EF//平面4c

（II）若圆锥底面半径为1,母线的长为石，二面角B-AO-C的大小为苧，求点O到平面ABC的距离.

答案：（I）在AABC中,E,F分别为AB,BC的中点,所以E尸〃AC,

又EFZ平面4cO,ACu平面ACO,所以EF//平面AC。

（II）连接AF,FO,如图，

在圆锥AO中，AO_L底面BCO,所以AO_LBO,AO±CO,

2不

所以/BOC为二面角B-AO-C的平面角，即NBOC=亍，

在直角AABO中，AO=ylAB2-BO2=2,

在等腰AOBC中，FOOB-cosAB0C,BC=2BF=2OB-sin也£,

222

___________而

在直角AAFO中，AF=JAO2+F（）2=匚,

2

则匕.B℃=；XxSABOC3x*2*x6，

设点O到平面ABC的距离为d,

则％TBc=；SaBcd=；x；x5CxAFxd=^d=*，解得d=等，

所以点O到平面ABC的距离为上叵.

17

考点八几何体

例14.（2020年江西省）若圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的表面积为（）

A.2兀B.47tC.6兀D.8兀

答案：c

例15.（2017年江西）若圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的体积为.

71714万

A.—B.—C.TtD.

323

答案：A

【变式探究】1.（2019年河南对口高考）已知正三棱锥的侧棱和底面边长都为1,则它的体积为.

【答案】—

12

【解析】正三棱锥的顶点在底面的投影为底面三角形的中心，底面三角形的高为：—,三角形的重心分中

2

线为2：1的关系，所以底面三角形重心到顶点的距离为2><也=也，所以三棱锥的高为:

323

—,又因为底面三角形的面积为：Lxlxlx@=@，所以该正三棱锥的体积为:

3224

173V6V2&

-x—x——=——,故合案为：——.

3431212

2.（2019年安徽省）若一个球的表面积为12%,则该球的半径为（）

A.2B.73C.2百D.3

答案：B

实战突破

1.（2020江苏）在正方体ABC。—A4GA中，异面直线4B与耳。之间的夹角是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

解析：【答案】C

【分析】连接4D,根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得

/BAQ即为异面直线A1与80所成的角，连接BD后，解ABAQ即可得到

异面直线4B与B。所成的角。

【解析】连接AD,由正方体的几何特征可得AD〃BC，则NBAD即为异面宜线43与3c所成的角，连

接BD,易得BD=AD=AB,/.ZB^D=60,

故选：C.

2.（2018江苏）在长方体ABCEM出。。中，AB=8C=2,AAi=?灰,则对角线8功与底面A8CD所成的

角是（）

71Tllt71

A-7B-7CTD-7

【答案】c

3.（2019年安徽省）如图，在四棱锥P—ABC。中，PA_L平面ABC。，四边形A8CD是正方形,

PA=&AB,则直线PC与平面A8CO所成角的大小为（）

A.30°B.45°C.60°1).90°

答案：B

4.（2016年安徽省）如图所示，在正方体A3CQ一ABCA中，异面

直线AB与A£）|所成的角是（）

A.30°B.45°C.90°

D.60°

答案：C

5.（2018年安徽省）如图所示，在正方体ABCO-A与中，点以/V分别是棱AA「人用的中点，则

直线MN与直线CG所成的角等于（)

Di

A.30°B,45°C.60°D.90°

答案：B

6.（2018年安徽省）如图所示，PA_L平面ABC,且NABC=9O。，则下列结论箱送的是（）

p

c

A.PALABB.PALACC.BCJL平面D.A3J_平面PBC

答案：D

7.（2020年安徽省）如图，在正方休A8CD—44G2中，直线与片2所成的角是（）

A.30B.45C.60D.90

答案：D

8.（2016年安徽省）在四面体力及力中，ZMJ_平面ABC,A3_LAC,从该四面体的四个面中任取

两个作为一对，其中相互垂直的共有（）

A.1对B.2对C.3对1）.4对

答案：C

9.（2022湖南对口升学高考）已知两条不同的直线m,n与平面a,则下列命题正确的是（）

A.若m//a,n//a,则m//nB.若mln,m//a,则n1a

C.若？nln,7nJLa,则nJLaD.若7n_La,nJ.a,则m//n

［答案］D

A项m、n可以相交

B项n可平行a

C项n可平行a

D项线面垂直性质定理

10.（2018年山西省）一个圆锥高为4,母线长为5,则该圆锥的体积是

答案：12兀

11.（2019年山西省）设正方体的边长为1,则它的外接球的直径为

答案：V3

12.（2014年山西省）如图，正方体ABCD-中，异面直线8。与所成的角等于（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

答案：D

13.（2015年四川省）已知正四棱锥的高为3,底面边长为巾，则该棱锥的体积为（）

A.6B.3巾C.2D.也

答案：c

14.（2019年四川省）已知球的半径为6cm,则它的体积为（）

A.36^cm3B.144万err?C.288万err?D.8647cm'

答案：C

15.（2021年四川省）下列命题中不正确的是（）

A.如果一条直线垂直于一个平面内的两条垂直直线，那么这条直线垂直于这个平面

B.如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面

C.如果一条直线垂直于一个平面内的任何一条直线，那么这条直线垂直于这个平面

D.如果一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，那么这条直线垂直于这个平面

答案：D

16.（2022年四川省）设a,4是两个不同的平面，加，“是两条不同的直线.则下面四个命题正确的个数

是（）

①若a//p,n///3,则②若a_L£,mVa,n1（3,则加_L〃：

③若m//n,mVa,〃J_,，则aJ_6；④若,mVa,〃_L,，则a_L

A.1B.2C.3D.4

答案：C

分析：本题以空间的平行与垂直为载体，考查了命题的真假的判断，属于基础题着重:考查空间直线与平面、

平面与平面的位置关系，考查了空间想象的能力

解析：

对于①，mVa,a//13,...加_L〃,故①正确.

对于②，直线机和〃相当于平面a和尸的法向量，：。，^^二加工心故②正确.

对于③，•；m_La,直线加和〃相当于平面a和6的法向量；加〃%...a///?故③不正确.

对于④，若加_La,nL/3,直线用和〃相当于平面a和£的法向量，：ma，户，故④正确.

.,.选C.

17.（2023四川对口招生）设a,，是两个不同的平面，〃?，〃是两条不同的直线，则下列命题中的真命

题是（）

A.如果m//a,n//［3,m//n,那么a〃/?B.如果/n〃〃，“ua,那么“〃a

C.如果a_L^,mua,nc./3,那么m_L〃D.如果加_La,me/?,那么a_L尸

【答案】D

【分析】本题A选项考查面面平行的判定定理，B选项考查线面平行的判定定理，C选项考查面面垂直的

性质定理，D选项考查面面垂直的判定定理，是基础题.

【解析】

由面面平行的判定定理可得A错误；

由线面平行的判定定理可得B错误；

由面面垂直的性质定理可得C错误；

由面面垂直的判定定理可得D正确.

.•.选D.

18.（2022江苏）若圆锥和圆柱的底面半径均为R,高均为3R,则此圆锥与圆柱的侧面积之比是

【答案】A

19.（2021湖南对口升学高考）设m,n为两条不同的直线，a,夕为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A.若7n〃n,n〃aM］m〃aB.若7n〃n,7n〃a,n〃0』ija〃0

C.若a_L夕,mua,nu.，，则m1nD.若m1n,m1a,n1,则a10

［答案］D

［分析］m,n为两条不同的直线，a,0为两个不同的平面

对于A,若m//n,n//a,则m〃a或mua,故力错误；

对于8,若m//n,m//a,n//（i,则a与夕相交或平行，故B错误；

对于C,若a1ua,nu0,则ni与n相交、平行或异面，故C错误；

对于D,若？nJ.n,mJLa,n10,则由面面垂直的判定定理得a1.3，故D正确.

20.（2021年河南对口高考）圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则其体积为.

【答案】2万

【解析】由题知圆柱的底面半径为1,高为2,所以5=万「2=万，v=s〃=%x2=2万，故答案为2%.

21.（2019年河南对口高考）三棱柱的侧棱长和两个底面的边长都为2,侧棱垂直于底面,

E,F分别为AB,4G的中点，直线瓦'与所成角的余弦值为（）

V2V5275V3

A.---B.---C.----D.---

2552

【答案】c

【解析】取AC中点M,连接EM,FM,则FM〃G。，则NMEE即为直线）'与GC所成角，MF=2,

EM=-BC=l,NEMF=90°.EF=y/EM2+FM2=45,所以cos/MRE=口=拽，故选

2EF非5

C.

22.（2021湖南对口升学高考）（10分）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，P4_L平面ABCD,E为PD的中点.

（1）证明:PB〃平面ACE;

⑵设PA=1,AD=V3,直线PB与平面ABCD所成的角为45°,求四棱锥P-ABCD的体积.

［分析］（1）找到中位线即可证明（2）根据线面角求出底面边长即可求出体积

（1）证明：连接BD交4c于点凡连接EF

点E是PD的中点，点尸是8。的中点

即线段EF是△BDP的中位线

PB//EF

又•：PB0平面AEC

EFu平面AEC

PB//平面AEC

(2)PA=l,AD=V3

直线PB与平面ABCD所成的角为45°,PA1平面ABCD

•••AB=PA=1

VP-ABCD=|x/!DxC£)xP/l=ixlxV3xl=Y

23.（2022年四川省）在四棱锥尸一ABC。中，PA=AB,ADVCD,2AD=2CD=BC,AD//BC,

24J■平面ABC。.

（I）证明：平面■平面PAC；

（II）求二面角F—80—A的正切值.

*23题图

答案：（I）略（II）

分析:

解析：（I）连